TOPOLOGÍA. Resumen Curso 2011/2012

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1 TOPOLOGÍA Resumen Curso 2011/2012

2 Capítulo 1 Espacios métricos 1.1. Medir la proximidad Sea X un conjunto. Denotaremos por X X al conjunto de los pares de elementos de X. Definición Una distancia sobre X es una aplicación d : X X R cumpliendo: 1. d(x, x ) 0, x, x X, 2. d(x, x ) = d(x, x), x, x X (Propiedad simétrica), 3. d(x, x ) = 0 si y sólo si x = x, x, x X, 4. d(x, x ) d(x, x )+d(x, x ), x, x, x X (Propiedad triangular), Al par (X, d) se le llama espacio métrico. Si la condición (3) se sustituye por (3 ) d(x, x) = 0, entonces d se llama seudodistancia y el par (X, d) espacio seudométrico. Definición Sea V un espacio vectorial sobre R. Una norma sobre V es una aplicación : V R cumpliendo: 1. v 0, v V, 2. λv = λ v, λ R, v V, 3. v = 0 si y sólo si v = 0, v V, 2

3 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 3 4. v + w v + w, v, w V. Al par (V, ) se le llama espacio normado. Proposición Si (V, ) es un espacio normado, la aplicación d : V V R dada por d(v, w) = v w es una distancia sobre V. A (V, d) se le llama espacio métrico asociado al espacio normado (V, ). Definición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Dados x X y ε > 0, se llama bola abierta de centro x y radio ε a B d (x, ε) = {y X; d(x, y) < ε}. Una bola cerrada de centro x y radio ε es B d [x, ε] = {y X; d(x, y) ε}. Una esfera de centro x y radio ε es S d [x, ε] = {y X; d(x, y) = ε}. Proposición (Propiedades de las bolas abiertas) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Se cumplen: 1. Dados ε > 0 y x X, x B d (x, ε). 1. Si 0 < ε < ε, entonces B d (x, ε ) B d (x, ε). 2. Si y B d (x, ε), donde x, ε son arbitrarios, entonces existe δ > 0 con B d (y, δ) B d (x, ε). 3. Si z B d (x, ε) B d (x, ε ), entonces existe µ > 0 tal que B d (z, µ) B d (x, ε) B d (x, ε ). Proposición (Propiedad de separación de Hausdorff) Si (X, d) es un espacio métrico y x x X, entonces existe ε > 0 tal que B d (x, ε) B d (x, ε) =.

4 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS Conjuntos que envuelven a sus puntos Definición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico y A X. Decimos que x X es un punto interior de A si existe ε > 0 tal que B d (x, ε) A. En tal caso se dice que A es entorno de x en (X, d). Se llama interior de A en (X, d), denotado por inta, a: inta = {x X, x es interior a A}. Un conjunto A X se dice abierto en (X, d) si A = inta. Proposición Se cumple que inta A en todo espacio (seudo)métrico (X, d). 2. Toda bola abierta en un espacio (seudo)métrico es un conjunto abierto en (X, d). Proposición En los espacios métricos (R 2, d e (euclídea)), (R 2, d taxi ) y (R 2, d max ), cualquier conjunto A R 2 tiene el mismo interior. Por tanto, las familias de los conjuntos abiertos de los tres espacios coinciden. Corolario Las bolas abiertas de (R 2, d e ), son abiertos en (R 2, d taxi ) y (R 2, d max ). Análogamente para el resto de los casos. Proposición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces: 1. A X es abierto en (X, d) si y sólo si A es entorno de todos sus puntos. 2. N X es entorno de x en (X, d) si y sólo si existe un abierto G en (X, d) con x G N. 3. x es un punto interior de A en (X, d) si y sólo si existe un abierto G con x G A. Proposición (Propiedades del interior) Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Entonces: 1. inta A. 2. Si A B, entonces inta intb. 3. int(a 1... A n ) = inta 1... inta n. 4. int(inta) = inta. En particular, inta siempre es abierto.

5 CAPÍTULO 1. ESPACIOS MÉTRICOS 5 Proposición (Propiedades básicas de los conjuntos abiertos en un espacio (seudo)métrico). Dado un espacio (seudo)métrico (X, d), se cumplen: 1. Los conjuntos y X son abiertos en (X, d). 2. Si A 1,...,A n son abiertos en (X, d), entonces A 1... A n también es abierto. 3. Si {A α } α Λ es una familia cualquiera de abiertos en (X, d), entonces α Λ A α también lo es.

