Notas de Medida, Integración y Probabilidad
|
|
- José Miguel Zúñiga Duarte
- hace 7 años
- Vistas:
Transcripción
1 Notas de Medida, Integración y Probabilidad J. Armando Domínguez, UAS, jadguez@uas.uasnet.mx Víctor Pérez-Abreu, CIMAT, pabreu@cimat.mx Agosto 2009
2 Contenido Introducción 2 1 Clases de conjuntos Límites de sucesiones de conjuntos La medida y sus propiedades Propiedades de la medida Extensión de medida La medida exterior El Teorema de extensión Ejemplo: Medida de Lebesgue Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue Un conjunto no Boreliano Medida de Lebesgue-Stieltjes Funciones medibles y variables aleatorias Espacios de medida y espacios medibles Transformaciones y funciones medibles i
3 Contenido Variables aleatorias Integración 53 5 Medidas con signo Continuidad absoluta y equivalencia de medidas Espacios L p 80 7 Medidas producto y el Teorema de Fubini 87
4
5 Introducción Consideremos = (0; 1]; I i = (a i ; b i ]; a i < b i y sea n S A = I i : I i ajenos, n 1 : P : A! [0; 1] ; A 2 A ) A = S n I i: De namos Proposición. P (A) = nx ji i j = nx (b i a i ) : a) La función P () está bien de nida en A : b) Si A; B 2 A y A \ B =? ) P (A [ B) = P (A) + P (B) : c) P () = 1: Observación. P (A) = R A (x) dx; 1 A (x) = P n 1 (a i ;b i ] (x) : 2
6 Capítulo 1 Clases de conjuntos De nición 1 Una colección D no vacía de subconjuntos de es un -sistema (clase de Dynkin) si cumple: i)? 2 D ii) Si A; B 2 D; entonces A \ B 2 D: De nición 2 Una colección S no vacía de subconjuntos de se llama semi-anillo si cumple con las siguientes condiciones: i) S es un -sistema de ii) Si A; B 2 S y A B; existen A i 2 S ; i = 1; 2; :::; n para algún n tal que A i s son n[ mutuamente ajenos y BnA = A A n = (unión de conjuntos mutuamente ajenos). A i De nición 3 Una colección no-vacía S de subconjuntos de es una semi-álgebra si i) S es un -sistema. ii) 2 S : 3
7 Capítulo 1. Clases de conjuntos 4 iii) Si A 2 S ; existen conjuntos ajenos A 1 ; :::; A n 2 S, para algún n; tal que A c = A A n : Observación 4 Una semi-álgebra es un semi-anillo con 2 S. Ejemplos. a) Sea un conjunto no vacío. C = f?; g clase trivial. C = 2 conjunto potencia es -sistema, semi-anillo, semi-álgebra. b) Sea un conjunto no vacío. C = fa : #A < 1 ó #A c < 1g C es un -sistema. Esto es cierto ya que: i)? 2 C ii) A; B 2 C ) A \ B 2 C : Supongamos que #A < 1: A \ B A ) # (A \ B) #A Supongamos que #A c < 1 y #B c < 1: Entonces (A \ B) c = A c [ B c y que # (A c [ B c ) #A c + #B c < 1: Entonces A \ B 2 C : Además, C es semi-álgebra. Si A 2 C implica que A c 2 C ) 2 C : Para entender el siguiente ejemplo se requiere del conocimieno básico de la teoría de la probabilidad. El estudiante lo puede omitir si no ha visto lo que es el espacio de probabilidad. c) Sea (; F ; P ) un espacio de probabilidad y sea
8 Capítulo 1. Clases de conjuntos 5 C = fa 2 F : P (A) = 0 ó P (A) = 1g C se llama la colección 0-1 (P-0-1) C es -sistema. Demostración.? 2 C ya que P (?) = 0 (P () = 1 ) 2 C ) : Si A; B 2 C tenemos varios casos: i) P (A) = 0; A \ B A ) P (A \ B) P (A) = 0 ) P (A \ B) = 0: ii) P (A) = P (B) = 1 P ((A \ B) c ) = P (A c [ B c ) P (A c ) + P (B c ) = 0 ) P ((A \ B) c ) = 0 ) P (A \ B) = 1 ) A \ B 2 C : Observemos que si A 2 C ) A c 2 C ) C es semi-álgebra. d) Sea = R: La clase C = f(a; b] : a; b 2 R; a bg ; es un -sistema que no es semi-álgebra i)? 2 C ; ((a; a]) ii) Si A 1 ; A 2 2 C ; A 1 = (a 1 ; b 1 ]; A 2 = (a 2 ; b 2 ] (hacer los detalles). La clase C sí es semi-anillo: A; B 2 C ; A B A = (a 1 ; a 2 ]; B = (b 1 ; b 2 ]: (a 1 ; a 2 ] (b 1 ; b 2 ] ) BnA = (b 1 ; a 1 ] [ (a 2 ; b 2 ] La clase C no es semi-álgebra: (a; b] c = ( 1; a] [ (b; 1) e) Consideremos = R: La clase
