Sucesiones y Suma Finita

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Catalina Vega Martínez
hace 7 años
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1 Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingeniería Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21

2 CONTENIDO Convergencia de una sucesión Introducción Convergencia Divergencia Propiedades Cálculo de Límites Teorema de Sandwich Introducción Propiedades Hermes Pantoja Carhuavilca 2 de 21

3 INTRODUCCION Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 3 de 21

4 Definición La sucesión {a n } se dice convergente con límite l si para cada ɛ > 0 dado, N = N(ɛ) N tal que n > N a n L < ɛ Observación: ɛ < a n l < ɛ o sea l ɛ < a n < l + ɛ A partir de un cierto N todos los a n están en el intervalo l ɛ, l + ɛ. La arbitrariedad de ɛ tenemos que los a n se van juntando entorno de l. Notación: lím n a n = l ó {a n } l. Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 4 de 21

5 EJEMPLOS { 1 1. = {1, n} 1 } 2,..., 0 2. { } n 1 n + 1 Nota: Si una sucesión {a n } posee límite l y éste es un número real, se dice que la sucesión es convergente, caso contrario se dirá que la sucesión es divergente. Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 5 de 21

6 SUCESIONES DIVERGENTES Si bien es cierto que las sucesiones {n}, {( 1) n } son ambas divergentes. Sin embargo estas dos sucesiones tienen un comportamiento diferente. Para la sucesión {n} se tiene la divergencia por no ser acotada, mientras que la sucesión {( 1) n } es divergente por ser una sucesión oscilante. Toda sucesión divergente es siempre uno de los tipos Sucesión divergente para +. Sucesión divergente para. Sucesión oscilante. Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 6 de 21

7 PROPIEDADES DE LÍMITES DE SUCESIONES Teorema Sean {a n },{b n }: sucesiones de números reales; A y B: números reales. Si lím {a n } = A y lím {b n } = B entonces: n n 1. Suma: lím {a n + b n } = A + B n 2. Diferencia: lím {a n b n } = A B n 3. Producto: lím {a n.b n } = A.B n 4. Multiplicación por constante: lím {k.a n } = k.a n { } an 5. Cociente: lím = A n B b n Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 7 de 21

8 CÁLCULO DE LÍMITES El número e La sucesión de números reales dada por {x n } = {( ) n } n es monótona creciente y acotada por lo que {x n } es una sucesión convergente. Se define el número e (en honor de Euler) como el límite de sucesión {x n }, es decir, ( e = lím n = 2, n n) Si {x n } + siendo x n 0, n N, también se cumple ( lím ) xn = e n x n Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 8 de 21

9 EJEMPLO Existen muchas sucesiones cuyo límite se calcula utilizando el número { e, entre otras están las siguientes: ( {a n } = ) } n+α, siendo α un número real, es tal que n [ ( lím a n = lím ) ] n+α [( = lím ) n ( ) α ] n n n n n n [ = lím n ( ) n ] [ ( lím ) α ] n n n = e.1 = e Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 9 de 21

10 Observación: Los límites de la forma [1 ] provenientes de sucesiones del tipo {a bn n }, siendo lím a n = 1 y lím b n = +, se resuelven n n considerando la sucesión {c n } tal que a n = 1 + c n con lím c n = 0, resultando n [ ] cnb lím n abn n = lím (1 + c n ) bn = lím (1 + c n ) 1 n cn n n [ ] lím c = lím (1 + c n ) 1 n.b n n lím (a n 1).b n cn = en n Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 10 de 21

11 Ejemplo Calcular lím n ( 2n 2 ) 3n n Solución: lím n ( 2n 2 ) 3n n 2 = e lím + 3 n (2n2 2n )3n2 + 1 = e lím ( 6n 2 n 2n ) = e 3 Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 11 de 21

12 Teorema (Encaje o del Sandwich) Si {a n } y {b n } tienen por límite l y existe n 0 N tal que a n c n b n, n N, n n 0 entonces la sucesión {c n } también es convergente y su límite es l. Teorema Si lím n a n = 0 entonces lím n a n = 0 Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 12 de 21

13 Ejemplo Calcular Solución: Se tiene: lím n ( ) cos n = 0 n 0 cos n n 1 n ( ) 1 (0) 0; y n 0 Luego por el Teorema de Sandwich cos n n 0 entonces ( ) cos n 0 n Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 13 de 21

14 Teorema Si la sucesión {a n } es convergente entonces {a n } es una sucesión acotada El reciproco de este teorema no es, necesariamente, verdadero es decir, el acotamiento no implica la convergencia. Teorema (De las sucesiones monótonas) 1. Toda sucesión monótona creciente acotada superiormente es convergente 2. Toda sucesión decreciente y acotada inferiormente es convergente. Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 14 de 21

15 PROPIEDADES 1. Si {a 2 n} es convergente, entonces no necesariamente {a n } es convergente. 2. Si {a n } y {b n } son divergentes, entonces no necesariamente {a n + b n } es divergente. 3. Si {a n } y {b n } son divergentes, entonces {a n.b n } es divergente. 4. {a n } es divergente, entonces {a 2 n} no es necesariamente divergente. Convergencia de una sucesión Hermes Pantoja Carhuavilca 15 de 21

16 SUMATORIAS Sucesión de números reales tales que sus términos están dados mediante una fórmula en términos de su índice y que toma valores enteros consecutivos. Lo denotaremos a i (a i se denomina el término general de la sucesión). Ejemplo 2, 6, 12, 20, 30,... a i = i(i + 1) 4, 7, 10, 13, 16,... a i = 3i + 1 Denotamos la suma de todos los términos de una sucesión desde el que corresponde al índice p hasta el que corresponde al índice q mediante : q i=p a i = a p + a p+1 + a p a q Hermes Pantoja Carhuavilca 16 de 21

17 EJEMPLO n i = n i=1 n i = i=1 n i 2 = n 2 i=1 n i 2 = i=1 n(n + 1) 2 n(n + 1)(2n + 1) 6 8 i(i 2) = = n i=1 (i 2 + 1) = (n 2 + 1) Hermes Pantoja Carhuavilca 17 de 21

18 PROPIEDADES 1. Sea c una constante cualquiera, entonces q i=p c = c + c + c c = (q p + 1)c }{{} q p+1 veces 2. Sea c una constante cualquiera, entonces q i=p q ca i = c i=p a i 3. q q q (a i + b i ) = a i + b i i=p i=p i=p Hermes Pantoja Carhuavilca 18 de 21

19 4. 5. Telescópica q i=p a i = q c i=p c a i+c n (a i+1 a i ) = a n+1 a 1 i=1 Hermes Pantoja Carhuavilca 19 de 21

20 EJEMPLO Ejemplo Hallar la siguiente sumatoria 20 k=1 1 4k 2 1 Sea: Luego 1 4k 2 1 = 1 (2k + 1)(2k 1) = 1 ( 1 2 2k 1 1 ) 2k + 1 a k+1 = a k = 1 2k 1 1 2(k + 1) 1 = 1 2k + 1 Hermes Pantoja Carhuavilca 20 de 21

21 = k=1 ( 1 2k ) = 1 20 (a 2k 1 2 k+1 a k ) k=1 = 1 2 (a 1 a 21 ) = 1 ( 1 1 ) 2 41 Hermes Pantoja Carhuavilca 21 de 21

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