6 Capítulo 2 Espacios topológicos En el capítulo anterior vimos que distacias distintas podían dar lugar a un mismo çontrol de proximidad". Por tanto debe existir una noción subyacente a la de distancia que nos lleve a la fundamentación general de la idea de proximidad. Esta estructura es la de topología como colección de subconjuntos sujetos a las condiciones que se reflejan en la propiedades básicas de los conjuntos abiertos de los espacios (seudo)métricos en la proposición El relevo de una (seudo)distancia por la familia de abiertos permite establecer sobre un conjunto una estructura de proximidad sin valores numéricos La proximidad sin distancia Definición Dado un conjunto X cualquiera, se llama topología sobre X a cualquier familia T de subconjuntos de X cumpliendo: 1. Los conjuntos y X están en T. 2. Si A 1,...,A n están en T, entonces n i=1 A i también está en T. 3. Si {A α } α Λ está formada por conjuntos en T, entonces α Λ A α también está en T. Al par (X, d) se le llama espacio topológico. Los conjuntos de T se llaman abiertos del espacio topológico (X, T ). Nota Se cumple que T deuclídea = T dtaxi = T dmax, es decir, que el espacio topológico asociado a las tres distancias es el mismo. 6

7 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 7 Definición Sea (X, d) un espacio topológico. Si A X y x X, decimos que x es interior a A en (X, T ) si existe un G en T con x G A. En particular, A. Se llama interior del conjunto A en (X, T ) al conjunto inta = {x X; x es interior a A}. Nota Observamos que inta A siempre se cumple. Proposición El conjunto A está en T si y sólo si A = inta. Definición Dado N X, decimos que N es entorno de x X en el espacio topológico (X, T ) si x intn. Proposición A está en T si y sólo si es entorno de todos sus puntos. Definición Dado (X, d) un espacio topológico, se dice que x A es un punto aislado en A X si existe G en T con x G tal que G A = {x}. En particular, x se dice aislado en X si existe G en T con G = {x}. Si un punto x A no es aislado en A, entonces para todos G en T y x G se cumple que G A {x}, es decir, que (G {x}) A. Un punto no aislado se dice punto de acumulación; esto es Definición Dado un espacio topológico (X, T ) y A X, decimos que x X es punto de acumulación de A si para todo abierto G en (X, T ) con x G, se cumple que (G {x}) A. Proposición (Caracterización de puntos de acumulación en espacios métricos) Dados (X, d) un espacio métrico y A X, el punto x X es de acumulación de A si y sólo si todo abierto G en (X, d) contiene infinitos puntos de A. Corolario Si (X, d) es un espacio métrico y A = {a 1,...,a n } es un conjunto finito, todos sus puntos son aislados. Definición Dados (X, T ) un espacio topológico y un conjunto A X, decimos que x X es punto adherente a A si todo abierto G de T con x G cumple G A. Definición Se llama clausura de A al conjunto Ā = {x X; x es adherente a A}. Por la nota anterior, siempre se cumple A Ā. Un conjunto A se llama cerrado en (X, T ) si Ā = A.

8 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 8 Proposición Si X es infinito, no existe ninguna distancia d sobre X cuyos abiertos sean los conjuntos que aparecen en la topología de Zariski. Nota Se deja como ejercicio el demostrar que tampoco existe una seudodistancia d sobre un conjunto infinito X para la cual la topología de Zariski sea la familia de abiertos de (X, d). Definición Sea (X, d) un espacio topológico. Una sucesión {x n } n 1 de X se dice que converge a x 0 X (o equivalentemente, que x 0 es un punto límite de {x n } n 1 ) en (X, T ) si para todo abierto G de (X, T ) con x 0 G existe n 0 tal que si n n 0, entonces x n G. Proposición Sea (X, d) un espacio métrico. Toda sucesión convergente en (X, d) tiene un único punto límite. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice que tiene la propiedad de separación de Hausdorff (o que es un espacio de Hausdorff) si dados x, x X con x x, existen abiertos G, G en (X, T ) tales que x G, x G y G G =. Proposición Si (X, T ) es un espacio topológico de Hausdorff, entonces toda sucesión convergente tiene un único punto límite. Proposición (Caracterización de la clausura en espacios (seudo)métricos). Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes: 1. x Ā con x X y A X. 2. Dado ε > 0, existe a A con d(x, a) < ε. 3. Existe {a n } n 1 A con {a n } n 1 convergiendo a x. Corolario En un espacio (seudo)métrico, A es cerrado si y sólo si para todo x X para el cual exista {a n } n 1 A convergiendo a x se tiene que x A Propiedades de la clausura y el interior Proposición (Propiedades de la clausura y el interior. Análisis de la posición) Sea (X, τ) un espacio topológico. Se cumple: 1. Si A X entonces A A.

