Medida y Probabilidad

Transcripción

1 Medida y Probabilidad Jorge Salazar 1 Enero Con el apoyo del Programa PROMETEO/SENESCYT del Gobierno del Ecuador.

2 ii

3 Contents 7 Integral de Lebesgue Integración de funciones simples Funciones simples Preintegral de funciones positivas, simples Integral de funciones positivas Definición Propiedades inmediatas Medidas absolutamente continuas Funciones integrables Definición Desigualdad de Chebyshev Conjuntos de medida nula Medidas completas El espacio vectorial normado L 1 () Teoremas de convergencia Convergencia puntual Lema Aplicación Convergencia monótona Teorema de la convergencia monótona La integral y la aproximación puntual Linealidad y monotonía de la integral Linealidad de la Integral sobre L + () Linealidad del integral sobre L 1 () Monotonía sobre L 1 () Lema de Fatou Convergencia dominada Teorema de la convergencia dominada iii

4 iv CONTENTS 9 Integración en el espacio producto Conjuntos y funciones medibles sobre el espacio producto Secciones a lo largo de Y Subconjuntos medibles del espacio producto Medida Producto Lema: Medibilidad de la medida de las secciones Medida producto: Primera definición Secciones a lo largo de Medida producto: Segunda definición Teorema: Igualdad de las dos medidas Teorema de Fubini-Tonelli para conjuntos

5 Chapter 7 Integral de Lebesgue 7.1 Integración de funciones simples Funciones simples Definición Sea un conjunto y s : R una función. La función s se llama simple si la imagen, s (), es un subconjunto finito de R. i.e. s es simple si existe un conjunto finito {c 1,, c n } R, tal que x, s (x) {c 1,, c n }. Observaciones 1. La familia A i = s 1 ({c i }), i = 1,, n, es una partición finita de. (Desde luego, asumimos que para todo i = 1,, n, A i.) 2. σ [s] = σ [{A 1,, A n }]. 3. s es simple si y solo si σ [s] es finita. La primera observación resulta del hecho de que s es una función. La segunda es igualmente evidente. En la tercera, si s es simple, la condición σ [s] es finita es necesaria, por la observación 2. Para mostrar que también es suficiente, note que si σ [s] es finita, entonces ella es generada por una partición finita, digamos 1,, n. Note que s es constante en cada i, 1

6 2 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE i = 1,, n. Este hecho es muy importante y lo vamos a resaltar en el próximo lema, cuya demostración la dejamos al lector. Lema Sea J un conjunto de índices cualquiera y sea { j } j J una partición de. Supongamos que G es la σ álgebra generada por la partición { j } j J. Entonces, una función f : R es G/B medible si y solamente si para todo j J, f es constante en j. Espacio vectorial de funciones simples Si s y t son funciones simples y a, b R, entonces as + bt es una función simple. Esto muestra que el conjunto de las funciones simples es un espacio vectorial real. { 1 si x A Si A, la función característica χ A (x) = es simple. 0 si x / A Además, todas las funciones simples son combinaciones lineales de funciones características, ya que, denotando el conjunto imagen y poniendo tenemos s () = {c 1,, c n } A i = s 1 ({c i }), i = 1,, n, s (x) = n c i χ Ai (x). (7.1) Desde luego, diferentes combinaciones lineales de funciones características pueden dar el mismo resultado. Por ejemplo, si A, B, donde A B = (A \ B) (B \ A). χ A + χ B = 2 χ A B + χ A B, Sin embargo, si exigimos (usando las notaciones de la fórmula 7.1), que {A i },,n sea una partición de y que los c i sean todos diferentes entre ellos, entonces la representación cumpliendo con estas características si es única. La representación obtenida en 7.1 cumple con estas características.

7 7.1. INTEGRACIÓN DE FUNCIONES SIMPLES Preintegral de funciones positivas, simples En el resto de este capítulo, (, F, µ) denota un espacio medido fijo. Nomenclatura/Notación L () denota el conjunto de las funciones F/B medibles, definidas sobre, tomando valores en R. El subconjunto de las funciones medibles, positivas se denota L + () y L () es el subconjunto de las funciones medibles, finitas, positivas y simples. i.e. Denotando s() el conjunto imagen de s, L () = { s L + () ; Card (s()) <, s() [0, ) }. (7.2) Definición Sea s L (). i.e. s toma un número finito de valores, digamos c 1,, c n, y además i = 1,, n, c i 0, A i = s 1 ({c i }) F. La preintegral de s con respecto a µ es definida por n s (x) dµ (x) = c i µ (A i ). (7.3) Nota Este valor puede ser + si para algún i {1,, n}, µ (A i ) = + y c i 0. Mas, el término con coeficiente nulo (caso exista), por las reglas aritméticas es nulo, i.e. 0 µ ( s 1 ({0}) ) = 0. Lema Si m s (x) = d j χ Bj (x) (7.4) j=1 es otra forma de escribir s como combinación lineal de funciones características con coeficientes positivos, entonces m s (x) dµ (x) = d j µ (B j ). (7.5) j=1

