Tema 10: Continuidad en varias variables.

Transcripción

1 Tema 10: Continuidad en varias variables. José M. Salazar Noviembre de 2016

2 Tema 10: Continuidad en varias variables. Lección 13. Continuidad en varias variables.

3 Índice 1 Nociones básicas en R n. Funciones de varias variables. Nociones básicas en R n. Funciones: definiciones y elementos principales. 2 Sucesiones en R n 3 Límites y continuidad en varias variables Límites. Continuidad Continnuidad en conjuntos compactos y conexos.

4 Espacio métrico R n Definición El espacio métrico R n está formado por los elementos R n = { x = (x 1,..., x n ) : x i R i = 1,..., n} y dotado con las operaciones de suma y producto por escalar usuales, así como de la estructura eucĺıdea usual. De esta manera, se define la norma de un vector como x = x x n 2 La distancia entre dos elementos x, ȳ R n se define como d( x, ȳ) = x ȳ

5 Nociones topológicas y métricas de R n Definición (Bolas abiertas y cerradas) Dado ā R n y dado r > 0: El conjunto B(ā, r) = { x R n : x ā < r} es la bola abierta de centro ā y radio r. El conjunto B(ā, r) = { x R n : x ā r} es la bola cerrada de centro ā y radio r.

6 Nociones topológicas y métricas de R n Definición (Clasificación de puntos de un conjunto) Dados ā R n y A R n : Se dice que ā es un punto interior de A si existe r > 0 tal que B(ā, r) A. El conjunto de puntos interiores de A se denota por A = int(a). Se dice que ā es un punto de acumulación de A si para todo r > 0, (B(ā, r) \ {ā}) A. El conjunto de puntos de acumulación de A se denota por A. Se dice que ā es un punto adherente de A si para todo r > 0, B(ā, r) A. El conjunto de puntos adherentes de A se denota por Ā = cl(a)

7 Nociones topológicas y métricas de R n Definición (Clasificación de puntos de un conjunto) Se dice que ā es un punto frontera de A si para todo r > 0, B(ā, r) A y B(ā, r) (R n \ A). El conjunto de puntos frontera de A se denota por Fr(A) = (A). Se dice que ā es un punto aislado de A si existe r > 0 tal que B(ā, r) A = {ā}. Definición (Conjuntos abiertos y cerrados) Un conjunto A R n es abierto si todos sus puntos son interiores. El conjunto A es cerrado si R n \ A es abierto. Teorema Dado A R n : A es abierto si y sólo si A = A. A es cerrado si y sólo si A = Ā.

8 Nociones topológicas y métricas de R n Definición (Conjunto acotado) Un conjunto A R n es acotado si existe r > 0 tal que A B( 0, r), esto es, ā < r ā A. Definición (Conjunto compacto) Un conjunto A R n es compacto si es cerrado y acotado. Definición (Conjunto conexo) Un conjunto A R n es conexo si no existen dos abiertos, U, V, tales que A U, A V y A U V, U cl(v ) = cl(u) V =.

9 Funciones: primeras definiciones Definición (Función real de varias variables) Sea A R n. Una función real de varias variables es una aplicación f : A R n R m con f (x 1,..., x n ) = (y 1,..., y m ). A las funciones f i : A R n R con f i (x 1,..., x n ) = y i se las llama funciones coordenadas. f (x 1,..., x n ) = (f 1 (x 1,..., x n ),..., f m (x 1,..., x n )) La función f se dice que es una función escalar si m = 1 y que es una función vectorial si m > 1.

10 Funciones: primeras definiciones Definición (Dominio e imagen) Se llama dominio de f al conjunto A. Si f viene dada en forma anaĺıtica, entonces: Dom(f ) = { x R n : f ( x) R m } con x = (x 1,..., x n ). = Dom(f 1 ) Dom(f 2 ) Dom(f m ) Se llama imagen de f al conjunto Im(f ) = {ȳ = f ( x) : x Dom(f )} = f (Dom(f )) con ȳ = (y 1,..., y m ).

11 Funciones: primeras definiciones Definición (grafo) Dada una función f : R 2 R, se llama grafo de f al conjunto de puntos G f = {(x, y, z) R 3 : z = f (x, y)} Definición (Curvas y superficies de nivel) Dada f : R 2 R y dada una constante c, se define la curva de nivel c como el conjunto de puntos Γ c = {(x, y) R 2 : f (x, y) = c} Las trazas de f son las intersecciones de G f con los planos coordenados x = 0, y = 0. De igual manera, dada f : R 3 R y dada una constante c, se define la superficie de nivel c como el conjunto de puntos Γ c = {(x, y, z) R 3 : f (x, y, z) = c}

12 Sucesiones en R n Definición (Sucesión) Una sucesión en R n es una función f : N R n. Se escribe f (m) = ā m y se la denota por {ā m }. A ā m = (a m1,..., a mn ) se le llama término general de la sucesión. Cada {a mj }, con j fijo, es una sucesión sobre R y se denomina sucesión coordenada. Definición (Convergencia) Se dice que {ā n } es convergente si existe un valor ā R n, tal que para todo ɛ > 0 existe m 0 N tal que ā m ā < ɛ para todo m m 0. A ā se le llama ĺımite de la sucesión. Se escribe lim m ām = ā o {ā m } ā. Si la sucesión no es convergente, se dice que es divergente. Teorema El ĺımite de una sucesión {ā m }, si existe, es único.