9 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 9 2. Si A B entonces A B. 3. A 1... A n = A 1... A n. 4. A = A. En particular, A siempre es cerrado. Proposición (Dualidad abierto-cerrado) Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A X se tiene: 1. A = X int(x A). 2. int(a) = X (X A). En particular, A es abierto si y sólo si X A es cerrado. Proposición (Propiedades de los cerrados) 1. y X son cerrados. 2. Si A 1...A n son cerrados, entonces n i=1 A i es cerrado. 3. Si {A α } α Λ es una familia de cerrados, entonces α Λ A α es cerrado. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, para todo A X, se tiene: A = (A A ) A donde A = {x X, x es punto de acumulación}. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Dado A X, decimos que x X es un punto frontera de A si para todo conjunto G abierto de (X, τ) con x G, se verifica que G A y (X A) G. Se llama conjunto frontera de A a FrA = {x X, x punto frontera de A} Proposición FrA = A X A Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Entonces, para todo A X, se cumple: A = int(a) FrA Además, int(a) FrA =. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico, y A X. Un elemento x X se dice exterior a A si x int(x A). Se define el exterior de A como: ext(a) = int(x A)

10 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 10 Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico, entonces: 1. FrA = Fr(X A) 2. X = int(a) FrA ext(a) 3. Los anteriores conjuntos son disjuntos entre sí. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico, A X se dice denso en (X, τ) si A = X. Definición Sea (X, τ) un espacio topológico, y A X. Sea la familia de subconjuntos de A, τ A = {A G, G τ}. Entonces, la familia τ A es una topología sobre A, llamada topología relativa a A (o restricción). A (A, τ A ) se le llama subespacio topológico de (X, τ), y se tiene que C A es un cerrado de (A, τ A ) si y sólo si C = {F A, F cerrado de (X, τ)} Además, si A abierto de (X, τ), entonces todos los abiertos de (A, τ A ) son abiertos de (X, τ). Del mismo modo se tendrá para los cerrados. Nota Si B A X y (X, τ) espacio topológico, denotamos por B X a la clausura de B en (X, τ), y B A, a la clausura de B en (A, τ A ). Probar que B A = B X A. Nota Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico, y sea τ d la topología de los abiertos de (X, d). Dado A X, denotamos por d A a la distancia restricción cuyos abiertos forman la topología τ d A, entonces se tiene τ d A = (τ d ) A. Se deja como ejercicio comprobar la igualdad (Ayuda: se tiene que para toda a A, B d A (a, ε) = B d (a, ε) A) Continuidad Definición Sean (X, τ) e (Y, τ ) espacios topológicos. Una aplicación f : (X, τ) (Y, τ ) se dice continua si para todo A X, se verifica que f(a) f(a). Es decir, si para todo a A, entonces, f(a) f(a). Proposición (Caracterización de la continuidad por abiertos y cerrados) Sean (X, τ) e (Y, τ ) espacios topológicos, y sea una aplicación f : (X, τ) (Y, τ ). Son equivalentes:

11 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 11 (1) f es continua. (2) Si F es un cerrado en (Y, τ ), entonces f 1 (F) es cerrado en (X, τ). (3) Si G es un abierto en (Y, τ ), entonces f 1 (G) es abierto en (X, τ). Proposición (Caracterización en espacios (seudo)métricos) Sea f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos. Son equivalentes: (1) f es continua (con la caracterización por abiertos). (2) Para todo x X y para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que si d(x, x ) < δ, entonces, d (f(x), f(x )) < ε. O equivalentemente, f(b d (x, δ)) B d (f(x), ε). Proposición (Caracterización por convergencia) Sea f : (X, d) (Y, d ) una aplicación entre espacios (seudo)métricos. Son equivalentes: (1) f es continua. (2) Si {x n } n 1 X y {x n } n 1 converge a x 0 en (X, d), entonces {f(x n )} n 1 converge a f(x 0 ) en (Y, d ). Proposición (Propiedades generales de las aplicaciones continuas) a) Cualquier aplicación constante es continua. b) La identidad id : (X, τ) (X, τ) es continua. c) La composición de aplicaciones continuas es continua. d) La restricción de una aplicación continua es continua respecto de la topología restricción (o relativa). Notar que b) + d) implica que toda inclusión i : (A, τ A ) (X, τ) : i(a) = a a A, con A X, es continua. Proposición Sea f : (X, τ) (Y, τ ) continua, y f : (X, τ) (f(x), τ f(x) ) la restricción sobre la imagen, dada por f(x) = f(x) x X. Entonces f es continua. Definición Una aplicación f : (X, τ) (Y, τ ) se dice equivalencia topológica (homeomorfismo) si f es biyectiva, y f y f 1 son continuas.

12 CAPÍTULO 2. ESPACIOS TOPOLÓGICOS 12 Proposición Las proyecciones p i : (R n,euclídea) (R,euclídea), definidas como p i (x 1,..., x n ) = x i, para 1 i n son siempre continuas. Proposición Una aplicación f : (X, τ) (R n,euclídea) es continua si y sólo si p i f : f : (X, τ) (R,euclídea) es continua para todo 1 i n. Proposición Si f : (X, τ) (Y, τ ) es un homeomorfismo y G X es un abierto de (X, τ), entonces f(g) es abierto de (Y, τ ). Se tendrá un resultado análogo para los cerrados. Definición Una aplicación f : (X, τ) (Y, τ ) se dice abierta si para todo abierto G de (X, τ), entonces f(g) es abierto de (Y, τ ). Análogamente, se dice que f es cerrada si para todo cerrado F de (X, τ), entonces f(f) es cerrado de (Y, τ ). Proposición f es homeomorfismo si y sólo si es biyectiva, continua y abierta, si y sólo si es biyectiva, continua y cerrada. Proposición Todos los intervalos abiertos de R son homeomorfos entre sí (incluyendo R). Definición Dada f : (R,euclídea) (R,euclídea), se llama gráfica de f a Γ f = {(x, y) : y = f(x)} R 2 Definición Una inmersión es una aplicación continua e inyectiva f : (X, τ) (Y, τ ), cuya restricción a la imagen f : (X, τ) (f(x), τ f(x) ) es homeomorfismo. Proposición Si f es continua, ϕ f es una inmersión de (R,euclídea) en (R 2,euclídea).

13 Capítulo 3 Compacidad 3.1. Definición y primeros ejemplos Definición Dado un conjunto X y A X, un recubrimiento de A en X es una familia {C α } α Λ de subconjuntos de X tal que A α Λ C α. Nota Si A = X la inclusión es una igualdad: X = α Λ C α. Definición Un subrecubrimiento de {C α } α Λ es una subfamilia {C α } α Λ con Λ Λ y aún A α Λ C α Definición Sea (X, τ) un espacio topológico. Un subconjunto A X se dice compacto en (X, τ) si de todo recubrimiento de A por abiertos en (X, τ) se puede extraer un subrecubrimiento finito. Nota Si A = X decimos que (X, τ) es un espacio compacto. Lema A es compacto en (X, τ) si y solo si el subespacio (A, τ A ) es compacto La compacidad y los conjuntos cerrados Definición Una familia de conjuntos {A α } α Λ se dice que tiene la Propiedad de Intersección Finita (PIF) si toda subfamilia finita A α1,...,a αn tiene intersección A α1 A αn no vacía. Proposición Sea (X, τ) un espacio topológico. Son equivalentes: 1. (X, τ) es compacto. 13

14 CAPÍTULO 3. COMPACIDAD Tada familia de cerrados con la PIF tiene intersección distinta de vacío. Proposición (Los cerrados heredan la compacidad). Sea (X, τ) un espacio topológico y F X cerrado en él. Entonces F es compacto en (X, τ). Corolario En (R, euclidea) si A es cerrado y acotado, entonces A es compacto Compacidad y propiedad de Haussdorff Proposición (Separación de punto y compacto) Sea (X, τ) un espacio topológico con la propiedad de Haussdorff. Sea F X compacto y x F. Entonces existen abiertos U y V de (X, τ) con x U, F V y U V =. Nota La proposición anterior vale para cualquier espacio métrico. Corolario Todo compacto en un espacio con la propiedad de separación de Hausdorff (en particular en un espacio métrico) es siempre cerrado. Proposición (Separación de compactos) Sea (X, τ) un espacio topológico con la propiedad de separación de Hausdorff. Sean F 1, F 2 X compactos disjuntos. Entonces existen abiertos U y V de (X, τ) con F 1 U, F 2 V y U V =. Nota La proposición anterior vale para todos los espacios métricos Compacidad y continuidad Proposición (La continuidad preserva la compacidad) Sea f : (X, τ) (Y, τ ) una aplicación continua entre espacios topológicos. Si A X es compacto en (X, τ) entonces f(a) lo es en (Y, τ ). Proposición (Continuidad entre espacios de Hausdorff compactos). Sean (X, τ) e (Y, τ ) espacios topológicos compactos con la propiedad de Hausdorff. Toda f : (X, τ) (Y, τ ) continua es también cerrada.

15 CAPÍTULO 3. COMPACIDAD 15 Nota En la demostración sólo se ha usado la compacidad de (X, τ) y la propiedad de Hausdorff de (Y, τ ). Corolario Toda aplicación biyectiva y continua, f : (X, τ) (Y, τ ) entre espacios compactos y de Hausdorff es un homeomorfismo Compacidad en espacios productos. Caracterización de la compacidad en los espacios euclídeos. Sean (X 1, d 1 )...(X n, d n ) espacios (seudo)métricos. Sobre el producto cartesiano X 1 X 2 X n podemos considerar las siguientes seudo(distancias) δn taxi = δn taxi (d 1,...,d n ), δn max = δn max (d 1,...,d n ) y δn euclidea = δn euclidea (d 1,...,d n ), dadas por δn taxi ((x 1,...,x n ), (x 1,...,x n)) = n i=1 d i(x i, x i), δn max ((x 1,...,x n ), (x 1,...,x n )) = max{d 1(x 1, x 1 ),...,d(x n, x n )}, y δn euclidea ((x 1,...,x n ), (x 1,..., x n)) = n i=1 d i(x i, x i )2, respectivamente. Obsérvese que si X 1 = X 2 = = X n = R y d 1 = d 2 = = d n = euclídea sobre R entonces δn taxi = d taxi, δn max = d max y δn euclidea = d euclidea sobre R n. Además, extendiendo la Nota??, se puede comprobar (ejercicio) que las tres generan los mismos conjuntos abiertos. Por tanto, sus espacios topológicos subyacentes son el mismo y, como consecuencia, la compacidad se puede estudiar con cualquiera de estas (seudo)distancias. Proposición Sean (X 1, d 1 )...(X n, d n ) espacios (seudo)métricos, y sea δ cualquiera de las (seudo)distancias δn taxi, δn max o δn euclidea. Si A i X i, 1 i n compacto en (X i, d i ), entonces A 1 A n es compacto en (X 1 X n, δ). Corolario El paralelogramo (producto de intervalos) [a 1, b 1 ] [a n, b n ] es compacto en (R n, d max ) (o equivalentemente (R n, d taxi ) o (R n, d euclidea )) Nota Generalización a espacios topológicos: Si (X 1, T 1 ) y (X 2, T 2 ) espacio topológico. Se define sobre X 1 X 2 la topología producto, T 1 T 2 = { y G X 1 X 2, tales que para todo (x, y) G existen U y V abiertos de T 1 y T 2 con (x, y) U V G}. Se puede demostrar, con una demostración similar a la de?? que si A 1 y A 2 son compactos de (X 1, T 1 ) y (X 2, T 2 ), respectivamente, entonces A 1 A 2 es un compacto de (X 1 X 2, T 1 T 2 ).

16 CAPÍTULO 3. COMPACIDAD 16 Proposición Sea (X, d) espacio (seudo)métrico. Entonces, todo C X compacto está acotado. Proposición (Teorema de Heine-Borel). A R es compacto en (R n, euclídea) si y sólo si A es cerrado y acotado. Nota ) Es válida para todo espacio métrico Compacidad en espacios métricos Proposición Sea (X, d) espacio métrico y {x n } n 1 X una sucesión sin subsucesiones convergentes. Entonces: 1. El conjunto A = {x 1, x 2, x 3,...,x n,... } es infinito. 2. El conjunto de puntos de acumulación de A, A =, es vacío. Corolario (Propiedad de Bolzano-Weierstrass). Si (X, d) es un espacio métrico compacto entonces toda sucesión en X posee una subsucesión convergente. Proposición (Teorema de Bolzano-Weierstrass) El recíproco también es cierto, es decir, un espacio métrico (X, d) es compacto si y sólo si posee la propiedad de Bolzano-Weierstrass. Proposición Sea (X, d) espacio métrico con la propiedad de Bolzano- Weierstrass. Entonces para cualquier ε > 0, X se puede cubrir con una cantidad finita de bolas de radio ε. Proposición (Lema de Lebesgue) Sea (X, d) un espacio métrico con la propiedad de Bolzano-Weierstrass, entonces dado cualquier recubrimiento U = {U α } α Λ de X existe ε > 0 (llamado número de Lebesgue de U) tal que para cada bola abierta de radio ε, B d (x, ε) existe α 0 Λ con B d (x, ε) U α0 Nota El lema de Lebesgue implica que si A X es cualquier conjunto con diámetro δ(a) < ε 2, entonces A U α 0 para algún α 0 Λ. En efecto, si a A, δ(a) < ε 2 implica que A B d(a, ε) y esta bola está contenida en algún U α por el lema de Lebesgue. Definición Sea f : (X, d) (Y, d ) entre espacios (seudo)métricos. Decimos que f es uniformemente continua si dado ε > 0, δ > 0 tal que si d(x, x ) < δ, entonces d (f(x), f(x )) < ε.

17 CAPÍTULO 3. COMPACIDAD 17 Proposición (Teorema de Heine). Sea f : (X, d) (Y, d ) con (X, d) espacio métrico compacto. Entonces, si f es continua, f es uniformemente continua. Definición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Una sucesión {x n } n 1 X se dice de Cauchy si dado ε > 0, n 0 con d(x n, x n ) < ε para todo n, n n 0. Proposición Toda sucesión convergente es de Cauchy. Definición Un espacio (seudo)métrico (X, d) se dice completo si toda sucesión de Cauchy en (X, d) es convergente. Proposición Los espacios euclídeos (R n,euclídea) son completos. Proposición Todo espacio métrico compacto (X, d) es completo Compacidad local Definición Un espacio topológico (X, τ) se dice localmente compacto si x X y cualquier entorno N de x existe otro entorno N de x con N N y N compacto. Proposición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico. Son equivalentes: 1. (X, d) es localmente compacto. 2. Dado x X existe una bola cerrada B d [x, ε] que es compacta. 3. Todo x X posee un entorno N en (X, τ) que es compacto. Proposición Sea (X, d) un espacio (seudo)métrico localmente compacto. 1. Si A X es cerrado, (A, d A ) es localmente compacto. 2. Si B X es cerrado, (B, d B ) es localmente compacto.

18 Capítulo 4 Conexión 4.1. Conexión por caminos Definición Dado (X, T ) un espacio topológico, un camino entre dos elementos x, y X es una aplicación continua α : ([0, 1], euclídea) (X, T ) tal que α(0) = x y α(1) = y. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice conexo por caminos si x, y X existe un camino entre x e y. Más generalmente, A X se dice conexo por caminos si lo es (A, T / A ). La siguiente proposición muestra que todos los espacios conexos por caminos tienen sólo al espacio total y el vacío como conjuntos simultáneamenta abiertos y cerrados. Proposición Si (X, T ) es conexo por caminos, entonces los únicos conjuntos abiertos y cerrados de (X, T ) son X y. Para los intervalos de R el recíproco de la proposición anterior también es cierto y ello nos permite determinar todos los conjuntos conexos por caminos de la recta euclídea. Explícitamente, Proposición (Caracterización de los conjuntos conexos por caminos de la recta euclídea) En (R,euclídea), las siguientes propiedades son equivalentes para cualquier A R. 1. A es conexo por caminos. 2. Los únicos conjuntos que son a la vez abiertos y cerrados en (A,euclídea) son A y. 18

19 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN Si a b con a, b A, entonces [a, b] A. 4. A es un intervalo. Proposición Sea f : (X, T ) (Y, T ) continua. Si A X es conexo por caminos f(a) también. Consecuencia: Si f es homeomorfismo y (X, T ) es conexo por caminos, entonces (Y, T ) también lo es. Proposición Sean (X 1, d 1 ) y (X 2, d 2 ) e. (seudo)métricos conexos por caminos. Entonces (X 1 X 2, δ máx 2 ) es conexo por caminos, donde δ máx 2 (d 1, d 2 )((x 1, x 2 ), (x 1, x 2)) = máx{d 1 (x 1, x 1), d 2 (x 2, x 2)} Nota La proposición anterior es válida también para las (seudo)distancias δ2 taxi y δ2 euclidea ; ver Sección 3.5. Más generalmente, la proposición es válida para (X 1 X 2, T 1 T 2 ) donde T 1 T 2 es la topología producto en Igualmente se puede generalizar a un número cualquiera de factores (X 1, d 1 ),..., (X n, d n ) con n 2. Proposición La relación estar conectados por un camino en (X, T ). es de equivalencia. La denotaremos por. Proposición Sea {C α } α Λ familia de conexos por caminos en (X, T ). Supongamos que α 0 Λ tal que C α C α0 α Λ. Entonces C 0 = α Λ C α es conexo por caminos. Proposición Variante: Si también es conexo por caminos. α Λ C α entonces C 0 = α Λ C α Definición Sea (X, T ) un espacio topológico. Se llama componente conexa por caminos de x X al mayor conexo por caminos C x X con x C x. Proposición C x coincide con la clase de equivalencia de x respecto a la relación estar conectado por un camino. Proposición (Propiedades de componentes conexas por caminos) Sea (X, T ) un espacio topológico. Se cumplen: 1. x C x.

20 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN C x es conexo por caminos. 3. C x es la clase de x por la relación estar conectado por un camino en (X, T )". 4. C x C y C x = C y. Es decir, las componentes conexas por caminos forman una partición de X. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexo por caminos si dado x X y cualquier entorno de N de x, existe otro entorno N de x con N N y N es conexo por caminos. Proposición Si (X, T ) es localmente conexo por caminos, la componente conexa por caminos (C x ) es abierto y cerrado x X. Proposición (Invarianza del número de componentes conexas por caminos) Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo. Si C x es la componente conexa por caminos de x, entonces f(c x ) lo es de f(x). Consecuencia: f induce una biyección entre las familias de componentes conexas por caminos de (X, T ) y de (Y, T ). Nota Algunas observaciones: 1. No siempre la clausura de un conexo por caminos es conexo por caminos. 2. No siempre las componentes conexas por caminos son cerradas Puntos de Corte Definición Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x X se dice un punto de corte de (X, T ) si X {x} no es conexo por caminos. Al número de componentes conexas por caminos de X {x} se le llama orden de corte de x. Definición Sea (X, T ) un espacio topológico. Un punto x X se dice un punto de corte local de orden n de (X, T ) si para todo entorno N de x existe otro N N tal que N {x} tiene n componentes conexas por caminos.

21 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN 21 Proposición (Invarianza de los puntos de corte) Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo: a) x es punto de corte de orden n de (X, T ) si y sólo si f(x) lo es de (Y, T ). b) x es punto de corte local de orden n de (X, T ) si y sólo si f(x) lo es de (Y, T ) La conexión topológica. Definición y primeras propiedades Recordemos que la recta eucídea y todos los espacios conexos por caminos tienen la propiedad de que la familia de los conjuntos abiertos y cerrados a la vez en cualquiera de ellos se reduce al espacio total y el conjunto vacío. Por tanto, esta propiedad generaliza la conexión por caminos y vamos ahora a estudiarla con más detalle en esta sección. Comenzamos probando que es equivalente a la siguiente propiedad que llamaremos conexión topológica. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice disconexo si existen dos abiertos U y V de (X, T ), distintos del vacío tales que U V = y X = U V. En caso contrario se dirá que es topológicamente conexo o, por abreviar, conexo. En general, un subconjunto A X se dice conexo en (X, T ) si (A, T / A ) es conexo. Proposición Un espacio topológico (X, T ) es conexo si y sólo si los únicos conjuntos que son abiertos y cerrados a la vez son y X. La Proposición nos permite rescribir la Proposición como sigue. De esta manera se caracterizan los conjuntos conexos de la recta euclídea además de establecerse que en ella la conexión es equivalente a la conexión por caminos. Proposición (Caracterización de los conexos de la recta euclídea) En (R,euclídea) las siguientes propiedades son equivalentes para un conjunto A R. 1. A es conexo por caminos. 2. A es conexo. 3. Si a b con a, b A, entonces [a, b] A.

