Un resultado de H convergencia para operadores tipo elpticos fraccionarios
|
|
|
- Jesús Calderón Camacho
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Un resultado de H convergencia para operadores tipo elpticos fraccionarios Julián Fernández Bonder Universidad de Buenos Aires e IMAS-CONICET Trabajo conjunto con Antonella Ritorto y Ariel Salort (UBA / IMAS-CONICET) Septiembre 2016, Bahía Blanca Argentina
2 Introducción Homogeneización Homogeneización es el estudio de las propiedades macroscópicas de materiales que son altamente heterogéneos a escala microscópica.
3 Introducción Homogeneización Homogeneización es el estudio de las propiedades macroscópicas de materiales que son altamente heterogéneos a escala microscópica. Matemáticamente, esto significa reemplazar un problema de valores de contorno con coeficientes altamente oscilatorios por otro, típicamente con coeficientes constantes, que capture las propiedades esenciales del problema.
4 Introducción Homogeneización Homogeneización es el estudio de las propiedades macroscópicas de materiales que son altamente heterogéneos a escala microscópica. Matemáticamente, esto significa reemplazar un problema de valores de contorno con coeficientes altamente oscilatorios por otro, típicamente con coeficientes constantes, que capture las propiedades esenciales del problema. La homogeneización es un objeto de estudio que se remonta a fines de la década del 60 y principios del 70 con los trabajos de Spagnolo, De Giorgi, Bessounsan, Lions, Papanicolau, Sánchez-Palencia, etc.
5 Introducción Homogeneización El problema matemático básico consiste en estudiar el comportamiento cuando n para { div(a n u n ) = f en Ω u n = 0 en Ω, (1) donde Ω R N es un abierto acotado, f H 1 (Ω) y {A n } n N [L (Ω)] N N es una sucesión de matrices uniformemente acotadas y uniformemente eĺıpticas.
6 Introducción Homogeneización El problema matemático básico consiste en estudiar el comportamiento cuando n para { div(a n u n ) = f en Ω u n = 0 en Ω, (1) donde Ω R N es un abierto acotado, f H 1 (Ω) y {A n } n N [L (Ω)] N N es una sucesión de matrices uniformemente acotadas y uniformemente eĺıpticas. Tipicamente, A n (x) = A(nx), donde A: R N R N N es una matriz acotada y coersiva con coeficientes periódicos de período 1 en cada variable.
7 Introducción Homogeneización Cuando Murat en 1974 estaba estudiando el problema (1) cuando n, la principal dificultad matemática que encontró fue que el ĺımite del producto de dos sucesiones débilmente convergentes no es necesariamente el producto de sus ĺımites.
8 Introducción Homogeneización Cuando Murat en 1974 estaba estudiando el problema (1) cuando n, la principal dificultad matemática que encontró fue que el ĺımite del producto de dos sucesiones débilmente convergentes no es necesariamente el producto de sus ĺımites. Murat desarrolló una herramienta hoy conocida como el div-curl Lemma que fue luego generalizada por Tartar en 1978.
9 Introducción Homogeneización Cuando Murat en 1974 estaba estudiando el problema (1) cuando n, la principal dificultad matemática que encontró fue que el ĺımite del producto de dos sucesiones débilmente convergentes no es necesariamente el producto de sus ĺımites. Murat desarrolló una herramienta hoy conocida como el div-curl Lemma que fue luego generalizada por Tartar en Teorema (div-curl Lemma) Sea {ψ n } n N y {φ n } n N en [L 2 (Ω)] N tales que ψ n ψ y φ n φ debil en [L 2 (Ω)] N. Si, adicionalmente, se verifica que div ψ n div ψ en H 1 (Ω) y curl φ n curl φ en [H 1 (Ω)] N N, entonces ψ n φ n ψ φ en el sentido de distribuciones.
10 Introducción Homogeneización Basado en el div-curl Lemma, Tartar en 1978 introduce un método para el estudio del comportamiento asintótico de (1) cuando n y obtiene la existencia de una matriz A 0 [L (Ω)] N N tal que u n u 0 la solución del problema ĺımite homogeneizado. { div(a 0 u 0 ) = f en Ω (2) u 0 = 0 en Ω.
11 Introducción Homogeneización Basado en el div-curl Lemma, Tartar en 1978 introduce un método para el estudio del comportamiento asintótico de (1) cuando n y obtiene la existencia de una matriz A 0 [L (Ω)] N N tal que u n u 0 la solución del problema ĺımite homogeneizado. { div(a 0 u 0 ) = f en Ω (2) u 0 = 0 en Ω. Este método es hoy conocido como el método de Tartar o como el método de las funciones test oscilatorias.
12 Difusión fraccionaria Qué es la difusión fraccionaria? Operadores de la forma u(x) u(y) Lu(x) := v.p. a(x, y) R N x y O más generales N+2s dy.
13 Difusión fraccionaria Qué es la difusión fraccionaria? Operadores de la forma u(x) u(y) Lu(x) := v.p. a(x, y) R N x y O más generales Monótonos (de tipo p laplaciano) N+2s dy.
14 Difusión fraccionaria Qué es la difusión fraccionaria? Operadores de la forma u(x) u(y) Lu(x) := v.p. a(x, y) R N x y O más generales Monótonos (de tipo p laplaciano) Totalmente no lineales Muchas referencias!! N+2s dy.