9 Capítulo 1. Clases de conjuntos 6 es semi-álgebra: i) S es -sistema S = f(a; b]; (c; 1); ( 1; d]; R : a; b; c; d 2 Rg ; R = ( 1; 1) ; ii) Caso I: (a; b] c = ( Caso II: (c; 1) c = ( 1; a] [ (b; 1) 2 S 1; c] 2 S Caso III: ( 1; a] c = (a; 1) 2 S Caso IV: ( 1; 1) =? 2 S Ejercicio 5 Considere = R 2 ; S 1 como en el ejemplo anterior. S 2 = S 1 S 1 = fa B : A; B 2 S g : Probar que S 2 es una semi-álgebra de : (Hacer el caso similar para R n ): La clase S 2 se llama semi-álgebra producto. Más generalmente, si S 1 y S 2 son semi-álgebras de 1 y 2 respectivamente, entonces S = S 1 S 2 = fa 1 A 2 : A i 2 S i ; i = 1; 2g es una semi-álgebra de 1 2 : De nición 6 Una colección no-vacía R de subconjuntos de es un anillo si i) A; B 2 R ) A [ B 2 R ii) A; B 2 R y A B ) BnA 2 R: De nición 7 Una colección A no vacía de subconjuntos de es álgebra si i)? 2 A ii) A; B 2 A ) A [ B 2 A iii) A 2 A ) A c 2 A :
10 Capítulo 1. Clases de conjuntos 7 Observación 8 Un álgebra A es un anillo tal que 2 A y viceversa. Ejemplos. Omitir este ejemplo hasta el momento que veamos la de nición de medida. f) = R y la medida de Lebesgue y considere la clase C = fa R : (A) < 1g : C es un anillo que no es álgebra de R: Veamos que es anillo: i)? 2 R ya que (?) = 0 ii) Si A; B 2 R (A [ B) (A) + (B) < 1: iii) Si A; B 2 C ; A B BnA = B \ A c B ) (BnA) (B) < 1 ) BnA 2 C : g) C = fa 2 R 3 : volumen (A) < 1g : Ejemplo (b) (continuación). La clase C = fa : #A < 1 o #A c < 1g ; es un álgebra. Demostración. i)? 2 C
11 Capítulo 1. Clases de conjuntos 8 ii) A 2 C ) A c 2 C iii) Si A; B 2 C ; hay varios casos: 1) #A < 1; #B < 1 ) # (A [ B) < 1 2) #A c < 1; #B c < 1 ) # (A c \ B c ) < 1 ) A [ B 2 C 3) #A < 1; #B c < 1: Ya vimos que C es -sistema y con iii) se obtiene ii). Lema 9 Un -sistema cerrado bajo complementos es un álgebra. Lema 10 Sea R un anillo de : entonces i)? 2 R: ii) R es cerrado bajo diferencias simétricas e intersecciones. iii) R es cerrado bajo uniones e intersecciones nitas. Lema 11 Un álgebra A de es un anillo de tal que es un elemento de A ; i.e., 2 A y viceversa. Ejemplos a) = R S = f(a; b]; ( 1; a]; (b; 1); ( 1; 1) : a; b 2 Rg es una semi-álgebra. Observación. Sean 1 y 2 conjuntos arbitrarios. Sea A 1 y B 2 : A B = (A 2 ) \ ( 1 B) : (Demostrarlo). b) Semi-álgebra de rectángulos Sean 1 ; 2 dos conjuntos no vacíos con álgebras A 1 ; A 2 ; respectivamente. Sea A 1 A 2 = fa 1 A 2 : A 1 2 A 1 ; A 2 2 A 2 g : Entonces A 1 A 2 es una semi-álgebra de 1 2 :
