Elementos de Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Teoría de Distribuciones

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1 Elementos de Teoría de la Medida, Análisis Funcional y Teoría de Distribuciones Thelma: Mr. Dodd, how do you occupy your leisure? Dodd: Mrs. Cherie, all the excitement, the romance, the adventure that I want I find in my own way. Thelma: Your own way? Dodd: Well, if you must know, in the science of mathematics. Thelma: Wow, fascinating. (Stand in, Tay Garnett, 1937). La Teoría de la Medida, el Análisis Funcional y la Teoría de Distribuciones proporcionan los cimientos necesarios para diseñar el marco funcional apropiado bajo el que se desarrolla la teoría débil de las ecuaciones en derivadas parciales. A lo largo de éste y de los siguientes capítulos serán extensamente discutidos los aspectos más relevantes que estas teorías aportan al estudio de los espacios de Lebesgue y de Sobolev, así como a la construcción y al sentido matemático de las soluciones de diversos problemas de valores iniciales y de contorno. Medibilidad Comenzamos revisando algunas propiedades básicas relacionadas con la medibilidad de conjuntos y funciones. Definición 1. Sea Σ una familia de subconjuntos de un conjunto Ω. Decimos que Σ es una σ álgebra sobre Ω si satisface las siguientes propiedades: 1

2 2 (a) Ω Σ. (b) Si A Σ entonces A c Σ, donde A c denota el conjunto complementario de A en Ω. (c) Si A n Σ para todo n N, entonces n=1 A n Σ; es decir, Σ es cerrada para uniones infinitas numerables. Las propiedades (a), (b) y (c) conducen inmediatamente al hecho de que (d) = Ω c Σ y (e) Σ es también cerrada para intersecciones infinitas numerables, es decir: si A n Σ para todo n N, entonces ( c A n = An) c Σ. n=1 Ejemplo 1. Sean Ω un conjunto cualquiera y X un espacio topológico. (a) El ejemplo más elemental de σ álgebra sobre Ω es Σ = {, Ω}. (b) Otro ejemplo obvio de σ álgebra sobre Ω es el conjunto P(Ω) de las partes de Ω, cuyos elementos son todos los subconjuntos de Ω. (c) Cualquier familia F de subconjuntos de Ω puede extenderse a una σ álgebra (por ejemplo, a P(Ω)). De entre todas estas extensiones hay una distinguida, a la que denotaremos Σ F, que se construye tomando la intersección de todas las σ álgebras construidas sobre Ω que contienen a F. Σ F recibe el nombre de σ álgebra generada por F, la cual es de hecho la σ álgebra sobre Ω más pequeña que contiene a F. (d) Un ejemplo relevante de σ álgebra sobre un conjunto X lo constituye la llamada σ álgebra de Borel, a la que denotaremos B X, generada por las bolas abiertas de X. Sus elementos reciben el nombre de conjuntos de Borel. En particular, n=1 B R d = Σ F con F = { B R (x) : x R d, R > },

3 Medibilidad 3 donde B R (x) = {y R d : y x < R}. Por supuesto y mientras no se indique lo contrario, estamos asumiendo que el espacio X = R d está dotado de la topología usual. Definición 2. Sea Σ una σ álgebra sobre Ω. (a) El par (Ω, Σ) recibe el nombre de espacio medible (o espacio muestral en el lenguaje de la Teoría de Probabilidades) y los subconjuntos de Ω pertenecientes a Σ son los conjuntos medibles de Ω (también llamados sucesos en el lenguaje de la Teoría de Probabilidades). (b) Si (Ω, Σ), (X, Υ) son dos espacios medibles y f : Ω X una aplicación de Ω en X, decimos que f es una aplicación medible (con respecto a las σ álgebras Σ y Υ) si f 1 (A) Σ para todo conjunto A Υ. Un caso particular que reviste especial interés es aquél en que X es un espacio topológico y Υ = B X es la σ álgebra de Borel sobre X. En estas condiciones f se dice medible si f 1 (O) es un subconjunto medible de Ω (es decir, f 1 (O) Σ) para todo abierto O de X. Las funciones medibles (entendiendo ahora que X = [, + ] al hablar de funciones, toda vez que permitimos que f pueda tomar los valores y + ) reciben el nombre de variables aleatorias en Teoría de Probabilidades. Destacamos asimismo como una familia importante de funciones medibles la constituida por aquéllas en las que Ω es también un espacio topológico y la σ álgebra asociada al mismo es la de Borel: Σ = B Ω. Se trata de las funciones de Borel. Observación 1. La topología considerada en [, + ] es de ahora en adelante la del orden a menos que se especifique lo contrario, entendiéndose ésta como la constituida por los conjuntos (abiertos) que resultan de efectuar intersecciones finitas de uniones numerables de intervalos de la forma (a, + ] y [, b), con a, b [, + ]. Para evitar ambigüedades aritméticas y garantizar la coherencia de las operaciones funcionales básicas (cf. Proposición 2) adoptaremos de antemano aquellos convenios que permitan resolver todas las situaciones eventuales de indeterminación, a saber: x ± = ± x R, =, ± ± = ±, { ± si x > x (± ) = (± ) x = si x <, (± ) = (± ) =. José L. López

4 4 Proposición 1 (Caracterización de las funciones medibles). Sean (Ω, Σ) un espacio medible y f : Ω [, + ] una función. Las siguientes propiedades son equivalentes: (a) f es medible. (b) f 1 ((a, + ]) Σ (c) f 1 ([a, + ]) Σ (d) f 1 ([, b)) Σ (e) f 1 ([, b]) Σ a [, + ]. a [, + ]. b [, + ]. b [, + ]. (f) f 1 ((a, b)), f 1 ( ), f 1 (+ ) Σ a, b [, + ]. Demostración. Probaremos en primer lugar la cadena de equivalencias (a) (b) (c) (d) (e) y finalmente (a) (f). (a) implica (b) por definición de función medible. Que (b) implica (c) es una consecuencia de la identidad f 1 ([a, + ]) = f 1(( a 1 ]) n, +. n=1 Para comprobar que (c) implica (d) basta con escribir ( c f 1 ([, a)) = f 1 ([a, + ])). La implicación (d) (e) se obtiene como consecuencia de la propiedad f 1 ([, b]) = n=1 f 1([, b + 1 n )). Para concluir con el primer ciclo de equivalencias comprobamos que (e) implica la medibilidad de f. Para ello hay que demostrar que f 1 (O) Σ para todo abierto O de [, + ]. Como f 1 respeta uniones e intersecciones, podemos restringirnos al caso en que O es de una de las tres formas siguientes: (a, b), [, b) o bien (a, + ], con a, b [, + ] (cf. Observación 1). Por hipótesis f 1 ([, a]) Σ, de donde se deduce inmediatamente que f 1 ((a, + ]) Σ por paso al complementario. Por otra parte, podemos expresar [, b) = [, b n ], b n < b n N, lím {b n } = b, n n=1

