Estadística. Grado en Biología. Universidad de Alcalá. Curso Capítulo 4: Variables Aleatorias. Fernando San Segundo. Actualizado:

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1 Grado en Biología. Universidad de Alcalá. Curso Fernando San Segundo. Actualizado: Fernando San Segundo. Actualizado:

2 Qué es una variable aleatoria? Pronto veremos una definición (algo) más rigurosa, pero para empezar puedes pensar que una variable aleatoria es un modelo teórico de un experimento aleatorio. Lo mejor es pensar en un ejemplo sencillo. Imagínate que el experimento que vas a hacer consiste en lanzar dos dados muchas veces (10000 veces) y anotar en cada lanzamiento la suma de los dados. El experimento produciría una lista de números y una de las primeras preguntas que nos haríamos sería: qué valores hemos obtenido y cuáles son sus frecuencias relativas? Ya hemos comentado que las frecuencias relativas son especialmente útiles porque la información que transmiten no depende del tamaño del experimento (no importa si fueron o tiradas). Y eso las sitúa muy cerca de la noción de Probabilidad, de hecho en el origen histórico de la idea. Para acercarnos a la noción de variable aleatoria, queremos que pienses en la tabla de frecuencias relativas del experimento antes de hacerlo. Cuál es tu teoría de lo que va a pasar? Fernando San Segundo. Actualizado:

3 Seguramente has pensado en una tabla como esta: Valor de la suma: Frec. relativa Probabilidad y eso inspira nuestra definición. Definición de variable aleatoria discreta. Dado una función de probabilidad P definida en los sucesos de un espacio muestral Ω, una variable aleatoria discreta es una función X definida en Ω que sólo toma una cantidad finita de valores, cada uno de ellos con una cierta probabilidad, como se indica en esta tabla: Valor: x 1 x 2 x 3 x k Probabilidad: p 1 p 2 p 3 p k En el ejemplo anterior, el espacio muestral está formado por pares (a, b) y definimos X(a, b) = a + b. La tabla de valores y probabilidades de X es la que aparece arriba. Piensa en otros ejemplos de variables aleatorias discretas. Fernando San Segundo. Actualizado:

4 Variables aleatorias discretas y continuas. Las variables aleatorias que hemos definido son discretas. Pero también podemos pensar en variables aleatorias continuas. Veamos algunos ejemplos. Ejemplo 1: Un ejemplo en el que ya hemos pensado. Elegimos un punto x al azar en el intervalo [0, 1]. Y definimos una variable aleatoria muy sencilla: X(x) = x. Ahora podemos hacer preguntas como: Cuánto vale la probabilidad P (0.2 X 0.7)? La respuesta es 0.5. Pero también hay preguntas que al principio te darán más que pensar: Cuánto vale la probabilidad P (X = 0.4)? En general, Cuánto vale la probabilidad P (X = x 0) para un punto cualquiera x 0 del intervalo? La respuesta es 0, sea cual sea x 0. Ejemplo 2: En las prácticas del curso hemos visto el ejemplo de las truchas del Lago Michigan en el que aparecía la variable longitud como una de las variables de interés. Llamemos X a la variable longitud de una trucha en el Lago Michigan. Entonces puedes pensar en preguntas como Cuánto vale la probabilidad P (X 25)? Cómo empezarías a buscar la respuesta? Por otra parte, cuánto vale la probabilidad de que una trucha mida exactamente 23.42? Crees que una pregunta como esa es relevante para alguien? Fernando San Segundo. Actualizado:

5 El siguiente ejemplo está relacionado con el Ejemplo 1, pero lo amplía en una dirección muy importante. Ejemplo 3: Vamos a considerar un triángulo como el de la figura (ver el fichero GeoGebra 04-VariableAleatoriaContinua.ggb ): Elegimos al azar un punto (x, y) del triángulo (la probabilidad de aterrizar en una región del triángulo es proporcional al área de esa región). Definimos la variable aleatoria X(x, y) = x. Y hacemos la misma pregunta que en el Ejemplo 1: Cuánto vale la probabilidad P (0.2 X 0.7)? La idea importante aquí es que la probabilidad no se reparte/distribuye de la misma forma a lo largo del intervalo [0, 1]. Fernando San Segundo. Actualizado:

