Construcción de Paul Lévy del Movimiento Browniano Estándar, según P. Morters y Y. Peres. August 31, 2016

Transcripción

1 del Movimiento Browniano Estándar, según P. Morters y Y. Peres August 31, 016

2 Algunos preliminares Definición Una función de distribución (de probabilidades) es una función F : R R tal que 1. F es no decreciente. En particular, F tiene ĺımites por la izquierda.. F ( ) = 0 y F ( ) = 1. En particular, 0 F (x) 1 para todo x R. 3. F es continua por la derecha Teorema Dada una función de distribución de probabilidad F : R R existe un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y una v.a. X sobre éste espacio tal que P (X x) = F (x), x R. Esto es, F es la función de distribución de la v.a. X. Algo similar puede decirse para funciones de distribución de probabilidad multivariadas F : R n R. En este caso, existe un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y un vector aleatorio X = (X 1,..., X n) tal que P (X 1 x 1,..., X n x n) = F (x 1,..., x n), x = (x 1,.., x n) R n. Esto es, F es la función de distribución del vector aleatorio X = (X 1,..., X n).

3 Algunos preliminares Un hecho notable (Teorema de Existencia de Kolmogorov) Note que si F i : R R, 1 i n, son funciones de distribución, entonces F (x 1,..., x n) = F 1 (x 1 ) F n(x n), x = (x 1,..., x n) R n es una función de distribución n-dimensional. En este caso, las v.a s X 1,..., X n son idependientes. Y si F i = G para todo i = 1,.., n (es decir, se trata de una misma distribución), entonces podemos garantizar que existe un espacio de probabilidad (Ω, F, P) en el cual está definida una colección X 1,..., X n de v.a. s idependientes e idénticamente distribuidas con distribución G. Por supuesto, existe una versión más general de este hecho: Dada una distribución F y un conjunto T, entonces existe un espacio de probabilidad (Ω, F, P) y una colección de v.a. s (X t) t T independientes, idénticamente distribuidas con distribución F.

4 Algunos Preliminares Recordemos: Definición Una variable aleaoria X : (Ω, F, P) (R, B(R)) es normalmente distribuida con media µ R y varianza σ > 0, si P (X > x) = 1 πσ x ) (u µ) exp ( σ du, x R. Decimos que X tiene distribución normal estándar (o que es una normal estándar) si µ = 0 y σ = 1. Definición Un vector aleatorio X = (X 1,..., X n) : (Ω, F, P) (R n, B(R n ))es un vector gaussiano si existe una n m-matriz A, y un vector b R n tal que X t = AY + b donde Y es un vector aleatorio m-dimensional, cuyas entradas son normales estándar independientes (decimos que Y tiene distribución normal estándar n-dimensional).

5 Preliminares La matriz de convarianzas del vector X es la n n-matriz Cov(X) = E((X EX)(X EX) t ] = AA t Esto es, las entradas de Cov(X) son las covarianzas Cov(X i, X j ). Propiedades de la matriz de covarianzas: 1. Es simétrica : Cov(X) = Cov(X) t.. Es definida positiva: x t Cov(X)x > 0, para todo x R n, x 0.

6 Preliminares Teorema Si X y Y son vectores Gaussianos tales que EX = EY y Cov(X) = Cov(Y ), entonces X y Y tienen la misma distribución. Teorema Un vector Gaussiano tiene entradas independientes la matriz de covarianzas Cov(X) es diagonal. Teorema Supongamos que (X n) n 1 es una sucesión de vectores Gaussianos y tal que lim n X n = X, c.s. Si b := lim EXn y C := lim n n CovXn existen, entonces X con media b y matriz de covarianzas C.

7 Preliminares Lema Si X es una v.a. con distribución normal estándar, entonces para todo x 0, x x π e x / P (X > x) 1 x 1 π e x /. Prueba. Para la primera desigualdad, P (X > x) 1 π x u x e u / du = 1 1 e x /. x π Para la segunda, definimos f(x) = xe x / (x + 1) e u / du. x Entonces f es diferenciable y f(0) < 0. Ahora, ( ) f (x) = x e u / du e x /. x x De modo que f (x) > 0 para x > 0. Por tanto f es creciente en x > 0, y dado que lim x f(x) = 0, se sigue que f(x) 0 para todo x > 0, lo que prueba la segunda desigualdad.

8 Preliminares Teorema Si X y Y son v.a. independientes normalmente distribuidas con media µ X y µ Y (resp.), con varianza σx y σ Y (resp.) entonces U = X + Y y V = X Y son v.a s que tienen distribución normal con media µ X + µ Y, µ X µ Y (resp.) y varianza σx + σ Y. Si σ X = σ Y, entonces U y V son independientes.

9 Preliminares Un proceso estocástico es una colección (X(t) : t T ), T un conjunto, de variables aleatorias ω X(ω), definidas sobre un espacio de probabilidad (Ω, F, P). Si T = [0, 1], R, [0, ), para un ω Ω, la función t X(t, ω) es una trayectoria del proceso X

10 Preliminares Un resultado importante de la Teoría de la Probabilidad. Lema (Borel-Cantelli) Sea (A n) n 1 una colección de eventos tales que P (A n) <. n=1 Entonces ( ) P A n = 0. k=1 n=k De hecho, si definimos I n = 1 An, y N = n=1 In, entonces Más aún, P ( k=1 n=k E(N) = P (A n). n=1 ) A n = 0 si y sólo si P (N < ) = 1.

11 Preliminares Un resultado (típico) importante de análisis Teorema Si (f n) n 1 es una sucesión de funciones reales continuas, tales que la serie f = n=1 fn converge uniformenmente a f, entonces f es continua.

12 Definiciones Definición Un proceso estocástico {B(t) : t 0} es un Movimiento Browniano (lineal) que inicia en x R si cumple: 1. B(0) = x.. Incrementos independientes: Para todo 0 t 1 t t n, los incrementos B(t n) B(t n 1 ), B(t n 1 ) B(t n ),, B(t ) B(t 1 ) son v.a. s independientes. 3. Para todo t 0 y h > 0, los incrementos B(t + h) B(t) son normalmente distribuidos con esperanza 0 y varianza h. 4. La función t B(t) es continua, casi seguramente. Esto es, si A = {ω Ω : t B(t)(ω) : R R es continua}, entonces existe un conjunto B medible tal que P (B) = 0 y X\A B. Decimos que {B(t) : t 0} es un movimiento Browniano estándar si x = 0

13 Definiciones

14 Existencia del MBE Teorema (Wiener 193) Existe el movimiento Browniano Estándar.

15 Primero construiremos un MB sobre [0, 1] como un elemento aleatorio del espacio C[0, 1] de las funciones continuas sobre [0, 1]. Ingredientes: 1. Para cada n 0, sea { } k D n = n : 0 k n y sea D = n Dn. Note que Dn D n+1 para todo n 0. Teorema D es denso en [0, 1].. Sea (Ω, F, P) un espacio de probabilidad y sea {Z t : t D} una colección de variables aleatorias independientes idénticamente distribuidas, con distribución normal estándar.

16 Hacemos B(0) = 0 y B(1) = Z 1. Y recursivamente, para n 1 y para todo d D n\d n 1, definimos B(d) = B(d n ) + B(d + n ) + Z d (n+1)/. Por ejemplo, como 1 D 1\D 0 = { } 1, ( ) 1 B(0) + B(1) B = + Z 1/ = Z(1) + Z 1/, y como D \D 1 = { 1 4, 3 4 }, se sigue ( 1 B 4 ( 3 B 4 ) = B(0) + B( 1 ) + Z 1/4 3/ ) = B( 1 ) + B(1) + Z 3/4 3/. Note que B(1/) depende únicamente de Z(1/) y Z(1). Y B(1/4) depende únicamente de Z(1/4), Z(1/) y Z(1). Y B(3/4) depende únicamente de Z(1/), Z(3/4) y Z(1).

17 Por otro lado, note que En tanto que B(1) B(0) B(1/) B(0) = B(1) B(0) B(1) B(1/) = + Z 1/, Z 1/. B(1/) B(0) B(1/4) B(0) = B(1/) B(0) B(1/) B(1/4) = B(1) B(1/) B(3/4) B(1/) = B(1) B(1/) B(1) B(3/4) = + Z 1/4 3/ Z 1/4 3/ + Z 3/4 3/ Z 3/4 3/

18 Tenemos entonces, 1. Para todo n 0 y para todo r < s < t en D n, B(t) B(s) N(0, t s) y B(t) B(s) B(s) B(r).. Los vectores (B(d) : d D n) y (Z t : t D\D n) son independientes.

19 Vamos por partes: Primero... En general, si d D n, entonces B(d) depende únicamente de Z t, con t D n. En efecto: Procediendo por inducción, supongamos es válido para n 1, luego si d D n, entonces B(d) depende únicamente de Z t con t D n 1 si d D n 1, y si d D n\d n 1, entonces d = k+1 n para algún k apropiado, de modo que d ± 1 n = k ± 1 n 1 D n 1, así que B(d) depende únicamente de Z t, con t D n 1 {d} D n.

20 Otra forma de comprender lo anterior, es notar que el término B(d n ) + B(d + n ) es una interpolación lineal de los valores de B en los puntos vecinos de d en D n 1. Se sigue así que B(d) es independiente de (Z t : t D\D n).

21 Ahora vamos a probar que, para todo n 1, si d D n\{0}, entonces los incrementos B(d) B(d n ) y B(d + n ) B(d), son independientes y normalmente distribuidos con media cero y varianza n. Es claro que es cierto para n = 0. En este caso, D 0 \{0} = {1}, y B(1) B(0) = Z(1) N(0, 1).

22 Asumimos que es cierto para todo n 1. Sea d D n\d n 1, Note que d + n, d n D n 1 (y son consecutivos en D n 1 ). De modo que el término B(d + n ) B(d n ) (1) tiene distribución normal con media cero y varianza (k 1) = (k+1). Y como depende únicamente de las v.a. s Z t, con t D k 1, es independiente de Z d, () (k+1)/ la cual tiene distribución normal de media cero y varianza (k+1).

23 Por lo tanto, la suma de (1) y (): B(d + n ) B(d n ) + Z d (n+1)/ y la diferencia de (1) y (): B(d + n ) B(d n ) = B(d + n ) + B(d n ) = B(d) B(d n ), Z d (n+1)/ = B(d + n ) B(d n ) + B(d + n ) = B(d + n ) B(d), son independientes, normalmente distribuidas con media cero y varianza ( (n+1) ) = n. + Z d (n+1)/ B(d n ) Z d (n+1)/

24 Desde luego, si d D n 1, entonces d + n D n\d n 1 y d n D n\d n 1 de donde B(d + n ) B(d) = B(d + n ) B((d + n ) n ) N(0, n ) y B(d) B(d n ) = B((d n ) + n ) B(d n ) N(0, n ), y tales v.a. s son independientes.

25 Ya es casi un hecho que para todo n 1, si d, d D n\{0}, entonces los incrementos B(d) B(d n ) y B(d ) B(d n ) son independientes con distribución normal de media cero y varianza n.

26 Es ciertamente válido si n = 0. Lo es para el caso n = 1: y aun para n = B(1) B(0) B(1/) B(0) = B(1) B(0) B(1) B(1/) = + Z 1/, Z 1/, B(1/) B(0) B(1/4) B(0) = B(1/) B(0) B(1/) B(1/4) = B(1) B(1/) B(3/4) B(1/) = B(1) B(1/) B(1) B(3/4) = + Z 1/4 3/ Z 1/4 3/ + Z 3/4 3/ Z 3/4 3/

27 Como hemos ilustrado, el paso inductivo se sigue de las igualdades (que ya probamos) B(d) B(d n ) = B(d + n ) B(d n ) Z d + (n+1)/ B(d + n ) B(d) = B(d + n ) B(d n ) Z d (n+1)/

28 Teniendo entonces que elegir los valores del proceso sobre todos los puntos diadicos, interpolamos linealmente entre ellos. Formalmente, definimos { Z 1 para t = 1, F 0 (t) = 0 para t = 0, ĺınea entre elllos, y para cada n 1. (n+1)/ Z t para t D n\d n 1 F n(t) = 0 para t D n 1 ĺınea entre puntos consecutivos en D n.

29 Estas funciones son continuas sobre [0, 1] y, para todo n y d D n, n B(d) = F i (d) = F i (d). (3) i=0 i=0

30 Esto puede verse nuevamente por inducción: Es válido para n = 0. Suponga que es válido para n 1. Sea d D n\d n 1. Ya que para 0 i n 1 la función F i es lineal sobre [d n, d + n ], tenemos n 1 i=0 n 1 F i (d) = i=1 F i (d n ) + F i (d + n ) Ya que F n(d) = (n+1)/ Z d, esto da (3). = B(d n ) + B(d + n ).

31 Por otra parte, por definición de Z d existe un c > 1 y n suficientemente grandes tales que P ( Z d c n ) ( c ) n exp, de modo que la serie P ( d D n t.q. Z d c n ) ( P Zd c n ) n=0 n=0 d D n ( c ( n ) n + 1) exp. n=0 Converge si c > log.

32 Fijamos una de estas c. Por el lemma de Borel-Cantelli, existe una v.a. (finita c.s.) N tal que si n N y d D n tenemos Z d < c n. Por lo tanto, para todo n N, F n := sup{ F n(t) : t [0, 1]} < c n n/ < c n/. Esta cota superior implica que, casi seguramente, la serie B(t) = F n(t) n=0 es uniformemente convergente sobre [0, 1]. En efecto, si n N, entonces para todo t, F m(t) F n c n/ 0 si n. m=n m=n m=n

33 Qué tenemos entonces? Las trayectorias de B(t) son continuas (c.s.). Luego, si 0 < t 1 < t < t n están en [0, 1], dado que D es denso en [0, 1], podemos encontrar sucesiones de números en D, t 1,k t,k t n,k tales que lim k t i,k = t i, de manera que B(t i+1 ) B(t i ) = lim k B(t i+1,k) B(t i,k ).

34 Además y lim E(B(t i+1,k) B ti,k)) = 0 k lim Cov(B(t i+1,k) B(t i,k ), B(t j+1,k ) B(t j,k )) k = lim k 1 {i=j}(t i+1,k T i,k ) = 1 {i=j} (t i+1 t i ), los incrementos B(t i+1 ) B(t i ) son v.a. s Gaussianas independientes con media cero y varianza t i+1 t i.