Matemáticas II: Cálculo diferencial

Transcripción

1 Matemáticas II: Cálculo diferencial Javier Segura Universidad de Cantabria Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 1 / 22

2 Tema 1 1. NÚMEROS REALES, SUCESIONES Y SERIES. 1. Números reales, valores absolutos y desigualdades. 2. Sucesiones en R y ĺımites (finitos e infinitos) de tales sucesiones. 3. Criterios más habituales para el estudio de la convergencia de una sucesión en R y para el cálculo de su ĺımite en caso de que éste exista: regla del sandwich, sucesiones monótonas (el número e), criterio de Stolz, equivalencias (fórmula de Stirling). 4. Series en R y convergencia de tales series. Ejemplos: series geométricas y series armónicas. 5. Series de términos positivos y de términos cualesquiera. Criterios más habituales para el estudio de su convergencia: de Gauss, del cociente, de Leibniz, convergencia absoluta. 6. Series de potencias Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 2 / 22

3 Tema 1 Definición axiomática de los números reales Definición axiomática de los números reales AX1: Propiedades ariméticas El conjunto R, con las operaciones suma y producto, es un cuerpo conmutativo, es decir, 1 La suma y el producto son leyes de composicin internas, es decir, que a + b R; ab R a, b R 2 Tanto las suma como el producto son leyes asociativas: a + (b + c) = (a + b) + c; (ab)c = a(bc) a, b, c R 3 Tanto la suma como el producto son leyes conmutativas a + b = b + a; ab = ba a, b R 4 La suma y el producto tienen elemento neutro 0 R : a + 0 = a a R; 1 R : a1 = a a R 5 Existe elemento opuesto para la suma a R ( a) R : a + ( a) = 0 6 Existe inverso para todo número real distinto del neutro de la suma a R, a 0, a 1 R : aa 1 = 1 7 Se cumple la distributividad entre suma y producto a(b + c) = ab + ac a, b, c R Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 3 / 22

4 Tema 1 Definición axiomática de los números reales AX2: Propiedades de ordenación Las propiedades de ordenación nos indican como manejar las desigualdades en R. El conjunto R es un cuerpo totalmente ordenado, es decir, 1 Si a b y b a a = b 2 a, b R necesariamente se ha de cumplir una de las tres siguientes afirmaciones (y sólo una): a < b, b < a, a = b 3 Si a b y b c, entonces a c 4 a, b, c R, si a b entonces a + c b + c 5 Si 0 a y 0 b, entonces 0 ab Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 4 / 22

5 Tema 1 Definición axiomática de los números reales Para acabar de definir los números reales nos falta el axioma del supremo. Necesitamos unas definiciones previas: Definition (Conjuntos acotados) Dado un conjunto A R, Diremos que A es acotado superiormente si M R : x M x A y se dice que M es una cota superior de A. A la menor de las cotas superiores de A se le llama supremo de A, y se denota sup(a). Si el supremo de A pertenece a A se le llama máximo de A y se denota max(a). Diremos que A es acotado inferiormente si m R : x m x A y se dice que m es una cota inferior de A. A la mayor de las cotas inferiores de A se le llama ínfimo de A, y se denota inf(a). Si el ínfimo de A pertenece a A se le llama mínimo de A y se denota min(a). Diremos que A es acotado si lo es superior e inferiormente. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 5 / 22

6 Tema 1 Definición axiomática de los números reales AX3: Axioma del supremo Sea A un conjunto no vacío de números reales, acotado superiormente, entonces posee supremo. Con este último axioma, se dice que R es un cuerpo completamente ordenado y completo. El axioma del supremo es el que añade la propiedad fundamental de completitud (R no tiene agujeros ). Un ejemplo: A = {x Q : x 2 < 2} es un conjunto no vacío y acotado superiormente y, por el axioma del supremo, tiene supremo. Si llamamos s = sup(a), podemos comprobar que s 2 = 2, es decir, que s = 2 (lo que nos dice que 2 existe en el campo de los números reales). Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 6 / 22

7 Tema 1 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 7 / 22

8 Tema 1 Algunos infinitésimos e infinitos equivalentes 1) Si lim n a n = 0. 1 ln(1 + a n) a n 2 sin a n a n 3 1 cos a n 1 2 a2 n 4 tan a n a n 5 arcsin a n a n 6 arctan a n a n 7 e an 1 a n 8 (1 + a n) α 1 αa n 2) Si n. 1 c pn p + c p 1n p c 0 c pn p 2 ln(c pn p + c p 1n p c 0) ln n p, si c p > 0 3 n 1 c 1 ln c (c > 0) n 4 n! e n n n 2πn (fórmula de Stirling) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 8 / 22

9 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 9 / 22

10 Algunos resultados relativos a la continuidad Teorema (Teorema de Bolzano). Sea f : [a, b] R continua. Si f (a)f (b) < 0, entonces c (a, b) : f (c) = 0 Teorema (Teorema de los valores intermedios). Sea f : [a, b] R continua. Entonces, f toma todos los valores entre f (a) y f (b). Teorema (Teorema de Weierstrass). Sea f : [a, b] R continua. Entonces, f alcanza mximo y mnimo en [a, b]; es decir, x 1, x 2 [a, b] tales que: f (x 1) f (x) f (x 2) x [a, b] Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 10 / 22

