Análisis real y complejo. Análisis Funcional

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1 UNIVERSIDAD DE SEVILLA Análisis real y complejo. Análisis Funcional Máster Universitario en Matemática Avanzada Luis Bernal González Departamento de Análisis Matemático

2 Sevilla, febrero de 212 Disponible en: <

3 Índice general 1. Teoría de la medida Introducción Conjuntos medibles y medidas positivas Medidas exteriores Procedimiento de Carathéodory Medida de Lebesgue Medidas absolutamente continuas Medida de Lebesgue Stieltjes Funciones simples Funciones medibles Integral de una función Integral de funciones medibles no negativas Conjuntos de medida nula Funciones integrables Teoremas de convergencia Relación con la integral de Riemann Completitud de L 1 (µ) Medidas signadas Medidas ortogonales Teorema de Radon-Nikodym Espacios L p (µ)

4 2 Luis Bernal González La norma en el espacio L p Aproximación por funciones escalonadas Medidas producto σ-álgebra y medida sobre el espacio producto Teoremas de Fubini y de Tonelli Ejercicios Espacios de funciones analíticas Introducción Funciones holomorfas Topología compacta-abierta Espacios de Bergman Ortonormalidad Espacios de Bergman de regiones acotadas Funciones subarmónicas Operador de composición Funciones analíticas acotadas Productos de Blaschke Teorema de factorización de Riesz Espacios de Hardy Estructura de las funciones de H p Integrales de Poisson-Stieltjes Existencia de límites radiales Espacio de las funciones de valores frontera Ejercicios Bibliografía 115

5 Capítulo 1 Teoría de la medida 1.1. Introducción El concepto de medida es una abstracción de las nociones de longitud, área y volumen, de indiscutible utilidad en Matemáticas, Física y otras ramas de la Ciencia. Sabemos calcular las longitudes, áreas y volúmenes de ciertas figuras geométricas, por ejemplo, el área bajo una curva plana, el volumen encerrado por una superficie, etc. Estos cálculos condujeron al concepto de integral en el sentido de Riemann. Precisamente, el intento de medir conjuntos arbitrarios de puntos de la recta real R tiene su origen en la dependencia entre la integrabilidad en el sentido de Riemann y la continuidad. Se sabía que una función era Riemannintegrable si no tenía muchas discontinuidades. Esto conducía a buscar la definición de una medida para el conjunto de puntos de discontinuidad de una función, de manera que la condición de integrabilidad pudiera expresarse en términos de tal medida. A finales del siglo XIX, se llevaron a cabo varios intentos de establecer una definición satisfactoria de medida de un conjunto en R N, que coincidiese 3

6 4 Luis Bernal González en los casos elementales con la longitud, área y volumen de un conjunto (si N = 1, 2, 3 respectivamente). El intento fue debido fundamentalmente a STOLZ, HARNACK, CANTOR, PEANO, JORDAN Y BOREL. Fue LEBESGUE, quien, a principios del siglo XX, dio una definición adecuada de subconjunto medible de R N y de medida sobre tales subconjuntos. Además, proporcionó una definición de función integrable que superaba las carencias de la función Riemann-integrable, de modo que la correspondiente integral generalizaba también la de Riemann y era aplicable a una clase mucho más amplia de funciones. Otra notable ventaja de la integral de Lebesgue es que se obtienen teoremas muy generales que relacionan la integral del límite de una sucesión de funciones medibles (estas son la generalización de las funciones continuas) con el límite de las integrales de estas. FRÉCHET generalizó la teoría considerando σ-álgebras de conjuntos en espacios abstractos. Finalmente, CARATHÉODORY definió axiomáticamente la medida exterior introducida por Lebesgue para R N e introdujo la noción de conjunto medible a partir de ella, por un método esencialmente análogo al de Lebesgue. Así que la integral puede definirse para funciones f : X R o bien f : X C, donde X es un espacio medible y C es el plano complejo. Más tarde, BOCHNER extendería el concepto de integral a funciones f : X E, donde E es un espacio de Banach. Durante el primer tercio del siglo XX, RADON y NIKODYM estudiaron el comportamiento, como medida, de la integral de una función no negativa sobre un conjunto medible arbitrario. El objeto de este tema es dar unas nociones y resultados sobre la teoría abstracta de la medida e integración. No todas las demostraciones serán dadas, aunque se esbozarán las de los resultados más interesantes. Esto se hará también en el Capítulo 2.

7 TEORÍA DE LA MEDIDA Conjuntos medibles y medidas positivas Comenzaremos destacando el tipo de familias de subconjuntos de un conjunto dado a los que se les puede aplicar una medida. Se parte de un conjunto X. Se denota por P(X) la familia de todos los subconjuntos de X. Si M P(X), diremos que M es una σ-álgebra sobre X cuando verifica las tres propiedades siguientes: 1. X M. 2. A M A c := X \ A M. 3. Si A n M para todo n N := {1, 2,...}, entonces A n M. Al par (X, M) se le llama espacio medible, y a los elementos de M, conjuntos medibles. Obtenemos fácilmente las siguientes consecuencias: M. Si A n M para todo n N, entonces A n M. Si A n M para todo n {1,..., N}, entonces N N A n M. Si A, B M, entonces A \ B M. A n M y Como ejemplos triviales, se tiene que {, X} y P(X) son σ-álgebras sobre X. Es fácil ver que si {M i } i I es una familia de σ-álgebras sobre X, entonces su intersección M i es también una σ-álgebra sobre X. i I Si N P(X), se llama σ-álgebra generada por N, denotada σ(n ), a la intersección de todas las σ-álgebras M sobre X tal que N M. Por tanto, σ(n ) es la menor σ-álgebra que contiene a N.

8 6 Luis Bernal González Ejemplo. Si (X, T ) es un espacio topológico, la σ-algebra de Borel de (X, T ) es B = σ(t ). Sus elementos se llaman conjuntos de Borel, o simplemente borelianos. Por tanto, los abiertos, los cerrados, los F σ y los G δ (recordemos que un subconjunto de un espacio topológico se dice que es un F σ si es unión numerable de cerrados, y que es un G δ si es intersección numerable de abiertos) son borelianos. En particular, los intervalos de todos los tipos son borelianos de R. Sea (X, M) un espacio medible. Por definición, una medida positiva, o simplemente una medida, sobre (X, M) es una aplicación µ : M [, + ] tal que: 1. µ( ) =. 2. La aplicación µ es numerablemente aditiva, es decir, si {A n } n 1 M y A n A m = para todo par m, n con m n, entonces µ ( ) A n = µ(a n ). A la terna (X, M, µ) se la llama espacio de medida. La denominación de los siguientes casos especiales es aplicable tanto a µ como a (X, M, µ): Si µ(x) < +, µ se dice finita. Si µ(x) = 1, µ es una probabilidad. Si {A n } M es tal que µ(a n ) < + para todo n N y X = A n, µ se dice σ-finita. Si [A M, B A y µ(a) = ] implica que B M, entonces se dice que µ es completa. Si S M, entonces M S := {A M : A S} es una σ-álgebra sobre S y µ MS es una medida sobre (S, M S ). A la terna (S, M S, µ MS ) se le llama espacio de medida inducido.

