Teorema de Carathéodory
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- María Rosario Naranjo Campos
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1 Teorema de Carathéodory Objetivos. Dada una medida exterior ϕ, definir conjuntos Carathéodory-medibles respecto a ϕ, mostrar que esos conjuntos forman una σ-álgebra y la medida exterior ϕ restringida a esta álgebra es una medida. Demostrar el teorema de Carathéodory que toda premedida definida en un anillo se puede extender a la σ-álgebra generada por este anillo. Requisitos. Semianillos y anillos, premedidas, medidas y medidas exteriores. Medida exterior generada por una premedida definida en un anillo. 1. Definición (conjuntos Carathéodory-medibles respecto a una medida exterior). Sea X un conjunto y sea ϕ: 2 X [0, + ] una medida exterior. Un conjunto A X se llama Carathéodory-medible respecto a ϕ si P X ϕ(p ) = ϕ(p A) + ϕ(p \ A). Denotemos por C ϕ al conjunto de todos los conjuntos Carathéodory-medibles respecto a la medida exterior ϕ: C ϕ := { A X : P X ϕ(p ) = ϕ(p A) + ϕ(p \ A) }. 2. Observación. Para todos A, Y X, la condición ϕ(p ) ϕ(p A) + ϕ(p \ A) sigue de la propiedad subaditiva de la medida exterior ϕ. Por eso los conjuntos Carathéodory-medibles respecto ϕ se pueden definir de la siguiente manera: C ϕ = { A X : P X ϕ(p A) + ϕ(p \ A) ϕ(p ) }. 3. Definición (medida completa). Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Se dice que (X, F, µ) es completo o que la medida µ es completa, si para todo A F tal que µ(a) = 0 y todo B A se tiene que B F. Teorema de Carathéodory, página 1 de 6
2 Construcción de Carathéodory: σ-álgebra y medida asociadas a una medida exterior 4. Teorema (de la σ-álgebra y medida asociadas a una medida exterior). Sea X un conjunto y sea ϕ: 2 X [0, + ] una medida exterior. Entonces C ϕ es una σ-álgebra y la restricción de ϕ al conjunto C ϕ es una medida completa. Partimos la demostración en una serie de lemas. 5. Lema. C ϕ es una álgebra de conjuntos sobre X. Demostración. 1. X C ϕ. 2. Sea A C ϕ. Entonces A c C ϕ. 3. Sean A, B C ϕ. Demostremos que A B C ϕ. Sea P X. Entonces ϕ(p (A B)) + ϕ(p (A B) c ) = ϕ(p (A B)) + ϕ(p (A B) c A) + ϕ(p (A B) c A c ) = ϕ(p A B) + ϕ(p B c A) + ϕ(p A c ) = ϕ(p A) + ϕ(p A c ) = ϕ(p ). 4. Sean A, B C ϕ. Entonces de los incisos 2 y 3 de la demostración sigue que A B C ϕ y A \ B C ϕ, porque A B = (A c B c ) c, A \ B = A B c. Teorema de Carathéodory, página 2 de 6
3 6. Lema. Sean A, B C ϕ disjuntos y P X. Entonces ϕ(p (A B)) = ϕ(p A) + ϕ(p B). Demostración. Pongamos Q = P (A B) y apliquemos la condición A C ϕ : ϕ(q) = ϕ(q A) + ϕ(q A c ). Luego notemos que Q A = (P A A) (P B A) = P A, Q A c = (P A A c ) (P B A c ) = P B. 7. Lema. Sean m {1, 2, 3,...}, A 1,..., A m C ϕ mutualmente disjuntos y P X. Entonces ( ( m )) m ϕ P A j = ϕ(p A j ). Demostración. Aplicamos la inducción matemática sobre m. En el caso m = 1 la afirmación es trivial: ϕ(p A 1 ) = ϕ(p A 1 ). Suponiendo que m {2, 3,...} y la afirmación es cierta para m 1, la vamos a demostrar para m. Ponemos Entonces A B =, A = m 1 A j, B = A m. m A j = A B. Aplicamos el Lema anterior: ϕ(p (A B)) = ϕ(p A) + ϕ(p B) y la hipótesis de inducción: = m 1 ϕ(p A j ) + ϕ(p A m ) = m ϕ(p A j ). Teorema de Carathéodory, página 3 de 6