15 Difusión fraccionaria Qué es la difusión fraccionaria? Operadores de la forma u(x) u(y) Lu(x) := v.p. a(x, y) R N x y O más generales Monótonos (de tipo p laplaciano) Totalmente no lineales Muchas referencias!! N+2s dy. Qué se puede decir del comportamiento asintótico de u(x) u(y) L n u(x) := v.p. a n (x, y) dy = f (x). R N x y N+2s
16 Difusión fractionaria La respuesta resulta ser muy simple!
17 Difusión fractionaria La respuesta resulta ser muy simple! Si a n (x, y) = a n (y, x), L n es el gradiente de un funcional convexo J n : L 2 (Ω) R, J n (u) := { R N R a N n (x, y) (u(x) u(y))2 dxdy si u H s x y N+2s 0 (Ω) sino.
18 Difusión fractionaria La respuesta resulta ser muy simple! Si a n (x, y) = a n (y, x), L n es el gradiente de un funcional convexo J n : L 2 (Ω) R, J n (u) := { R N R a N n (x, y) (u(x) u(y))2 dxdy si u H s x y N+2s 0 (Ω) sino. Luego, si a n a0 en L (R N ), entonces J n Γ J0.
19 Difusión fractionaria La respuesta resulta ser muy simple! Si a n (x, y) = a n (y, x), L n es el gradiente de un funcional convexo J n : L 2 (Ω) R, J n (u) := { R N R a N n (x, y) (u(x) u(y))2 dxdy si u H s x y N+2s 0 (Ω) sino. Luego, si a n a0 en L (R N ), entonces J n Γ J0. Como corolario se obtiene Teorema Sean 0 < α a n L (R N ) tales que a n a0. Si u n H0 s (Ω) es la solución de L n u n = f, entonces u n u 0 donde u 0 H0 s (Ω) es la solución de L 0 u 0 = f.
20 Demostración del resultado de Γ convergencia Desigualdad del ĺımite inferior Sea u n u en L 2 (R N ), fijemos 0 < δ < R < y definamos Q R,δ = (B R B R ) \ δ donde δ = { x y δ}.
21 Demostración del resultado de Γ convergencia Desigualdad del ĺımite inferior Sea u n u en L 2 (R N ), fijemos 0 < δ < R < y definamos Q R,δ = (B R B R ) \ δ donde δ = { x y δ}. Observemos que (u n (x) u n (y)) 2 x y N+2s (u(x) u(y))2 x y N+2s en L 1 (Q R,δ ).
22 Demostración del resultado de Γ convergencia Desigualdad del ĺımite inferior Sea u n u en L 2 (R N ), fijemos 0 < δ < R < y definamos Q R,δ = (B R B R ) \ δ donde δ = { x y δ}. Observemos que Luego, lim inf n (u n (x) u n (y)) 2 (u(x) u(y))2 x y N+2s x y N+2s en L 1 (Q R,δ ). RN RN a n (x, y) (u n(x) u n (y)) 2 x y N+2s dxdy lim inf n = QR,δ a n (x, y) (u n(x) u n (y)) 2 x y N+2s dxdy (u(x) u(y))2 a 0 (x, y) x y QR,δ N+2s dxdy y ahora se toma ĺımite R y δ 0.
23 Demostración del resultado de Γ convergencia Desigualdad del ĺımite superior La desigualdad del ĺımite superior es trivial. Sólo se observa que la sucesión constante es la sucesión de recuperación, puesto que u H s 0(Ω) (u(x) u(y))2 x y N+2s L 1 (R N R N ),
24 Demostración del resultado de Γ convergencia Desigualdad del ĺımite superior La desigualdad del ĺımite superior es trivial. Sólo se observa que la sucesión constante es la sucesión de recuperación, puesto que u H s 0(Ω) (u(x) u(y))2 x y N+2s L 1 (R N R N ), luego RN RN (u(x) u(y))2 lim a n (x, y) n x y N+2s dxdy RN RN (u(x) u(y))2 = a 0 (x, y) x y N+2s dxdy
25 H convergencia Lo que no puede inferirse de la Γ convergencia es la convergencia de los flujos. En el contexto de EDPs clásico, esto es ξ n := A n u n ξ 0 := A 0 u 0 debil en L 2 (Ω).
26 H convergencia Lo que no puede inferirse de la Γ convergencia es la convergencia de los flujos. En el contexto de EDPs clásico, esto es ξ n := A n u n ξ 0 := A 0 u 0 debil en L 2 (Ω). El método de Tartar nos provee de este resultado y el mismo se basa en el div-curl Lemma. Además, el método de Tartar permite tratar problemas no simétricos.
27 H convergencia Lo que no puede inferirse de la Γ convergencia es la convergencia de los flujos. En el contexto de EDPs clásico, esto es ξ n := A n u n ξ 0 := A 0 u 0 debil en L 2 (Ω). El método de Tartar nos provee de este resultado y el mismo se basa en el div-curl Lemma. Además, el método de Tartar permite tratar problemas no simétricos. Nuestro objetivo es la extensión del div-curl Lemma al contexto fraccionario y mostrar la convergencia de los flujos fraccionarios.
28 div-curl Lemma fraccionario Recordemos el div-curl Lemma clásico Teorema (div-curl Lemma) Sean {ψ n } n N y {φ n } n N en [L 2 (Ω)] N tales que ψ n ψ y φ n φ debil en [L 2 (Ω)] N. Si adicionalmente se tiene que div ψ n div ψ en H 1 (Ω) y curl φ n curl φ en [H 1 (Ω)] N N, entonces ψ n φ n ψ φ en el sentido de las distribuciones.