5 Medibilidad 5 de donde se desprende que f 1 ([, b)) = f 1( n=1 ) [, b n ] = n=1 f 1 ([, b n ]) Σ, ya que f 1 ([, b n ]) Σ para todo n N por hipótesis. Para acabar, basta con tener en cuenta que (a, b) = [, b) (a, + ], de modo que f 1 ((a, b)) = f 1( [, b) (a, + ] ) = f 1 ([, b)) f 1 ((a, + ]) Σ. (1) Estudiamos en último lugar la equivalencia (a) (f). El enunciado (a) (f) es evidente por definición de función medible, sin más que considerar (1), escribir { } = [, + ] \ (, + ], {+ } = [, + ] \ [, + ), y tener en cuenta que f 1 respeta pasos al complementario. Para verificar (f) (a) es suficiente con demostrar que las preimágenes por f de intervalos de la forma (a, + ] y [, b), con a, b [, + ], son elementos de Σ, basándonos nuevamente en que f 1 respeta uniones e intersecciones y en la Observación 1. En efecto: f 1 ((a, + ]) = f 1 ((a, + )) f 1 (+ ) Σ, f 1 ([, b)) = f 1 ((, b)) f 1 ( ) Σ. Ejemplo 2. Sean Ω un conjunto cualquiera y X un espacio topológico. (a) Toda función f : (X, B X ) [, + ] continua es una función de Borel. En efecto: si f es continua satisface por definición que f 1 (O) es un conjunto abierto en X, luego (B X )medible, para cualquier abierto O en [, + ]. (b) Sean Σ una σ álgebra sobre Ω y A Σ. Entonces la función característica del conjunto A (también llamada función indicatriz), definida como χ A : Ω [, + ], χ A (x) = José L. López { 1 si x A si x / A,

6 6 es medible. Podemos verificar la medibilidad de χ A aplicando, por ejemplo, la caracterización (b) de la Proposición 1: χ 1 A ((a, + ]) = Σ si a 1 Ω Σ si a < A Σ si a < 1 El siguiente resultado expresa la gran estabilidad de que goza el concepto de medibilidad funcional frente a operaciones aritméticas, conjuntistas y de paso al límite, entre otras. La prueba del mismo se deja al lector como ejercicio (cf. Ejercicio 2). Proposición 2 (Propiedades de las funciones medibles). Sean (Ω, Σ) y (Γ, Υ) dos espacios medibles. (a) Si f, g : (Ω, Σ) [, + ] son funciones medibles, entonces las funciones α f + βg, f g y f g (si g = en Ω) son también medibles para cualesquiera α, β R. (b) Si f : (Ω, Σ) (Γ, Υ) y g : (Γ, Υ) [, + ] son medibles, entonces g f : (Ω, Σ) [, + ] es también una función medible. (c) Si f : (Ω, Σ) [, + ] es una función medible, entonces las funciones f + = máx{ f, } y f = máx{ f, } también lo son. Como consecuencia, f = f + + f es una función medible. (d) Si { f n : Ω [, + ]} es una sucesión de funciones medibles, entonces sup n N { f n }, ínf n N { f n }, lím sup n N { f n } y lím inf n N { f n } son también funciones medibles. Además, el conjunto L = { } x Ω : lím { f n (x)} = f (x) n es medible y la función límite f es medible en L (respecto de la σ álgebra Σ L; véase la Definición 3 (b)). Enumeramos a renglón seguido algunas nociones importantes relacionadas con el concepto de medida así como algunas de sus propiedades más interesantes de cara a futuros usos. Definición 3. Sea Σ una σ álgebra sobre Ω..

7 Medibilidad 7 (a) La función de conjuntos µ : Σ [, + ] es una medida (positiva) si satisface la propiedad de aditividad numerable (o σ aditividad), es decir: dada una familia numerable y disjunta {A n } n=1 de elementos de Σ, entonces ( µ n=1 A n ) = µ(a n ). n=1 (b) Un espacio de medida (Ω, Σ, µ) es un espacio medible (Ω, Σ) en el que se ha definido una medida µ sobre la σ álgebra Σ. Si Ω = R d y Σ = B R d, µ : B R d [, + ] recibe el nombre de medida de Borel. Además, dado A Σ se puede definir el subespacio de medida (A, Σ A, µ A ), donde Σ A := Σ A = {E A : E Σ} es la σ álgebra (compruébese) formada por los subconjuntos medibles de A y µ A : Σ A [, + ] es la restricción de µ a A. Ejemplo 3. Algunos ejemplos de espacios de medida son los siguientes: (a) Sea Ω un conjunto cualquiera y Σ = P(Ω) el conjunto de las partes de Ω. Para cada subconjunto A de Ω (en particular, A Σ) se define µ(a) como el número de elementos de A si A tiene cardinal finito y µ(a) = + si A es un conjunto con cardinal infinito. La medida µ así construida recibe el nombre de medida discreta sobre Ω. (b) Sea Ω un conjunto cualquiera, Σ = P(Ω) y x Ω. Se define µ x : Σ [, + ] como { 1 si x A µ x (A) = si x / A, para cualquier A Ω. Esta medida recibe el nombre de masa unidad concentrada en x o masa de Dirac. Nótese que la función medible χ A : Ω {, 1} definida como χ A (x) = µ x (A) es la función característica del conjunto A, como se estudió en el Ejemplo 2 (b). (c) Sean (Ω, Σ) un espacio medible y P : Σ [, 1] una medida. Si la propiedad P(Ω) = 1 es satisfecha, entonces P recibe el nombre de medida de probabilidad y el espacio de medida (Ω, Σ, P) se denomina espacio de probabilidad. Finalmente establecemos algunas propiedades elementales de las medidas que serán empleadas más adelante. José L. López

8 8 Proposición 3 (Propiedades de las medidas). Sean Σ una σ álgebra y µ : Σ [, + ] una medida sobre Σ. Entonces se verifican las siguientes propiedades: (a) µ( ) =. de ele- (b) [Aditividad finita] Para toda familia finita y disjunta {A i } i=1 n mentos de Σ se tiene ( n µ i=1 A i ) = n µ(a i ). i=1 (c) [Monotonía] Si A, B Σ con A B, entonces µ(a) µ(b). (d) [Subaditividad finita] Para toda familia finita {A i } i=1 n de elementos de Σ se tiene ( n ) n µ A i µ(a i ). i=1 i=1 (e) Si {A n } n=1 es una familia numerable de elementos de Σ tales que A 1 A 2 A 3... y A = n=1 A n, entonces {µ(a n )} µ(a) cuando n. (f) Si {A n } n=1 es una familia numerable de elementos de Σ tales que A 1 A 2 A 3..., µ(a 1 ) < + y A = n=1 A n, entonces {µ(a n )} µ(a) cuando n. (g) [σ subaditividad] Para toda familia numerable {A n } n=1 de elementos de Σ se tiene ( ) µ A n µ(a n ). n=1 n=1 Demostración. (a) Sea A Σ con µ(a) < + y tomemos A 1 = A, A 2 = A 3 =... =.