6 Y un ejemplo más, que continúa el trabajo de algunos ejercicios que ya hemos hecho: Ejemplo 4: Vamos a lanzar un dado 60 veces. Es importante entender que el experimento no es una tirada sino 60 tiradas del dado. Definimos la variable X así: X = número de veces que obtenemos un 6 en esas 60 tiradas Si lo piensas un poco te darás cuenta de que X puede tomar los valores del 0 al 50. Pero también es evidente que la probabilidad del valor X = 0 (el 6 no aparece nunca en 60 tiradas) no es la misma que la del valor, pongamos por caso, X = 12 (el 6 aparece 12 veces en 60 tiradas). Cómo sería la tabla de valores y sus probabilidades para esta variable? Valor (veces que aparece 6 en 60 tiradas): Probabilidad:???? Esta tabla es un ejemplo de una de las variables aleatorias más importantes que vamos a estudiar, las variables binomiales. Fernando San Segundo. Actualizado:

7 Media de una variable aleatoria discreta: motivación. Vamos a volver a pensar en la tabla de nuestro primer ejemplo de variable aleatoria discreta, a la que llamaremos X: Valor de la suma: Frec. relativa Probabilidad A partir de una tabla de valores x i y frecuencias relativas f i, la media se calcula así: x = x 1f 1 + x 2f x k f k Y si tienes en cuenta que una variable aleatoria discreta viene a ser la versión teórica de una tabla de frecuencias relativas, eso explica la siguiente definición. Fernando San Segundo. Actualizado:

8 Media de una variable aleatoria discreta: definición. Dada una variable aleatoria discreta X mediante su tabla de valores y probabilidades: Valor: x 1 x 2 x 3 x k Probabilidad: p 1 p 2 p 3 p k la media, valor esperado o esperanza de X es: µ = E(X) = x 1p 1 + x 2p x k p k = k x i p i i=1 En el ejemplo anterior: 1 µ = = 7. En este caso la media coincide con el valor más probable, pero no siempre será así. La variable aleatoria es una noción teórica y por eso su media se representa con la letra griega µ. Si hay riesgo de confusión con otra variable escribiremos µ X. Fernando San Segundo. Actualizado:

9 Juegos justos, apuestas y posibilidades (odds). La media µ X se llama también esperanza o valor esperado de X porque es el valor que esperamos obtener como media si repetimos el experimento que representa X muchas veces y calculamos la media de los valores obtenidos. Un juego de azar es justo si el beneficio esperado por cada jugador es 0. De esa manera, los posibles beneficios se deben al azar, y no a que el diseño del juego favorezca a uno de los jugadores. Ejemplo: Tenemos una caja con 7 bolas blancas y 4 bolas negras. El juego consiste en lo siguiente. Tu pones un euro, y yo pongo x euros. Sacamos una bola de la caja al azar. Si es negra, ganas tú y te quedas con todo el dinero (tu apuesta y la mía). Si la bola es blanca, gano yo y me quedo todo el dinero. Cuántos euros debo poner yo para que el juego sea justo? Apuestas y odds: cuando decimos que las apuestas están 7 a 3 a favor de que ocurra A estamos diciendo esto: P(A) P(A c ) = 7 3 Ese cociente son los odds (posibilidades) a favor de A. De aquí es fácil deducir que P(A) = 7/10. Pero para los apostadores es más fácil usar la otra fracción para que la apuesta sea justa: si las apuestas a favor de A están 7 a 3 eso significa que si yo apuesto 7 euros a que A ocurre y gano, recibiré mis 7 euros y 3 de ganancia. El que apuestá en contra de A recibirá, si gana, sus 3 euros y 7 adicionales. Fernando San Segundo. Actualizado:

