UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS

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1 UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P DE MATEMÁTICAS Decaimiento exponencial para la ecuación de onda con amortiguamiento localmente distribuido - caso globalmente Lipschitziana Capítulo I. Preliminares TRABAJO MONOGRÁFICO Para optar el Título Profesional de Licenciado en Matemática AUTOR Andrés Guardia Cayo LIMA PERÚ 24

2 Capítulo 1 Preliminares En este capítulo estableceremos las notaciones y presentaremos en forma de proposiciones los resultados básicos del Análisis Funcional, Espacios de Sobolev y desigualdades importantes que serán útiles en el desarrollo de este trabajo. 1.1 Espacios L p () Sea un abierto de R n y 1 p <, definimos L p () como el espacio de las funciones medibles u : R tal que u p es Lebesgue integrable sobre. La norma en L p () esta dado por: Para el caso en que p = definimos u L p () = [ ] 1 u(x) p p dx L () = {u : R; u medible y u(x) M c.s en } y u L () sup ess u = inf {M > ; u(x) M c.s. en } es una norma en L (). Así se tiene la siguiente Proposición 1.1 L p () es un espacio de Banach para todo 1 p. Demostración: Ver [2]. Página 57. 4

3 Proposición 1.2 (Desigualdad de Hölder) Si u L p () y v L q () entonces uv L 1 () y se tiene la siguiente desigualdad uv u L p () v L q (), donde 1 p y 1 p + 1 q = 1. Demostración: Ver [1]. Página 23. Cuando p = 2, L 2 () es un espacio de Hilbert. En esta disertación, denotaremos el producto interno y la norma en L 2 () por (u, v) = u 2 = u(x)v(x)dx, u(x) 2 dx. Proposición 1.3 (Desigualdad de Young) Si a, b son números reales no negativos entonces siempre que 1 < p < + y 1 p + 1 q = 1. Demostración: Ver [9]. Página 75. ab ap p + bq q, 1.2 Distribuciones Sea α = (α 1, α 2,..., α n ) N n y x = (x 1, x 2,..., x n ) R n, definimos α = n α i y por D α representaremos al operador de derivación de orden α dado por D α = α x α 1 1 x α 2 2 x αn n y cuando α = (,,..., ) se define D u = u, u. Sea un abierto de R n, y u : R una función dada. El soporte de u es el conjunto Sop (u) = {x / u (x) } i=1 5

4 Así mismo se define C () = {u : R / u C () con Sop (u) compacto }. Los elementos de C se denominan funciones de prueba. Además este conjunto dotado de las operaciones usuales entre funciones es un espacio vectorial. En C () introducimos la siguiente noción de convergencia: Definición Consideremos la sucesión (ϕ ν ) ν 1 C () y ϕ C (). Se dice que la sucesión (ϕ ν ) ν 1 converge hacia ϕ si y solamente si: a) Existe un subconjunto K compacto de, tal que Sop (ϕ ν ϕ) K, ν 1 b) D α ϕ ν D α ϕ uniformemente en K, α N n, es decir: max x K Dα ϕ ν (x) D α ϕ (x), si ν, α N n Observación 1.1 El espacio C (), dotado de la convergencia dada en la definición anterior se llama espacio de funciones de Prueba, denotado por D () Es decir D () := (C (), ) con la convergencia anterior. Proposición 1.4 El espacio D () es denso en L p (), 1 p <, es decir D (). L p () = L p () 1 p < Demostración: Ver [3]. La aplicación T : D () R que es lineal y continua en el sentido de la con- ϕ T (ϕ) vergencia definida en D () se llama distribución en. Mas precisamente, la aplicación T : D () R es una distribución si i) T (αϕ + ψ) = αt (ϕ) + T (ψ) α R y ϕ, ψ D () ii) Si (ϕ ν ) D () y ϕ D () tal que ϕ ν ϕ en D () entonces T (ϕ ν ) T (ϕ) 6

5 El conjunto de las distribuciones es denota por D () := {T : D () R / T lineal y continua} el cuál, con las operaciones usuales entre funciones es un espacio vectorial. 1.3 Espacios de Sobolev Consideremos un abierto acotado de R n con frontera Γ = bien regular. Definimos el espacio de Sobolev como: donde D α W m,p () = {u L p (); D α u L p (), α m}, es el operador de derivación de orden α, en el sentido de las distribuciones. Este espacio esta dotado de la siguiente norma: u W m,p () = D α u p L p () u W m, () = α m α m sup ess x 1 p D α u(x) Cuando p = 2, denotaremos W m,2 () = H m (). En este caso; dado u H m () u 2 H m () = D α u 2 L 2 () = D α u(x) 2 dx. α m α m Esto nos lleva a definir, de manera natural, un producto interno en H m () dado por: (u, v) H m () = D α u.d α v, u, v H m () (1.1) α m y como (u, u) H m () = u 2 H m (), entonces Hm () con el producto interno definido por (1.1) es un espacio de Hilbert. El hecho de que en general, D() no es denso en H m () nos motiva a definir un nuevo espacio H m () = D() Hm (), que también viene a ser un espacio de Hilbert. 7

