Capítulo 2. Medidas Estadísticas Básicas Medidas estadísticas poblacionales

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Diego Murillo Juárez
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1 Capítulo 2 Medidas Estadísticas Básicas 2.1. Medidas estadísticas poblacionales Sea X una variable aleatoria con función de probabilidad p(x) si es discreta, o función de densidad f(x) si es continua. Esperanza: La esperanza de una variable aleatoria X es { x µ X = E(X) = x p(x) si X es discreta; x f(x)dx si X es continua. Propiedades: Sean X e Y dos variables aleatorias, y a, b, c constantes. Se verifica: (i) E(c) =... (ii) E(aX + b) =... (iii) E(X + Y ) =... (iv) E(aX + by ) =... Varianza: σ 2 X = V (X) = E [ (X E(X)) 2]. Desviación típica: σ X = σ 2 X. 1

2 Covarianza: σ X,Y = Cov(X, Y ) = E [(X E(X))(Y E(Y ))]. Propiedades: Sean X, Y, U, V variables aleatorias y a, b, c, d constantes. Se verifica: (i) V (c) =... (ii) V (ax + b) =... (iii) V (X + Y ) =... (iv) V (ax + by ) =... (v) Cov(aX + b, cy + d) =... (vi) Cov(X + Y, U + V ) =... (vii) Cov(aX + by, cu + dv ) =... Ejemplo 2.1 Sean X 1 y X 2 variables aleatorias incorreladas con media cero y varianzas σ 2 X 1 = 1 y σ 2 X 2 = 2. (i) Definimos la nueva variable Z 1 E(Z 1 ) y V (Z 1 ):... = 0,2 X 1 + 0,7 X 2. Calcula 2 (ii) Definimos la nueva variable Z 2 = 0,5 X 1 + 0,1 X 2. Calcula E(Z 2 ), V (Z 2 ) y Cov(Z 1, Z 2 ):...

3 3 Coeficiente de correlación lineal: Propiedades: (i) 1 ϱ X,Y 1; ϱ X,Y = Corr(X, Y ) = Cov(X, Y ) V (X)V (Y ). (ii) La correlación lineal ϱ X,Y mide la fuerza de la asociación lineal entre X e Y. Si no existe dependencia lineal, ϱ X,Y = 0; si la dependencia es lineal directa, ϱ X,Y > 0, y si la dependencia es lineal inversa, ϱ X,Y < 0. Vector aleatorio: X = (X 1,..., X p ) es un vector cuyas componentes X 1,..., X p son variables aleatorias. Esperanza de un vector aleatorio: La esperanza de un vector aleatorio X = (X 1,..., X p ) es el vector compuesto por las esperanzas, µ X = E(X) = (E(X 1 ),..., E(X p )). Matriz de varianzas-covarianzas: La matriz de varianzascovarianzas de un vector aleatorio X es la matriz definida por: Σ X = V (X) = E [(X E(X))(X E(X)) ]. Esta matriz contiene las varianzas en la diagonal, y las covarianzas entre los pares de variables fuera de la diagonal: σ1 2 σ 12 σ 1p σ Σ X = 21 σ 2 2 σ 2p......, σ p1 σ p2 σp 2

4 4 donde σ i,j = Cov(X i, X j ) y σ 2 i = V (X i ). Matriz de correlaciones: La matriz de correlaciones de un vector aleatorio X = (X 1,..., X p ) es 1 ϱ 12 ϱ 1p ϱ P X = 21 1 ϱ 2p ϱ p1 ϱ p2 1 donde el elemento (i, j) es ϱ ij = σ ij. σi 2σ2 j Combinaciones lineales de variables aleatorias: Sea X = (X 1,..., X p ) un vector aleatorio, y a = (a 1,..., a p ), b = (b 1,..., b p ) dos vectores de constantes. Definimos dos nuevas variables Z 1 y Z 2 que son combinación lineal de X: Se verifica: (i) E(Z 1 ) = a E(X); (ii) V (Z 1 ) = a V (X)a; (iii) Cov(Z 1, Z 2 ) = a V (X)b. Z 1 = a X = a 1 X a p X p Z 2 = b X = b 1 X b p X p