9 TEORÍA DE LA MEDIDA 7 Ejemplo. Sea X un conjunto y consideremos la aplicación µ : P(X) [, + ] dada por µ(a) = card(a) si A es finito, y µ(a) = + si A es infinito. Entonces µ es una medida positiva. Además, µ es finita si y solo si X es finito, y µ es σ-finita si y solo si X es numerable. Diremos que µ es la medida cardinal sobre X. En la siguiente proposición se reúnen algunas propiedades operacionales básicas de las medidas. Proposición Sea (X, M, µ) un espacio de medida. Se verifica: 1. µ es finitamente aditiva, es decir, si A 1,..., A n M son dos a dos disjuntos, entonces µ ( N ) N A n = µ(a n ). 2. µ es monótona, es decir, si A, B M y A B, entonces µ(a) µ(b). 3. Si A, B M con A B y µ(a) < + entonces µ(b \ A) = µ(b) µ(a). 4. Si {A n } M, entonces µ ( ) A n µ(a n ). 5. Si {A n } M es creciente, es decir, si A n A n+1 para todo n N, entonces lím µ(a n ) = µ ( ) A n. n 6. Si {A n } M es decreciente, es decir, si A n+1 A n para todo n N y µ(a 1 ) < +, entonces lím µ(a n ) = µ ( ) A n. n Damos ahora unas definiciones y establecemos algunos convenios, que en parte han podido ya haber sido usados implícitamente. Se define la recta real completa, R, como R = R {+, } = [, + ], y se le dota de un orden estricto, <, que extiende el orden de R, de modo que < x < + para todo x R. Las operaciones de suma y producto se extienden parcialmente:

10 8 Luis Bernal González (+ ) + (+ ) = +, ( ) + ( ) =, a + (+ ) = + = (+ ) + a, a + ( ) = = ( ) + a para todo a R; a (± ) = ± = (± ) a (resp.) para todo a >, y análogamente con el correspondiente cambio de signo para los números a <. Además, (± ) =, pero este convenio se emplea sólo en teoría de la medida, ya que en general esa operación es una indeterminación Medidas exteriores Un concepto próximo al de medida positiva es el siguiente. Se llama medida exterior sobre un conjunto X a una aplicación µ : P(X) [, + ] nula sobre el conjunto vacío, monótona y numerablemente subaditiva, es decir: 1. µ ( ) =. 2. A B µ (A) µ (B). 3. {A n } P(X) µ ( ) A n µ (A n ). Un ejemplo importante es el de medida exterior de Lebesgue, que recordaremos a continuación. A partir de ella se construirá la medida de Lebesgue, generalización adecuada del volumen N-dimensional. Sean a = (a 1,..., a N ) y b = (b 1,..., b N ) dos puntos de R N tales que a j b j para todo j {1,..., N}. El conjunto I = [a 1, b 1 ] [a N, b N ] se denomina N-rectángulo cerrado o N-intervalo cerrado. Su volumen se define como vol(i) = N (b j a j ). Si a j = b j para algún j, diremos que I es un j=1 rectángulo degenerado. Es evidente que I es degenerado vol(i) =. Se dice que dos rectángulos I, J no se superponen cuando I J =, donde por A denotamos el interior de un subconjunto A de R N. Si I 1,..., I p son N- rectángulos que no se superponen, y J es un rectángulo tal que J = p k=1 I k,

11 TEORÍA DE LA MEDIDA 9 se dice que {I 1,..., I p } es una partición de J. Una partición de J se dice simple cuando proviene de una partición de cada uno de sus lados. Proposición Si P = {I 1,..., I p } es una partición de un N-rectángulo J, entonces vol(j) = p vol(i k ). k=1 La prueba es elemental si P es simple. Si P es una partición arbitraria, se obtiene de ella una partición simple por prolongaciones de los lados de los elementos de P, y a cada uno de estos se le aplica el caso anterior. Como consecuencia, si J, I 1,..., I p son N-rectángulos tales que J p I k, entonces vol(j) p vol(i k ). k=1 Si A R N, la medida exterior de Lebesgue de A se define como { m (A) = ínf vol(i k ) : I k son N-rectángulos cerrados tales que A k=1 Usando las observaciones anteriores, es posible probar que m : P(R N ) [, + ] es en efecto una medida exterior sobre R N. Puede probarse que no es numerablemente aditiva, luego no es una medida: en efecto, para N = 1, basta considerar la igualdad [, 1] = V ([, 1] \ V ), donde V es el llamado conjunto de Vitali, que se definirá más adelante. Otra propiedad de m es que si I es un N-rectángulo abierto, cerrado, cerrado-abierto, etc, entonces m (I) = vol (Ī), donde por Ā entendemos la clausura de un subconjunto A de R N. k=1 } I k. k= Procedimiento de Carathéodory El siguiente resultado general muestra el así denominado procedimiento de Carathéodory para generar una medida positiva a partir de una medida exterior.

12 1 Luis Bernal González Teorema Sea µ una medida exterior sobre un conjunto X. Consideremos la familia M = {M X : µ (A) = µ (A M) + µ (A \ M) A X} Entonces M es una σ-álgebra sobre X y µ := µ M es una medida completa sobre M. La familia M definida anteriormente se denomina la σ-álgebra de los conjuntos medibles-carathéodory relativos a la medida exterior µ. Demostración del teorema. Ya que µ ( ) =, se tiene que M. Ya que la definición de M es simétrica para M y M c resulta que M c M si M M. En particular, X M. Sean ahora M, N M, y sea A X. Tenemos: µ (A) = µ (A M) + µ (A M c ) = µ (A M N) + µ (A M N c ) + µ (A M c N) + µ (A M c N c ). Como M, N M, resulta que µ (A (M N) c ) = µ (A (M N) c N) + µ (A (M N) c N c ) = µ (A M c N) + µ (A N c ) = µ (A M c N) + µ (A M N c ) + µ (A M c N c ), de donde obtenemos que µ (A) = µ (A (M N)) + µ (A (M N) c ), luego M N M. Por tanto, M N = (M c N c ) c M y M \N = M N c M. Resulta también, por inducción, que M 1... M p y M 1... M p están en M si M 1,..., M p M.