9 Medibilidad 9 Entonces, dado que tales conjuntos son disjuntos entre sí, de la σ aditividad de µ se deduce ( + > µ(a) = µ n=1 A n ) = µ(a) + µ( ), n=2 por lo que ha de ser µ( ) =. (b) es también una consecuencia de la σ aditividad de µ, pues basta con elegir A n+1 = A n+2 =... = y aplicar el resultado establecido en (a). (c) se demuestra a partir de (b) sin más que considerar la descomposición B = (B A) (B \ A) = A (B \ A). Claramente A (B \ A) =, por lo que la propiedad de aditividad demostrada en (b) implica µ(b) = µ(a) + µ(b \ A) µ(a). La propiedad (d) se obtiene como consecuencia de (b) sin más que escribir ( n µ i=1 ) ( ) A i = µ A 1 A 2 \ A 1 A n \ (A n 1 A 1 ) = µ(a 1 ) + µ(a 2 \ A 1 ) + + µ ( A n \ (A n 1 A 1 ) ) n µ(a i ), i=1 donde la última desigualdad resulta de haber aplicado la propiedad (c). Para demostrar (e) tomamos B 1 = A 1 y B n = A n \ A n 1 para n 2. Entonces B n Σ para todo n N (nótese que B n = A n A c n 1 n 2) y B i B j = si i = j. Además, n i=1 B i = A n y A = i=1 B i. Por consiguiente {µ(a n )} = { n } µ(b i ) µ(b i ) = µ(a) cuando n, i=1 i=1 donde se ha usado nuevamente la propiedad (b) y la σ aditividad de µ. Para probar (f) definimos B n = A 1 \ A n, de modo que (i) B 1 B 2 B 3... B n..., (ii) A 1 = A n B n (b) µ(b n ) = µ(a 1 ) µ(a n ), (iii) A 1 \ A = A 1 \ n=1 A n = n=1 B n. José L. López

10 1 Teniendo en cuenta nuevamente que A 1 = (A 1 \ A) A µ(a 1 ) = µ(a 1 \ A) + µ(a) gracias a la propiedad de aditividad finita expresada en (b), podemos aplicar (e) a la familia {B n } (en virtud de (i)) y obtener µ(a 1 ) µ(a) (iii) ( = µ n=1 ) B n = lím {µ(b n )} (ii) = µ(a 1 ) lím {µ(a n )}, n n de donde se concluye que {µ(a n )} µ(a) cuando n. Finalmente, para demostrar (g) se emplean las propiedades (d) y (e): ( µ n=1 A n ) ( = µ n n=1 k=1 { n lím n µ(a k ) k=1 ) { ( n A k = lím µ n } = k=1 µ(a k ). k=1 A k )} Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue La construcción de la medida de Lebesgue es una tarea ardua que escapa a los propósitos de este compendio. Sin embargo su estudio es una inversión de alta rentabilidad, pues constituye una herramienta matemática tan potente que a la postre permite calcular correctamente el volumen euclídeo de una gran cantidad de conjuntos. Por ejemplo, la medida de Lebesgue de cualquier bola euclídea de radio R es (como se comprobará en la Proposición 5) donde B R (x) = Rd d Sd 1, (2) S d 1 = 2π d 2 Γ ( d 2 ) (3) es la superficie de la esfera unidad en R d y Γ(λ) es la función Gamma (cf. Observación 4). La σ álgebra a considerar en este ámbito es la de Lebesgue, a la que denotaremos L R d, formada por todos los subconjuntos de R d medibles en el sentido de Lebesgue (según la Definición 4 de unas líneas más abajo), de

11 Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue 11 modo que el espacio de medida asociado es (R d, L R d, λ), donde λ : L R d [, + ] es la llamada medida de Lebesgue. Describamos brevemente cómo funciona esta medida. Actuando sobre conjuntos abiertos, la medida de Lebesgue se define como la suma de los volúmenes de las piezas elementales que los componen: λ(o) = vol(i j ), (4) j=1 donde {I j } j=1 es una familia numerable de intervalos de Rd disjuntos dos a dos tales que O = j=1 I j (cf. Lema 1) y donde vol(i) = (b 1 a 1 ) (b d a d ) es el volumen del intervalo I = [a 1, b 1 ] [a d, b d ] (independientemente de que se trate de un intervalo cerrado, abierto o semiabierto). Para el resto de conjuntos medibles, la medida de Lebesgue es la restricción a L R d de la medida exterior λ : P(R d ) [, + ] definida como λ (A) = ínf{λ(o) : A O, O abierto}. (5) Llegado este punto, conviene recordar que una medida exterior es una función de conjuntos µ : P(R d ) [, + ] monótona y σ subaditiva (cf. Proposición 3 (c) y (g)) que asigna el valor cero al conjunto vacío (cf. Proposición 3 (a)). 1 Sobre esta base podemos destacar que la σ álgebra L R d está formada por todos los subconjuntos de R d que satisfacen la siguiente propiedad. Definición 4 (Conjunto medible en el sentido de Lebesgue). Decimos que A R d es un conjunto medible en el sentido de Lebesgue (es decir, A L R d) si para todo ε > existen un cerrado F y un abierto G en R d tales que F A G y λ(g \ F) < ε. 2 Recordemos algunas de las propiedades más relevantes de la medida de Lebesgue. En lo que sigue usaremos frecuentemente la notación A en lugar de λ(a) para hacer referencia a la medida de Lebesgue del conjunto A L R d. La antedicha medida es (a) invariante por traslaciones, 1 Nótese que, a pesar del nombre, una medida exterior no es en general una medida 2 Nótese que G \ F es un conjunto abierto, luego medible en el sentido de Lebesgue según la fórmula (4) José L. López

12 12 es decir: para todo conjunto A L R d y para todo v R d fijo, A = A + v = {x + v : x A}. Una prueba palpable de la relevancia de esta propiedad la encontramos en la fórmula clásica (2), en la que se pone de manifiesto que la medida de Lebesgue de cualesquiera dos bolas en R d con igual radio es invariante (es decir, no depende de dónde estén centradas). De hecho, ésta es (salvo constantes) la única medida invariante por traslaciones en R d. Otras dos propiedades esenciales de la medida de Lebesgue son las siguientes: (b) regularidad interior: y A = sup{ C : C A, C compacto} A L R d (6) (c) regularidad exterior (cf. (5)): A = ínf{ O : A O, O abierto} A L R d. (7) Esta última propiedad desempeñará un papel esencial en el siguiente capítulo, a la hora de aproximar funciones que solo satisfacen una propiedad de integrabilidad por medio de funciones regulares. Ejemplo 4. Para no llevarnos a engaños, a lo largo de este ejemplo ilustraremos, en particular, la existencia de conjuntos no medibles en el sentido de Lebesgue. Además, construiremos algunos conjuntos medibles que revisten especial interés. (a) Los conjuntos de Borel son medibles en el sentido de Lebesgue (justifíquese). De hecho, se dispone del siguiente Corolario 1. Todo conjunto A R d medible en el sentido de Lebesgue se puede descomponer como una unión disjunta de la forma A = B N, donde B A es un conjunto de Borel y N es un subconjunto de A que tiene medida nula. En efecto, en virtud de la Definición 4 basta con elegir B = F y N = A \ F. Claramente B B R d y N = A \ F G \ F < ε según dicta la Proposición 3 (c), luego ha de ser N =. Una lectura adecuada del resultado anterior permite argumentar que los conjuntos medibles en el sentido de Lebesgue están completamente determinados a partir de la σ álgebra de Borel o, dicho de otro modo, que L R d es la completación de B R d respecto de la medida de Lebesgue.