8 4 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE Corolario Sean s y t L (). Entonces se cumplen las siguientes propiedades. 1. Linealidad: Para todo a, b R +, (as + bt) (x) dµ (x) = a s (x) dµ (x) + b t (x) dµ (x). (7.6) 2. Monotonía: Si s t, entonces s (x) dµ (x) t (x) dµ (x). (7.7) Nota La propiedad 1. no es propiamente linealidad ya que únicamente se aplica a combinaciones lineales de funciones positivas, utilizando coeficientes positivos. De hecho, L () ni siquiera es un espacio vectorial, es un cono dentro del espacio vectorial de las funciones simples. Sin embargo, por ser un nombre descriptivo, dejamos así. Las demostraciones del lema y su corolario se dejan al lector. 7.2 Integral de funciones positivas En esta sección, vamos a extender la noción de preintegral a la familia L + (), i.e. las funciones positivas, medibles, definidas sobre (, F, µ) Definición Sea f L + (). El integral de f, respecto a µ, se define de la siguiente forma. { } f (x) dµ (x) = sup s (x) dµ (x) ; s L (), s f. (7.8)

9 7.2. INTEGRAL DE FUNCIONES POSITIVAS 5 Lema Para todo s L (), s (x) dµ (x) = s (x) dµ (x). (7.9) Demostración Por la monotonía (ver 7.7), para todo t L (), tal que t s, tenemos t (x) dµ (x) s (x) dµ (x). Tomando el sup sobre t L (), tal que t s, obtenemos s (x) dµ (x) s (x) dµ (x). Por otro lado, como s s, s (x) dµ (x) s (x) dµ (x), lo que termina la demostración. Definición Sea A F y sea f L + (). El integral de f sobre A, respecto a µ, es definido por f (x) dµ (x) = (χ A f) (x) dµ (x). (7.10) A Note que, por el lema en??, χ A f L + () Propiedades inmediatas 1. Monotonía 1 : Si f, g L + () y f g, entonces f (x) dµ (x) g (x) dµ (x). (7.11)

10 6 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE 2. Monotonía 2 : Si A, B F y A B, entonces f (x) dµ (x) f (x) dµ (x). (7.12) A B 3. Nulidad: Si A F y µ (A) = 0, entonces f (x) dµ (x) = 0. (7.13) Medidas absolutamente continuas A Teorema Sea f L + (). La aplicación A F ν (A) = f (x) dµ (x) (7.14) es una medida sobre (, F). A Demostración Por la definición equivalente de medida (ver??), debemos probar Nulidad del vacío: ν ( ) = 0, gracias a Aditividad finita: Sean A, B F, tal que A B = y sean s, t L (), tales que s χ A f y t χ B f. Como entonces, Luego, por 7.6, s (x) dµ (x) + s + t χ A f + χ B f = χ A B f, (s + t) (x) dµ (x) A B t (x) dµ (x) f (x) dµ (x). (7.15) A B f (x) dµ (x). (7.16) Tomando separadamente el supremo sobre las funciones s, t L (), que verifican s χ A f y t χ B f, vemos que f (x) dµ (x) + f (x) dµ (x) f (x) dµ (x). (7.17) A B A B

11 7.2. INTEGRAL DE FUNCIONES POSITIVAS 7 Es decir, ν (A) + ν (B) ν (A B). (7.18) La otra desigualdad se obtiene a partir de la subaditividad numerable, que vamos a probar enseguida. Subaditividad numerable: Comenzamos por mostrar esta propiedad para las funciones simples. Sea {A i } i N F y sea Entonces, poniendo tenemos A s = c 1 χ B1 + + c n χ Bn L (). A = A i, s (x) dµ (x) = c 1 µ(b 1 A) + + c n µ(b n A). Por??, para todo j = 1,, n, µ(b j A) µ(b j A i ). Multiplicando por c j y sumando para j = 1,, n, A s (x) dµ (x) n c j j=1 µ(b j A i ). (7.19) Intercambiando la suma finita con la serie, obtenemos n n c j µ(b j A i ) = c j µ(b j A i ) = s (x) dµ (x). (7.20) A i j=1 j=1 Ahora, supongamos que s L () y s χ A f. Entonces, para todo i N, χ Ai s χ Ai f. Luego, para todo i N, s (x) dµ (x) A i f (x) dµ (x). A i (7.21) Sumando las desigualdades 7.21 para i = 1, 2,, utilizando 7.19 y 7.20, obtenemos s (x) dµ (x) s (x) dµ (x) f (x) dµ (x). (7.22) A A i A i