29 div-curl Lemma fraccionario Recordemos el div-curl Lemma clásico Teorema (div-curl Lemma) Sean {ψ n } n N y {φ n } n N en [L 2 (Ω)] N tales que ψ n ψ y φ n φ debil en [L 2 (Ω)] N. Si adicionalmente se tiene que div ψ n div ψ en H 1 (Ω) y curl φ n curl φ en [H 1 (Ω)] N N, entonces ψ n φ n ψ φ en el sentido de las distribuciones. Cuando φ n es irrotacional (i.e. φ n = v n ), se obtiene un importante caso particular
30 div-curl Lemma fraccionario Teorema (div-curl Lemma, caso especial) Sean {ψ n } n N en [L 2 (Ω)] N y {v n } n N en H0 1 (Ω) tales que ψ n ψ y v n v debil en [L 2 (Ω)] N. Si adicionalmente tenemos que div ψ n div ψ en H 1 (Ω), entonces ψ n v n ψ v en el sentido de las distribuciones.
31 div-curl Lemma fraccionario Teorema (div-curl Lemma, caso especial) Sean {ψ n } n N en [L 2 (Ω)] N y {v n } n N en H0 1 (Ω) tales que ψ n ψ y v n v debil en [L 2 (Ω)] N. Si adicionalmente tenemos que div ψ n div ψ en H 1 (Ω), entonces ψ n v n ψ v en el sentido de las distribuciones. Proof. Inmediato de la fórmula de integración por partes.
32 div-curl Lemma fraccionario Algunas definiciones: Dada u H0 s (Ω), definimos su s gradiente como D s u(x, y) = u(x) u(y) x y N 2 +s. Observemos que D s u L 2 (R N R N ).
33 div-curl Lemma fraccionario Algunas definiciones: Dada u H0 s (Ω), definimos su s gradiente como D s u(x, y) = u(x) u(y) x y N 2 +s. Observemos que D s u L 2 (R N R N ). Dada φ L 2 (R N R N ), definimos su s divergencia como φ(x, y) φ(y, x) d s φ(x) = v.p. dy. R N x y N 2 +s Es fácil ver que si φ L 2 (R N R N ) entonces d s φ H s (R N ).
34 div-curl Lemma fraccionario Algunas definiciones: Dada u H0 s (Ω), definimos su s gradiente como D s u(x, y) = u(x) u(y) x y N 2 +s. Observemos que D s u L 2 (R N R N ). Dada φ L 2 (R N R N ), definimos su s divergencia como φ(x, y) φ(y, x) d s φ(x) = v.p. dy. R N x y N 2 +s Es fácil ver que si φ L 2 (R N R N ) entonces d s φ H s (R N ). Además, L n u = 1 2 d s(a n (x, y)d s u)
35 div-curl Lemma fraccionario Teorema (FB-Ritorto-Salort 16) Sean {ψ n } n N en L 2 (R N R N ) y {v n } n N en H0 s (Ω) tales que ψ n ψ y D s v n D s v debil en L 2 (R N R N ). Si adicionalmente se verifica que d s ψ n d s ψ en H s (R N ), entonces ψ n D s v n ψd s v en el sentido de las distribuciones.
36 div-curl Lemma fraccionario Teorema (FB-Ritorto-Salort 16) Sean {ψ n } n N en L 2 (R N R N ) y {v n } n N en H0 s (Ω) tales que ψ n ψ y D s v n D s v debil en L 2 (R N R N ). Si adicionalmente se verifica que d s ψ n d s ψ en H s (R N ), entonces ψ n D s v n ψd s v en el sentido de las distribuciones. Proof. La demostración se basa en la fórmula de integración por partes fraccionaria φd s u dxdy = d s φ u dx R N R N R N
37 Corolario Como una consecuencia del div-curl Lemma fraccionario, obtenemos Teorema (FB-Ritorto-Salort, 16) Sean α a n (x, y) β tales que a n a0 en L (R N R N ) y sean u n H0 s (Ω) (n 0) las soluciones de { L n u n = f en Ω u n = 0 en R N \ Ω Entonces u n u 0 debil en H s 0 (Ω) y, más aún, ξ n = a n D s u n ξ 0 = a 0 D s u 0 debil en L 2 (R N R N ).
38 Corolario Como una consecuencia del div-curl Lemma fraccionario, obtenemos Teorema (FB-Ritorto-Salort, 16) Sean α a n (x, y) β tales que a n a0 en L (R N R N ) y sean u n H0 s (Ω) (n 0) las soluciones de { L n u n = f en Ω u n = 0 en R N \ Ω Entonces u n u 0 debil en H0 s (Ω) y, más aún, ξ n = a n D s u n ξ 0 = a 0 D s u 0 debil en L 2 (R N R N ). Proof. La demostración sigue las ideas de la prueba original de Tartar y la principal dificultad técnica es la construcción de las funciones test oscilantes.
39 Observaciones, trabajo futuro y otras aplicaciones El caso cuasilineal (e.g. p laplacian fraccionario) se trata de manera análoga
40 Observaciones, trabajo futuro y otras aplicaciones El caso cuasilineal (e.g. p laplacian fraccionario) se trata de manera análoga Sólo con el resultado de la Γ convergencia, el comportamiento asintótico de los autovalores se puede analizar sin mayores dificultades
41 Observaciones, trabajo futuro y otras aplicaciones El caso cuasilineal (e.g. p laplacian fraccionario) se trata de manera análoga Sólo con el resultado de la Γ convergencia, el comportamiento asintótico de los autovalores se puede analizar sin mayores dificultades Qué se puede decir del problema con s n 1? L n u(x) := v.p. RN (u(x) u(y))2 a n (x, y) dy x y N+2sn
42 Observaciones, trabajo futuro y otras aplicaciones El caso cuasilineal (e.g. p laplacian fraccionario) se trata de manera análoga Sólo con el resultado de la Γ convergencia, el comportamiento asintótico de los autovalores se puede analizar sin mayores dificultades Qué se puede decir del problema L n u(x) := v.p. RN (u(x) u(y))2 a n (x, y) dy x y N+2sn con s n 1? Con a n (x, y) = 1 esto está bien entendido.