11 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 11 / 22

12 Tema 3 Funciones derivables: extremos Definición (Extremos relativos). Una función f tiene un máximo relativo en x 0 si δ > 0 tal que f (x) f (x 0) para todo x (x 0 δ, x 0 + δ). x 0 es mínimo relativo de la función f si δ > 0 tal que f (x) f (x 0) para todo x (x 0 δ, x 0 + δ). Si se sustituyen las desigualdades por desigualdades estrictas entonces se habla de extremos relativos estrictos. Definición (Extremos absolutos) Una función f alcanza máximo absoluto en un conjunto I si existe un x 0 tal que f (x) f (x 0) para todo x I. Se dice entonces que el máximo absoluto en I se alcanza en x 0. Análogamente se puede definir mínimo absoluto cambiando el sentido de la desigualdad. Proposición (Condición necesaria de extremo relativo) Sea I un intervalo abierto; sea f derivable en x 0 I. Entonces, si x 0 es extremo relativo de f = f (x 0) = 0. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 12 / 22

13 Tema 3 Funciones derivables: extremos Definición Dada una funcion f se dice que x 0 es un punto crítico de f si f es derivable en x 0 y f (x 0) = 0 o bien si f no es derivable en x 0. Corolario Si f tiene un extremo relativo en x 0 entonces x 0 es un punto crítico. Ejemplo Obtener los extremos relativos de f (x) = x 2 9 y de f (x) = x(x 1) 2/3. Proposición Sea f : [a, b] R. Los extremos absolutos de f en [a, b] si existen, están localizados o bien en los puntos críticos de la función o en los extremos del intervalo (a y b). Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 13 / 22

14 Tema 3 Teoremas de Rolle y del valor medio Teorema (Teorema de Rolle) Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b). Supongamos, además, que f (a) = f (b) = 0. Entonces, x 0 (a, b) : f (x 0 ) = 0. Corolario (Separación de raíces) Sea f una función derivable en un intervalo I, entonces entre cada dos raíces distintas de f en I hay al menos una raíz de f. Teorema (Teorema del valor medio) Sea f continua en [a, b] y derivable en (a, b), entonces x 0 (a, b) : f (x 0 ) = f (b) f (a) b a Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 14 / 22

15 Tema 3 Consecuencias del teorema del valor medio Corolario Si f es tal que f (x) = 0 x I, entonces f es constante en I. Corolario Si dos funciones definidas en un intervalo I tienen la misma derivada, entonces se diferencian slo en una constante. Proposición Sea f una función derivable en un intervalo I. Entonces, 1 f es creciente en I f (x) 0 x I. 2 f es decreciente en I f (x) 0 x I. 3 Si f (x) > 0 x I = f es estrictamente creciente en I. 4 Si f (x) < 0 x I = f es estrictamente decreciente en I. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 15 / 22

16 Tema 3 Consecuencias del teorema del valor medio Proposición (Criterio de la primera derivada) Sea f tal que: 1 f es continua en x 0 2 δ > 0 : f (x) > 0 x (x 0 δ, x 0) y f (x) < 0 x (x 0, x 0 + δ) (es decir, que f es estrictamente creciente para x inmediatamente a la izquierda de x 0 y estrictamente decreciente para x inmediatamente a la derecha de x 0). Entonces f tiene un máximo relativo estricto en x 0 Proposición (Criterio de la segunda derivada) Si f (x 0) = 0 y f (x 0) > 0 (f (x 0) < 0), entonces f tiene en x 0 un mínimo (máximo) relativo estricto. Definición Diremos que una función derivable en un intervalo I es cóncava (convexa) en I si f es creciente (decreciente) en I. Se dice que x 0 es un punto de inflexión de f si f cambia de cncava a convexa (o viceversa) en x 0. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 16 / 22

17 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 17 / 22

18 Tema 4 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matema ticas II: Ca lculo diferencial 18 / 22

19 Tema 5 Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matema ticas II: Ca lculo diferencial 19 / 22

20 Tema 5 Teorema de la función inversa Teorema (Teorema de la función inversa) Sea f : R n R n, f de clase C q en un entorno de un punto x R n tal que det(j f ( x)) 0 entonces existe un entorno de f (x) en el que f tiene inversa f 1 que será de clase C q en ese entorno. Además se cumple que: J f 1( f ( x)) = [J f ( x)] 1 (1) Recordemos que para funciones de una variable teníamos que: (f 1 ) (f (x)) = 1 f (x). Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 20 / 22

21 Tema 5 Teorema de la función impĺıcita Definition Sea f : R n+m R m. Se dice que f (x 1,..., x n+m ) = 0 define a x n+1,...x n+m como función impĺıcita de x 1,...,x n en un entorno I de cierto punto ( A, B) R n+m ( A R n, B R m ) si existe una función φ : R n R m, definida en un entorno V de A de tal forma que f (x1,..., x n, φ 1 (x 1,..., x n ),..., φ m (x 1,..., x n )) = 0 (x 1,..., x n ) V. Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 21 / 22

22 Tema 5 Teorema (Teorema de la función impĺıcita) Sea f : R n+m R m de clase C q en un entorno de un punto X = (X 1, X 2) R n+m, donde denotamos X 1 = (x 1,..., x n) R n, X 2 = (x n+1,..., x n+m) R m. Si se cumple que: 1 f ( X1, X 2) = 0. ( ) (f1...f 2 m) det 0 en X (x = ( X 1, X 2). n+1...x n+m) entonces x n+1,...x n+m son funciones impĺıcitas de x 1,...x n, de clase C q en un entorno de X 1. Las derivadas parciales x n+i, i, j = 1,..., n se obtienen con la reglas de derivación x j impĺıcita, es decir, que: x n+i x j ( ) (f 1...f m) det (x n...x n+i 1 x j x n+i+1...x n+m) = ( ). (f 1...f m) det (x n...x n+i 1 x n+i x n+i+1...x n+m) Javier Segura (Universidad de Cantabria) Matemáticas II: Cálculo diferencial 22 / 22