12 8 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE Tomando el supremo sobre las funciones s L (), tal que s χ A f, obtenemos el resultado esperado: ν (A) = f (x) dµ (x) f (x) dµ (x) = ν (A i ). (7.23) A A i Definición Sea ν una medida sobre el espacio (, F). Decimos que ν es absolutamente continua con respecto a µ si existe una función f L + (), tal que A F, ν (A) = f (x) dµ (x). (7.24) A Ejercicio Muestre que si µ es σ finita y si µ ({f = + }) = 0, entonces A F ν (A) = f (x) dµ (x) es σ finita. A Una consecuencia muy util del teorema anterior es el siguiente corolario, que se obtiene a partir de??. Corolario Sea {A i } i N una familia creciente de conjuntos F medibles y sea A = A i. Entonces, f (x) dµ (x) = lim f (x) dµ (x). (7.25) A i A i 7.3 Funciones integrables Definición Una función f L () es integrable (o µ integrable, para ser más precisos) si f (x) dµ (x) <. (7.26)

13 7.3. FUNCIONES INTEGRABLES 9 Esta fórmula tiene sentido ya que f = f + + f L + () (ver??). Notación El conjunto de las funciones µ integrables se denota L 1 (, µ). i.e. { } L 1 (, µ) = f L () ; f (x) dµ (x) <. (7.27) Note que f L 1 (, µ) si y solo si f + y f L 1 (, µ). En particular, toda función integrable es la diferencia de dos funciones integrables, positivas, pues f = f + f. Definición Siendo f L 1 (, µ), se define el integral de f de la siguiente manera: f (x) dµ (x) = f + (x) dµ (x) f (x) dµ (x). (7.28) Desigualdad de Chebyshev Lema Para todo f L 1 (), para todo α > 0, µ ({x ; f (x) α}) 1 α f (x) dµ (x). (7.29) Demostración Poniendo A α = {x ; f (x) α}, tenemos α χ Aα χ Aα f f. Integrando estas funciones, obtenemos (por 7.11) α µ (A α ) f (x) dµ (x) f (x) dµ (x). A α Dividiendo para α, obtenemos la desigualdad buscada.

14 10 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE Corolario Si f L 1 (, µ), entonces µ ({x ; f (x) = }) = 0. (7.30) Conjuntos de medida nula Nomenclatura Un conjunto A es de µ medida nula si existe un conjunto B F, tal que A B y µ(b) = 0. Lema Por la desigualdad??, la unión numerable de conjuntos de medida nula es un conjunto de medida nula. Propiedades casi verdaderas/casi falsas Se dice que una propiedad se verifica en casi ninguna parte si la propiedad solo es verdadera en un conjunto de medida nula. Se dice que una propiedad se verifica en casi todo punto si el conjunto de puntos en donde la propiedad falla es un conjunto de medida nula. Es decir, si la propiedad es falsa en casi ninguna parte. Cuando la medida es una medida de probabilidad, una propiedad que se verifica en casi todo punto se llama casi segura y se dice que ella se verifica casi seguramente. En un espacio de probabilidad, el complementar de un conjunto de medida nula es un conjunto de medida total. i.e. A es un conjunto de medida total si existe un conjunto B F, tal que B A y µ(b) = 1. Lema La intersección numerable de conjuntos de medida total es un conjunto de medida total. Para verlo, basta tomar los complementares y aplicar el lema anterior.

15 7.3. FUNCIONES INTEGRABLES 11 Ejemplo Si f L 1 (, µ), entonces (por 7.30) f (x) < en casi todo punto x. El siguiente lema lo utilizaremos un sinnúmero de veces. La condición necesaria y suficiente es otro ejemplo de una propiedad verdadera en casi todo punto. Lema Sea f L (, µ). Entonces, f (x) dµ (x) = 0 si y solamente si f (x) = 0 en casi todo punto x. Demostración Por la desigualdad de Chebyshev (7.29), para todo α > 0, µ ({x ; f (x) α}) 1 f (x) dµ (x) = 0. α Como, {x ; f (x) > 0} = n=1 { x ; f (x) 1 }, n entonces, por??, ({ µ ({x ; f (x) > 0}) = lim µ x ; f (x) 1 }) = 0. n n Inversamente, ponemos A = {x ; f (x) 0}. Por el teorema 7.2.3, f (x) dµ (x) = f (x) dµ (x) + f (x) dµ (x). \A A Como µ (A) = 0, por 7.13, A f (x) dµ (x) = 0.

16 12 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE Por otro lado, χ A f 0 L (, µ) y por tanto, f (x) dµ (x) = 0. \A Medidas completas Nomenclatura Decimos que la σ álgebra F es µ completa si contiene todos los conjuntos de µ medida nula (ver la definición en 7.3.3). µ es una medida completa si la σ álgebra F (sobre la cual µ está definida) es µ completa. Esta propiedad es necesaria para establecer cierto tipo de resultados, especialmente en los procesos estocásticos. Mas la noción es apenas de naturaleza técnica ya que dado (, F, µ), un espacio de medida cualquiera, siempre se puede extender la medida µ a una σ álgebra completa. Este es el contenido del próximo lema que lo enunciaremos sin demostración. Sin embargo, la demostración está contenida en la sección??. Lema Dado un espacio de medida, digamos (, F, µ), existe una medida µ, definida sobre una σ álgebra F F, tal que µ es completa y A F, µ (A) = µ (A) El espacio vectorial normado L 1 () Relación de equivalencia en L 1 () Sean f y g L 1 (). Decimos que f g si y solamente si f g (x) dµ (x) = 0. (7.31) Ejercicio Muestre que la condición 7.31 define una relación de equivalencia.

