Tema 6. EL NUMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL.

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1 Tema 6.El número real. Topología de la recta real. 1 Tema 6. EL NUMERO REAL. TOPOLOGÍA DE LA RECTA REAL. 1. Introducción. Descripción de la evolución desde los IN a los IR (Z, Q, I). Nota: Q antes que Z - Ampliaciones de los conjuntos de número por la no resolución ecuaciones. Imposibilidad resolver en Q x 2 =2. (Pitágoras hip 2 = ). x= 2. Más números que no cumplen ecuaciones cuadráticas. Número π. Necesidad ampliar Q. Números que resuelven ecuaciones y no son Q denominados irracionales I. Irracionales con nombre: (π,e,φ) IR=I Q. Los R se conocen desde la antigua Grecia, la definición formal en el siglo XIX. Definiremos R a partir de sucesiones de Q, Cantor (conocido Q y operaciones) 2. El cuerpo de los Números reales Construcción de R. Definición1: sucesión números racionales. ϕ:in Q. Notación (a n ) Conjunto de todas las sucesiones racionales S. Operaciones en S Suma : (a n )+(b n )=(a n +b n ) n Producto:(a n ) (b n )=(a n b n ) n Propiedades operaciones. Demostración trivial a partir de propiedades de Q: Suma es grupo conmutativo (bien definida, asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento opuesto, cancelativa). (S,+) Producto semigrupo conmutativo con elemento unidad(bien definida, asociativa, conmutativa, elemento neutro, elemento absorvente) (S, ) Propiedad distributiva de la suma y el producto (S,+, ) Anillo Abeliano. Definición2: Sucesión (a n ) acotada: r Q: a n <r n. Conjunto de todas sucesiones acotadas se denotan por la letra A. Proposición2.1: (A,+, ) subanillo de (S,+, ). Demostración: A S Suma es cerrada en A: (a n ), (b n ) A (a n +b n ) A Simétrico: Para (a n ) A (-a n ) A (0) A Producto cerrado en A:(a n ), (b n ) A (a n b n ) A Definición3: Sucesión (a n ) tiene límite L Q: ε Q + n 0 N: a n -L <ε n n 0. Notación lim(a n )=L Las sucesiones con límites Convergentes. Conjunto sucesiones convergentes C Proposición3.1:Límite sucesión convergente único.dem por reducción a lo absurdo Proposición 3.2: Toda sucesión convergente es acotada: C A. Demostración Proposición 3.3:No toda sucesión acotada es convergente C A. Ejemplo (a n )=(-1) n Proposición 3.4 (C,+, ) subanillo de (S,+, ) C S (por definición de C) Cerrada la suma en C. lim(a n +b n )=L 1 +L 2. Demostración. Simétrico: (a n ) C (-a n ) C (0) C Cerrado el producto en C: lim(a n b n )=L 1 L 2. Demostración Definición4: (a n ) S es de Cauchy si ε Q + n 0 N: a n -a m <ε n,m n 0. Al conjunto de todas las sucesiones de Cauchy las denotamos con las letras Sc.

2 Tema 6.El número real. Topología de la recta real. 2 Proposición 4.1: Toda a n Sc está acotada Sc A. Demostración. Proposición 4.2. Toda sucesión convergente es de Cauchy C Sc. Demostración Proposición 4.3 No toda sucesión de Cauchy es convergente C Sc. Ejemplo a 0 =3, a 1 =3,1,a 2 = a n = el límite es π Q Proposición 4.4: Se cumple que (Sc,+, ) es subanillo de (S,+, ). Demostración Resumen S A Sc C Definción5: Sucesión nula es aquella sucesión convergene con límite 0. Al conjunto de sucesiones nulas las denotaremos como S 0. Proposición 5.1: suma de sucesiones nula es otra sucesión nula (suma cerrada en S 0 ) Proposición 5.2: producto de una sucesión nula por otra de Cauchy es sucesión nula. Demostración Definición6: Definimos R como una relación en Sc definida como:(a n )R(b n ) (a n - b n ) S 0 Proposición 6.1: R es relación de equivalencia sobre Sc: Reflexiva : (a n )R(a n ) (a n -a n )=(0) S 0 Simétrica: (a n )R(b n ) (b n )R(a n ). a n -b n = b n -a n <ε Transitiva (a n )R(b n ) (b n )R(c n ) (a n )R(c n ). c n -a n c n -b n + b n -a n ε/2+ε/2=ε Como es relación equivalencia podemos pasar espacio cociente. [a n ]={b n :b n Ra n }. Definición 7: IR=Sc/R (espacio cociente de Sc por R).Notación x=[a n ],y=[b n ] Proposición7.1 si (a n ),(b n ) Sc y lim(a n )=l, todas sucesiones con mismo límites son de la misma clase de equivalencia. lim(a n -b n )=l-l=0 [a n ]=[b n ]. Por la propiedad reflexiva de R podemos elegir cualquier sucesión de la clase: Sucesiones convergentes (limite L). [a n ]=[L], aplicación constante son Q. Sucesiones de Cauchy no convergentes (no limite en Q). La sucesión aproximación decimal [π]={3,3.1,3.14,...} son I. 2.2.Grupo aditivo en IR Definición de suma en IR: aplicación cerrada en IR: +:IRxIR IR x=[a n ],y=[b n ] x+y=[a n +b n ] Propiedades: (IR,+) es grupo conmutativo (demostraciones trivial a partir de Q) Suma no depende representante elegido: Demostracion Bien definida Asociativa: x+(y+z)=(x+y)+z Conmutativa: x+y=y+x Elemento opuesto [an] su elemento opuesto es [-an] Elemento neutro 0=[(0)]: x+(0)=x. Con 0 aplicación tal que 0 n =0 n N Cancelativa x+z=y+z x=y 2.3.Grupo multiplicativo en IR. Definición de producto en IR: aplicación cerrada en IR: :IRxIR IR x=[a n ],y=[b n ] x y=[a n b n ] Propiedades: (IR*, ) es grupo conmutativo(demostraciones trivial a partir de Q) - Producto no depende representante elegido. Demostrar - Bien definida - Asociativa: x (y z)=(x y) z

3 Tema 6.El número real. Topología de la recta real. 3 - Conmutativa: x y=y x - Elemento opuesto [a n ] su elemento opuesto es [a n -1 ]. Tomamos en [a n ] alguna sucesión del conjunto tal que se cumpla n N a n 0 - Elemento neutro [(1)] x [(1)]=x - Cancelativa x z=y z x=y z IR * 2.4. Cuerpo de números reales (IR,+, ) Proposición: (IR,+, ) es cuerpo abeliano: 2.5. Ordenen en R - (IR,+) es grupo Abeliano - (IR, ) es grupo Abeliano - Propiedad distributiva: (x+y) z=x z+yz (trivial a partir propiedades de Q) Proposición: sea (a n ) Sc tal que (a n ) S 0 existe un elemento a no a partir del cual el resto elementos con n>n 0 mismo signo. Demostración Distinguimos: Sucesiones de Cauchy positivas: n 0 : n>n 0 a n >0 Sucesiones de Cauchy negativas: n 0 : n>n 0 a n <0 Sucesiones de Cauchy nulas: n 0 : n>n 0 a n =0, luego (a n ) S 0 Proposición: Sean dos secesiones de Cauchy y no de S 0 tal que (a n )R(b n ) entonces ambas positivas o negativas Definición: R + ={x R: x=[a n ] y (a n ) sucesión positiva}. No depende de (a n ) elegido Definición: R - ={x R: x=[a n ] y (a n ) sucesión negativa}. No depende de (a n ) elegido Definición: en R definimos la relación como x y y-x R + {0} Proposición: la relación es de orden total. Demostración. 3. Topología de la recta real Introducción histórica. Evolución de la topología. Nacimiento y desarrollo en el siglo XIX, con Cantor y Euler Origen en 1895 Poincaré publica un libo donde axiomatiza la topología Definición de topología. Definición topología sobre conjunto X, par ordenado(x,τ), τ subconjuntos de X: X y contenidos en τ. Si X 1 y X 2 τ X 1 X 2 τ Si X 1 y X 2 τ X 1 X 2 τ Al par ordenado de (X,τ) se denomina espacio topológico del conjunto X. Analogía entre IR y recta real. Relación biunívoca. Punto IR punto de recta. El origen es el punto equivalente a 0. El punto 1 es tal que d(0,1)=1, y nos marca el sentido de la recta. Topología recta real (IR,τ) colección de todos los subconjuntos de IR Intervalos de R. Cotas y extremos. Consideración previa a,b IR con a b, "a" a la izquierda de "b". Definiremos los siguientes intervalos de la recta de la recta real: Intervalo abierto de extremos a y b (a,b) ={x IR:a<x<b}.Si a=b Intervalo cerrado de extremos a y b [a,b]= {x IR:a x b}.si a=b {a} Intervalo semiabierto de extremos a y b: Extremo abierto por la izquierda (a,b]={x IR:a<x b} Extremo b abierto por la derecha [a,b)={x IR:a x<b}