22 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN A es un intervalo. En general, la Proposición muestra que la conexión topológica generaliza a la conexión por caminos. Ambas propiedades no son equivalentes como se observa a continuación. Veamos una condición suficiente para que un espacio conexo sea conexo por caminos. Proposición Sea (X, T ) localmente conexo por caminos. Entonces (X, T ) es conexo si y sólo si (X, T ) es conexo por caminos. Proposición Sea f : (x, T ) (Y, T ) continua y A X conexo. Entonces f(a) es conexo. En particular, si f es homeomorfismo y (X, T ) es conexo, entonces (Y, T ) también. Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico y A X conexo, entonces todo B X tal que A B A es conexo. En particular A es siempre conexo Otras caracterizaciones y propiedades de los espacios conexos Comenzamos observando que la Proposición permite demostrar que la conexión de un espacio es equivalente a que toda aplicación de ese espacio en la recta euclídea cumpla el Teorema del Valor Intermedio de Bolzano en la Proposición??. Esto es, Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico. Son equivalentes a) (X, T ) es conexo. b) Si f : (X, T ) (R,euclídea) y a, b f(x) con a b entonces [a, b] f(x) c)(teorema de Bolzano) Si f : (X, T ) (R,euclídea) es continua y x 1, x 2 X con f(x 1 ) < 0 y f(x 2 ) > 0, entonces x 0 X con f(x 0 ) = 0. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice discreto si todos los conjuntos unitarios {x} son abiertos. Proposición Sea (X, T ) espacio topológico discreto. Entonces A X es conexo si y sólo si A = {x} tiene un sólo elemento. Proposición Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equivalentes: a) (X, T ) es conexo. b) Toda f : (X, T ) (Y, T ) continua con (Y, T ) discreto es constante.

23 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN 23 Proposición Sea (X, T ) cualquier espacio topológico. Son equivalentes: a) (X, T ) es conexo. b) Dados a, b X, C X conexo tal que a, b C. Proposición Sea (X, T ) un espacio topológico. Sea {C α } α Λ con C α X conexo α Λ. Supongamos que existe α 0 con C α C α0 α Λ (*). Entonces C = α Λ C α es conexo. Proposición (Variante 1) Supongamos que en vez de ( ) en se tiene C α C α α, α entonces C sigue siendo conexo. Proposición (Variante 2) Sean C 1, C 2,..., C n una sucesión con C i C i+1 i 1. Entonces C = C n es conexo. Proposición Sean (X 1, d 1 ) y (X 2, d 2 ) espacios (seudo)métricos conexos. Entonces (X 1 X 2, δ max 2 ) con es conexo. n=1 δ max 2 ((x 1, x 2 )(x 1, x 2)) = máx{d 1 (x 1, x 1), d 2 (x 2, x 2)} Nota La proposición anterior es válida también para las (seudo)distancias δ2 taxi y δ2 euclidea. De hecho, todo lo indicado en permanence válido para si cambiamos la conexión por caminos por la conexión topológica Componentes conexas Definición Dado (X, T ) un espacio topológico y x X llamamos componente conexa de X al mayor conjunto conexo C x X que contiene a x. Proposición (Propiedades básicas de las componentes conexas) Sea (X, T ) un espacio topológico. Si C x es la componente conexa de x X, se cumplen: 1. x C x 2. C x es conexo.

24 CAPÍTULO 4. CONEXIÓN C x es cerrado en (X, T ). 4. Si C x C y C x = C y. Es decir, las componentes conexas forman una partición de X. Definición Un espacio topológico (X, T ) se dice localmente conexo si dado cualquier x X y cualquier entorno N de x en (X, T ) entonces existe otro entorno N de x que es conexo y N N. Proposición Si (X, T ) es localmente conexo entonces toda componente C x es un conjunto abierto (y por tanto abierto y cerrado). Proposición (Invarianza del número de componentes conexas) Sea f : (X, T ) (Y, T ) un homeomorfismo, entonces si C x es componente de x se tiene que f(c x ) es componente conexa de f(x). Consecuencia: Existe una biyección entre las componentes conexas de (X, T ) y las de (Y, T ).