13 Sucesiones en R n Teorema La sucesión {ā m } converge a ā = (a 1,..., a n ) si y sólo si {a mj } converge a a j para todo j = 1,..., n. Observación Dado un conjunto A R n, ā A si y sólo si existe una sucesión {ā m } A \ {ā} que converge a ā

14 Límites Definición (Límite) Sea f : A R n R m y sean ā A y l R m. Se dice que lim x ā f ( x) = l si y sólo si para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que si x A con 0 < d( x, ā) < δ, entonces d(f ( x), l) < ɛ. Si ā es un punto aislado de A, se dice que lim x ā f ( x) = f (ā). Teorema El ĺımite de f : A R n R m en ā A, de existir, es único.

15 Propiedades de los ĺımites Propiedades Si f, g : A R n R m, con ā A, tales que lim x ā f ( x) = l 1 y lim x ā g( x) = l 2, entonces: 1. lim x ā (f + g)( x) = l 1 + l lim x ā αf ( x) = α l 1. Si f, g : A R n R, con ā A, tales que lim x ā f ( x) = l 1 y lim x ā g( x) = l 2, entonces: 3. lim x ā (f ( x)g( x)) = l 1 l lim x ā αf ( x) = αl 1. f ( x) 5. lim x ā g( x) = l1 l 2 (l 2 0). 6. lim x ā f ( x) g( x) = l l2 1 (l 1 > 0). 7. Para toda h : R R continua, lim x ā (h f )( x) = h(l 1 ).

16 Ejemplos. Límites infinitos Ejemplos Sea P : R n R un polinomio de n variables. Entonces lim x ā P( x) = P(ā) Sean P( x), Q( x) polinomios con Q(ā) 0. Entonces P( x) lim x ā Q( x) = P(ā) Q(ā) Definición (Límites infinitos) Dada f : A R n R, con ā A, se dice que lim x a f ( x) = si M > 0 δ > 0 tal que si x A con 0 < d( x, ā) < δ, entonces f ( x) > M. La definición de lim x a f ( x) = se hace de modo análogo, pero escribiendo M < 0 y f ( x) < M.

17 Caracterización de ĺımites con funciones coordenadas Teorema Sea f : A R n R m con f = (f 1,..., f m ) las funciones coordenadas. Entonces, dado ā A : lim x ā f ( x) = (l 1,..., l m ) lim x ā f i ( x) = l i para todo i = 1,..., m

18 Cálculo de ĺımites Teorema (Teorema del Sandwich) Sean f, g, h : A R n R y sea ā A, tales que f ( x) g( x) h( x) para todo x A con 0 < d(ā, x) < r para cierto r > 0. Si lim x ā f ( x) = lim x ā h( x) = l, entonces lim x ā g( x) = l. Teorema (Sucesiones) Dada f : A R n R m y ā A, se tiene: { x n } A \ {ā} tal que lim f ( x) = l x ā lim x n = ā, entonces n lim f ( x n) = l n

19 Cálculo de ĺımites Observación Sea f : A R n R m y sea ā A. Si existen dos sucesiones contenidas en A \ {ā}, { x n } ā, {ȳ n } ā, de modo que {f ( x n )} l y {f (ȳ n )} l con l l, entonces no existe lim x ā f ( x). Si { x n } A \ ā, { x n } ā y no existe lim n f ( x n ), entonces no existe lim x ā f ( x). Si {x n } ā y {f (x n )} l entonces, de existir, lim x ā f ( x) = l.

20 Continuidad Definición (Continuidad) Sea f : A R n R m. Se dice que f es continua en ā A si existe lim x ā f ( x) y vale f (ā). Se dice que f es continua en una región B A si lo es en todo punto de B. Teorema Sea f : A R n R m. La función f es continua en ā A si y sólo si cada función coordenada, f i, lo es. Teorema Sea f : A R n R m. Entonces f es continua en ā A si y sólo si para toda sucesión { x n } tal que lim n x n = ā se verifica que lim n f ( x n ) = f (ā).

21 Continuidad Propiedades Sean f, g : A R n R m continuas en ā. Entonces: f + g es continua en ā. Si λ R, λf es continua en ā Si m = 1, fg es continua en ā. Si m = 1 y g(ā) 0, entonces f g es continua en ā. Teorema Sea f : A R n R m continua en ā A y sea g : f (A) R m R k continua en f (ā). Entonces g f : A R n R k es continua en ā.

22 Continuidad en conjuntos compactos y conexos Teorema (Weierstrass) Si f : A R n R es continua en un conjunto compacto K, entonces f (K) es un conjunto compacto, alcanzando f un máximo y un mínimo absolutos en K, esto es, existen x 0, ȳ 0 K tales que f ( x 0 ) f ( x) x K f (ȳ 0 ) f ( x) x K Teorema Si f : A R n R es continua en un conjunto conexo, C, entonces f (C) es un conjunto conexo. Teorema (Bolzano) Si f : A R n R es una función escalar, continua en un conjunto conexo C, y tal que existen x 0, ȳ 0 C tales que f (x 0 )f (y 0 ) < 0, entonces existe z 0 C tal que f ( z 0 ) = 0.