13 TEORÍA DE LA MEDIDA 11 Asimismo, se prueba fácilmente por inducción que µ (A) = p µ (A M j ) + µ ( A ( p ) c ) M j j=1 j=1 [1] para todo A X y todo sistema de elementos M 1,..., M p de M dos a dos disjuntos. Sean ahora M n M con n N. Para probar que M n M, podemos suponer que los M n son dos a dos disjuntos (basta sustituir la sucesión M 1, M 2, M 3,... por la sucesión M 1, M 2 \M 1, M 3 \(M 1 M 2 ),..., cuya unión es también M n ). Por [1], si A X, resulta que, para todo n N, µ (A) = n µ (A M j ) + µ ( A ( n ) c ) M j j=1 j=1 lo que implica que n µ (A M j ) + µ ( A ( ) c ) M j, j=1 j=1 µ (A) µ (A M j ) + µ ( A ( ) c ) M j j=1 j=1 µ ( A ( )) M ( j + µ A ( ) c ) M j µ (A), j=1 j=1 donde hemos usado dos veces la subaditividad. Por tanto, µ (A) = µ ( A ( )) M ( j + µ A ( ) c ) M j para todo A X, de donde deducimos que álgebra. j=1 j=1 M n M. Hemos probado que M es una σ- Denotemos µ := µ M. Entonces µ( ) = µ ( ) =. En cuanto a la σ- aditividad de µ, tomemos M n M (n N) dos a dos disjuntos. Haciendo

14 12 Luis Bernal González A = M n en el razonamiento anterior, obtenemos todas las desigualdades deben ser igualdades que µ ( ) M n = µ(m n ) + µ( ) = µ(m n ). Resta probar que µ es completa: esto resulta de que si M X y µ (M) =, entonces M M. A su vez, esto es evidente porque si A X, entonces A M M, luego µ (A M) =, así que µ (A) µ (A \ M) + por sub-aditividad, mientras que µ (A) µ (A \ M) por monotonía Medida de Lebesgue La σ-álgebra de los conjuntos medibles-lebesgue M N (en R N ) es, por definición, la σ-álgebra de los conjuntos medibles-carathéodory generada por la medida exterior de Lebesgue m. La medida de Lebesgue es, por definición, la medida m : M N [, + ] dada por m := m MN. Observemos las siguientes propiedades de la medida de Lebesgue: m es completa y σ-finita: En efecto, m se elabora mediante un procedimiento de Carathéodory, y R N = [ n, n] N, con m ( [ n, n] N) = (2n) N < + para todo n N. M N B N := la σ-álgebra de Borel de R N. En efecto, cada rectángulo cerrado pertenece a M N. Ahora bien, cada abierto es unión numerable de rectángulos, luego cada abierto está en M N. Como B N es la menor σ-álgebra que contiene a cada abierto, B N M N. En particular, todos los cerrados, F σ, G δ, etc, están en M N. m es invariante por traslaciones y homogénea de grado N, es decir, para todo λ R N, todo c R y todo A M N se tiene m(λ + A) = m(a) y m(ca) = c N m(a). La prueba se basa en que la propiedad es cierta

15 TEORÍA DE LA MEDIDA 13 para m, lo cual, a su vez, se obtiene de la definición de m y de que la propiedad es válida para rectángulos. Hemos usado la notación λ + A = {λ + x : x A}, ca = {cx : x A}. Denotemos por (A) la cardinalidad de un conjunto A, y por ℵ la cardinalidad del continuo, es decir, ℵ = (R). Puede probarse que (B N ) = ℵ. Ya que existen en R conjuntos medibles no numerables de medida de Lebesgue nula (por ejemplo, el conjunto de Cantor), y ya que m es completa, se deduce que (M N ) (P(R N )) > ℵ, es decir, hay muchos más medibles-lebesgue que borelianos en R N. El siguiente resultado caracteriza los conjuntos medibles-lebesgue. Teorema Sea A R N. Son equivalentes: (a) A M N. (b) Para cada ε > existe un subconjunto abierto G R N tal que A G y m (G \ A) < ε. (c) A = H \ B, donde H es un G δ y m (B) =. (d) Para cada ε > existe un subconjunto cerrado F R N tal que F A y m (A \ F ) < ε. (e) A = K C, donde K es un F σ y m (C) =. Demostración. (a) (b): Partimos de que A M N. Supongamos que m(a) < +. Por la definición de m, existe una sucesión de rectángulos cerrados {I n } tal que A I n y m(a) + ε > vol(i 2 n ). Estirando levemente los lados de cada uno de los rectángulos I n, podemos obtener una sucesión de rectángulos abiertos J n (n N) tales que J n I n y m (J n ) < vol(i n ) + ε. 2 n+1

16 14 Luis Bernal González Llamemos G := J n. Entonces G es abierto [luego G\A M N ], A G y, como m(a) < +, se tiene que m (G \ A) = m(g \ A) = m(g) m(a) m (J n ) vol(i n ) + ε < ε 2 + ε = ε. 2 n+1 2 Si fuese m(a) = +, existiría una sucesión {A j } j=1 M N tal que m(a j ) < + para todo j y A = A j. Fijado ε >, existe para cada j=1 j N un abierto G j tal que A j G j y m(g j \ A j ) < ε. Sea ahora, por 2 j definición, G := G j. Entonces G es abierto, A G y G\A (G j \A j ), j=1 luego m (G \ A) = m(g \ A) m(g j \ A j ) < j=1 j=1 ε = ε. 2 j (b) (c): Para ε = 1, elegimos un abierto G j j con A G j tal que m (G j \ A) < 1/j. Llamemos H := G j. Entonces H es un G δ, H A j=1 y m (H \ A) m (G j \ A) < 1/j para todo j N. Por tanto, si llamamos B := H \ A, resulta que m (B) = y A = H \ B. (a) (d): Como R N \ A M N y ya se tenía [(a) (b)], conseguimos que dado ε > podemos encontrar un abierto G tal que R N \ A G y m(g \ (R N \ A)) < ε. En consecuencia, si definimos F := R N \ G, resulta que F es cerrado, F A y m (A \ F ) = m(a \ F ) = m(g \ (R N \ A)) < ε. (c) (a): Tenemos por hipótesis que A = H \ B, con H un G δ [luego H M N ] y m (B) = [luego B M N ], así que A M N. (e) (a): Similar a la implicación anterior. j=1 (d) (e): Similar a la implicación [(b) (c)]. Como ejemplo de conjunto que no es medible-lebesgue, tenemos el conjunto de Vitali, que describiremos a continuación. En el intervalo [, 1], definimos la relación de equivalencia: x y x y Q.

17 TEORÍA DE LA MEDIDA 15 Sea V un conjunto que va a ser nuestro conjunto de Vitali formado eligiendo un elemento en cada clase de equivalencia. Sea {r n } una enumeración de los números racionales de [ 1, 1] (de modo que la aplicación n N r n Q [ 1, 1] es biyectiva), y llamemos V n := r n + V (usamos la notación a + S = {a + x : x S}). Veamos que V n V m = si n m: en efecto, si x V n V m, entonces existen α, β V tales que x = r n +α = r m +β. Por tanto β α = r n r m Q, así que β α, lo que implica que β = α y, por tanto r n = r m. Luego n = m, lo que es una contradicción. Además, [, 1] V n. En efecto, si x [, 1], debe estar en alguna clase de equivalencia, luego existe α V tal que x α. Por tanto x α Q [ 1, 1], así que existe n N tal que x α = r n, de donde deducimos que x = α + r n r n + V = V n. En consecuencia, [, 1] V n [ 1, 2]. Si V fuese medible, V n también lo sería y m(v n ) = m(v ), luego 1 m(v ) 3. Entonces m(v ) > de la primera desigualdad, mientras que de la segunda se obtiene que m(v ) =, lo que provoca contradicción. Por tanto V / M 1, como queríamos demostrar Medidas absolutamente continuas A veces nos encontramos con dos medidas sobre una misma σ-álgebra, que están relacionadas de forma que una es pequeña cuando lo es la otra. Esto motiva el siguiente concepto. Si (X, M) es un espacio medible y µ, ν son dos medidas sobre él, decimos que ν es µ-continua o absolutamente continua respecto de µ, y lo denotaremos como ν µ, cuando para cada ε > podemos encontrar un δ > de modo que [A M y µ(a) < δ ν(a) < ε]. Más adelante se verá que la integración genera, de manera natural, medidas absolutamente continuas. Por el momento, damos una caracterización parcial.