10 Otro ejemplo que te puede ayudar es este: Lanzamos un dado. La probabilidad del suceso A= sacar un seis es 1. Eso significa que las posibilidades (odds) a favor de 6 sacar un seis son de 1 a 5. Este lenguaje de odds como cociente de probabilidades es popular en los países angloparlantes y se ha extendido a las aplicaciones biosanitarias. Puedes leer los detalles en la Sección 3.7 del libro. Varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta. La fórmula para calcular la varianza poblacional a partir de una tabla de frecuencias relativas es: var(x) = (x 1 x) 2 f 1 + (x 2 x) 2 f (x k x) 2 f k Así que la definición de varianza de una variable aleatoria discreta, cambiando frecuencias relativas por probabilidades y x por µ es: Var(X = σ 2 = (x 1 µ) 2 p 1 + (x 2 µ) 2 p (x k µ) 2 p k Y la de desviación típica es, simplemente σ = σ 2. En el primer ejemplo, con X = la suma de dos dados, se obtiene σ Fernando San Segundo. Actualizado:

11 Función de distribución de una variable aleatoria. Dada una variable aleatoria X vamos a definir el análogo de la tabla de frecuencias relativas acumuladas. La función de distribución de X se define para cualquier número k mediante: F (k) = P(X k) Insistimos en que esta definición es válida para cualquier número k, incluso aunque X no tome el valor k. La gráfica de una función de distribución típica (para una variable discreta) tiene este aspecto de escalera, que empieza a la izquierda a altura 0 y termina a la derecha cuando alcanza altura 1. La función de densidad de X se define así f (k) = P(X = k). Fernando San Segundo. Actualizado:

12 Operaciones con variables aleatorias. La media siempre se comporta de manera sencilla. Una variable aleatoria toma valores numéricos. Por eso, cuando tenemos dos variables aleatorias X 1 y X 2 definidas sobre el mismo espacio muestral, a menudo queremos combinarlas mediante operaciones numéricas. Y nos vendrá bien saber que siempre se cumple esta propiedad que dice que la media de la suma es la suma de las medias: E(X 1 + X 2) = E(X 1) + E(X 2) Y también, para cualquier variable aleatoria y cualquier constante c: E(cX) = c E(X) Qué ocurre con la varianza? La varianza en cambio es siempre más complicada. Para empezar, podemos sacar las constantes pero elevándolas al cuadrado: Var(cX) = c 2 Var(X) Y la suma es aún más complicada; la ecuación Var(X 1 + X 2) = Var(X 1) + Var(X 2) no se cumple en general, aunque es cierta para variables independientes. Fernando San Segundo. Actualizado:

13 Variables aleatorias independientes. No vamos a dar una definición formal de independencia de dos variables aleatorias. Como en el caso de la probabilidad, normalmente daremos por supuesto que las dos variables son independientes y usaremos eso para calcular alguna propiedad, como la varianza. Covarianza y variables no independientes. Qué sucede cuando dos variables X e Y no son independientes? Supongamos que X e Y son dos variables aleatorias discretas; la primera toma los valores x 1,..., x k y la segunda los valores y 1,..., y q En ese caso, si definimos su covarianza así: Cov(X, Y ) = k q (x i µ X )(y j µ Y )P((X = x i) (Y = y j)) i=1 j=1 siempre se cumple Var(X + Y ) = Var(X) + Var(Y ) + 2Cov(X, Y ) sean o no independientes. Cuando X, Y son independientes, siempre es Cov(X, Y ) = 0 y por eso la ecuación se simplifica. Pero cuidado! Cov(X, Y ) = 0 no garantiza la independencia de X e Y. Fernando San Segundo. Actualizado: