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1 2. CONSTRUCCIÓN DE MEDIDAS. 1. MEDIDAS EXTERIORES. (2,1,1) Definición. Una medida exterior es una aplicación µ : P(X) [0, + ] que cumple: (a) µ ( ) = 0. (b) Monotonía: Si A B, entonces µ (A) µ (B). (c) Subaditividad: Para toda sucesión (A n ) de partes de X µ ( ) A n µ (A n ). (2,1,2) Ejemplo. La medida exterior de Lebesgue m d definida en Rd. Cuando la dimensión esté sobrentendida usaremos la notación m. (2,1,3) Definición. Sea µ una medida exterior definida en el conjunto X. Diremos que M X es medible (en el sentido de Carathéodory) si para todo A X se tiene µ (A) = µ (A M) + µ (A M). (2,1,4) Teorema de Carathéodory. Sea µ una medida exterior definida en un conjunto X. Los conjuntos medibles en el sentido de Carathéodory forman una σ-álgebra Σ de partes de X. La restricción µ de µ a Σ es una medida. Los conjuntos medibles Lebesgue son los conjuntos medibles en el sentido de Carathéodory respecto de la medida exterior de Lebesgue. 2. MEDIDAS EXTERIORES MÉTRICAS. El teorema de Carathéodory por si sólo no nos dice qué conjuntos son medibles. Necesitamos introducir un concepto nuevo para probar que los conjuntos de Borel son medibles. (2,2,1) Definición. Sea X un espacio métrico. Diremos que una medida exterior µ definida en X es medida exterior métrica si para cada dos conjuntos A, B X tales que su distancia d(a, B) > 0 se cumple µ (A B) = µ (A) + µ (B). (2,2,2) Ejemplo. La medida de Lebesgue en R n es una medida exterior métrica. Teoría de la Medida,

2 (2,2,3) Lema. Sea X un espacio métrico, µ una medida exterior métrica definida en X. Dado un abierto V y un conjunto A definimos A n = {x A V : d(x, X V ) > 1/n}. Entonces se tiene que lim n + µ (A n ) = µ (A V ). (2,2,4) Teorema. Sea X un espacio métrico, µ una medida exterior métrica definida en X. Los conjuntos abiertos de X son medibles en el sentido de Carathéodory. Es fácil ver ahora que una medida exterior es métrica si y sólo si los conjuntos abiertos son medibles. (2,2,5) Corolario. Sea X un espacio métrico, µ una medida exterior métrica definida en X. Entonces todos los conjuntos de Borel son medibles en el sentido de Carathéodory. En particular los conjuntos de Borel de R n son medibles Lebesgue. 3. EXTENSIÓN DE MEDIDAS. (2,3,1) Definición. Un anillo A en X es un subconjunto de partes de X tales que: (a) A. (b) A y B A implican que A B A, y A B A. (2,3,2) Ejemplo. Las uniones finitas de intervalos semiabiertos (a, b] forman un anillo en R. Si A y B A se deduce de la condición (b) que A B y la diferencia simétrica A B = (A B) (B A) A. Nos preguntamos cuando una aplicación τ: A [0, + ] se extiende a una medida, definida en una σ-álgebra Σ A. Es claro que son necesarias dos condiciones, que exponemos en la definición siguiente. (2,3,3) Definición. Una función τ: A [0, + ] se dice que es una premedida si cumple las dos condiciónes: (a) τ( ) = 0. ( ) (b) τ A n = n A n A. τ(a n ), siempre que los A n A sean disjuntos dos a dos y tales que El siguiente teorema prueba que estas condiciones son suficientes. (2,3,4) Teorema de extensión. Sea τ: A [0, + ] una premedida definida en el anillo A. Entonces existe una medida µ, definida en la σ-álgebra Σ = A σ generada por A que extiende a la premedida τ. Teoría de la Medida,

3 Nota. La extensión se construye a partir de la medida exterior asociada a τ { } µ (Y ) = inf τ(a n ) Y A n, A n A. (2,3,5) Unicidad de la extensión. Si la premedida es σ-finita, es decir existe una sucesión (A n ) de conjuntos del anillo tales que τ(a n ) < + y A n = X, entonces la extensión µ del teorema anterior es única. El teorema de extensión se usa en muchos casos para comparar medidas, como vemos en las siguientes consecuencias. (2,3,6) Consecuencias. Sea A un anillo y µ una medida en A σ que es σ-finita sobre A. (a) Si ν es una medida en A σ que cumple µ(a) ν(a) para todo A A, entonces µ(m) ν(m) para todo M A σ. (b) Si ν es una medida en A σ que coincide con µ en A, entonces µ = ν en A σ. (a) Aproximación Si M A σ y µ(m) < +, y ε > 0, entonces existe A A con µ(a M) < ε. (2,3,7) Definición. Un familia S de partes de X es un semianillo si cumple (a) S. (b) Si J y K S, entonces J K S y J K es unión finita de elementos disjuntos de S. (2,3,8) Ejemplos. Los conjuntos unitarios de X y el conjunto vacío forman un semianillo. Los intervalos semiabiertos (a, b] de R forman un semianillo. (2,3,9) Proposición. Sea S un semianillo en X. Las uniones finitas de elementos de S forman un anillo en X. Cada elemento de este anillo es unión finita y disjunta de elementos de S. (2,3,10) Proposición. Si S 1 es un semianillo en X 1 y S 2 otro en X 2, entones la familia S 1 S 2 de los productos J 1 J 2 (con J i X i ) forman un semianillo en X 1 X 2. (2,3,11) Ejemplo. Las uniones finitas (y disjuntas) de intervalos de la forma (a 1, b 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ] forman un anillo en R d. Este anillo genera la σ-álgebra de los conjuntos de Borel. (2,3,12) Teorema. Sea S un semianillo y ρ: S [0, + ] una función que cumple: (a) ρ( ) = 0. (b) Si (A n ) es una sucesión en S tal que A n S, entonces ( ) ρ A n = ρ(a n ). Teoría de la Medida,