13 Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue 13 (b) Q R es medible en el sentido de Lebesgue, ya que el conjunto unitario {q} es medible para cada q Q y la unión numerable de conjuntos medibles es medible (recuérdese la propiedad (c) de las σ álgebras). En efecto: ( c q = (, q) (q, + )) BR L R. Además, como {q} = (en virtud de la propiedad de regularidad exterior (7)) para todo q Q, la propiedad de σ aditividad de las medidas (cf. Proposición 3 (g)) establece que Q =. (c) Consideremos ahora el conjunto de números irracionales contenidos en un intervalo [a, b]: A = [a, b] \ ([a, b] Q). Argumentando como en el ejemplo anterior se tiene que [a, b] Q L R, por lo que A es también medible en [a, b] en el sentido de Lebesgue por paso al complementario (propiedad (b) de las σ álgebras). Además se puede escribir [a, b] = A ([a, b] Q), por lo que b a = [a, b] = A + [a, b] Q A + Q = A, en virtud de la aditividad finita y la monotonía de las medidas (cf. Proposición 3 (b) y (c)). Por otro lado se tiene que A [a, b] = b a (cf. Proposición 3 (c)), luego A = b a. (d) El siguiente ejemplo ilustra la existencia de conjuntos no numerables que también tienen medida nula. Consideramos para ello el intervalo I = [, 1] y lo dividimos en tres partes iguales. Si tras esta división se prescinde del interior del subintervalo central se obtiene I 1 = [, 3] 1 [ 23, 1 ]. A continuación repetimos el proceso con cada uno de los dos intervalos que componen I 1, obteniéndose así I 2 = [, 1 [ 9] 29, 1 [ 3] 23, 7 [ 9] 89, 1 ]. Supongamos construido I n, que estaría formado por la unión de 2 n intervalos cerrados y disjuntos, cada uno de ellos de longitud (1/3) n. Procediendo del mismo modo sucesivamente encontramos que I n+1 I n para todo n N. Se define entonces C = I n, n=1 que recibe el nombre de conjunto ternario de Cantor. Claramente C es no vacío, pues contiene al menos a los extremos de cada uno de los intervalos cerrados de cuya unión resultan los conjuntos I n ; y es cerrado, porque se obtiene como una intersección numerable de conjuntos cerrados. Que C tiene medida nula es también José L. López

14 14 de fácil comprobación, pues (cf. Proposición 3 (f)) {( ) 2 n } C = lím { I n } = lím =. n n 3 Estudiemos finalmente la no numerabilidad de C. Para ello observamos en primer lugar que, según la construcción llevada a cabo, todos sus elementos pueden escribirse de la siguiente forma: C x = a a a a n 3 n +..., donde a j = o bien a j = 2 para todo j N. Es decir, cada elemento x C admite una expresión en base tres del tipo x =.a 1 a 2 a 3... a n... y, recíprocamente, cada expresión de la forma anterior representa un elemento de C. Razonamos entonces por reducción al absurdo, admitiendo para ello que C fuese numerable. En ese caso debería poder escribirse como C = {x n } n N, donde cada uno de los elementos x n adoptaría la siguiente forma: Consideremos ahora el elemento x 1 =.a 1 1 a1 2 a a1 n... x 2 =.a 2 1 a2 2 a a2 n.... x n =.a n 1 an 2 an 3... an n.... y =.b 1 b 2 b 3... b n... construido de acuerdo al siguiente convenio: si a n n = entonces b n = 2, mientras que si a n n = 2 entonces b n =. Dicho de otro modo, la representación en base tres del elemento y tiene por mantisa el resultado de cambiar ceros por doses y viceversa, de forma ordenada, en cada una de las posiciones diagonales de las mantisas de los elementos x n. Claramente y = x n para todo n N y sin embargo y C, lo cual nos conduce a una contradicción. Por tanto, C no puede ser numerable.

15 Tres propiedades básicas de la medida de Lebesgue 15 Desde que los conjuntos de Cantor vieron la luz en 1883 y a raíz del impulso experimentado por la geometría fractal de la mano de a Benoît Mandelbrot, éstos han sido utilizados como modelo en diversas aplicaciones, como por ejemplo en fenómenos de turbulencia, distribuciones de galaxias en el universo, fluctuaciones de precios en un mercado o control de ruidos en procesos de transmisión digital. (e) Finalmente ilustramos la existencia de conjuntos no medibles en el sentido de Lebesgue. Diremos para ello que dos elementos x, y [, 1] están relacionados entre sí si x y Q (compruébese que se trata de una relación de equivalencia). Consideremos entonces un conjunto A que contenga solamente un elemento de cada clase de equivalencia. 3 Un conjunto de este tipo recibe el nombre de conjunto de Vitali. Si A fuese medible en el sentido de Lebesgue, podríamos considerar también la siguiente familia de conjuntos medibles: {A n = A + q n }, n N, donde {q n } representa aquí el conjunto formado por los números racionales del intervalo [ 1, 1]. Obsérvese que (i) cada A n sería medible en el sentido de Lebesgue por ser el trasladado de un conjunto medible y, además, tendría la misma medida que A. Claramente (ii) los conjuntos A n son disjuntos dos a dos. En efecto: si para n = m se considera x A n A m, entonces habría de ser x = a 1 + q n = a 2 + q m con a 1, a 2 A, de donde se concluye que a 2 a 1 Q. Finalmente, como por construcción el conjunto A solo contiene un elemento de cada clase de equivalencia habría de ser a 1 = a 2, luego q n = q m. Comprobemos que además (iii) [, 1] n=1 A n [ 1, 2]. Para ello, sea en primer lugar x [, 1] y consideremos el (único) elemento x A de su clase de equivalencia que (por construcción) forma parte de A, de modo tal que x y x A están relacionados, es decir, x x A = q j Q [ 1, 1]. Entonces se tiene que x = x A + q j A j, lo que demuestra la primera de las relaciones de inclusión. Por otra parte, si x n=1 A n entonces ha de pertenecer a alguno de los A n, luego x = a + q n con a A ( [, 1]) y q n Q [ 1, 1]. Por consiguiente, x [ 1, 2]. 3 Nótese que para construir un conjunto tal es necesario recurrir al axioma de elección José L. López

16 16 Para concluir, de la σ aditividad (cf. (ii)) y la monotonía de las medidas (cf. Proposición 3 (c)) se deduce que A (i) = n=1 A n = n=1 n=1 A n [ 1, 2] = 3, por lo que necesariamente ha de ser A =. En particular se tiene n=1 A n =, lo cual contradice (iii). El lector interesado en un estudio profundo y elegante de la medida de Lebesgue y de la Teoría de la Medida en general puede acudir, por ejemplo, a los textos [Rud1] y [Cohn]. Integración y conjuntos de medida nula Indudablemente, la teoría de la integración de Lebesgue es uno de los paradigmas de la matemática del siglo XX y la culminación del largo viaje iniciado por Riemann hasta encontrar la perspectiva adecuada desde la que ha de contemplarse la teoría general de la integración. La idea que subyace a la extensión que la integral de Lebesgue supuso de la integral de Riemann reside, junto a la reparación de algunas limitaciones del teorema fundamental del cálculo, en el hecho de que las funciones integrables en el sentido de Riemann adquieren estructura de espacio métrico con la distancia d( f, g) = b a f (x) g(x) dx, si bien ésta no es completa. Uno de los ejemplos clásicos que sirven para ilustrar esta situación es el siguiente: considérese la sucesión f n : [, 1] R definida por { 1 si x {r1,..., r f n (x) = n }, en otro caso donde r n denota el n ésimo número racional del intervalo [, 1]. Es claro que cada elemento de la sucesión anterior es una función integrable en el sentido de Riemann, pues presenta un número finito de puntos de discontinuidad. Sin embargo, su límite puntual es la función de Dirichlet f : R R definida como { 1 si x Q f (x) = si x R \ Q, (8)

17 Integración y conjuntos de medida nula 17 que es discontinua en todos los puntos de [, 1] y, por consiguiente, no integrable en el sentido de Riemann. Es precisamente la completación de este espacio el proceso que conduce hacia las funciones de módulo integrable en el sentido de Lebesgue (L 1 (Ω) en la notación del capítulo siguiente). El propósito de esta sección es hacer un breve recorrido por algunos de los resultados más útiles relacionados con la integración de funciones medibles, fundamentalmente aquéllos que permiten entender cómo y cuándo está permitido intercambiar límite e integral. Para llevar a cabo un estudio detallado de la teoría de integración de Lebesgue remitimos al lector a [Rud1] y [HS]. Comenzamos introduciendo algunas nociones y propiedades fundamentales de la antedicha teoría. Definición 5 (Función simple e integral de Lebesgue). Sea (Ω, Σ, µ) un espacio de medida. (a) Decimos que una función s : (Ω, Σ, µ) [, + ] es simple si su imagen consiste en un número finito de puntos de [, + ]. De hecho, si {α 1,..., α n } es el conjunto discreto de valores que toma dicha función y si denotamos A i = {x Ω : s(x) = α i }, entonces s(x) se puede expresar de la siguiente forma: s(x) = n α i χ Ai (x), (9) i=1 donde χ Ai es la función característica del conjunto A i. Claramente, la función s es medible si y solamente si cada uno de los conjuntos A i es medible (cf. Ejemplo 2 (b)). (b) Si A 1,..., A n, E Σ y s : (Ω, Σ, µ) [, + ] es la función simple descrita en (9), se define E s dµ := n α i µ(a i E), (1) i=1 donde dado el caso se establecerá el convenio =. Obsérvese que en particular se dispone de la siguiente identidad: χ A dµ = µ(a) A E, (11) E la cual pone de manifiesto la siguiente máxima que se erige como uno de los pilares de la teoría de la medida: medir un conjunto es integrar su función característica. Por otro lado, si f : (Ω, Σ, µ) [, + ] José L. López

18 18 es una función medible y E Σ, se define E { } f dµ := sup s dµ, (12) E donde el supremo se toma sobre todas las funciones simples y medibles s tales que s(x) f (x) x E. El primer miembro de (12) es la conocida integral de Lebesgue. El siguiente resultado de aproximación es crucial para la construcción de la integral de Lebesgue a partir de funciones simples y, en general, muy útil en toda la teoría de integración. Teorema 1 (Aproximación de funciones medibles por funciones simples). Sean (Ω, Σ) un espacio medible y f : (Ω, Σ) [, + ] una función medible. Entonces existe una sucesión creciente {s n } de funciones simples, medibles y no negativas en Ω tal que lím {s n(x)} = f (x) x Ω. n Demostración. Se define la siguiente partición de la imagen de f : { A i i n = x Ω : 2 n f (x) < i + 1 } 2 n, i [, n2 n ) (N {}), B n = {x Ω : f (x) n}. Es inmediato comprobar que ambas familias de conjuntos son medibles a la luz de la Proposición 1, luego las funciones simples de la forma s n = n2 n 1 i=1 i 2 n χ A i n + n χ B n, n N, también lo son. Además, es evidente que s n f. Comprobemos ahora que lím n {s n (x)} = f (x) para todo x Ω. Para ello consideremos en primer lugar aquellos x Ω para los que f (x) =, los cuales permiten seleccionar, para valores suficientemente grandes de n, un valor adecuado de i tal que x A i n. En consecuencia f (x) s n (x) < i n i 2 n = 1 2 n,

19 Integración y conjuntos de medida nula 19 de donde se concluye la convergencia esperada. Por el contrario, si x Ω es tal que f (x) =, entonces {s n (x)} = {n} = f (x) cuando n. Únicamente falta por comprobar la monotonía de {s n }. Observamos en primer lugar que, dado i < n2 n, se verifica A i n = A 2i n+1 A2i+1 n+1 (verifíquese). Las tres posibilidades que se pueden presentar son, pues, las siguientes: Si x A 2i n+1, entonces Si x A 2i+1 n+1, entonces s n+1 (x) = 2i 2 n+1 = i 2 n = s n(x). s n+1 (x) = 2i + 1 2i > 2n+1 2 n+1 = i 2 n = s n(x). Si x B n entonces f (x) n, luego x n2 n+1 i (n+1)2 n+1 1 Por consiguiente, s n+1 (x) n = s n (x). A i n+1 B n+1. La construcción de la integral de Lebesgue es, por tanto, sutilmente diferente a la que culmina con la integral de Riemann. En efecto, el concepto de integral de Riemann se fundamenta en la partición sucesiva del dominio de la función, mientras que la idea que sustenta el concepto de integral de Lebesgue se basa en la partición de la imagen de la función (obsérvese el aspecto que adoptan los conjuntos A n i y B n en la demostración anterior). De este modo es como la integral de Lebesgue extiende a la de Riemann, coincidiendo ambas siempre que esta última existe, con la ventaja de que la integral de Lebesgue hace integrables a muchas más funciones (incluso no acotadas) que la de Riemann, generaliza los intervalos vistos como recintos de integración a conjuntos medibles cualesquiera y supera algunas de las limitaciones que la integral de Riemann exhibe frente al intercambio con respecto al proceso de paso al límite. En el siguiente resultado se recogen algunas de las propiedades más importantes de la integral de Lebesgue. José L. López

20 2 Proposición 4 (Propiedades de la integral de Lebesgue). Sea Ω R d. Dadas dos funciones f y g medibles en (Ω, Σ, µ) y dados cualesquiera E, F Σ, la integral de Lebesgue satisface las siguientes propiedades: (a) [Linealidad] E (α f + βg) dµ = α E f dµ + β E g dµ α, β R. (b) [Monotonía] Si f g, entonces E f dµ E g dµ. En particular, E f dµ E f dµ. (c) [Aditividad del dominio] Si E F =, entonces E F f dµ = E f dµ + F f dµ. Demostración. Haremos la prueba para el caso en que f y g son funciones simples. La extensión al caso general es consecuencia del argumento de aproximación establecido en el Teorema 1. Sean por tanto f = con E = n i=1 A i = m j=1 B j. Entonces = n m E i=1 j=1 = α E n m α i χ Ai, g = β j χ Bj, i=1 j=1 (α f + βg) dµ = = E E ( α n i=1 ( n m α α i χ Ai B j + β i=1 j=1 (αα i + ββ j )χ Ai B j dµ = n i=1 = α n m i=1 j=1 α i µ(a i ) + β lo cual prueba la propiedad (a). n m i=1 j=1 α i µ(a i B j ) + β m β j µ(b j ) = α j=1 α i χ Ai + β m ) β j χ Bj dµ j=1 m n ) β j χ Ai B j dµ j=1 i=1 (αα i + ββ j )µ(a i B j ) n m i=1 j=1 E β j µ(a i B j ) f dµ + β E g dµ,

21 Integración y conjuntos de medida nula 21 Para demostrar (b) basta con tener en cuenta que g f = n m i=1 j=1 (β j α i ) χ Ai B j es una función simple no negativa (por hipótesis), luego su integral de Lebesgue también ha de ser no negativa (cf. (1)), lo que combinado con (a) permite concluir que E (g f ) dµ = E g dµ E f dµ. Supongamos finalmente que E F = n i=1 A i con E F =. Se tiene E F f dµ = = n i=1 α i µ ( (A i E) (A i F) ) = n α i µ(a i E) + i=1 n α i µ(a i F) = i=1 n ( α i µ(ai E) + µ(a i F) ) i=1 E f dµ + F f dµ, lo que demuestra (c). Obsérvese que se ha utilizado la propiedad de aditividad finita de las medidas (cf. Proposición 3 (b)) para escribir µ ( (A i E) (A i F) ) = µ(a i E) + µ(a i F). Definición 6 (Igualdad casi por doquier). Si f y g son dos funciones medibles en (Ω, Σ, µ) que difieren en un conjunto que tiene medida nula, esto es, µ({x Ω : f (x) = g(x)}) =, decimos que f = g casi por doquier (c.p.d.) en Ω con respecto a la medida µ. Este concepto depende, por supuesto, de la medida empleada y exclusivamente en el caso en que se utilice la medida de Lebesgue nos referiremos a esta propiedad sin hacer mención a la misma: f = g c.p.d. en Ω. La igualdad c. p. d. constituye una relación de equivalencia (compruébese) cuya repercusión en la teoría de integración es fundamental. Nótese que si f = g c.p.d. en Ω con respecto a µ, entonces E f dµ = E g dµ para todo E Σ. José L. López

22 22 En efecto: sea N el subconjunto medible de Ω para el que µ(n) = y f (x) = g(x) en Ω \ N. Entonces cualquier conjunto medible E Σ se puede escribir como la unión disjunta E = (E \ N) (E N) y se tiene (cf. Proposición 4 (c)) f dµ = f dµ + f dµ E E\N E N = g dµ + g dµ = g dµ, (13) E\N ya que f = g en E \ N y µ(e N) =, en cuyo caso (12) y (1) se aplican para deducir (13). Por tanto, se puede afirmar que los conjuntos de medida nula son despreciables con respecto a la integración. A la luz de estas disquisiciones es natural establecer la siguiente Definición 7 (Convergencia casi por doquier). Sea { f n : Ω R} una sucesión de funciones medibles. Decimos que la sucesión { f n } converge c.p.d. en Ω hacia una función f : Ω R si { f n (x)} f (x) cuando n salvo quizá en un conjunto de medida nula de Ω. El siguiente resultado expone en qué sentido y bajo qué (extremadamente flexibles) condiciones se puede afirmar que la convergencia c.p.d. es casi uniforme. Teorema 2 (Egoroff). Sean (R d, Σ, µ) un espacio de medida y { f n : R d R} una sucesión de funciones medibles. Supongamos también que A Σ con µ(a) < y que { f n } g c.p.d. en A cuando n. Entonces, para todo ε > existe un conjunto medible B A tal que (i) µ(a \ B) < ε, E N (ii) { f n } g uniformemente en B cuando n. Demostración. Se definen los conjuntos X i,j = n=j {x R d : f n (x) g(x) > 1 2 i }, i, j N. Claramente X i,j+1 X i,j para cualesquiera i, j N, luego para cada i N (fijo) la sucesión {X i,j } j N es decreciente (en sentido conjuntista). Como además µ(a) <, se tiene que (cf. Proposición 3 (f) y (a)) ( ( lím {µ(a X )) i,j)} = µ A X i,j = µ( ) =. j j=1 E

23 Integración y conjuntos de medida nula 23 Por tanto, para cualesquiera i N y ε > existe n i N tal que µ(a X i,ni ) < ε 2 i. Definimos ahora B = A \ i=1 X i,ni. Gracias a la σ subaditividad de µ (cf. Proposición 3 (g)) obtenemos (i), ya que µ(a \ B) µ(a X i,ni ) < ε. i=1 Por consiguiente, para cualesquiera i N, x B y n n i se tiene f n (x) g(x) 1 2 i, de donde se desprende que { f n } g uniformemente en B cuando n. Esto concluye la prueba de (ii). Los teoremas que exponemos a continuación son piedras angulares de la teoría de integración y, en general, del análisis matemático. Teorema 3 (de la convergencia monótona). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y { f n } una sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que f n (x) f n+1 (x) n N, x Ω y { f n (x)} f (x) para todo x Ω cuando n. Entonces f : Ω R es medible y { } lím f n dµ = lím { f n} dµ = f dµ. n Ω Ω n Ω Demostración [W. Rudin]. Comprobamos en primer lugar que f es medible. Para ello basta con observar que f 1 ((a, b)) = fn 1 ((a, b)) a, b R. n N Entonces, como por hipótesis f n es medible para cada n N se concluye fácilmente que f es medible (cf. Proposición 1 (f)). Por otro lado, como consecuencia de la monotonía de la integral de Lebesgue (Proposición 4 (b)) se tiene f 1 dµ f n dµ f n+1 dµ f dµ, Ω Ω Ω José L. López Ω

24 24 por lo que la sucesión { Ω f n dµ } se revela monótona y acotada, luego puede garantizarse la existencia de tal que L Ω f dµ (14) { } lím f n dµ = L. (15) n Ω Demostramos ahora la desigualdad contraria: L Ω f dµ, con lo que concluiría la prueba del teorema. Sea para ello s(x) = k α i χ Ai (x) i=1 una función simple y medible cualquiera que satisfaga s(x) f (x) (cf. Teorema 1). Sea también < λ < 1 una constante y consideremos la familia de conjuntos E n = { x Ω : f n (x) λs(x) }, n N. Es evidente que cada E n es medible y que E 1 E n E n+1... Además Ω = n=1 E n, ya que (i) si x Ω es tal que f (x) =, entonces s(x) = y x n=1 E n ; (ii) y, por otra parte, si f (x) > entonces se cumple λs(x) < s(x) f (x), por lo que x ha de pertenecer a E n para algún n N. 4 Consecuentemente, la siguiente cadena de desigualdades es satisfecha para todo n N: Ω f n dµ f n dµ λ s dµ = λ E n E n k i=1 α i µ(e n A i ). (16) Como los conjuntos E n son todos medibles y Ω = n=1 E n, se deduce que (cf. Proposición 3 (e)) lím {µ(e n A i )} = µ(ω A i ) = µ(a i ), n 4 Es éste el momento en que se aprecia la necesidad de introducir el parámetro < λ < 1 para definir convenientemente los conjuntos E n

25 Integración y conjuntos de medida nula 25 luego { E n s dµ } Ω s dµ cuando n conforme a la Definición 5 (b). De este modo, pasando al límite en la expresión (16) se tiene que L λ s dµ. (17) Ω Como la desigualdad (17) se verifica cualquiera que sea < λ < 1, también se tiene L s dµ para toda función simple y medible s tal que s f, de modo que al tomar supremos sobre s se obtiene L Ω Ω f dµ, (18) nuevamente en virtud de la Definición 5 (b). La prueba concluye al combinar (15), (14) y (18). Teorema 4 (Lema de Fatou). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y { f n } una sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que f n (x) x Ω y f (x) = lím inf n { f n(x)}. Entonces Ω { } f dµ lím inf f n dµ. n Ω Demostración. Definimos g n (x) = ínf i n { f i (x)}. Entonces, conforme a la definición de límite inferior se verifica lím {g n(x)} = f (x). n Además, g n (x) g n+1 (x) y g n (x) f n (x) en Ω. Finalmente, aplicando el teorema de la convergencia monótona (Teorema 3) y la propiedad de monotonía de la integral de Lebesgue (Proposición 4 (b)) se deduce Ω { } f dµ = lím g n dµ n Ω { } = lím inf g n dµ n Ω { } lím inf f n dµ. n Ω José L. López

26 26 Teorema 5 (de la convergencia dominada). Sean (Ω, Σ, µ) un espacio de medida y { f n } una sucesión de funciones medibles en (Ω, Σ, µ) tales que { f n (x)} f (x) para todo x Ω cuando n. Supongamos además que existe una función integrable g, esto es g dµ <, tal que f n (x) g(x) para todo n N y para todo x Ω. Entonces f es integrable en Ω y { } lím f n dµ = lím { f n} dµ = f dµ. n Ω n En particular, la propiedad { } lím f n f dµ = n Ω es satisfecha. Ω Demostración. La condición f n (x) g(x) expresa el hecho de que las funciones f n son todas integrables (cf. Proposición 4 (b)). Como también sucede que f n + g y f + g en Ω, del Lema de Fatou (Teorema 4) se desprende que { } ( f + g) dµ lím inf ( f n + g) dµ, n Ω Ω luego { } f dµ lím inf f n dµ. Ω n Ω Análogamente, como g f n, se tiene { } (g f ) dµ lím inf (g f n ) dµ, Ω n Ω de modo que o, equivalentemente, Ω Ω { } f dµ lím inf f n dµ n Ω Ω { } f dµ lím sup f n dµ n Ω en virtud de la conocida relación lím sup n {x n } = lím inf n { x n }. Con esto finaliza la primera parte de la prueba, ya que ha de ser { } { } { } lím f n dµ = lím inf f n dµ = lím sup f n dµ = f dµ. n Ω n Ω n Ω Ω Ω

27 Integración y conjuntos de medida nula 27 Concluimos aplicando lo ya demostrado a la sucesión { f n f }. Esta sucesión converge a cero c.p.d. en Ω y es tal que f n f g + f para todo n N. Además, g + f es claramente integrable (g lo es por hipótesis y para comprobar que f lo es basta con repetir los argumentos anteriores para la sucesión { f n }), por lo que todas las hipótesis del teorema son satisfechas. Una aplicación importante del teorema de la convergencia dominada que resulta de gran utilidad en la práctica es la siguiente. Corolario 2 (Derivación bajo el signo integral). Sea f : Ω (a, b) R una función integrable en Ω R d y derivable en (a, b). Sea también F : Ω R una función integrable que verifica Entonces f t (x, t) F(x) (x, t) Ω (a, b). d ( ) f f (x, t) dx = (x, t) dx. dt Ω Ω t Demostración. Sea {h n } R una sucesión tal que {h n } cuando n. Por el teorema del valor medio, es bien sabido que para cada n N existe ξ n (a, b) tal que f (x, t + h n ) f (x, t) h n = f t (x, ξ n). Por tanto, f (x, t + h n ) f (x, t) h n F(x). Del teorema de la convergencia dominada (Teorema 5) se desprende finalmente que d ( ) f (x, t) dx dt Ω = { } f (x, t + h n ) f (x, t) = lím dx n Ω h { n } f (x, t + hn ) f (x, t) dx = Ω lím n h n Ω f (x, t) dx. t José L. López

28 28 Observación 2. Tanto en el teorema de la convergencia monótona como en el lema de Fatou y en el teorema de la convergencia dominada las hipótesis de monotonía, no negatividad y acotación uniforme, respectivamente, que fueron supuestas ciertas en todo punto, pueden debilitarse y considerarse solamente satisfechas c.p.d. sin que las conclusiones de estos resultados experimenten alteración alguna. Seguidamente exponemos dos de los resultados más provechosos tanto para el estudio de la integrabilidad de una función como para la evaluación de integrales múltiples sobre un recinto. Para ello necesitamos de algunos conceptos preliminares que no serán debatidos con profundidad aquí, aunque los detalles pueden encontrarse en cualquier texto básico de teoría de la medida. Consideremos (X, A, µ) e (Y, B, ν) dos espacios de medida y denotemos A B a la σ álgebra generada por los rectángulos A B, donde A A y B B. Si E es un subconjunto del producto cartesiano X Y, se pueden definir las secciones transversales E x = {y Y : (x, y) E}, E y = {x X : (x, y) E}. Si además E A B es un subconjunto medible de X Y, entonces se puede demostrar que E x B y E y A. Las siguientes propiedades (consúltese, por ejemplo, [Che]) (P1) la función y µ(e y ) es medible; (P2) la función x ν(e x ) es medible; (P3) X ν(e x) dµ = Y µ(ey ) dν; permiten definir la llamada medida producto µ ν sobre A B, que actúa de la siguiente forma: (µ ν)(e) = µ(e y ) dν = ν(e x ) dµ, o equivalentemente 5 (µ ν)(e) = Y ( X Y X ) ( ) χ E y dµ dν = χ Ex dν dµ. X Y De este modo, (X Y, A B, µ ν) es un espacio de medida. Así las cosas, ya podemos demostrar uno de los resultados fundamentales de toda la teoría de integración. 5 Recuérdese que medir un conjunto es integrar su función característica

29 Integración y conjuntos de medida nula 29 Teorema 6 (Fubini). Sean (X, A, µ), (Y, B, ν) dos espacios de medida y sea f : X Y [, + ] una función medible definida sobre el producto cartesiano de X e Y. Entonces ϕ(x) = f (x, y) dν, ψ(y) = f (x, y) dµ Y son funciones medibles y positivas. Además, se verifica X ϕ(x) dµ = Y ψ(y) dν = X Y X f (x, y) d(µ ν). (19) Demostración. Si f es la función característica de un conjunto E A B, entonces la función y f (x, y) = χ E (x, y) = χ Ex (y) es medible para todo x X y, análogamente, x χ E y(x) es medible para todo y Y, dado que E x A y E y B. Por tanto ϕ(x) = Y χ E (x, y) dν = Y χ Ex (y) dν = ν(e x ) es medible en virtud de la propiedad (P2), al igual que ψ(y) (cf. (P1)). La positividad de ambas funciones deriva de la propiedad de monotonía de la integral de Lebesgue establecida en la Proposición 4 (b), toda vez que f. Finalmente, se tiene X Y f (x, y) d(µ ν) = (µ ν)(e) = µ(e y ) dν = Y = ν(e x ) dµ = X Y X ψ(y) dν ϕ(x) dµ. Por consiguiente, el teorema es cierto para funciones características de subconjuntos medibles de X Y y, a su vez, para funciones simples gracias a la linealidad de la integral (Proposición 4 (a)). Si f : X Y [, + ] es ahora cualquier función medible, se puede garantizar la existencia de una sucesión de funciones simples, medibles y no negativas que converge monótonamente hacia f gracias al Teorema 1. Como el límite puntual de funciones medibles es medible (compruébese), se deduce fácilmente que ϕ(x) y ψ(y) son funciones medibles. Finalmente, (19) es una consecuencia inmediata del teorema de la convergencia monótona (Teorema 3). José L. López