17 7.3. FUNCIONES INTEGRABLES 13 Definición El conjunto de las clases de equivalencia se denota L 1 (). i.e. L 1 () = L 1 () /. (7.32) Sea f L 1 (). Denotando f la clase de f, definimos f (x) dµ (x) = f (x) dµ (x). Observe que hemos utilizado el mismo símbolo de integración tanto para las funciones como para las clases (no hay peligro de confusión). Note que el integral sobre f L 1 () está bien definido, ya que para todo g f, f (x) dµ (x) = g (x) dµ (x). Funciones definidas en casi todo punto Sea f una función medible, definida sobre un conjunto D F, tal que µ ({ \ D}) = 0. Si el integral f (x) dµ (x) <, entonces f define una única clase de equivalencia (Cualquier extensión (medible) de f pertenece a f.) D f L 1 (). (7.33) Suma de funciones medibles Sean f y g L (). La suma (f + g)(x) = f(x) + g(x), no está definida para para x ({f = + } {g = }) ({f = } {g = + }).

18 14 CHAPTER 7. INTEGRAL DE LEBESGUE Suma de funciones integrables Si f y g L 1 (), entonces la suma, f + g, está definida en casi todo punto, ya que (por 7.30) µ ({ f = + } { g = + }) µ ({ f = + }) + µ ({ g = + }) = 0 y por tanto la suma define un único elemento f + g L 1 () (ver 7.33). El espacio vectorial L 1 () Sean f y g L 1 () y sea a R. Denotando f, g y f + g L 1 () las clases de equivalencia respectivas, definimos a f = a f y f + g = f + g. (7.34) Ejercicio Mostrar que las dos fórmulas en 7.34 definen efectivamente operaciones entre las clases de L 1 (). Nota De aquí en adelante, no haremos distinción en la notación de los elementos de L 1 () y los de L 1 (). Llamaremos funciones a los elementos de L 1 (). Trataremos las funciones definidas únicamente en casi todo, como si estuvieran definidas en todo. Norma en L 1 () Para todo f L 1 (), definimos f 1 = f (x) dµ (x). (7.35) Dejamos al lector la demostración del siguiente lema. Lema 1 es una norma sobre L 1 ().

19 Chapter 8 Teoremas de convergencia La definición de integral, por si sola, no es de gran ayuda en la hora de hacer cálculos explícitos. Por eso, en este capítulo vamos a estudiar algunas herramientas que sirven para la manipulación de integrales y límites. 8.1 Convergencia puntual En esta sección, vamos a mostrar que cualquier función positiva es el límite creciente de funciones simples Lema Sea un conjunto y f : R. Entonces, existe una sucesión creciente de funciones simples, {s n } n N, tal que x, s n (x) f (x), (8.1) cuando n. Además, la convergencia es uniforme sobre el conjunto {f M}, cualquiera que sea M R +. 15

20 16 CHAPTER 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Demostración Siendo n N fijo, dividimos el intervalo [0, n) en n 2 n intervalos, todos ellos de longitud igual a 2 n : [ i 2, i + 1 ), i = 0, 1,, n 2 n 1. n 2 n Para i = 0, 1,, n 2 n 1, ponemos ([ i A i = f 1 2, i + 1 )) { = x ; n 2 n y para i = n 2 n, ponemos i 2 f (x) < i + 1 } n 2 n A n 2 n = f 1 ([n, ]) = {x ; f (x) n}. Definiendo tenemos s n = n 2 n i=0 i 2 n χ A i, (8.2) 0 f (x) s n (x) < 1 2 n, (8.3) sobre el conjunto {x ; f (x) n}. Esto muestra que s n f uniformemente sobre {x ; f (x) M}, cualquiera que sea M R +, fijo. En particular, s n (x) f (x), sobre el conjunto {x ; f (x) < }. En el conjunto {x ; f (x) = }, s n = n, para todo n N, por lo que se obtiene la misma conclusión. Para ver que s n es creciente, observe que para todo i = 0, 1,, n 2 n 1, { } { 2i 2i + 1 2i + 1 A i = x; f (x) < x; f (x) < 2i + 2 }. 2n+1 2 n+1 2 n+1 2 n+1 Para todo x A i, si 2i f (x) < 2i+1, 2 n+1 2 n+1 s n (x) = 2i 2 n+1 = s n+1 (x), si por el contrario, 2i+1 2 n+1 f (x) < 2i+2 2 n+1, entonces s n (x) = 2i 2i + 1 < = s 2n+1 2 n+1 n+1 (x). Por lo tanto, s n (x) s n+1 (x), sobre {x ; f (x) < n}. Sobre el conjunto {x ; f (x) n}, s n = n s n+1.

21 8.2. CONVERGENCIA MONÓTONA Aplicación De aquí en adelante, (, F, µ) denota un espacio de medida, que será mantenido fijo en el resto de este capítulo. Si f es medible, es natural preguntarse si la aproximación puntual construída en esta sección sirve para aproximar el integral f (x) dµ (x). (Note que si f es medible, entonces los conjuntos A i F y por lo tanto s n es medible.) La respuesta a esta pregunta es afirmativa gracias al teorema de la convergencia monótona, que es el objetivo de la próxima sección. 8.2 Convergencia monótona Teorema de la convergencia monótona Sea {f n } n N L + (), una sucesión creciente. Entonces, lim f n (x) dµ (x) = lim f n (x) dµ (x) (8.4) n n Corolario Sea {f n } n N L + (). Entonces, f n (x) dµ (x) = f n (x) dµ (x). (8.5) n=1 n=1 Demostración del teorema Como {f n } n N es creciente, para todo x, el límite existe en R y f L + () (por??). f (x) = lim n f n (x) Por la monotonía del integral (ver 7.11), f n (x) dµ (x) es creciente. Luego, el límite existe en R y verifica α = lim f n (x) dµ (x) f (x) dµ (x). n

22 18 CHAPTER 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Para probar la desigualdad inversa, fijamos s L () tal que s f. Fijamos c (0, 1) y definimos E n = {x ; f n (x) c s (x)}. (8.6) Como {f n } n N es creciente, {E n } n N es también creciente. Note que, para todo n N, E n F. De hecho, f n c s es medible y E n = (f n c s) 1 ( R +). Además = E n. (8.7) n=1 ya que si s (x) = 0, entonces x E n, para todo n N. Si por el contrario s (x) > 0, entonces f (x) > c s (x) (recuerde que s (x) <, ver 7.2). Por lo tanto, existe n N tal que x E n. En cualquier caso, x n=1 E n. Ahora, por la definición de α, por 7.12 y por 7.11 (resp.), tenemos la siguiente cadena de desigualdades α f n (x) dµ (x) f n (x) dµ (x) c s (x) dµ (x). (8.8) E n E n Tomando el límite en 8.8, cuando n, por 7.25 y 8.7, obtenemos (utilizando 7.6 en la última igualdad) α lim c s (x) dµ (x) = n E n Como c (0, 1) es arbitrario, α c s (x) dµ (x) = c s (x) dµ (x). (8.9) s (x) dµ (x). (8.10) Tomando el supremo sobre s L (), s f, obtenemos, por la definición de integral (ver 7.8), α f (x) dµ (x). (8.11) Ejercicio Explique el papel del parámetro c.

23 8.3. LINEALIDAD Y MONOTONÍA DE LA INTEGRAL La integral y la aproximación puntual Otra consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona es el siguiente resultado. Lema Sea f L + () y sea {s n } n N la sucesión definida por 8.2. Entonces f (x) dµ (x) = lim n s n (x) dµ (x). (8.12) Ejercicios Sea f L + (). 1. Sin utilizar la aproximación 7.8, muestre que existe una sucesión creciente {s n } n N L (), tal que f (x) dµ (x) = lim n s n (x) dµ (x). (8.13) 2. Sea {ŝ n } n N L () una sucesión creciente, tal que para todo n N, ŝ n f y f (x) dµ (x) = lim ŝ n (x) dµ (x). (8.14) Entonces, n lim n ŝn (x) = f (x), para casi todo x. (8.15) 8.3 Linealidad y monotonía de la integral Linealidad de la Integral sobre L + () La propiedad descrita en el lema siguiente, al igual que la propiedad 7.6, no es linealidad en el sentido estricto, ya que consideramos únicamente coeficientes positivos.

24 20 CHAPTER 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Lema Sean f y g L + () y sean a, b R +. Entonces (a f + b g) (x) dµ (x) = a f (x) dµ (x) + b g (x) dµ (x). (8.16) Demostración Fijamos dos sucesiones {s n } n N y {t n } n N L () crecientes, tales que s n f y t n g. Por 7.6, para todo n N, (a s n + b t n ) (x) dµ (x) = a s n (x) dµ (x) + b t n (x) dµ (x). Tomando el límite en ambos lados y aplicando el lteorema de la convergencia monótona (ver 8.4), obtenemos el resultado Linealidad del integral sobre L 1 () Lema Sean f y g L 1 () y sea a R. Entonces a f (x) dµ (x) = a f (x) dµ (x). (8.17) y (f + g) (x) dµ (x) = f (x) dµ (x) + g (x) dµ (x). (8.18) Demostración Si a 0, entonces (a f) + = a f + y (a f) = a f. Por la definición de integral (ver la ecuación 7.28) y por 8.16, tenemos a f (x) dµ (x) = (a f)+ (x) dµ (x) (a f) (x) dµ (x) = a f + (x) dµ (x) a f (x) dµ (x) = a f + (x) dµ (x) a f (x) dµ (x) = a f (x) dµ (x).

25 8.3. LINEALIDAD Y MONOTONÍA DE LA INTEGRAL 21 Si a < 0, entonces (a f) + = a f y (a f) = a f +. Aplicando nuevamente la definición de integral (ecuación 7.28) y 8.16, la conclusión es la misma. Para demostrar 8.18, observe que, en términos de las partes positivas y negativas de las funciones f, g y h = f + g, tenemos h + + f + g = f + + g + + h. (8.19) Integrando ambos lados y aplicando 8.16, h + (x) dµ (x) + f (x) dµ (x) + = f + (x) dµ (x) + g + (x) dµ (x) + g (x) dµ (x) h (x) dµ (x). Recombinando las partes positivas y negativas de cada función, por la definición de integral (ver 7.28), obtenemos Monotonía sobre L 1 () Relación de orden en L 1 () Sean f y g L 1 (). Decimos que f g si algún representante de la clase g f es una función positiva. Lema Si f y g L 1 () y si f g, entonces f (x) dµ (x) g (x) dµ (x). (8.20) Demostración La demostración es similar a la demostración de la linearidad. Como f + + g g + + f, por 7.11 y 8.16, tenemos f + (x) dµ (x) + g (x) dµ (x) g + (x) dµ (x) + f (x) dµ (x). Rearreglando los términos y usando la definición 7.28, obtenemos 8.20.

26 22 CHAPTER 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA 8.4 Lema de Fatou Para toda sucesión {f n } n N L + (), tenemos lim inf f n (x) dµ (x) lim inf n n f n (x) dµ (x) (8.21) Demostración Como g n = inf i n f i (8.22) es creciente, por el teorema de la convergencia monótona (ver 8.4), lim g n (x) dµ (x) = lim g n (x) dµ (x). (8.23) n n Por la monotonía de la integral (ver 7.11), como g n f i, para todo i n, g n (x) dµ (x) inf f i (x) dµ (x). (8.24) i n Juntando 8.23 y 8.24 y substituyendo en el lado izquierdo de 8.23, g n por la definición 8.22, lim inf f i (x) dµ (x) lim inf f i (x) dµ (x). (8.25) n i n n i n Así, el lema de Fatou queda demostrado. Tome en cuenta que lim inf n De igual forma para el lado derecho f i = lim n inf i n f i. 8.5 Convergencia dominada Teorema de la convergencia dominada Sea {f n } n N L 1 (), una sucesión convergente puntualmente y sea g L 1 (), una función tal que n N, f n g. (8.26)

27 8.5. CONVERGENCIA DOMINADA 23 Entonces, lim f n (x) dµ (x) = lim f n (x) dµ (x) (8.27) n n Note que parte de la conclusión es que el límite de la derecha existe. Demostración Observe que {g f n } n N y {g + f n } n N son sucesiones de funciones positivas. Aplicando el lema de Fatou a cada una de estas sucesiones (ver 8.21), tenemos lim inf (g f n)dµ lim inf (g f n )dµ, (8.28) n n lim inf (g + f n)dµ lim inf (g + f n )dµ. (8.29) n n A partir de 8.28 y 8.29, obtenemos gdµ gdµ + lim f ndµ n gdµ lim sup f n dµ, (8.30) n lim f ndµ gdµ + lim inf f n dµ. (8.31) n n Restando gdµ en ambos lados de 8.30 y 8.31 (Recuerde que gdµ <.), obtenemos la siguiente cadena de desigualdades. lim sup f n dµ lim f ndµ lim inf f n dµ. (8.32) n n n Como lim inf n f ndµ lim sup n f ndµ, la sucesión { f ndµ } n N es convergente y las desigualdades 8.32 son igualdades, probando Corolario Sea {f n } n N L 1 () tal que f n (x) dµ (x) <. (8.33) n=1

28 24 CHAPTER 8. TEOREMAS DE CONVERGENCIA Entonces, n=1 f n L 1 (). En particular, para casi todo x, Además, n=1 f n L 1 () y n=1 f n (x) <. (8.34) n=1 f n (x) dµ (x) = n=1 f n (x) dµ (x). (8.35) Demostración Por 8.5, f n (x) dµ (x) = n=1 n=1 f n (x) dµ (x) <. Luego, n=1 f n L 1 (). Por 7.30, para casi todo x, f n (x) <. n=1 Es decir, para casi todo x, n=1 f n (x) es absolutamente convergente. Como f n (x) f n (x), n=1 Por el teorema de la convergencia dominada (ver 8.27), obtenemos n=1