43 Observaciones, trabajo futuro y otras aplicaciones El caso cuasilineal (e.g. p laplacian fraccionario) se trata de manera análoga Sólo con el resultado de la Γ convergencia, el comportamiento asintótico de los autovalores se puede analizar sin mayores dificultades Qué se puede decir del problema L n u(x) := v.p. RN (u(x) u(y))2 a n (x, y) dy x y N+2sn con s n 1? Con a n (x, y) = 1 esto está bien entendido. El div-curl Lemma fue usado con mucho éxito en Electromagnetismo (ecuaciones de Maxwell), Navier-Stokes, etc. Se puede aplicar el div-curl Lemma fraccionario a las versiones fraccionarias de estos modelos?
44 Muchas Gracias!
Ecuaciones de evolución para el p Laplaciano fraccionario.
Ecuaciones de evolución para el p Laplaciano fraccionario. JULIO D. ROSSI con J. M. Mazón, J. Toledo (U. Valencia) http://mate.dm.uba.ar/ jrossi Ecuaciones de evolución no locales. Sea J : R N R, radial,
El método de súper y sub soluciones en el espacio de funciones casi periódicas.
El método de súper y sub soluciones en el espacio de funciones casi periódicas. Universidad de Buenos Aires - IMAS (CONICET) UMA - Bahía Blanca - 2016 Super y sub soluciones Problema periódico asociado
Cambio de variables en la integral múltiple.
Cambio de variables en la integral múltiple. En este apartado vamos a generalizar la fórmula g(b) g(a) f(x) dx = b a f(g(t)) g (t) dt al caso de funciones de n variables. Como la región de integración
Solución a Problemas de tipo Dirichlet usando Análisis
Solución a Problemas de tipo Dirichlet usando Análisis Armónico Marysol Navarro Burruel UNISON 17 Abril, 2013 Marysol Navarro Burruel (UNISON) Análisis Armónico y problemas de tipo Dirichlet 17 Abril,
Introducción al Método de los Elementos Finitos
S 4 v v 5 Introducción al Método de los Elementos Finitos Parte Formulación abstracta del MEF para problemas elípticos Alberto Cardona, íctor Facinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina Espacios
Teorema fundamental del cálculo vectorial (a.k.a. Teorema de Helmholtz)
Teorema fundamental del cálculo vectorial (a.k.a. Teorema de Helmholtz) Brevísima y sesgada introducción para Física 3 Ariel Chernomoretz October 9, 207 El teorema de Helmholtz El siguiente teorema se
Teoría Avanzada en Polinomios Ortogonales Multivariados
Minicurso Teoría Avanzada en Polinomios Ortogonales Multivariados (Quinta sesión) Teresa E. Pérez Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Granada (España) e mail: tperez@ugr.es V EIBPOA Encuentro
Métodos Matemáticos: Análisis Funcional
Licenciatura en Ciencias y Técnicas Estadísticas Universidad de Sevilla http://euler.us.es/ renato/clases.html Espacios eucĺıdeos Definición Se dice que un espacio vectorial E es un espacio eucĺıdeo si
Problemas con soluciones
Departamento de Matemática, Universidad Técnica Federico Santa María, MAT-223. Problemas con soluciones 1) Muestre que si A es una base de una toplogía en X, entonces la topología generada por A es iqual
Teorema de Hahn-Banach
Capítulo 3 Teorema de Hahn-Banach 3.1. Introducción Una vez introducidos los espacios vectoriales más importantes donde se tiene una estructura métrica a saber, los espacios de Hilbert y los espacios de
El espacio de funciones continuas
Capítulo 4 El espacio de funciones continuas 1. Funciones continuas En este capítulo estudiaremos las funciones continuas en un espacio métrico, además de espacios métricos formados por funciones continuas.
Derivadas Parciales de Orden Superior
Capítulo 9 Derivadas Parciales de Orden Superior La extensión a funciones de varias variables del concepto de derivada de orden superior, aunque teóricamente no ofrece ninguna dificultad, presenta ciertas
Problemas Regulares de Sturm-Liouville
Capítulo 5 Problemas Regulares de Sturm-Liouville Como hemos visto en el capítulo dedicado a los espacios de Hilbert, el método de separación de variables aplicado a la resolución de ecuaciones en derivadas
Tema 5: Funciones homogéneas
Tema 5: Funciones homogéneas f se dice homogénea de grado α si se verifica: f(λ x) = λ α f( x), x, λ > 0 Propiedades: 1. Si f y g son homogéneas de grado α, entonces f ± g es también homogénea de grado
Teorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias.
Teorema de Existencia y Unicidad Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dr. Rafael Morones E. Dept. de Matemáticas ITAM August 5, 2002 1 Contenido 1 Preliminares. 3 1.1 Sucesiones...............................