4 Tema 6.El número real. Topología de la recta real. 4 Intervalo infinito abierto: (a, )={x IR: x>a} Intervalo infinito cerrado: [a, )={x IR: x a} Intervalo infinito negativo abierto: (-,b)={x IR:x<b} Intervalo infinito negativo cerrado: (-,b]={x IR:x b} Un conjunto A de puntos de IR se dice acotado: Superiormente si k s R: x A : k s x (-,b), (-,b] Inferiormente si k i R: x A : k i x. (a, ), [a, ) Acotado si lo es acotado inferior y superiormente (a,b),(a,b],[a,b),[a,b] Cota superior es toda k s, cota inferior k i. Extremo inferior o infimo de un conjunto A: m=sup{k i : k i x A} Extremo superior o supremo de un conjunto A: M=inf{k s : k s x A} Proposición, sean los conjuntos (a,b), [a,b],(a,b],[a,b) se cumplen en todos ellos que el extremo inferior es a, el superior es b. Demostración por reducción a lo absurdo Conjuntos abiertos y cerrados. Puntos interiores, exteriores y frontera. Definición previa: Un entorno de x 0 R es un intervalo abierto que contenga al punto, ent(x 0 ). Entorno centrado en x 0 con radio r, (x 0 -r,x 0 +r) Definición 1: Sea A R todo x 0 R puede ser: (ejemplos) x 0 es punto interior de A: ent(x 0 ) contenido en A (ent(x 0 ) A). x 0 es punto exterior de A: ent(x 0 ) contenido en A C (ent(x 0 ) A C ). x 0 es punto frontera de A: todo ent(x 0 ) contiene puntos tanto en A como en A c ent(x 0 ) A y ent(x 0 ) A c El conjunto de puntos interiores Aº=int(A). El conjunto de puntos exteriores ext(a). El conjunto de todos los puntos frontera será definido como front(a). Definición 2: Un conjunto A es abierto si todos sus puntos son interiores A=Aº. Propiedades: El conjunto R y son abiertos. Dem: Por definición de R y. Todo intervalo (a,b) es conjunto abierto. Demostración La unión (finita o infinita) de abiertos es abierto. Demostración La intersección finita de abiertos es abierto. Demostración Definición3:Un conjunto A R es cerrado si su complementario A c =R-A es abierto. Proposiciones: Todos intervalo cerrado A=[a,b] es conjunto cerrado. Demostración La unión de un nº finito de cerrado es cerrado. Demostración La intersección de un nº finito o infinito de cerrados es cerrado. Demostrac Teorema: Sea A R se cumple: int(a), ext(a), front(a) son disjuntos y además R=int(A) ext(a) front(a). Demostración por definición. Propiedades: A,B R: A B int(a) int(b), ext(b) ext(a) A R int(a), ext(a) son abiertos y front(a) cerrado. Se puede ampliar las definiciones y propiedades a R 2 y R Puntos de acumulación y adherentes Definición1: Sea A R se dice que x 0 de acumulación de A si todo intervalo abierto contenga a x 0 contiene un punto en A diferente de x 0. A =puntos acumulación de A. Ejemplo: A=(1,2] {3} {-1/n n Z} El cero es de acumulación pues todo entorno de 0 contiene algún punto. El 1 es de acumulación, pero el 3 no lo es. A =[1,2] {-1/n n Z} {0} Definición 2: Sea A R, se dice que x 0 R adherente si todo entorno de x 0 contiene algún punto de A(incluido x 0 ),ent(x 0 ) Α. A es el conjunto de puntos adherentes

5 Tema 6.El número real. Topología de la recta real. 5 Ejemplo anterior A =[1,2] {3}] {-1/n n Z} {0} Proposición: A A y A A. Demostración por definición de A, A y A Teorema: Un conjunto de A es cerrado A= A. Demostración 4. Contexto del tema con secundaria y bachillerato Los números reales se abordan en 3º y 4º de la ESO.