12 Capítulo 1. Clases de conjuntos 9 Observación 12 a). Se tiene la misma conclusión si A 1 y A 2 son semi-álgebras. c) Más generalmente, si A i es un álgebra de i ; i = 1; :::; n; entonces A 1 A n = fa 1 A n : A i A i ; i = 1; :::; ng ; es una semi-álgebra de 1 n : Ejemplo*. Sea R 1 el conjunto de todas las sucesiones reales: R 1 = (a n ) n1 : a n 2 R; n1 : Sea A un álgebra de R: Un conjunto de la forma C (i 1 ; :::; i n ; A 1 ; :::; A n ) = fx 2 R 1 : x i1 2 A 1 ; :::; x in 2 A n g ; i 1 ; :::; i n enteros y A i 2 A ; se llama cilindro de índices i 1 ; :::; i n y base A 1 ; :::; A n : Observación 13 a) Un cilindro no tiene una única representación. Proposición 14 La colección C (R 1 ) de todos los cilindros de R 1 es una semi-álgebra (Kolmogorov). Ejemplo. (Cilindros de funciones continuas). Sea = C [0; 1] y A un álgebra de R: Un conjunto de la forma C (t 1 ; :::; t n ; A 1 ; :::; A n ) = ff 2 C [0; 1] : f (t i ) 2 A i ; i = 1; :::; ng ; donde t i 2 [0; 1] ; A i 2 A se llama cilindro. Ejercicio 15 La colección de cilindros de es una semi-álgebra. Observación 16 El conjunto bien podría ser R T ; el conjunto de todas las funciones reales.
13 Capítulo 1. Clases de conjuntos Límites de sucesiones de conjuntos De nición 17 Sea fe n : n = 1; 2; :::g una sucesión de subconjuntos de : Entonces T lime n = 1 1S m=n S líme n = 1 1T m=n E m ; E m ; límite superior. límite inferior. Decimos que la sucesión fe n g n1 es convergente si líme n = líme n = líme n : : n Observación 18 Se cumple que líme n líme n : Por lo tanto, para probar que el límite existe, basta veri car que líme n líme n : Decimos que fe n g n1 es monótona creciente si E n E n+1 ; 8n 1 y que es monótona decreciente si E n+1 E n 8n 1: Notación. Monótona creciente: E n " Monótona decreciente: E n # Proposición 19 Una sucesión monótona creciente (decreciente) de conjuntos es convergente. Corolario 20 a) Si E n "; b) Si E n # lím n E n = 1 S E n : T líme n = 1 E n : n
14 Capítulo 1. Clases de conjuntos 11 Lema 21 Sea fe n g n1 una sucesión de conjuntos en un anillo R y sea E = S 1 E n: Entonces i) E = S 1 F n con F n 2 R; F n "; ii) E = S 1 G n con G n 2 R; conjuntos ajenos y G n E n 8n: Notemos que E no necesariamente está en el anillo. Demostración. i) Tenemos que F n = ii) G 1 = E 1 = F 1 G 2 = E 2 ne 1 = F 2 nf 1 2 R; G 2 E 2. G n = F n nf n 1 2 R: n[ E i ; F n "; F n 2 R: Los conjuntos G n son ajenos, ya que F n " : Además, y G n = n[ 1S!- n[ 1 E i G n = 1 S F n : E i E n Lema 22 Sea R un anillo de para cada en un conjunto arbitrario. Sea R = T 2 R : Entonces R es un anillo de : Demostración. Si E; F 2 R; entonces E; F 2 R ; 8 2
15 Capítulo 1. Clases de conjuntos 12 ) E [ F 2 R y EnF 2 R 8 2 ) E [ F 2 R y EnF 2 R ) R es anillo. Corolario 23 La intersección arbitraria de álgebras es álgebra. Teorema 24 Sea E una clase arbitraria de conjuntos de : Entonces existe un único anillo, R 0 ; tal que E R 0 y tal que si R es otro anillo con la propiedad de que R E ; entonces R 0 R: Observación 25 a) R 0 es el anillo más pequeño que contiene a E ; llamado el anillo generado por E ; denotado por R (E ) : b) Se tiene un resultado similar para álgebras: existe una única álgebra A 0 tal que E A 0 y si A es álgebra con E A ; entonces A 0 A : La denotamos por A (E ) : c) R (E ) A (E ) : No siempre R (E ) = A (E ) : Ejemplo 26 Sea A un subconjunto de : E = fag ; R (E ) = f?; Ag ; A (E ) = f?; A; ; A c g : Teorema 27 Sea E una clase no-vacía de subconjuntos de : Entonces cualquier elemento en R (E ) puede ser cubierto por una unión nita de conjuntos en E : (8E 2 R (E ) 9 E 1 ; :::; E n 2 E t.q. E S n E i) Demostración (Principio de los buenos conjuntos). Sea G la colección de todos los conjuntos «buenos», es decir, los subconjuntos de que pueden ser cubiertos por una unión nita de elementos en E : Trivialmente, E G :