18 16 Luis Bernal González Proposición Sean µ y ν dos medidas sobre un mismo espacio medible (X, M), con ν finita. Entonces ν µ [A M y µ(a) = ν(a) = ]. Demostración. : Evidente, incluso sin la hipótesis de que ν sea finita. : Por reducción al absurdo, supongamos que se verifica la condición encerrada entre corchetes, pero también que existe ε > con la propiedad de que, para cada δ > existe A δ M tal que µ(a δ ) < δ y ν(a δ ) ε. En particular, para cada n N existe A n M tal que µ(a n ) < 1/2 n y ν(a n ) ε. Sea A := lím sup A n = A k M. Entonces µ(a) = (se n k=n ha aplicado el Lema de Borel-Cantelli, véase Ejercicio 1) pero, para cada n, se tiene ν ( ) A k ε, luego, ya que ν es finita y la sucesión de los B n := k=n k=n A k es decreciente, resulta por la Proposición que ν(a) = lím ν(b n) ε >, lo que contradice la hipótesis. n 1.7. Medida de Lebesgue Stieltjes Estudiemos ahora la medida de Lebesgue Stieltjes. Esta tiene su punto de partida en la consideración de una distribución de masa positiva sobre R. Tal distribución puede representarse mediante una función φ : R R tal que φ(x) designe la masa del intervalo (, x]. Entonces φ es creciente y continua a la derecha. Si en un punto x hay localizada una masa positiva, φ no es continua a la izquierda en x. La masa de cada intervalo (a, b] es φ(b) φ(a), y en cada punto x se define por φ(x ) φ(x ). Estas consideraciones nos llevan a la construcción dada en la siguiente proposición, cuya prueba se omite por basarse solo en las definiciones.

19 TEORÍA DE LA MEDIDA 17 Proposición Sea φ : R R creciente y continua a la derecha. Entonces la aplicación A P(R) m φ(a) := ínf { (φ(b k ) φ(a k )) : A (a k, b k ] } [, + ] k=1 k=1 es una medida exterior en R. La medida m φ que se obtiene a partir de m φ mediante el procedimiento de Carathéodory se llama medida de Lebesgue Stieltjes asociada a φ. Si φ = Id, obtenemos la medida de Lebesgue. Resulta que la σ-álgebra sobre la que m φ está definida contiene al conjunto de los borelianos (por contener a los conjuntos (a, b], luego también contiene a los abiertos), pero no coincide en general con M Funciones simples Antes de considerar funciones medibles, nos será útil tratar las funciones simples con vistas a la integración. Notaciones conjuntistas como [f α], [f α], [f = α], [f = g] y así sucesivamente, donde f, g : X [, + ] y α [, + ], significan {x X : f(x) α}, {x X : f(x) α}, {x X : f(x) = α} y {x X : f(x) = g(x)}, respectivamente. Recordemos que si X es un conjunto y A X, la función característica de 1 si x A A se define como la función χ A : X R dada por χ A (x) = si x A. Algunas propiedades elementales son las siguientes, válidas para todos los subconjuntos A, B X : χ y χ X 1. χ A χ B = χ A B.

20 18 Luis Bernal González [χ A = 1] = A y [χ A = ] = X \ A. χ X\A = 1 χ A. Definición Diremos que una función φ : X R es simple cuando φ(x) es un conjunto finito. Es fácil ver que las funciones simples constituyen un espacio vectorial, y i=1 que una función φ : X R es simple si y solo si existen a 1,..., a p R y existen A 1,..., A p X tales que φ = p a i χ Ai. Por supuesto, la representación i=1 p a i χ Ai no es única, pero puede asociarse a cada función simple φ una representación canónica. A saber, si φ(x) = {a 1,..., a p }, donde los a i son distintos entre sí, entonces φ = p a i χ [φ=ai ]. i= Funciones medibles Procedemos seguidamente a definir la clase de funciones sobre las cuales tiene sentido la integración respecto de una medida. Pero antes es conveniente detallar la topología que vamos a considerar en [, + ]. A saber, una base de entornos de cada punto α R es {(α δ, α + δ) : δ > }. Una base de entornos de + es {(c, + ] : c R}, y una base de entornos de es {[, c) : c R}. Por tanto, los abiertos de R son también abiertos de [, + ]. Esto no es válido para los cerrados, ya que por ejemplo, R es un cerrado en R pero no lo es en [, + ]. Definición Sea (X, M) un espacio medible y f : X [, + ] una función. Se dice que f es medible cuando f 1 (G) M para cualquier subconjunto abierto G de [, + ]. Se prueba sin dificultad que f es medible [f < a] M para todo a R [f a] M para todo a R [f > a] M para todo a R [f a] M para todo a R.

21 TEORÍA DE LA MEDIDA 19 En particular, supongamos que X M N (recordemos que M N denota la familia de los conjuntos medibles-lebesgue de R N ) y que sobre X tenemos el espacio medible inducido M := {A X : A M N }. Resulta que, si f : X [, + ] es continua, entonces f es medible. En el siguiente teorema se enumeran algunas propiedades de las funciones medibles. Recordemos que f + y f denotan, respectivamente, la parte positiva y la parte negativa de una función real f, es decir, f + = máx{f, } y f = máx{ f, }. Teorema Sea (X, M) un espacio medible y sean f, g : X [, + ] un par de funciones. Se verifica: 1. Si f es constante, entonces f es medible. 2. Si f y g son medibles, los conjuntos [f < g], [f g] y [f = g] son medibles. 3. Si f es medible y S M, entonces la restricción f S : (S, M S ) [, + ] es medible. 4. Si X = entonces f es medible. A n con A n M para todo n N y cada f An es medible, 5. Si f y g son medibles, también lo son máx{f, g}, mín{f, g}, f +, f, f 2, 1/f y f. 6. Si f n : X [, + ] (n N) es una sucesión de funciones medibles, entonces las funciones sup f n, ínf f n, lím sup n 1 n 1 n medibles. f n y lím inf n f n son 7. Si f, g : X R son medibles y λ R, entonces f + g, λf y f g son medibles. Es decir, con las operaciones usuales de funciones, la familia de las funciones medibles reales es un álgebra.