El teorema de Stokes. 1. Integración de formas en variedades
Capítulo 12 El teorema de Stokes 1. Integración de formas en variedades En esta sección definimos la integral de una k-forma diferencial ω definida en una variedad diferenciable en R n de dimensión k,
Tema 1. El Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor
Tema. El Problema de Cauchy para la Ecuación del Calor En este capítulo estudiaremos la llamada ecuación del calor homogénea y la ecuación del calor no homogénea u t u = 0, u t u = f, a las que añadiremos
4. Complementos sobre Problemas de Contorno para S.D.O. Lineales. 4. Complementos sobre Problemas de Contorno
para S.D.O. Lineales 4.1. Problemas de contorno para s.d.o. lineales. Teorema de alternativa 4.1. Problemas de contorno. Teorema de alternativa Fijemos A C 0 ([α, β]; L(R N )) y b C 0 ([α, β]; R N ), dos
UMA Pablo D. Ochoa. Universidad Nac. de Cuyo-Univ. Nac. de San Luis-CONICET. Setiembre 22, 2016
UMA 2016 Unicidad y estabilidad de soluciones de ecuaciones parabólicas en grupos de Carnot Pablo D. Ochoa Universidad Nac. de Cuyo-Univ. Nac. de San Luis-CONICET Setiembre 22, 2016 Pablo D. Ochoa UMA
Departamento de Ingeniería Matemática - Universidad de Chile
Ingeniería Matemática FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Álgebra Lineal 08-2 SEMANA 7: ESPACIOS VECTORIALES 3.5. Generadores de un espacio vectorial Sea V un espacio vectorial
1. El Teorema de Rolle Generalizado.
Proyecto III: Los Teoremas de Rolle y del valor Medio Objetivos: Profundizar el estudio de algunos teoremas del cálculo diferencial 1 El Teorema de Rolle Generalizado La formulación más común del Teorema
Sucesiones y series de funciones
Sucesiones y series de funciones Renato Álvarez Nodarse Departamento de Análisis Matemático Facultad de Matemáticas. Universidad de Sevilla http://euler.us.es/ renato/ 8 de octubre de 2012 Sucesiones y
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 7. Estabilidad
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 7. ESTABILIDAD DE LOS SISTEMAS NO LINEALES. PRINCIPIO DE LINEALIZACIÓN. TEOREMA DE GROBMAN-HARTMAN Estabilidad 1. Definición. Sea f : Ω R n R n un campo C 1, y
Ejercicios de Análisis Funcional
Ejercicios de Análisis Funcional Rafael Payá Albert Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada ANÁLISIS FUNCIONAL Relación de Ejercicios N o 1 1. Dar un ejemplo de una distancia en un espacio
Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 1: Aplicaciones Lineales EPN, verano 2012
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 1: Aplicaciones Lineales EPN, verano 212 Introducción Algunas fechas: 197: Noción de Operador lineal
Universidad de Sonora. Semicontinuidad y Medibilidad de Correspondencias y la Existencia de Selectores Continuos y Medibles
Universidad de Sonora División de Ciencias Exactas y Naturales Departamento de Matemáticas Semicontinuidad y Medibilidad de Correspondencias y la Existencia de Selectores Continuos y Medibles Tesis que
x (0) si f (x) = 2s 1, s > 1 d) f 3. Analizar la existencia de derivadas laterales y de derivada en a = 0, para las siguientes funciones:
FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES COMPLEMENTOS DE ANÁLISIS MAESTRíA EN ESTADíSTICA MATEMÁTICA SEGUNDO CUATRIMESTRE 2007 PRÁCTICA 7 1. Usando sólo la definición de derivada,
9 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal
Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 9 Ecuaciones diferenciales ordinarias. Ecuaciones diferenciales de primer orden en forma normal 9.1 Definición Se llama ecuación diferencial ordinaria
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Y ANÁLISIS FUNCIONAL Asignatura troncal, Cuarto Curso Licenciatura de Matemáticas Facultad de Matemáticas
ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES Y ANÁLISIS FUNCIONAL Asignatura troncal, Cuarto Curso Licenciatura de Matemáticas Facultad de Matemáticas Universidad de Sevilla 2 Tabla de contenidos Introducción 5 1
Práctica 3 Esperanza Condicional
1. Generalidades Práctica 3 Esperanza Condicional 1. Sea (X i ) i I una familia de variables aleatorias definidas sobre un mismo espacio medible (Ω, F) y sea Y otra variable aleatoria en este espacio.
Series numéricas (I) 1 Convergencia y divergencia. 2 Series importantes. 3 Propiedades generales. 4 Series de términos positivos
Convergencia y divergencia Series numéricas (I Definición Sea { } una sucesión de reales y sea la sucesión asociada {S n } de sumas parciales, S n = a + a 2 + a 3 + +. LLamaremos serie a la pareja formada
Introducción al Método de los Elementos Finitos
1 S 4 v 2 v 1 5 2 de los Elementos Finitos Parte 9 de los Elementos de Borde Alberto Cardona, Víctor Fachinotti Cimec-Intec (UNL/Conicet), Santa Fe, Argentina Método de Elementos de Borde (MEB) Sea el
Dilatación unitaria de semigrupos locales de contracciones con parámetro en los racionales diádicos. MSc. Angel Padilla. Cumaná, Marzo 2012
Dilatación unitaria de semigrupos locales de contracciones con parámetro en los racionales diádicos Autor: MSc. Angel Padilla Cumaná, Marzo 2012 2 A continuación se fija algo de la notación que se utilizará
[25] EJERCICIO 1. Se considera el problema isoperimétrico consistente en calcular el mínimo relativo de
![[25] EJERCICIO 1. Se considera el problema isoperimétrico consistente en calcular el mínimo relativo de](/thumbs/69/61825504.jpg "[25] EJERCICIO 1. Se considera el problema isoperimétrico consistente en calcular el mínimo relativo de")
UNIVERSIDAD DE GRANADA Modelos Matemáticos II. 3 de mayo de 3 [5] EJERCICIO. Se considera el problema isoperimétrico consistente en calcular el mínimo relativo de F[y] = y x) + yx) ) dx { en D = y C [,
Anuladores. Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales.