4 Entonces ρ se extiende a una única premedida en el anillo A generado por S. En las condiciones del teorema anterior existe por tanto una medida µ que extiende ρ a la σ-álgebra A σ, y si ρ es σ-finita la extensión µ es única. 4. MEDIDAS DE BOREL-STIELTJES. Caracterizamos aquí todas las medidas de Borel en R que son finitas en los conjuntos acotados. (2,4,1) Teorema. Sea µ: B [0, + ] una medida definida en la familia B conjuntos de Borel de R y que es finita en los conjuntos acotados. Existe una función α: R R de forma que para todo par de números reales a < b se tiene µ(a, b] = α(b) α(a). (2,4,2) Propiedades. (a) La función α del teorema anterior es única salvo constantes aditivas. (b) La función α es no decreciente. (c) La función α es continua a la derecha. (d) La función α determina la medida µ de manera única. (2,4,3) Propiedades. Dada una función α: R R no decreciente y continua a la derecha existe una única medida de Borel en R tal que µ(a, b] = α(b) α(a). Esta medida es finita en conjuntos acotados. 5. MEDIDAS DE HAUSDORFF. Las medidas de Hausdorff, permiten medir los conjuntos de dimensión p en un espacio métrico. Por ejemplo las superficies en R 3 o las longitudes de las curvas. La buena definición, que se debe a Hausdorff, puede aplicarse a cualquier espacio métrico y a una diménsión arbitraria p > 0, no necesariamente un número natural. (2,5,1) Definición. Sea (X, d) un espacio métrico y 0 < p < +. La medida exterior p- dimensional de Hausdorff de A X es H p (A) = lim H p,ε (A) = sup H p,ε (A), ε 0 Teoría de la Medida, ε>0

5 donde, si d(a) es el diámetro de A, { H p,ε (A) = inf d(a j ) p : A A j, j j=1 } d(a j ) < ε para todo j. (2,5,2) Propiedades. Sea (X, d) un espacio métrico. (a) H p es una medida exterior métrica. (b) H p (A) sólo depende de la estructura métrica de A: si A X es isométrico a B Y entonces H p (A) = H p (B). (c) Sea p < q. Entonces: H p (A) < + = H q (A) = 0 y H q (A) > 0 = H p (A) =. Esta última propiedad permite definir la dimensión de un subconjunto de un espacio métrico. (2,5,3) Definición. Sea (X, d) un espacio métrico. La dimensión de A X es: dim(a) = sup{p H p (A) = + } = inf{p H p (A) = 0}. (2,5,4) Ejemplos. (a) Si A R d entonces 0 dim(a) d. (b) R con la distancia d α (x, y) = x y α, donde 0 < α < 1, tiene dimensión 1/α. La dimensión de Hausdorff es una propiedad métrica. (c) El conjunto de Cantor C tiene dimensión s = log 2/ log 3 y H s (C) = 1. Como vemos a continuación la medida de Hausdorff permite probar ciertas propiedades de la medida de Lebesgue, algunas de las cuales no serían fácilmente asequibles de otro modo. (2,5,5) Proposición. Sean (X, d), (Y, ρ) dos espacios métricos, y ϕ: X Y una aplicación lipschitciana de constante k > 0, es decir, ρ(f(x), f(y)) Cd(x, y) para todo x, y X, entonces se tiene H p (ϕ(a)) C p H p (A) para todo A X. (2,5,6) Corolario. Si λ R y A R d, se cumple: H p (λa) = λ p H p (A). (2,5,7) Teorema. Existe una constante k (0, + ) tal que para todo A R d se cumple H d (A) = k m (A). Nota. El resultado anterior se mantiene si en R d se considera, en lugar de la distancia euclídea, cualquier distancia que provenga de una norma. (2,5,8) Corolario. La medida de Lebesgue es invariante por isometrías: si ϕ: R d R d es una isometría, entonces m (A) = m (ϕ(a)). Por tanto A es medible si y sólo si ϕ(a) es medible. Teoría de la Medida,

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