22 2 Luis Bernal González 8. Si f es simple, se tiene: f es medible [f = a] M para todo a R f es una combinación lineal finita de funciones características de conjuntos medibles. 9. Supongamos que las funciones f n : X [, + ] (n N) son medibles. Sea A := {x X : lím f n (x)}. Denotemos por f la función n f : x A lím f n (x) [, + ]. Entonces A M y f es medible. n Demostración. Se dará solo una idea. Usar que f = f + f y f = f + +f, y que f + = f χ {x : f(x)>} y f = f χ {x : f(x)<}. Utilizar también que [f < g] = ([f < q] [q < g]). Observar asimismo que f g = (1/2)((f + q Q g) 2 f 2 g 2 ). Además, si f = sup f n, entonces [f a] = [f n a]. Por n 1 último, lím sup f n = ínf n n y solo si lím sup n n N sup f k y lím inf f n = sup ínf f k, y existe lím f n (x) si k n n n k n n f n (x) = lím inf f n(x). n Veamos ahora que cada función medible se puede aproximar por funciones simples medibles. Teorema (a) Sea (X, M) un espacio medible y f : X [, + ] medible. Entonces existe una sucesión creciente {φ n } de funciones simples medibles no negativas tales que lím n φ n (x) = f(x) para todo x X. (b) Sea (X, M) un espacio medible y f : X [, + ] medible. Entonces existe una sucesión {φ n } de funciones simples medibles tales que lím φ n(x) = f(x) para todo x X. Si f es acotada, la convergencia puede n conseguirse uniforme. Demostración. Supuesto probado (a), la parte (b) es inmediata. En efecto: f = f + f con f +, f : X [, + ] medibles. Entonces existen φ n, ψ n (n N) simples y medibles de X en [, + ] tales que φ n (x) f + (x) y ψ n (x) f (x) para todo x X. Luego {φ n ψ n } es una sucesión de funciones simples y medibles tales que φ n (x) ψ n (x) f(x) (n ) para

23 TEORÍA DE LA MEDIDA 21 todo x X. La parte de la convergencia uniforme se deduce de la prueba de (a), donde se verá la misma propiedad en el caso de f con f acotada. Basta observar que si f : X R es acotada, entonces f = f + f con f + y f acotadas. Probemos (a). Sea f y medible. Entonces los conjuntos E n,i := f 1 ([ i 1 2 n, i 2 n )) (1 i n2 n, n N) y F n := f 1 ([n, + ]) (n N) son medibles, al serlo f. Se deduce que, para cada n N, la función φ n := n2 n i=1 es no negativa, simple y medible. i 1 2 n χ E n,i + nχ Fn Fijemos ahora n N, y x X. Tenemos: Si f(x) n, entonces φ n (x) = n f(x). Si f(x) < n, entonces existe i {1, 2,..., n2 n } tal que i 1 2 n f(x) < i 2 n, luego φ n (x) = i 1 2 n f(x). En ambos casos obtenemos que φ n (x) f(x). Probemos ahora que {φ n (x)} n 1 es creciente para cada x X. Si f(x) n + 1 entonces φ n (x) = n n + 1 = φ n+1 (x). Si n f(x) < n + 1 entonces φ n (x) = n y φ n+1 (x) = i 1, donde 2 n+1 i {1,..., (n + 1)2 n+1 } es tal que i 1 f(x) < i. Por tanto 2 n+1 2 n+1 n < i, luego n2 n+1 < i. Se deduce que n2 n+1 i 1, así que 2 n+1 φ n (x) = n i 1 = φ 2 n+1 n+1 (x). Si f(x) < n, se tiene que f(x) < n + 1, luego existe i {1,..., n2 n } y existe j {1,..., (n + 1)2 n+1 } tales que i 1 f(x) < i y j 1 2 n 2 n 2 n+1 f(x) < j, de donde resulta φ 2 n+1 n (x) = i 1 y φ 2 n n+1 (x) = j 1. Pero de las 2 n+1 desigualdades anteriores obtenemos que i 1 < j, luego 2(i 1) < j, 2 n 2 n+1 así que 2(i 1) j 1, y por tanto φ n (x) = i 1 j 1 = φ 2 n 2 n+1 n+1 (x).

24 22 Luis Bernal González En todos los casos obtenemos que φ n (x) φ n+1 (x). Por último, probemos que lím n φ n (x) = f(x) para todo x X. Si f(x) = +, entonces φ n (x) = n para todo n N, de donde lím φ n(x) = f(x). n Si f(x) < +, existe n N tal que f(x) < n, luego, para todo n n, se tiene que φ n (x) = in 1 2 n f(x) < in 2 n con i n {1,..., n2 n }. Esto implica que φ n (x) f(x) = f(x) φ n (x) < 1 2 n. En consecuencia, φ n (x) f(x) (n ). Notemos finalmente que, si f es acotada, el n obtenido anteriormente no depende de x, con lo que tendríamos que, para todo n n, sup φ n (x) x X f(x) 1, de donde obtenemos la convergencia uniforme. 2 n 1.1. Integral de una función El concepto de integral de una función sobre un espacio de medida es la extensión del concepto de integral de Riemann, el cual a su vez abstrae la idea de área definida por la gráfica de una función. Comencemos definiendo la integral de funciones medibles no negativas Integral de funciones medibles no negativas En primer lugar, definimos el concepto para las funciones simples. Definición Supongamos que (X, M, µ) es un espacio de medida, y que φ : X [, + ) es una función no negativa, simple y medible, digamos φ = N a i χ Ai con a i y A i M, i {1,..., N}. La integral de φ sobre i=1 X respecto de µ se define como φ dµ := X i=1 N a i µ(a i ).

25 TEORÍA DE LA MEDIDA 23 Si E M, la integral de φ sobre E respecto de µ se define como E φ dµ = X φ χ E dµ = N a i µ(a i E). Notemos que estas definiciones tienen sentido y son independientes de la expresión de φ. Las propiedades establecidas en la siguiente proposición son de fácil demostración. Proposición Sean φ, ψ dos funciones simples medibles y positivas, y sea λ. Se verifica: (a) X (φ + ψ) dµ = X φ dµ + X ψ dµ y X λφ dµ = λ X φ dµ. (b) Si φ ψ, entonces X φ dµ X ψ dµ. (c) La aplicación ν : E M φ dµ [, + ] es una medida positiva. E Inspirados en el teorema de aproximación de funciones medibles, parece natural dar la siguiente definición para funciones no negativas. Definición Supongamos que (X, M, µ) es un espacio de medida y que f : X [, + ] es una función medible. Se define la integral de f sobre X respecto de µ como { f dµ = sup X X i=1 } φ dµ : φ simple y medible con φ f. Si E M, la integral de f sobre E se define como E f dµ = X f χ E dµ. Observemos que f dµ [, + ] y que la definición de integral es X coherente con el caso en que f sea simple y medible. Veamos ahora algunas propiedades elementales. Proposición Sean f, g : X [, + ] medibles y A, B M, donde se supone que (X, M, µ) es un espacio de medida. Se verifican las siguientes propiedades: (a) Si f g en X, entonces X f dµ X g dµ.

26 24 Luis Bernal González (b) Si A B entonces f dµ f dµ. A B (c) (f + g) dµ = f dµ + g dµ. X X X (d) Si λ, entonces λf dµ = λ f dµ. X X (e) Si o bien f en A o bien µ(a) =, entonces A (f) Si µ(b) = entonces fdµ = f dµ. X X\B fdµ = Conjuntos de medida nula La última propiedad de la proposición anterior nos viene a decir que los conjuntos de medida nula son despreciables para la integración. Observando esta propiedad, tenemos que si B M, con µ(b) =, y f : X \ B [, + ] es medible (en el espacio de medida inducido), podría definirse f dµ := X F dµ, donde F : X [, + ] es la función definida X f(x) si x X \ B como F (x) := si x B. Asimismo, también debido a la última propiedad, parece importante estudiar más detenidamente los conjuntos de medida nula en relación con la integración. Definición Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo y P ( ) una propiedad definida sobre los elementos de X. Si A M, se dice que P se verifica en casi todo A (ect A) cuando el conjunto N := {x A : P (x) no se verifica} M y µ(n) =. Por ejemplo, la expresión f = g ect X significa que {x X : f(x) g(x)} es medible y que su medida es nula. En tal caso se dice que f y g son µ-equivalentes. El siguiente resultado muestra que la medibilidad de una función se mantiene por equivalencia y por convergencia ect.

