Espacios de Banach. Problemas para examen

Transcripción

1 Espacios de Banach Problemas para examen Se marcan con azul algunos ejercicios que no vimos bien en clase. La lista todavía no es completa; se pueden agregar algunos teoremas y ejercicios que vimos bien en clase. Definición de espacios normados y de Banach 1 Ejercicio (definición del espacio normado, definición del espacio de Banach). Sea V un espacio vectorial complejo. Escriba la definición de una norma en V. Cuándo un espacio normado se llama de Banach? 2 Ejercicio (criterio de completez de espacios normados). Sea V un espacio normado. Demuestre V es completo si, y sólo si, para cada sucesión (a k ) k N en V, si k N a k < +, entonces la serie k N a k converge en V, esto es, existe un b en V tal que n n b a k = 0. k=1 3 Ejercicio. Sean N 1 y N 2 dos normas en un espacio vectorial V. Decimos que N 1 está dominada por N 2 si existe un número C 0 tal que N 1 (v) CN 2 (v) para cada v en V. Supongamos que N 1 está dominada por N 2. Compare las bolas unitarias B 1 (0, 1) y B 2 (0, 1) asociadas a estas dos normas. Compare las topologías inducidas por estas normas. 4 Ejercicio. Escriba la definición de normas equivalentes en un espacio vectorial complejo. Usando el resultado del Ejercicio 3, obtenemos que dos normas equivalentes inducen la misma topología. Normas en C n 5 Ejercicio. Escriba la fórmula para la norma p en C n. Justifique qué p es una norma. 6 Ejercicio. Muestre que el espacio C n con la norma es completo. 7 Ejercicio. Muestre que cualesquiera dos normas en C n son equivalentes. Espacios de Banach, problemas para examen, página 1 de 5

2 Algunos espacios de funciones 8 Ejercicio. Sea X un conjunto. Denotemos por B(X, C) al espacio de las funciones acotadas X C, con operaciones lineales punto a punto: y con la norma-supremo: (f + g)(x) := f(x) + g(x), (αf)(x) := αf(x), f := sup f(x). x X Muestre que B(X, C) es un espacio de Banach. 9 Ejercicio. Sea X un espacio topológico. Denotemos por C b (X) al subconjunto del espacio B(X) (definido en Ejercicio 8) que consiste de la todas las funciones acotadas y continuas X C. Muestre que C b (X) es un subespacio cerrado de B(X). Al considerar C b (X) como un espacio normado con las operaciones lineales y la norma inducidas de B(X), obtenemos un espacio de Banach. 10 Ejercicio. Sea C 1 [0, 1] el conjunto de funciones continuas y continuamente derivables [0, 1] C, con la norma f C 1 [0,1] := sup f(x) + sup f (x). x [0,1] x [0,1] Muestre que C 1 [0, 1] es un espacio de Banach. Espacios de funciones medibles e integrables 11 Ejercicio. Sea (X, F, µ) un espacio de medida. Ya sabemos la definición del espacio normado L (X, µ). Demuestre que este espacio es completo. 12 Ejercicio. Sea (X, F, µ) un espacio de medida y sea p [1, + ). Ya sabemos la definición del espacio normado L p (X, µ). Demuestre que este espacio es completo. Se recomienda usar le resultado del Ejercicio 2. Espacios de Banach, problemas para examen, página 2 de 5

3 Espacios de sucesiones 13 Ejercicio. Muestre que los espacios l p (N), con p en [1, + ], son completos. 14 Ejercicio. Escriba la definición del espacio c(n). Muestre que c(n) es un subespacio cerrado de l (N). Como consecuencia, c(n) es completo. 15 Ejercicio. Escriba la definición del espacio c 0 (N). Muestre que c 0 (N) es un subespacio cerrado de l (N). Como consecuencia, c 0 (N) es completo. 16 Ejercicio. Sean p 1, p 2 [1, + ], p 1 < p 2. Muestre que l p 1 (N) l p 2 (N). 17 Ejercicio (sucesiones finitas). F(N) := {a C N : m N n > m a n = 0}. Muestre que F(N) es un subconjunto de l p (N) para cada p en [1, + ]. 18 Ejercicio (la cerradura de conjunto de las sucesiones finitas). Muestre que si p [1, + ), entonces F(N) es un subconjunto denso en l p (N). Encuentre la cerradura del conjunto F(N) en el espacio l (N). 19 Ejercicio (sucesiones finitas con componentes complejas racionales). Denotemos por F(N, Q + i Q) al subconjunto de F(N) que consiste de las sucesiones finitas con valores en Q + i Q. Demuestre que el conjunto F(N, Q + i Q) es numerable. Algunos espacios separables y no separables 20 Ejercicio. Sea p [1, + ). Muestre que para cada m en N la sucesión e m := (δ m,k ) k N es un elemento de l p (N). Muestre que para cada a en l p (N) se tiene la siguiente relación ite: n n a a k e k = 0. k=1 p 21 Ejercicio. Muestre que para cada m en N la sucesión e m := (δ m,k ) k N es un elemento de c 0 (N). Muestre que para cada a en c 0 (N) se tiene la siguiente relación ite: n n a a k e k = 0. k=1 Espacios de Banach, problemas para examen, página 3 de 5

4 22 Ejercicio. Sean V un espacio normado y (b k ) k N una sucesión en V tal que para cada a en V existe una sucesión (γ k ) k N en C tal que n n a γ k b k = 0. Muestre que el espacio V es separable. k=1 23 Ejercicio. Muestre que los espacio l p (N), con p en [1, + ), y el espacio c 0 (N) son separables. 24 Ejercicio. Sean V un espacio vectorial normado y S un subconjunto no numerable de V tal que para cualesquier a, b en S, si a b, entonces a b 1. Demuestre que V no es separable. 25 Ejercicio. Demuestre que el espacio l (N) es no separable. Productos de dos espacios normados 26 Ejercicio. Sean V y W dos espacios normados. En el producto V W definimos operaciones lineales por componentes y la norma (a, b) := a V + b W. Es fácil ver que V W es un espacio normado. Demuestre que V W es completo si, y sólo si, V y W son completos. Espacios cocientes 27 Ejercicio. Sea V un espacio vectorial y sea W un subespacio de V. Explique la definición del espacio vectorial V/W. 28 Ejercicio. Sean V un espacio vectorial y W un subespacio cerrado de V. Explique cómo se define la norma en V/W y demuestre que realmente es una norma. 29 Ejercicio. Sean V un espacio vectorial y W un subespacio cerrado de V. Definimos Q: V V/W mediante la regla Q(a) := a + W. Es fácil ver que Q es una transformación lineal. Muestre que Q es continua y abierta. Espacios de Banach, problemas para examen, página 4 de 5

5 30 Ejercicio. Sean V un espacio de Banach y W un subespacio cerrado de V. Demuestre que V/W es un espacio de Banach. Se recomienda usar el resultado del Ejercicio Ejercicio. Demuestre que el espacio c(n)/c 0 (N) es isométricamente isomorfo a C. Se recomienda construir una transformación lineal F : C c(n)/c 0 (N) y mostrar que es un isomorfismo isométrico. 32 Ejercicio. Sea V un espacio normado complejo y sea f : V C un funcional lineal. Supongamos que ker(f) es un subespacio cerrado de V. Demuestre que el funcional f es continuo. Espacios de Banach, problemas para examen, página 5 de 5