4 8. Lema. Sea (A n ) n N una sucesión disjunta en C ϕ y sea B = n N A n. Entonces B C ϕ y ϕ(b) = n N ϕ(a n ). (1) Demostración. Denotemos por C k a las uniones parciales : Sea P X. Del Lema anterior sigue que C k := n N n k A n. De aquí, ϕ(p C k ) = n N n k ϕ(p A n ). ϕ(p B c ) + n N n k usando la contención B c C c k usando el hecho que C k C ϕ : Pasamos al límite cuando k : ϕ(p A n ) = ϕ(p B c ) + ϕ(p C k ) y la monotonicidad de ϕ: Por otro lado, de la propiedad subaditiva de ϕ, ϕ(p C c k) + ϕ(p C k ) = ϕ(p ). ϕ(p B c ) + n N ϕ(p A n ) ϕ(p ). (2) ϕ(p ) ϕ(p B c ) + ϕ(p B) ϕ(p B c ) + n N ϕ(p A n ). (3) De (2) y (3) obtenemos que: ϕ(p ) = ϕ(p B) + ϕ(p B c ) (4) y ϕ(p ) = ϕ(p B c ) + n N ϕ(p A n ). (5) La igualdad (4) se cumple para todo P X, por lo tanto B C ϕ. De la igualdad (5) poniendo P = B obtenemos (1). Teorema de Carathéodory, página 4 de 6
5 9. Lema. Sean X un conjunto y A una álgebra de conjuntos sobre X cerrada bajo uniones numerables disjuntas. Entonces A es una σ-álgebra sobre X. Idea de demostración. Toda unión numerable se expresa a través de uniones finitas, diferencias y una unión numerable disjunta. Demostración. Sea (A n ) n N una sucesión de conjuntos en A y sea B := n N A n. Tenemos por demostrar que B A. Definimos C k := n k A n, D k := C k \ C k 1. Entonces, como ya habíamos visto previamente, los conjuntos D k son disjuntos y D k. n N A n = k N C k = k N Los conjuntos C k y D k se obtienen de A n a través de uniones finitas y diferencias, por lo tanto pertenecen al álgebra A. Como A es cerrada bajo uniones disjuntas numerables, B A. De los lemas anteriores sigue que C ϕ es una σ-álgebra y ϕ restringida a C ϕ es una medida. Nos falta demostrar que esta restricción es una medida completa. 10. Lema. Si A X y ϕ(a) = 0, entonces A C ϕ. Demostración. Para todo P X tenemos ϕ(p A) + ϕ(p \ A) 0 + ϕ(p ) = ϕ(p ). 11. Lema. La restricción de ϕ a C ϕ es una medida completa: si A C ϕ, ϕ(a) = 0 y B A, entonces B C ϕ. Demostración. Por la propiedad monótona de la medida exterior ϕ tenemos que ϕ(b) = 0. Luego aplicamos el lema anterior. Con esto se termina la demostración del Teorema 4. Teorema de Carathéodory, página 5 de 6
6 Teorema de Carathéodory de extensión de una premedida definida en un anillo a la σ-álgebra generada por este anillo 12. Teorema de Carathéodory de la extensión de una premedida definida en un anillo a la σ-álgebra generada por este anillo. Sean X un conjunto, A un anillo sobre X y µ: A [0, + ] una premedida. Denotemos por B a la σ-álgebra generada por A. Entonces existe una medida ν : B [0, + ] tal que ν(y ) = µ(y ) para todo Y A. Demostración. Denotamos por µ a la medida exterior generada por la premedida µ, y por C µ a la σ-álgebra de Carathéodory asociada con µ. Vamos a demostrar que el anillo original A está contenido en la σ-álgebra C µ. De aquí obtendremos que B C µ y podremos definir ν como µ restringida a B. Sean A A y P X. Sea (Q n ) n N una A-cubierta de P. Entonces (Q n A) n N es una A-cubierta de P A, (Q n A c ) n N es una A-cubierta de P A c. Por lo tanto µ (P A) + µ (P A c ) n N µ(q n A) + n N µ(q n A c ) = n N µ(q n ). Como (Q n ) n N es una A-cubierta arbitraria de P, así que A C µ. µ (P A) + µ (P A c ) µ (P ), Teorema de Carathéodory, página 6 de 6
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