27 TEORÍA DE LA MEDIDA 25 Proposición Supongamos que (X, M, µ) es un espacio de medida completo. (a) Si f, g : X [, + ] son tales que f es medible y f = g ect, entonces g es también medible. (b) Si f n, f : X [, + ] (n N) son tales que cada f n es medible y lím f n(x) = f(x) ect X, entonces f es medible. n Demostración. (a) Llamemos N := {x X : f(x) g(x)}. Hemos de probar que, dado a R, el conjunto A := {x X : g(x) < a} M. Tenemos A = (A N) (A N c ) M, ya que A N M porque µ es completa, y como N c M y A N c = {x X : f(x) < a} N c, se tiene también que A N c es medible. (b) Llamemos N = {x X : f n (x) f(x)}. Entonces N M y µ(n) =. Denotemos g(x) := lím sup f n (x). Sabemos que g es medible. Por otra parte, n el conjunto {x X : g(x) f(x)} está contenido en N y µ(n) =. Como µ es completa, el conjunto [g f] es medible de medida nula, y por tanto g = f ect. De (a) se deduce que f es medible. El siguiente resultado auxiliar es interesante por sí mismo y tendrá importantes consecuencias. Lema [Desigualdad de Chebyshev] Si a (, + ) y f : X [, + ] es medible, entonces µ([f a]) 1 a X f dµ. Demostración. Verificar que a χ [f a] f e integrar. Corolario Sean f : X [, + ] una función medible y A M. Se tiene: (1) Si f dµ =, entonces f = ect A. A

28 26 Luis Bernal González (2) Si f dµ < + entonces f < + ect A. A Demostración. (1) El conjunto N := {x A : f(x) } es medible. Hemos de probar que µ(n) =. Notemos que N = {x A : f(x) > } = {x A : f(x) 1 }. Por reducción al absurdo, si fuese µ(n) >, existirá algún n m N tal que µ({x A : f(x) 1 }) >. Por la desigualdad de Chebyshev, m se tiene < m A f dµ. Por tanto f dµ >, lo cual es una contradicción. A (2) Hemos de probar esta vez que el conjunto medible N := {x A : f(x) = + } cumple µ(n) =. Ahora bien, N = {x A : f(x) n}. Por la desigualdad de Chebyshev, µ({x A : f(x) n}) 1 f dµ n A (n ). Entonces, ya que cada conjunto {x A : f(x) n} tiene medida finita y la intersección anterior es decreciente, se obtiene de la Proposición que µ(n) = lím n µ({x A : f(x) n}) = Funciones integrables Consideramos ahora el caso de una función medible general. Definición Consideremos un espacio de medida completo (X, M, µ). Sean f : X [, + ] medible y A M. Se dice que f es integrable sobre A cuando ambas integrales A f + dµ y A f dµ son finitas o, equivalentemente, cuando f dµ < +. En tal caso, se define la integral de f en A A como el número real A f dµ := A f + dµ A f dµ. Se denotará por L 1 A (µ), o bien por L1 µ(a) o L 1 (µ, A), el conjunto de las funciones integrables sobre A respecto de µ. Cuando conviene hacer explícita la variable de la función que se integra, se denotará la integral de la definición anterior mediante la expresión f(x) dµ(x) o similar. Esto será especialmente útil cuando tratemos con A medidas producto (ver Sección 16).

29 TEORÍA DE LA MEDIDA 27 Proposición Se verifican las siguientes propiedades: Si f L 1 A (µ), entonces A f dµ = A f + dµ + A f dµ. Si f L 1 A (µ), entonces f es finita ect A. Si f es medible y f g en A con g L 1 A (µ), entonces f L1 A (µ). En particular, las funciones medibles y acotadas son integrables en conjuntos de medida finita, y las funciones continuas de R N Lebesgue-integrables en cada subconjunto compacto de R N. en R son Si f = ect A o si µ(a) =, entonces f dµ =. En consecuencia, A si f y g son funciones medibles µ-equivalentes, entonces f dµ = A g dµ. A L 1 A (µ) es un espacio vectorial. Específicamente, si f, g L1 A (µ) y λ R, entonces f + g y λf L 1 A (µ), y además A (f + g) dµ = A f dµ + A g dµ y A λf dµ = λ A f dµ. Si f y g son integrables y f g ect A, entonces A f dµ A g dµ. Si f L 1 A (µ), entonces f dµ A f dµ. A Si f L 1 X (µ) y f dµ = para todo B M, entonces f = ect X. B Se denotará por L 1 (µ) la familia de las funciones f : X [, + ] integrables en X, donde se identifican dos funciones f, g cuando son µ-equivalentes; así que, estrictamente hablando, L 1 (µ) consta de clases de equivalencia [es fácil probar que la relación f = g ect X es de equivalencia en L 1 X (µ)]. Por otra parte, λf, f + g tienen sentido para f, g L 1 (µ) y λ R, pues f y g son finitas ect X. La proposición anterior, junto con la desigualdad f + g f + g, permiten establecer el siguiente teorema.

30 28 Luis Bernal González Teorema L 1 (µ) es un espacio vectorial, la aplicación f L 1 (µ) f dµ R es una forma lineal en él, y la aplicación X 1 : f L 1 (µ) f dµ [, + ) es una norma. X Teoremas de convergencia Existen varios teoremas de convergencia cuyo objetivo es intercambiar las operaciones de límite e integración. Teorema [Teorema de convergencia monótona de B. Levi] Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo y f n : X [, + ] (n N) una sucesión de funciones medibles tales que f n (x) f n+1 (x) para todo n N ect x X. Llamemos f := lím f n = sup f n, definida ect X. Se tiene: n (a) Si f n para todo n N, entonces lím f n X n dµ = f dµ. X n N (b) Si f n L 1 (µ) para todo n N y sup n 1 L 1 (µ) y lím f n X n dµ = f dµ. X Demostración. a su límite f f 1. X f n dµ < +, entonces f En cuanto a (b), basta aplicar (a) a la sucesión {f n f 1 } y Probemos (a). Sea L := {x X : lím n f n (x) [, + ]}. Entonces L y X \ L son medibles y µ(x \ L) = y f está definida en L, es medible y no negativa. Como µ(x \ L) =, podemos suponer que f n f puntualmente en todo X, ya que f dµ = f dµ [definiendo f por ejemplo como en X L X \ L] y lo mismo para las f n. Hemos de probar que lím f n X n dµ = f dµ. X Como f n f n+1, la sucesión { f X n dµ} es también creciente, luego su límite siempre existe y es igual al sup n N desigualdad es evidente. X f n dµ. Como f n sup j f j = f, la Probemos : Fijado n N, existe una sucesión {φ n,m } m=1 de funciones simples y medibles tales que φ n,m f n (x) para todo x X y todo

