1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES

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1 1 1. CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES 1.1. PRIMERAS DEFINICIONES. LÍMITES Definición 1.1. Sea A R n. Una función real de varias variables es una aplicación f : A R n R m con f(x 1,..., x n ) = (y 1,..., y m ). A las funciones f i : A R n R con f i (x 1,..., x n ) = y i se las llama funciones coordenadas. f(x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) Definición 1.2. Se llama dominio de una función f al conjunto D(f) = { x R n : f( x) R m } = D(f 1 ) D(f 2 ) D(f m ) siendo x = (x 1,..., x n ). Definición 1.3. Dada una función f : R 2 R, se llama grafo de f al conjunto de puntos G f = {(x, y, z) R 3 : z = f(x, y)} Definición 1.4. Dada f : R 2 R y dada una constante c, se define la curva de nivel c de la superficie z = f(x, y) como el conjunto de puntos Γ c = {(x, y) R 2 : f(x, y) = c} De igual manera, dada f : R 3 R y dada una constante c, se define la superficie de nivel c como el conjunto de puntos Γ c = {(x, y, z) R 3 : f(x, y, z) = c} Definición 1.5. Sea f : R n R m y sean ā R n y l R m. Entonces se dice que f( x) = l si y sólo si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < d( x, ā) < δ, entonces d(f( x), l) < ɛ. Propiedades. 1. Sean f, g : R n R m. Entonces 1.1. Si f( x) = l 1 y g( x) = l 2 entonces (f( x) + g( x)) = l 1 + l Si f( x) = l 1 y α R, entonces αf( x) = α l 1

2 2 1 CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES 2. Sean f, g : R n R tales que f( x) = l 1 y g( x) = l 2. Sea también h : R R continua. Entonces 2.1. (f( x) + g( x)) = l 1 + l (f( x)g( x)) = l 1 l αf( x) = αl f( x) g( x) = l 1 l2 (l 2 0) 2.5. f( x) g( x) = l l 2 1 (l 1 > 0) h(f( x)) = h(l 1 ) 2.7. f( x) = l 1 (f( x) l 1 ) = f( x) = 0 f( x) = 0 Teorema 1.1. Sea f : R n R m con f = (f 1,..., f m ) las funciones coordenadas. Entonces f( x) = (l 1,..., l m ) f i ( x) = l i para todo i = 1,..., m Teorema 1.2. El ite, si existe, es único. Teorema 1.3. Sea P (x 1,..., x n ) un polinomio de n variables (P : R n R). Entonces P ( x) = P (ā) Teorema 1.4. Sean P ( x), Q( x) polinomios con Q(ā) 0. Entonces P ( x) Q( x) = P (ā) Q(ā) Teorema 1.5. (Teorema del Sandwich). Sean f, g, h : R n R tales que f( x) g( x) h( x) para todo x B(ā, r) D(f) D(g) D(h), siendo B(ā, r) = { x R n : d(ā, x) < r}. Si f( x) = h( x) = l, entonces g( x) = l 1.2. MÉTODOS PARA EL CÁLCULO DE LÍMITES Método 1. Teorema del Sandwich (para funciones f : R n R). Método 2. Por sucesiones (para funciones f : R n R). Dada f : R n R y ā R n, entonces: ( f( x) = l sucesión { x n } tal que x n = ā, entonces n ) f( x n) = l n Observación 1.1. Supongamos que existen sucesiones { x n }, {ȳ n } que convergen a ā, ( n x n = n ȳ n = ā) y que n f( x n ) = l y n f(ȳ n ) = l siendo l l. Entonces no existe f( x). Observación 1.2. Si lim n x n = ā y no existe el ite n f( x n ), entonces tampoco existe el ite f( x).

3 1.3 CONTINUIDAD 3 Observación 1.3. Si n x n = ā y n f(x n ) = l, entonces, de existir, f( x) = l. Método 3. Límite direccional (para funciones f : R 2 R). Si f( x) = l, entonces, dado un camino determinado por una función x 2 = ϕ(x 1 ) que pasa por ā (ϕ(a 1 ) = a 2 ), se tiene que f( x) = l. x 2 =ϕ(x 1 ) Observación 1.4. Si encontramos dos caminos x 2 = ϕ 1 (x 1 ) y x 2 = ϕ 2 (x 1 ) que pasan por ā y tales que f( x) = l 1 y x 2 =ϕ 1 (x 1 ) f( x) = l 2 x 2 =ϕ 2 (x 1 ) con l 1 l 2, entonces no existe el ite f( x). Método 4. Límites reiterados (para funciones f : R 2 R). Sea f : R 2 R y ā = (a 1, a 2 ). Si x1 a 1 ( x2 a 2 f(x 1, x 2 )) = l 1 x2 a 2 ( x1 a 1 f(x 1, x 2 )) = l 2 f(x 1, x 2 ) = l l 1 = l 2 = l Observación 1.5. a) Si existen l 1 y l 2, con l 1 l 2, entonces no existe l. b) Si no existe l 1 o no existe l 2, no se concluye nada. c) Si existen l 1 y l 2, con l 1 = l 2, entonces, de existir l, es l = l 1 = l 2. Método 5. Límites en polares (para funciones f : R 2 R). Dados x = (x 1, x 2 ) y ā = (a 1, a 2 ), el ite f( x) se puede estudiar pasando a coordenadas polares, x 1 = a 1 + r cos θ y x 2 = a 2 + r sen θ. Entonces, f( x) = f(a 1 + r cos θ, a 2 + r sen θ) = F (r, θ). Se tiene: 1. Si r 0 F (r, θ) depende de θ, no existe el ite f( x). 2. Si r 0 F (r, θ) no depende de θ, no se concluye nada. 3. Si 0 F (r, θ) l h(r) 0 cuando r 0, entonces f( x) = l CONTINUIDAD Definición 1.6. Sea f : R n R y ā R n. Entonces se dice que f es continua en ā si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si 0 < d( x, ā) < δ, entonces f( x) f(ā) < ɛ. Observación 1.6. f es continua en ā si f( x) = f(ā). Esto supone que existe f(ā) (ā D(f)) y además existe el ite f( x) y es igual a f(ā).

4 4 1 CONTINUIDAD EN VARIAS VARIABLES Definición 1.7. Sea f : R n R m y f = (f 1,..., f m ). Se dice que f es continua en ā R n si f i es continua en ā para todo i = 1,..., m. Se dice que f es continua en una región A R n si lo es en todo punto ā A. Propiedades. Sean f, g : R n R continuas en ā. Entonces 1. (f + g) es continua en ā. 2. (fg) es continua en ā. 3. Si g(ā) 0, entonces f g es continua en ā. Teorema 1.6. Sea f : R n R m continua en ā y sea g : R m R k continua en f(ā). Entonces (g f) : R n R k es continua en ā. Teorema 1.7. Sea f : R n R y ā R n. Entonces f es continua en ā si y sólo si para toda sucesión { x n } tal que n x n = ā se verifica que n f( x n ) = f(ā).

5 1.4 SUPERFICIES CUÁDRICAS SUPERFICIES CUÁDRICAS

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