30 3 Observación 3. La extensión del teorema de Fubini al caso en que f : X Y R toma valores reales (no necesariamente positivos) pasa simplemente por descomponer la función en sus partes positiva y negativa, en tanto que para funciones con valores complejos se procede tratando separadamente sus partes real e imaginaria. Esta última versión del teorema de Fubini adquirirá especial relevancia en el ámbito de la transformada de Fourier, a la que se dedica el Capítulo 3. Corolario 3 (Tonelli Hobson). Sean (X, A, µ), (Y, B, ν) dos espacios de medida y f : X Y R una función medible definida sobre el producto cartesiano de X e Y. Entonces f es absolutamente integrable con respecto a la medida producto, es decir f (x, y) d(µ ν) <, si y solamente si o bien X Y X Y ( ( Y X ) f (x, y) dν dµ < ) f (x, y) dµ dν <. Concluimos esta sección con uno de los resultados más frecuentemente empleados en las aplicaciones: el teorema de cambio de variable. Comenzamos para ello recordando el concepto de difeomorfismo. Definición 8 (Difeomorfismo C 1 regular). Sea Ω R d un abierto. Decimos que una aplicación ϕ : Ω R d es un difeomorfismo C 1 regular si es inyectiva, ϕ C 1 (Ω) y ϕ 1 C 1 (ϕ(ω)). El siguiente lema recoge algunas propiedades topológicas del espacio euclídeo (e incluso en algunos casos válidas en espacios más generales, aunque aquí nos limitaremos a R d por simplicidad) de uso frecuente en las aplicaciones analíticas. Lema 1. Las siguientes afirmaciones son satisfechas: (a) [Descomposición de un abierto en intervalos diádicos] Todo abierto en R d puede expresarse como una unión numerable de intervalos de R d. Es más, eligiendo intervalos de la forma I = I1 k Ik d con ( Ij k aj = 2 k, a ] j k, a j Z, k N {}, 1 j d, (2)

31 Integración y conjuntos de medida nula 31 puede conseguirse que la unión sea disjunta. Además, cada uno de los I k j y por tanto cualquier abierto en R d puede expresarse como una unión numerable de intervalos cerrados con interiores disjuntos. (b) Para cualquier compacto K R d y cualquier abierto O R d tales que K O, existe un abierto U relativamente compacto 6 que satisface K U U O. (c) Sean Ω R d un abierto, E Ω un subconjunto medible en el sentido de Lebesgue y ϕ : Ω R d un difeomorfismo C 1 regular. Entonces ϕ(e) es medible y ( ϕ(e) E det(j ϕ (x)) dx, ) donde J ϕ (x) = xi ϕ j (x), 1 i, j d, es la matriz jacobiana de ϕ en x y ϕ(e) denota la medida de Lebesgue del conjunto ϕ(e). Demostración. Comprobamos en primer lugar que todo abierto en R d puede expresarse como una unión numerable de intervalos de R d de la forma I k 1 Ik d, con Ik j como en (22). Es evidente que, para cada k N {}, los intervalos de la forma I k = d Ij k = j=1 d j=1 ( aj 2 k, a ] j k, a j Z, k N {}, constituyen un recubrimiento de R d. Sea entonces Ω R d un abierto cualquiera. Consideramos en primer lugar la familia Λ formada por todos los intervalos de la forma anterior con k =, es decir I = d j=1 (a j, a j + 1], contenidos en Ω. Seguidamente consideramos la familia Λ 1 formada por ( aj 2, a j+1 2 ] contenidos en Ω y no todos los intervalos de la forma I 1 = d j=1 contenidos en ninguno de los anteriores. Continuando con este proceso se obtiene un conjunto numerable {Λ i } i N {} de familias de intervalos disjuntos dos a dos cuya unión está contenida en Ω. Para concluir la prueba de (a) basta con observar que se satisface también la inclusión contraria, a saber, Ω i= Λ i. Sean para ello ε >, x Ω, B ε (x) Ω y k N {} suficientemente grande para que los intervalos I k tengan diámetro menor que ε. Entonces x ha de pertenecer a alguno de los I k que, obviamente, ha 6 Esto es, cuya clausura topológica es un conjunto compacto José L. López

32 32 de estar contenido en Ω. Como consecuencia, x o bien forma parte de alguno de los intervalos que conforman Λ k o bien de alguno de los de Λ r con r < k, con lo que la primera parte del enunciado (a) queda demostrada. Para concluir la prueba de lo expuesto en (a) observamos que ( aj 2 k, a ] j k = n=1 intervalos estos últimos con interiores disjuntos. [ aj 2 k k+n, a j 2 k + 1 ] 2 k+n 1, (21) La prueba de (b) la llevaremos a cabo en dos etapas. Primera etapa: Si x O R d, entonces existe un abierto U R d relativamente compacto tal que x U U O. Como R d es localmente compacto, cualquier x R d debe admitir un entorno V relativamente compacto. En esta situación, se tiene que O V es un abierto en R d relativo a V que contiene a x. Entonces V \ (O V) es, por paso al complementario, un cerrado relativo a V que no contiene a x, luego la regularidad de R d (como espacio topológico) 7 implica la existencia de abiertos O 1 y O 2 relativos a V para los que (i) x O 1, (ii) V \ (O V) O 2, (iii) O 1 O 2 =. En particular, se tiene que A V = O 1 O 1 (iii) V \ O 2 (ii) O V, para algún abierto A en R d. Definimos finalmente U := A V, que satisface claramente la propiedad del enunciado. Segunda etapa: Prueba de la propiedad enunciada en (b). Sean K R d un compacto y O R d un abierto tales que x K O. Según lo demostrado en la etapa anterior, ha de existir un abierto relativamente compacto (al que denotaremos U x ) que cumpla x U x U x O. En particular, la familia {U x } x K constituye un recubrimiento por abiertos de K, del que se ha de poder extraer un subrecubrimiento finito {U x1,..., U xn } en virtud de la compacidad de K. Definimos entonces U := U x1 U xn, que se trata de un abierto en R d relativamente compacto que cumple trivialmente lo deseado. 7 Un espacio topológico X se dice regular si pueden separarse puntos y cerrados por medio de abiertos disjuntos, esto es: Dados x X y C X un cerrado cualquiera que no contenga a x, existen U y V abiertos disjuntos tales que x U y C V

33 Integración y conjuntos de medida nula 33 La prueba de (c) la efectuaremos también en varias etapas. Primera etapa: Si ϕ : R d R d es un isomorfismo lineal y Ω R d es un abierto, entonces 8 ϕ(ω) = det(ϕ) Ω. En efecto: observamos en primer lugar que podemos reducirnos al caso en que Ω es un intervalo de R d de la forma (a 1, b 1 ] (a d, b d ], (22) y ϕ responde a uno de los tres modelos siguientes: (i) ϕ(x 1,..., x d ) = (λx 1, x 2,..., x d ), λ R \ {}, (ii) ϕ(x 1,..., x i,..., x j,..., x d ) = (x 1,..., x j,..., x i,..., x d ), (iii) ϕ(x 1,..., x d ) = (x 1 + x 2, x 2,..., x d ), pues (I) si Ω R d fuese un abierto arbitrario podría descomponerse (cf. ítem (a) del lema) como unión numerable de intervalos disjuntos de la forma (22), por lo que sería suficiente con usar la σ aditividad de la medida de Lebesgue para concluir el razonamiento; (II) si ϕ fuese un isomorfismo lineal arbitrario podría escribirse ϕ = ϕ n ϕ n 1 ϕ 1, donde cada una de las aplicaciones ϕ j, 1 j n, son como en (i), (ii) o bien (iii). En ese caso se tendría ϕ(ω) = det(ϕ n ) det(ϕ 1 ) Ω = det(ϕ) Ω, y con ello el resultado esperado. Basta entonces con verificar el resultado para los conjuntos de la forma (22) y las aplicaciones lineales establecidas en (i), (ii) y (iii). Para el caso (i) se tiene ϕ(ω) = (λa 1, λb 1 ] (a 2, b 2 ] (a d, b d ], 8 Obsérvese que a lo largo de la prueba identificaremos tácitamente cada isomorfismo lineal ϕ con su matriz asociada según convenga, de ahí que tengan sentido las expresiones del tipo det(ϕ) José L. López