31 TEORÍA DE LA MEDIDA 29 n N. Entonces es fácil ver que ψ n := máx{φ 1,n,..., φ n,n } es una sucesión de funciones simples medibles no negativas tales que ψ n (x) f(x) y ψ n (x) f n (x) para todo x X y todo n N. Por tanto, ψ X n(x) dµ f X n dµ para todo n N, luego es suficiente demostrar que f dµ lím ψ X n X n dµ, para lo cual, a su vez, basta fijar una función simple medible φ con φ f y probar que φ dµ lím ψ n dµ. [2] X n X Probemos primero la desigualdad [2] en el caso en que que φ c = constante [, + ). Si c =, es trivial. Si c >, fijemos a (, c). Ya que φ f = sup ψ n, resulta que para cada x X, existe n N tal que ψ n (x) > a para n N todo n n. Sea A n := [ψ n > a]. Entonces la sucesión {A n } es creciente y X = A n. Por tanto µ(a n ) µ(x). Por otra parte, a χ An ψ n, luego a µ(a n ) ψ X n dµ, de donde deducimos que aµ(x) lím ψ X n dµ, así que φ dµ = cµ(x) lím ψ X n X n dµ, que es la desigualdad [2] en este caso. En el caso general, se tiene que φ = p c i χ Ei con c i [, + ) y E i M i=1 n dos a dos disjuntos con X = p E i. Aplicamos entonces el resultado a cada función c i χ Ei p i=1 i=1 y obtenemos: p φ dµ = X lím n como queríamos demostrar. i=1 X E i ψ n dµ = lím n c i χ Ei dµ = p i=1 p i=1 E i φ dµ E i ψ n dµ = lím n X ψ n dµ, Corolario Sean f, f n : X [, + ] (n N) funciones medibles definidas en un espacio de medida completo (X, M, µ). Se verifica: (a) f X n dµ = f X n dµ.

32 3 Luis Bernal González (b) La aplicación ν : E M ν(e) = f dµ [, + ] es una medida E positiva. Demostración. (a) Aplicar el teorema de la convergencia monótona a la sucesión {g n } dada por g n := n f i (n N). (b) Aplicar el apartado (a) a las funciones f n := f χ An i=1 A n son conjuntos medibles disjuntos. (n N), donde los La parte (b) del corolario anterior nos da una manera de generar medidas a partir de una función medible y de otra medida. Además, ν(e) = si µ(e) =. Más adelante (Teorema de Radon-Nikodym) veremos que tales medidas ν se generan siempre así. Teorema [Lema de Fatou] Sea f n : X [, + ] (n N) una sucesión de funciones medibles definidas en un espacio de medida completo (X, M, µ). Entonces X lím inf n f n dµ lím inf n X f n dµ. Demostración. Definimos g k := ínf{f k, f k+1,...} para cada k N. Entonces cada g k es medible y no negativa, la sucesión {g k } k 1 es creciente, lím g k = k lím inf f n y g k f k para todo k N. Del teorema de la convergencia n monótona se deduce que lím g k X k dµ = lím g X k dµ = lím inf f k X n dµ. Por n otra parte, lím g n X n dµ = lím inf g n X n dµ lím inf f n X n dµ, pues g n f n. De aquí deducimos el resultado. A continuación, establecemos el que quizás sea el resultado más importante de intercambio de las operaciones de límite e integración. Teorema [Teorema de Lebesgue de la convergencia dominada] Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo, y sean f, f n : X [, + ] (n N) y g : X [, + ] funciones tales que cada f n es medible, f n

33 TEORÍA DE LA MEDIDA 31 g ect X (n N), g L 1 X (µ) y f(x) = lím f n(x) ect x X. Entonces n f L 1 X (µ) y f n f en 1. En particular, f dµ = lím f n dµ. X n X Demostración. Ya que el conjunto Z := {x X : f n (x) f(x)} [ f n > g]} es medible y µ(z) =, podemos suponer que todos los límites y desigualdades de la hipótesis son en todo x X. Tenemos pues que f es medible y f g L 1 X (µ), así que f dµ X X g dµ < +, de donde inferimos que f L1 X (µ). Probemos ahora que f n f en la norma 1 de L 1 (µ), es decir, f n f dµ =. [3] lím n X De aquí se deduce que f dµ = lím f X n X n dµ (y la demostración habrá acabado), pues f X ndµ f dµ = (f X X n f) dµ f X n f dµ. Demostremos pues [3]. En primer lugar, f n f f n + f 2g, luego 2g f n f. Por el Lema de Fatou, lím (2g f n f ) dµ lím inf n n X X (2g f n f ) dµ. Si usamos ahora la linealidad de la integral y el hecho de que lím inf ( α n) = n lím sup(α n ) (válido para cualquier sucesión {α n } n 1 de números reales), n resulta que lím sup f X n f dµ. Pero lím inf f n n X n f dµ, porque f n f para todo n N, luego f X n f dµ para todo n N. De las dos últimas desigualdades sobre lím sup, lím inf se deduce [3]. n n Como consecuencia, obtenemos el siguiente resultado de intercambio de series con integrales. Teorema Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo y sea {f n } L 1 X (µ) una sucesión tal que f n 1 < +. Entonces f n (x) converge

34 32 Luis Bernal González absolutamente en casi todo x X a cierto valor real S(x), la función S es integrable y X S dµ = X f n dµ. Demostración. Aplicar el Corolario (a) a las funciones f n, después el Corolario 1.1.5(2) a la función f n, y a continuación el teorema de la convergencia dominada a la sucesión de sumas parciales de la sucesión {f n } n 1. Del teorema de la convergencia dominada podemos también deducir que la integral de una función integrable está casi toda concentrada en un conjunto de medida finita. Antes necesitamos un lema. Lema Si (X, M, µ) es un espacio de medida completo y f L 1 µ(x), entonces f es nula fuera de un conjunto σ-finito. Demostración. Observar que [f ] = [ f 1/n]. Por la desigualdad de Chebyshev, µ([ f 1/n]) n f dµ < +. X Proposición Sean (X, M, µ) un espacio de medida completo, ε > y f L 1 X (µ). Entonces existe A M tal que µ(a) < + y X f dµ A f dµ < ε. Demostración. Por el lema anterior, podemos escribir X = Y A n, con f Y =, {A n } una sucesión creciente de conjuntos medibles y µ(a n ) < + para todo n N. Considerar {f n := fχ An } y aplicar el Teorema Relación con la integral de Riemann Comentaremos ahora la importante relación entre la integral de Riemann y la de Lebesgue. Sea [a, b] R un intervalo compacto y P = P[a, b]