Anuladores Objetivos. Definir el concepto de anuladores y estudiar sus propiedades principales. Requisitos. Espacio dual, espacio bidual, base dual.. Definición (anulador de un subconjunto de un espacio
Tema 4 Funciones convexas y optimización convexa
Tema 4 Funciones convexas y optimización convexa José R. Berrendero Departamento de Matemáticas Universidad Autónoma de Madrid Contenidos del tema 4 Repaso de algunos resultados sobre optimización de funciones.
Sobre algunas relaciones entre la probabilidad... y las ecuaciones diferenciales
Sobre algunas relaciones entre la probabilidad y las ecuaciones diferenciales rafael.granero@uam.es Madrid, Octubre 2009 Índice I Primeros conceptos: El movimiento browniano. Ecuaciones diferenciales estocásticas.
Guía Semana 7 1. RESUMEN 2. EJERCICIOS PROPUESTOS. Universidad de Chile. Ingeniería Matemática
. RESUMEN FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo en Varias Variables 08- Guía Semana 7 Teorema de la función inversa. Sea f : Ω Ê N Ê N, Ω abierto, una función de clase
Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral
Capítulo 8 Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral En este capítulo estudiaremos sucintamente bajo qué circunstancias puede intercambiarse el orden de la integral con las operaciones
Diagonalización. Tema Valores y vectores propios Planteamiento del problema Valores y vectores propios
61 Matemáticas I : Álgebra Lineal Tema 6 Diagonalización 61 Valores y vectores propios 611 Planteamiento del problema Problema general de diagonalización Dado un operador lineal f sobre un espacio vectorial
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 2
Problemas de VC para EDVC elaborados por C. Mora, Tema 2 Ejercicio 1 Demostrar que la función u(x, y cosh y sen x es armónica en el plano y construir otra función armónica v(x, y tal que u(x, y + iv(x,
2 Espacios vectoriales
Águeda Mata y Miguel Reyes, Dpto. de Matemática Aplicada, FI-UPM 1 2 Espacios vectoriales 2.1 Espacio vectorial Un espacio vectorial sobre un cuerpo K (en general R o C) es un conjunto V sobre el que hay
Espacios métricos completos
5 Espacios métricos completos Comenzamos introduciendo las sucesiones de Cauchy, que relacionamos con las sucesiones convergentes. En el caso de que coincidan, se trata de un espacio métrico completo.
Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : v = x 2 yē x + x 2 tē y (3.1)
Ejercicio 3.1. Sea el campo de velocidades de un escurrimiento definido por : Se pide: v = x yē x + x tē y (3.1) a. A qué tipo de formalismo corresponde este análisis del escurrimiento, lagrangeano o eulereano?
Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2).
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 3: Lema de Baire y Teorema clásicos del Análisis Funcional EPN, verano 2012 Definición 1 (Espacio de
Teorema de Kirk y estructura normal en espacios de Banach
Teorema de Kirk y estructura normal en espacios de Banach Introducción En el anterior artículo se comentaron los llamados problemas del milenio de las matemáticas [8]. Sólo uno de ellos se ha podido resolver
2. El Teorema del Valor Medio
2.24 45 2. El Teorema del Valor Medio Comenzaremos esta sección recordando dos versiones del teorema del valor medido para funciones de 1-variable y por tanto ya conocidas: 2.22 Sea f : [a, b] R R una
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS E.A.P. DE. MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
Clases de operadores I
Clases de operadores I ISABEL MARRERO Departamento de Análisis Matemático Universidad de La Laguna imarrero@ull.es Índice 1. Introducción 1 1.1. Clases de operadores.......................................
Examenes de Física Matemática (Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales)
Examenes de Física Matemática (Ecuaciones en Derivadas Parciales e Integrales) Licenciatura en Física Antonio Cañada Villar Departamento de Análisis Matemático Universidad de Granada FÍSICA MATEMÁTICA
CÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Teoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Sobre el método de Godunov para sistemas hiperbólicos no conservativos
XX Congreso de Ecuaciones Diferenciales y Aplicaciones X Congreso de Matemática Aplicada Sevilla, 24-28 septiembre 27 (pp. 1 8) Sobre el método de Godunov para sistemas hiperbólicos no conservativos M.L.
Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables
Tema 5 Ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes variables 5 Existencia y unicidad Partimos de una ecuación de la forma a 0 (x y (n + a (x y (n + + a n (x y + a n (x y = b(x (5 con a 0 (x 0 donde
11.1. Funciones uniformemente continuas
Lección 11 Continuidad uniforme Completando el análisis de los principales teoremas que conocemos sobre continuidad de funciones reales de variable real, estudiamos ahora la versión general para espacios
1. Sensibilidad en caso de restricciones de igualdad
FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA57B Optimización No Lineal. Semestre 2007-1 Profesor: Héctor Ramírez C. Auxiliar: Oscar Peredo. Clase Auxiliar #4 Análisis de Sensibilidad en Optimización
Teoría de la Integración
Licenciatura en Matemáticas y Física Universidad de Antioquia 1 Introducción 2 3 Introducción Para toda persona con formación matemática superior, es conocida la teoría de la integración de Riemann. Sin
Sucesiones y convergencia
Capítulo 2 Sucesiones y convergencia 1. Definiciones Una de las ideas fundamentales del análisis es la de límite; en particular, el límite de una sucesión. En este capítulo estudiaremos la convergencia
Espacios de Hilbert y Notación de Dirac
Espacios de Hilbert y Notación de Dirac Alonso Contreras-Astorga CINVESTAV, México Diciembre 2012 Índice Espacios de Hilbert Operadores lineales en espacios de Hilbert Notación de Dirac 2 / 46 Espacios
El algoritmo de Euclides con residuos de menor valor absoluto
Miscelánea Matemática 6 05) -9 SMM El algoritmo de Euclides con residuos de menor valor absoluto Jesús Efrén Pérez Terrazas, Luis Felipe Solís Sansores, Emmanuel Vázquez Cetina Facultad de Matemáticas
: k }, es decir. 2 k. k=0
FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE Cálculo Diferencial e Integral 08-2 Basado en el apunte del curso Cálculo (2do semestre), de Roberto Cominetti, Martín Matamala y Jorge San
Análisis Complejo: 1.3 Funciones Especiales
: 1.3 Funciones Especiales Universidad de Murcia Curso 2011-2012 Objetivos Objetivos Objetivos Objetivos Extender la función factorial a C: función Γ. Objetivos Objetivos Extender la función factorial
Tema 2: Modelos probabilísticos de series
Tema 2: Modelos probabilísticos de Tema 2: Modelos probabilísticos de 1 2 3 4 5 6 Definición Un proceso estocástico con conjunto de índices T es una colección de variables aleatorias {X t } t T sobre (Ω,
Boletín de Matemáticas Nueva Serie, Volumen XI No. 1 (2004), pp PUNTOS FIJOS COMUNES DE CONTRACCIONES GENERALIZADAS
Boletín de Matemáticas Nueva Serie, Volumen XI No. 1 (2004), pp. 132 137 PUNTOS FIJOS COMUNES DE CONTRACCIONES GENERALIZADAS JAIME RODRÍGUEZ MONTES (*) To Jairo Charris in memoriam Resumen. Se demuestra
1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES
1 1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. LÍMITES Definición 1.1. Sea A R n. Una función real de varias variables es una aplicación f : A R n R m con f(x 1,..., x n ) = (y 1,...,
si existe un entorno V de a contenido en A, tal que la diferencia f(x) f(a) no cambia de signo cuando x V :
Capítulo 7 Extremos Relativos Una aplicación clásica del Teorema Local de Taylor es el estudio de los extremos relativos de una función escalar. Aunque la analogía con el caso de una variable es total,
Introducción al Método Variacional
Capítulo Introducción al Método Variacional Este capítulo pretende ser una introducción a uno de los métodos modernos más usados en la resolución de EDPs: el Método Variacional. A su vez, este método constituye
Elementos Básicos de Análisis Funcional en. Dr. Oldemar Rodríguez Rojas
Elementos Básicos de Análisis Funcional en Análisis Numérico Dr. Oldemar Rodríguez Rojas Agosto 2008 Contents 1 Elementos Básicos de Análisis Funcional 2 1.1 Espacios normados...........................
Tema 1 EL TEOREMA DE PEANO. 1 Compacidad en C(I; R N ): el Teorema de Ascoli-
Tema 1 EL TEOREMA DE PEANO En este tema vamos a probar que bajo la hipótesis de ser f continua en un entorno del punto (, y 0 ), se puede garantizar la existencia, aunque no necesariamente la unicidad,
Proyecto académico sin fines de lucro, desarrollado bajo la iniciativa de acceso abierto
Red de Revistas Científicas de América Latina, el Caribe, España y Portugal istema de Información Científica Pedro Isaza Jaramillo, Jorge Eliécer Ospino Portillo olución del problema de Dirichlet por medio
ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL
ELEMENTOS DE ANÁLISIS FUNCIONAL Guillermo Ames Universidad Tecnológica Nacional - Facultad Regional Córdoba 2011 TEMA 1: NOCIONES BÁSICAS DE ESPACIOS MÉTRICOS Espacios métricos: definición y ejemplos Definición
Espacios compactos. Capítulo Cubiertas. En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico.
Capítulo 3 Espacios compactos 1. Cubiertas En este capítulo estudiaremos el concepto de compacidad en un espacio métrico. Definición 3.1. Sea (X, d) un espacio métrico y A X. Una cubierta de A es una familia
Análisis Complejo: 1.2 Productos infinitos
Contents : 1.2 Productos infinitos Universidad de Murcia Curso 2011-2012 Contents 1 Productos infinitos Objetivos Productos infinitos Objetivos Objetivos Productos infinitos Objetivos Demostrar que dado
Análisis en R 3. Notas para Electromagnetismo I, 2009 *. G.A. Raggio ** FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina
Análisis en R Notas para Electromagnetismo I, 2009 *. G.A. Raggio ** FaMAF, Universidad Nacional de Córdoba, Argentina La referencia general es: Luis A. Santaló, Vectores y tensores con sus aplicaciones,
Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Ecuaciones en Derivadas Parciales (Nivel 3).
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Ecuaciones en Derivadas Parciales (Nivel 3). Lección n 1: Repaso de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias UPS, julio 2015 Índice 1. Dos ejemplos
Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
Ejercicios de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Grado en Matemáticas Curso 203-204 . Ecuaciones lineales con coeficientes constantes Ecuaciones de primer orden. Encontrar la solución de los siguientes
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. Conjuntos invariantes
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. HOJA 8. CONJUNTOS INVARIANTES Y CONJUNTOS LÍMITE. ESTABILIDAD POR EL MÉTODO DE LIAPUNOV. Conjuntos invariantes 1. Definición. Se dice que un conjunto D Ω es positivamente
Espacios L p con 0 Multiplicación de Matrices Naïve
Multiplicación de Matrices Naïve Carl C. Cowen IUPUI (Indiana University Purdue University Indianapolis) Universidad de Zaragoza, 6 julio 2009 Los estudiantes de álgebra lineal aprenden, para matrices
Tema 1. Clasificación de las EDP. Características
Tema 1. Clasificación de las EDP. Características 1.1. Definiciones y notación En este curso vamos a seguir y a ampliar el estudio de las Ecuaciones en Derivadas Parciales (EDP) iniciado en la asignatura
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena
Derivada de la función compuesta. Regla de la cadena Cuando en las matemáticas de bachillerato se introduce el concepto de derivada, su significado y su interpretación geométrica, se pasa al cálculo de
Sucesiones y Series de Funciones
Sucesiones y Series de Funciones Consideremos una sucesión {f n }, donde f n : I R R, entonces decimos que {f n } es una sucesión de funciones. Ejemplos: i) {f n }, donde f n : R R está dada por Tenemos
Integral Múltiple. María Muñoz Guillermo Matemáticas I(1 o Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática) U.P.C.T.