5 Medidas estadísticas muestrales Media muestral: Sean {x 1, x 2,..., x n } los valores observados de cierta variable X en n individuos. La media muestral de X es x =... Varianza muestral: La varianza muestral de X es s 2 X =... Este valor mide la dispersión de las observaciones alrededor de la media muestral. Covarianza muestral: Sean {x 11, x 21,..., x n1 }, {x 12, x 22,..., x n2 } los valores observados de las variables X 1 y X 2 en n individuos. Se define la covarianza muestral entre X 1 y X 2 como s X1,X 2 =... La covarianza indica la asociación lineal que existe entre las variables X 1 y X 2. Si la relación entre las variables es lineal directa, la covarianza es positiva. Si la asociación es lineal inversa, entonces la covarianza es negativa. Si X 2 = X 1, entonces s X1,X 2 = s 2 X 1. Ejemplo 2.2 Se dispone de los ingresos (X 1 ) y los gastos (X 2 ) anuales de 5 individuos. En la tabla de la izquierda están medidos en euros, mientras que en la de la derecha están medidos en miles de euros.

6 6 Ind. Ingresos Gastos Media 13,400 12,700 Ind. Ingresos Gastos Media Calcular la covarianza entre los ingresos y los gastos con ambas tablas y comparar el resultado:... La covarianza muestral tiene difícil interpretacion, ya que su magnitud depende de las unidades en las que estén medidas las variables. El coeficiente de correlación lineal evita este problema. Coeficiente de correlación lineal muestral: Se define el coeficiente de correlación lineal entre las variables X 1 y X 2 como r X1,X 2 =.... Ejemplo 2.3 Calcular el coeficiente de correlación lineal para las dos tablas de datos del Ejemplo

7 Medidas estadísticas multivariantes Supongamos ahora que se han observado los valores de p variables X 1, X 2,..., X p en n individuos, de manera que las observaciones se presentan en forma de una matriz n p, x 11 x 12 x 1p x X = 21 x 22 x 2p (2.1) x n1 x n2 x np Se define el vector de medias muestrales como x = ( x 1, x 2,..., x p ), donde x j = 1 n x ij, j = 1,..., p. n La matriz de covarianzas muestral de X 1, X 2,..., X p es la matriz simétrica formada por las covarianzas entre cada par de variables, s 2 1 s 12 s 1p s S X = 21 s 2 2 s 2p......, s p1 s p2 s 2 p donde s ij se usa para denotar la covarianza s Xi,X j y s 2 i para denotar la varianza s 2 X i. La matriz de correlaciones muestral de X 1, X 2,..., X p es 1 r 12 r 1p r R X = 21 1 r 2p......, r p1 r p2 1 donde r ij denota el coeficiente de correlación lineal r Xi,X j. i=1 7

8 Ejemplo 2.4 Escribir el vector de medias, la matriz de covarianzas y la matriz de correlaciones muestral para los datos del Ejemplo 2.2, tabla derecha. 8 Ejemplo 2.5 Sean X 1 y X 2 el número de unidades vendidas de dos productos en 25 establecimientos. X 1 X 2 X 1 X 2 X 1 X

9 9 El vector de medias y la matriz de covarianzas son ( ) ( 185,7 95,29 52,87 x =, S 151,1 X = 52,87 54,36 Sean dos nuevas variables Z 1 y Z 2 que se obtienen a partir de X 1 y X 2 de la forma Z 1 = 0,2X 1 + 0,7X 2, Z 2 = 0,5X 1 + 0,1X 2. Cómo podemos obtener las medias muestrales de Z 1 y Z 2 a partir de las de X 1 y X 2? y las varianzas muestrales?, y la covarianza muestral entre Z 1 y Z 2?.... ) Momentos muestrales de CLs de variables: Sean los vectores a = (a 1, a 2,..., a p ), X = (X 1, X 2,..., X p ). Definimos una variable Z que es combinación lineal de X: Z = a X = a 1 X 1 + a 2 X a p X p. Se verifica: z = a x, s 2 Z = a S X a. Además, si tenemos dos combinaciones lineales de X Z 1 = a 1X = a 11 X 1 + a 21 X a p1 X p, Z 2 = a 2X = a 12 X 1 + a 22 X a p2 X p. entonces la covarianza entre ellas es s Z1,Z 2 = a 1S X a 2.

10 10 Ejemplo 2.6 A partir de la matrix de covarianzas muestral S X del Ejemplo 2.5: (i) Comprueba que los valores y vectores propios son: Valores Vectores (ii) Sea la variable Z 1 = 0,825 X 1 0,565 X 2. Calcula la media muestral y la varianza muestral de Z 1. (iii) Sea la variable Z 2 = 0,565 X 1 0,825 X 2. Calcula la media muestral y la varianza muestral de Z 2. Calcula también la covarianza muestral entre Z 1 y Z 2....

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