35 TEORÍA DE LA MEDIDA 33 el conjunto de las particiones P = {a = t < t 1 < < t n = b} de [a, b]. Si f : [a, b] R es una función acotada y P es una partición como la anterior, se definen la suma superior de Riemann y la suma inferior de Riemann de f relativas a P como los números U(f, P ) = L(f, P ) = n ínf k=1 [t k 1,t k ] f (t k t k 1 ), respectivamente. n sup k=1 [t k 1,t k ] f (t k t k 1 ) y Definición Sea f : [a, b] R una función acotada. Se define la integral superior de Darboux de f sobre [a, b] como el valor I(f) = ínf{u(f, P ) : P P}. Se define la integral inferior de Darboux de f sobre [a, b] como el valor I(f) = sup{l(f, P ) : P P}. Es evidente que se tiene I(f) I(f) para cada f acotada. Definición Se dice que una función f : [a, b] R es Riemannintegrable en [a, b], y escribiremos f R[a, b], cuando f es acotada e I(f) = I(f). En tal caso, al valor común b f(x) dx := I(f) = I(f) se le denomina a integral de Riemann de f en [a, b]. Denotemos por C[a, b] el espacio de las funciones continuas en [a, b] con valores en R. Recordemos que C[a, b] R[a, b]. Además, se verifica la así llamada condición de integrabilidad de Riemann: Sea f : [a, b] R. Entonces f R[a, b] [f es acotada y, para cada ε >, existe P P tal que U(f, P ) L(f, P ) < ε]. Usando el teorema de la convergencia dominada de Lebesgue, puede probarse el siguiente criterio de Lebesgue de Riemann-integrabilidad. Teorema Sea f : [a, b] R, y denotemos D(f) := {x [a, b] : f es discontinua en x}. Entonces f R[a, b] f es acotada y m(d(f)) =. En tal caso, f L 1 [a,b] (m) y b a f(x) dx = [a,b] f dm. Ejemplo. El recíproco de la segunda parte del teorema es falso, por ejemplo, f χ Q está en L 1 [,1](m) pero no en R[, 1].

36 34 Luis Bernal González Por otra parte, si f L 1 R (m), entonces f dm = lím f dm. En R n [ n,n] efecto, basta aplicar a {f n := fχ [ n,n] } el teorema de la convergencia dominada. Si además f R[a, b] para cada intervalo [a, b] R, se tendrá que n f dm = lím f(x) dx. Por tanto, en muchos casos, las integrales de R n n Lebesgue se pueden calcular usando primitivas Completitud de L 1 (µ) Nuestro próximo objetivo es demostrar la completitud del espacio normado L 1 (µ), es decir, demostrar que L 1 (µ) es un espacio de Banach. Para ello necesitamos algunos conceptos. Definición Sea f n : X R (n N) una sucesión de funciones medibles definidas en un espacio de medida (X, M, µ). (a) Se dice que {f n } converge a f casi uniformemente en X cuando, para cada ε > existe M = M(ε) M tal que µ(x \ M) < ε y f n uniformemente en M. f (b) Diremos que {f n } converge a f en medida, con f medible, cuando para cada α > se tiene que lím n µ({x X : f n (x) f(x) > α}) =. (c) Se dice que {f n } es de Cauchy en medida cuando, para cada α > y cada ε >, existe N = N(α, ε) N tal que µ({x X : f i (x) f j (x) > α}) < ε para todo i, j N. No es difícil comprobar que si f n f casi uniformemente, entonces f n f ect X (luego f es medible) y f n f en medida, y esto último implica que la sucesión {f n } es de Cauchy en medida. Pero que {f n } es de Cauchy en medida no implica la convergencia puntual en casi todo a ninguna función. No obstante, tenemos la siguiente proposición.

37 TEORÍA DE LA MEDIDA 35 Proposición Sea f n : X R (n N) una sucesión de Cauchy en medida. Entonces existen una función medible f : X R y una subsucesión {f n(k) } k=1 de {f n} tales que f n(k) f (k ) casi uniformemente. Demostración. Ya que (f n ) es de Cauchy, resulta que, para cada k N, podemos encontrar un n(k) N tal que µ({x X : f i (x) f j (x) > 1 }) < 2 k 1 para todo i, j n(k). Podemos suponer que {n(k)} es estrictamente 2 k creciente. Definimos E k := {x X : f n(k) (x) f n(k+1) (x) > 1 } para cada 2 k k N. Entonces µ(e k ) < 1. Para cada m N, se define también el conjunto 2 k P m = X \ E k. Tenemos que k>m µ(x \ P m ) = µ ( k>m E k ) k>m µ(e k ) < k>m 1/2 k = 1/2 m. Si x P m entonces, para i > j m, resulta que f n(i) (x) f n(j) (x) i 1 f n(k) (x) f n(k+1) (x) 1, y de aquí se deduce que la sucesión {f 2 j 1 n(k) (x)} k 1 k=j es de Cauchy uniformemente en P m, es decir, fijado ε >, existe N = N(ε, m) N tal que Sea P := m=1 sup f n(i) (x) f n(j) (x) ε. [4] x P m, i,j N P m. Entonces µ(x \ P m ) µ(x \ P ) = y, para cada x P, {f n(k) (x)} es de Cauchy, luego converge a cierto valor f(x) R. Definiendo f como en X \P, resulta que f es medible. Ahora bien, para cada k, m N se tiene sup f n(k) (x) f(x) = lím sup f n(k) (x) f n(j) (x), y esta expresión x P m j x P m tiende a por [4]. En consecuencia, f n(k) f uniformemente en P m. Pero, para cada ε > existe un m N tal que µ(x \ P m ) < ε. En consecuencia, f n(k) f casi uniformemente en X. Teorema Sea (X, M, µ) un espacio de medida completo. Entonces el espacio L 1 (µ) es de Banach.

38 36 Luis Bernal González Demostración. Supongamos que {f n } n 1 L 1 (µ) es una sucesión de Cauchy en la norma 1. Se ha de probar que existe f L 1 (µ) tal que f n f en 1. Probemos primero que {f n } es de Cauchy en medida. Si no lo fuese, existirían ε, α > tales que para cada n existen i, j n con µ(e i,j ) ε, donde E i,j := {x X : f i (x) f j (x) > α}. Entonces f i f j 1 = X f i f j dµ E i,j f i f j dµ αε, luego {f n } no sería de Cauchy en 1. Esta contradicción muestra que {f n } es de Cauchy en medida. Entonces, por la proposición anterior, existen una función medible f : X R y una subsucesión {f n(k) } {f n } tales que f n(k) f ect X. Puesto que f n(k) (x) f(x) ect x X, se obtiene, utilizando el Lema de Fatou, que X f dµ lím inf n f n(k) 1 < +, porque la sucesión {f n } está acotada en 1, ya que es de Cauchy en 1. Por tanto, f L 1 (µ). Fijado h N, resulta lím k f n(k) f n(h) = f f n(h) ect X y, otra vez por el Lema de Fatou, obtenemos f f n(h) 1 lím inf k f n(k) f n(h) 1. Ya que {f n(k) } es también de Cauchy en 1, se deduce que, dado ε >, existe h N tal que f n(k) f n(h) 1 < ε para todo k, h h. De lo anterior se infiere que f f n(h) 1 ε para todo h h, luego f n(k) f en 1 y {f k } es de Cauchy en 1. Ahora bien, en cualquier espacio métrico, si una sucesión de Cauchy tiene alguna subsucesión convergente, la propia sucesión es convergente. En consecuencia, f k f en 1.