29 Chapter 9 Integración en el espacio producto 9.1 Conjuntos y funciones medibles sobre el espacio producto Secciones a lo largo de Y Definición Sea D Y y sea x. La sección de D en x es el conjunto D x = {y Y ; (x, y) D}. (9.1) Ejemplo Sean A y E Y. Entonces, para todo x, (A B) x = { B, si x A, si x / A (9.2) Propiedades 1. Para todo D y E Y y x, (D \ E) x = D x \ E x (9.3) 25

30 26 CHAPTER 9. En particular INTEGRACIÓN EN EL ESPACIO PRODUCTO (E c ) x = (E x ) c (9.4) 2. Sea {D i } i I una familia de subconjuntos de Y, indexada por un conjunto de índices I (arbitrario). Entonces, para todo x, y ( ) D i i I ( ) D i i I x = i I x = i I (D i ) x (9.5) (D i ) x. (9.6) Subconjuntos medibles del espacio producto En?? introducimos la σ álgebra producto, F G, asociada al producto Cartesiano de dos espacios medibles (, F) y (Y, G). Ahora vamos a estudiar el comportamiento de las secciones de los subconjuntos medibles del espacio producto. Lema D F G, x, D x G. (9.7) Demostración Fijamos x y definimos la familia (F G) x = {D F G; D x G} (9.8) Es facil ver que (F G) x es una σ álgebra. De hecho, teniendo en cuenta que G es una σ álgebra, observe que: 1. Por 9.2, Y (F G) x. 2. Por 9.4, si D (F G) x, entonces D c (F G) x. 3. Si {D i } i N (F G) x, por 9.5, D i (F G) x.

31 9.2. MEDIDA PRODUCTO 27 Además, por 9.2, (F G) x R = {A B Y ; A F, B G}. (9.9) Luego, (F G) x σ [R] = F G. (9.10) (Ver?? y??.) Corolario Sea (Z, H) un tercer espacio medible y sea f : Y Z una función (F G) /H medible. Entonces, para todo x, la función es G/H medible. f x : y Y f (x, y) Z (9.11) Demostración Para todo A H, tenemos f 1 x (A) = {y Y ; f x (y) = f(x, y) A} = {y Y ; (x, y) f 1 (A)} = (f 1 (A)) x. Como f es (F G) /H medible, f 1 (A) F G. Por el lema anterior, (f 1 (A)) x G, i.e. f 1 x (A) G. 9.2 Medida Producto De aquí en adelante, (, F, µ) y (Y, G, ν) denotan dos espacios de medida fijos, con sendas medidas σ finitas, µ y ν. La finalidad de esta sección, es definir la medida producto µ ν sobre la σ álgebra producto F G.

32 28 CHAPTER 9. INTEGRACIÓN EN EL ESPACIO PRODUCTO Lema: Medibilidad de la medida de las secciones Para todo D F G, la función x ν (D x ) L + (). (9.12) (Note que, por 9.7, la expresión ν (D x ) tiene sentido.) Demostración Definimos D = { D F G; x ν (D x ) L + () }. (9.13) Queremos mostrar que D = F G. Por 9.2, para todo A F y B G, ν ((A B) x ) = ν (B) χ A (x) L + (). (9.14) Entonces, siendo R la familia definida en?? (ver también 9.9), tenemos R D. Más aún, denotando A el álgebra generada por R (A es la familia de uniones finitas, disjuntas de elementos de R, i.e. los conjuntos de la forma (A 1 B 1 ) (A n B n ), (9.15) donde A i B i R y (A i B i ) (A j B j ) =, para todo i j), para todo conjunto de la forma 9.15, para todo x, tenemos ν (((A 1 B 1 ) (A n B n )) x ) = ν (B 1 ) χ A1 (x) + + ν (B n ) χ An (x). (9.16) Luego, x ν (((A 1 B 1 ) (A n B n )) x ) L + () y por tanto, A D. (9.17) Por el teorema de las familias monótonas (ver??), σ[a] = m[a]. Luego F G = σ[a] = m[a] m[d]. Para terminar la demostración, basta probar que D es una família monótona, ya que eso significaría que m[d] = D. Para esto, debemos verificar las dos propiedades de la definición??.

33 9.2. MEDIDA PRODUCTO Unión numerable creciente: Sea {D i } i N, una sucesión creciente de elementos de D. Debemos probar que Como D i D. (9.18) {x ν ((D i ) x )} i N L + () y además es una sucesión creciente, por??, la función x lim i ν ((D i ) x ) L + (). Por otro lado, gracias al teorema de la convergencia monótona para conjuntos (ver??), tenemos ( ) lim ν ((D i) x ) = ν (D i ) x. i Además, por 9.5, x ( ) (D i ) x = D i Luego, (( ) ) ( ) x ν D i = ν (D i ) x = lim ν ((D i ) x ) L + (). i Por tanto, 9.18 es verdadero. 2. Unión numerable decreciente: Sea {D i } i N D es una familia decreciente. Para determinar que (( ) ) x ν A i L + (), (9.19) necesitamos aplicar el teorema de la convergencia decreciente para conjuntos. Este teorema exige que, a partir de cierto rango, la medida de los conjuntos sea finita (ver??). Para satisfacer esta condición, utilizamos la hipótesis de σ finitud de la medida ν que garantiza la existencia de {Y n } n N G, x x.

34 30 CHAPTER 9. INTEGRACIÓN EN EL ESPACIO PRODUCTO tal que n=1 Y n = Y y para todo n N, ν (Y n ) < y Y n Y n+1. Para todo n N fijo, y además es decreciente. Por??, {x ν ((D i ) x Y n )} i N L + () x lim i ν ((D i ) x Y n ) L + (). Como, ν ((D i ) x Y n ) ν (Y n ) <, aplicando el teorema?? (de la convergencia decreciente), se obtiene ( ) lim ν ((D i) x Y n ) = ν (D i ) x Y n. i Variando n, obtenemos la sucesión { ( )} x ν (D i ) x Y n n N L + () que es adem as creciente. Por??, ( ) x lim ν (D i ) x Y n L + (). n Como n=1 ( (D i) x Y n ) = (D i) x, por?? (teorema de la convergencia monótona para conjuntos), tenemos ( ( lim ν n (D i ) x Y n ) = ν (D i ) x ) Por último, como (D i) x = ( D i) x (ver 9.6), entonces 9.19 es verdadero. Aquí termina la demostración del lema Medida producto: Primera definición Definición Para todo D F G, se define µ ν (D) = ν (D x ) dµ (x) (9.20) (Por 9.24, la integral ν (D x) dµ (x) tiene sentido.)

35 9.2. MEDIDA PRODUCTO 31 Lema µ ν es una medida sobre F G. Demostración Como x =, Y ν ( x) dµ (x) = 0. Para demostrar la aditividad numerable, nos damos una sucesión cualquiera, {D i } i N F G, disjuntos dos a dos. Por 9.5 y por?? (ν es una medida sobre G y para todo x, los conjuntos de la sucesión {(D i ) x } i N ( G) son disjuntos dos a dos), tenemos (( ) ) ( ) ν D i = ν (D i ) x = ν ((D i ) x ). Entonces, por 8.5, x µ ν ( D i) = ν ( ( D i) x ) dµ (x) = ( ν ((D i) x )) dµ (x) = La demostración del lema está concluída. ν ((D i) x ) dµ (x) = µ ν (D i ) Secciones a lo largo de Todo lo que hemos hecho en esta sección, lo podemos hacer con respecto al otro espacio. Es decir, podemos definir, para D Y y y Y, la sección de D en y por D y = {x ; (x, y) D}. (9.21) Podemos mostrar las mismas propiedades y los lemas correspondientes. i.e. 1. Para todo D F G, y todo y Y, D y F. (9.22)

36 32 CHAPTER 9. INTEGRACIÓN EN EL ESPACIO PRODUCTO 2. Siendo (Z, H) un tercer espacio medible y f : Y Z una función (F G) /H medible. Entonces, para todo y Y, la función es F/H medible. 3. Para todo D F G, la función f y : x f (x, y) Z (9.23) y Y µ (D y ) L + (Y ). (9.24) Medida producto: Segunda definición Así como en el caso de la primera de finición de medida producto, la aplicación D F G µ ν (D) = µ (D y ) dν (y) (9.25) es una medida sobre F G. Y Teorema: Igualdad de las dos medidas Existe una única medida, denotada µ ν, sobre ( Y, F G), tal que para todo A F y B G, µ ν (A B) = µ (A) ν (B). (9.26) Demostración Observe que, para todo A F y B G, µ ν (A B) = µ ν (A B) = µ (A) ν (B). (9.27) Como µ ν y µ ν son medidas sobre F G, entonces existen medidas verificando Para mostrar la unicidad, notemos primero que, por hipótesis, existen sendas familias (crecientes) { i } i N F y {Y i } i N G, tales que i N, µ ( i ) <, ν (Y i ) <

37 9.2. MEDIDA PRODUCTO 33 y además i = y Y i = Y. Por?? (teorema de Carathéodory), basta ver que µ ν y µ ν coinciden sobre el álgebra A, generada por R (definido en??, ver también 9.9), ya que por su vez, A genera la σ álgebra F G. Mas A es la familia de uniones finitas (que podemos asumir disjuntas) de elementos de R. Y, claramente, ( n ) ( n ) n µ ν (A i B i ) = µ ν (A i B i ) = µ (A i ) ν (B i ), para toda unión finita, disjunta n (A i B i ) A. Otra forma de expresar el teorema anterior es el siguiente teorema Teorema de Fubini-Tonelli para conjuntos Para todo D F G, χ D (x, y) d(µ ν) (x, y) = Y = Y ( ( Y ) χ D (x, y) dν (y) dµ (x) ) χ D (x, y) dµ (x) dν (y).

38 34 CHAPTER 9. INTEGRACIÓN EN EL ESPACIO PRODUCTO