6 Proposición 1.5 (Desigualdad de Poincaré) Sea un abierto y acotado de R n. Entonces, existe una constante positiva C p = C(, p), tal que u L 2 () C p u L 2 (), u W 1,p () y 1 p < + Para que la desigualdad de Poincaré sea válida es suficiente también que sea acotado en una dirección particular. La expresión u L 2 () en W 1,p (). es una norma en W 1,p (), equivalente a la norma u W 1,p (), 1.4 Inmersiones Definición Sean V y H dos espacios de Banach sobre K = R o C, con V H. El operador inmersión j : V H es definido por j(u) = u para todo u V Inmersión Continua Sean V y H dos espacios de Hilbert con V subespacio de H (V H), diremos que V está inmerso continuamente en H y denotaremos por V H si existe c > tal que u H c u V, u V (1.2) Inmersión Compacta La inmersión V H es llamada compacta si y solamente si j es compacto, es decir, (1.2) vale y cada sucesión acotada {u n } en V posee una subsucesión {u nk } la cual es convergente en H. Proposición 1.6 (Lema de Gauss) Si u, v H 1 (), entonces u v u dx = vdx + uvν i dx x i x i 8

7 de la proposición precedente para u H 2 (), v H 1 () obtenemos la fórmula de Green: u vdx = ( u)vdx + v u ν dγ Demostración: Ver [3]. Γ 1.5 Espacios L p (, T ; V ) Vectoriales Sean 1 p, V un espacio de Hilbert y < T <. Se define L p (, T ; V ) como el espacio de Banach formado por las funciones vectoriales u : ], T [ V tales que la aplicación t u(t) V L p (, T ). Cuando 1 p < se define en L p (, T ; V ) la norma Cuando p =, tenemos u L p (,T ;V ) = [ T u(t) p V dt ] 1 p u L (,T ;V ) = sup ess u(t) V. <t<t Para el caso en que p = 2, tenemos que L 2 (, T ; V ) es un espacio de Hilbert, con el producto interno (u, v) L 2 (,T ;V ) = Sea un abierto de R n, T > y 1 p < En el caso que V = L p () y si V = H 1 () L p (, T ; L p ()) def = L (, T ; H 1 ()) def = T (u(t), v(t)) V dt { T } u : ], T [ L p (); u(t) p L p () dt < + { En el caso que V = L 2 () y p = { L (, T ; L 2 ()) def = } u : ], T [ H(); 1 sup ess u(t) H 1 () < + t ],T [ } u : ], T [ L 2 (); sup ess u(t) L 2 () < + t ],T [ 9

8 Proposición 1.7 L p (, T ; L p ()) L p (Q) para Q = ], T [ con regular. Denotemos H m (, T ; X) = W m,2 (, T ; X) En particular para p = 2, m = 1 con producto interno: y norma H 1 (, T ; X) = { u L 2 (, T ; X); u L 2 (, T ; X) } H 1 (, T ; X) = { u H 1 (, T ; X); u() = u(t ) = } T ((u, v)) H 1 (,T ;X) = (u(t), v(t))dt + T (u (t), v (t))dt T T u 2 H 1(,T ;X) = u(t) 2 X dt+ u (t) 2 X dt 1.6 Resultados Generales Lema 1.1 (Lions - Aubin) Sean B, B y B 1 espacios de Banach, B y B 1 reflexivos, c B B B 1 con inmersiones continuas y B B con inmersión compacta. Sea W [, T ] = {u L p (, T ; B ), u L q (, T ; B 1 )} donde 1 p, q <, con la norma definida por u W [,T ] = u L p (,T ;B ) + u L q (,T ;B 1 ) Entonces W [, T ] es un espacio de Banach reflexivo y W [, T ] Demostración: Ver J. Lions [4] Teorema 1.1 Sean X, X, X 1 espacios de Hilbert tales que X fijo. Entonces W (, T ; 2, 1; X, X 1 ) c L 2 (, T ; X) c L p (, T ; B) c X X 1, con T > donde W (, T ) = W (, T ; 2, 1; X, X 1 ) def = { v L 2 (, T ; X ); v L 1 (, T ; X 1 ) } 1

9 Lema 1.2 (Lions) Sea Q un abierto de R n acotado, (f k ) k una sucesión de funciones de L p (Q), donde 1 < p <, con f L p (Q) tal que: a) (f k ) es acotada en L p (Q) b) f k f casi siempre en Q Entonces f k f débilmente en L p (Q). Demostración: Ver J. Lions [5]. Lema 1.3 Sea ω y T > adecuado; entonces para la ecuación de onda conservativa lineal ϕ tt ϕ = en (, ) ϕ = sobre Γ (, ) (1.3) ϕ() = ϕ, ϕ t () = ϕ 1 en existe una constante C > tal que { T } ϕ 2 H 1() + ϕ 1 2 L 2 () C ϕ t (x, t) 2 dxdt + ϕ 2 L 2 ( (,T )) (1.4) ω para todo {ϕ, ϕ 1 } H() 1 L 2 () Demostración: Ver [6]. Página 413. Teniendo en cuenta (.2), se tiene el siguiente resultado Lema 1.4 ( Continuación única ) Sea b L (ω (, T )), w H 1 ( (, T )) y T > diam() tal que w satisface: w tt w + b(x, t)w = en (, T ) w = sobre Γ (, T ) w = c.s. en ω (, T ) (1.5) Entonces w en (, T ). Demostración: Ver [7]. 11