Integral Múltiple María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I(1 o Grado Ingeniería Electrónica Industrial y Automática) M. Muñoz (U.P.C.T.) Integral Múltiple Matemáticas I 1 / 19 Introducción
Ejercicios: Estimando π con métodos Monte Carlo y cálculo del mayor autovalor de una matriz
Ejercicios: Estimando π con métodos Monte Carlo y cálculo del mayor autovalor de una matriz 6 de marzo de 05. Cálculo de π con métodos Monte Carlo El objetivo de este ejercicio consiste en estimar el valor
TEMA Espacios métricos
TEMA 55 Bolas abiertas y cerradas. Conjuntos abiertos y cerrados. Conjuntos compactos. Aplicaciones continuas de R n en R m. Propiedades de las aplicaciones continuas En la primera sección se introducen
Un resumen de la asignatura. Junio, 2015
Un resumen de la asignatura Departamento de Matemática Aplicada a las Tecnologías de la Información y las Comunicaciones ETSIT (UPM) Junio, 2015 1 Los Números Reales(R) Los números Irracionales Continuidad
Estadística. Tema 2. Variables Aleatorias Funciones de distribución y probabilidad Ejemplos distribuciones discretas y continuas
Estadística Tema 2 Variables Aleatorias 21 Funciones de distribución y probabilidad 22 Ejemplos distribuciones discretas y continuas 23 Distribuciones conjuntas y marginales 24 Ejemplos distribuciones
Espacios conexos. Capítulo Conexidad
Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio
TEMA 0: Herramientas matemáticas
1 TEMA 0: Herramientas matemáticas Tema 0: Herramientas matemáticas 1. Campos escalares y vectoriales 2. Gradiente 3. Divergencia 4. Rotacional 5. Teoremas de Gauss y de Stokes 5. Representación gráfica
MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas. g(z) e u(z) 1. u(z) a log z + b
PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE FACULTAD DE MATEMÁTICAS MAT2715 VARIABLE COMPLEJA II Ayudantia 5 Rodrigo Vargas 1. Sea u : C R una función armónica positiva. Pruebe que u es constante. Solución:
CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS CÁLCULO DIFERENCIAL EN VARIAS VARIABLES Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Julio
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS ASOCIADOS A OPERADORES MULTÍVOCOS Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Salamanca. Luis Ferragut Canals
MÉTODOS NUMÉRICOS PARA PROBLEMAS ASOCIADOS A OPERADORES MULTÍVOCOS Departamento de Matemática Aplicada Universidad de Salamanca Luis Ferragut Canals 23-junio-2004 2 Índice general 1. Teoría general de
ESPACIOS DE HILBERT. Ramón Bruzual Marisela Domínguez
UNIVERSIDAD CENTRAL DE VENEZUELA FACULTAD DE CIENCIAS ESCUELA DE MATEMÁTICA LABORATORIO DE FORMAS EN GRUPOS ESPACIOS DE HILBERT Ramón Bruzual Marisela Domínguez Caracas, Venezuela Julio 25 Ramón Bruzual
Métodos de gradiente. Métodos de Krylov
Métodos de gradiente. Métodos de Krylov Damián Ginestar Peiró Departamento de Matemática Aplicada Universidad Politécnica de Valencia Curso 2012-2013 (UPV) Métodos de gradiente. Métodos de Krylov Curso
INTRODUCCIÓN. Mecánica de Fluidos Avanzada UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA
INTRODUCCIÓN Mecánica de Fluidos Avanzada UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL DEPARTAMENTO DE HIDRÁULICA E HIDROLOGÍA 1. DEFINICIÓN DE FLUIDO (1) 1. DEFINICIÓN DE FLUIDO (2)
Espacios Métricos. 25 de octubre de 2011
Espacios Métricos 25 de octubre de 2011 1. Nociones de espacios métricos Llamaremos espacio métrico a un conjunto X con una función d : X X R 0 (que llamaremos la métrica de X) que verifica las siguientes
1. Espacios de Hilbert
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Ecuaciones en Derivadas Parciales (Nivel 3). Lección n 6: Espacios de Hilbert, Espacios de Sobolev UPS, julio 015 Índice 1. Espacios de Hilbert
I. Métodos directos para resolución de SEL. Se dice que una matriz A admite una factorización LU indirecta A = LU
I. Métodos directos para resolución de SEL 1. Factorización LU Se dice que una matriz A admite una factorización LU si dicha matriz puede escribirse como el producto de una matriz triangular inferior,
Capítulo 1. Espacios de Hilbert Introducción
Capítulo 1 Espacios de Hilbert 1.1. Introducción Dentro de la familia de espacios vectoriales dotados de una estructura métrica, son los espacios de Hilbert los que, como generalización a cualquier dimensión
Tema 2 Resolución de EcuacionesNo Lineales
Tema 2 Resolución de Ecuaciones No Lineales E.T.S.I. Informática Indice Introducción 1 Introducción 2 Algoritmo del método de Bisección Análisis del 3 4 5 6 Algoritmo de los métodos iterativos Interpretación