16 Capítulo 1. Clases de conjuntos 13 Si demostramos que G es un anillo, (E G ); entonces R (E ) G y, por lo tanto, R (E ) cumple la propiedad. Vemos que G es un anillo. Si E; F 2 G ; trivialmente E [ E 2 G y EnF E; lo cual implica que EnF 2 G : Por lo tanto, G es un anillo. Teorema 28 Sea P un semi-anillo de : Entonces R (P) coincide con la clase de conjuntos de la forma n E i ; E i 2 P; i = 1; :::; n, para algún n 1 y los conjuntos E 1 ; :::; E n S son ajenos. Demostración. Sea ( ) n[ L = E : E = E i ; E i 2 P; E i s ajenos : Tenemos que L R (P) ; pues E i 2 P R (P) y Además P L : n[ E i 2 R (P) : Basta probar que L es anillo, en cuyo caso R (P) L ; de lo cual se sigue que R (P) = L : i) Si E; F 2 L ; trivialmente E [ F 2 L : ii) Veamos que L es un -sistema. n[ m[ Si E; F 2 L ; se sigue que E = E i ; F = F j ; E 1 ; :::; E n ; 2 P ajenos y F 1 ; :::; F m 2 P ajenos. n[ m[ Entonces E \ F = (E i \ F j ) ; E i \ F j 2 P; ya que P es -sistema. Entonces E \ F 2 L ; ya que A ij! = E i \ F j son ajenos. n[ [ m n[ m\ ii) Ahora EjF = E i F j = (E i jf j ) :
17 Capítulo 1. Clases de conjuntos 14 m\ Observemos que (E i jf j ) E i son ajenos, i = 1; :::; n: Si probamos que E i nf j son ajenos y están en L ; por (i) tendremos que la intersección m\ (E i jf j ) está en L, i = 1; :::; n y por (i) EnF 2 L : E i nf j 2 P; ya que P es semi-anillo y como E i ; F j 2 P; E i nf j = q[ H k ajenos y están en P: k=1 De nición 29 a) conjunto. S es -anillo si i) E; F 2 S ; EnF 2 S : ii) Si E i 2 S ) S 1 E i 2 S : b) F es -álgebra si i) 2 F : ii) A 2 F ) A c 2 F : iii) A i 2 F ; i = 1; :::; n; ::: S 1 A i 2 F : Proposición 30 Una -álgebra F es un -anillo con 2 F. Observación 31 1) Un -anillo es un anillo y una -álgebra es un álgebra, ya que A [ B = A [ B [? [ [?: 2) Los -anillos y las -álgebras son cerrados bajo intersecciones numerables. Teorema 32 Si E es una clase de subconjuntos de ; entonces i) Existe un único -anillo S 0 tal que E S 0 y si S es un -anillo con E S ; entonces S 0 S ; S 0 se llama el mínimo -anillo generado por E y escribimos S (E ) = S 0 : ii) Lo mismo es cierto para -álgebra y la denotamos por (E ) :
18 Capítulo 1. Clases de conjuntos 15 Demostración. Proponemos S 0 = T fs : S es -anillo de y E S g ; S 0 es -anillo. (concluir demostración). Observación 33 En general, no es posible describir completamente a S (E ) ni a (E ) : Lema 34 i) Si E y F son dos clases de subconjuntos de y E F ; entonces S (E ) S (F ) y (E ) (F ) : ii) S (R (E )) = S (E ) y (A (E )) = (E ) ; en donde R (E ) y A (E ) son el anillo generado por E y el álgebra generada por E ; respectivamente. De nición 35 Sea un espacio métrico (topológico) con colección de abiertos O: La - álgebra (O) se llama la -álgebra de Borel de y se denota por B () : Ejercicio 36 Mostrar que una -álgebra in nita es no-numerable. Ejemplo. I) B (R) ; II) B (R n ) ; III) B (C [0; 1]) : IV) = R: P = f(a; b] : a; b 2 Rg : P es semi-anillo. Veamos que R (P) = (P) = B (R) (F) Ejercicio 37 Sea P n = f(a 1 ; b 1 ] (a n ; b n ] : a i ; b i 2 Rg : Mostrar que S (P n ) = (P n ) = B (R n ) :
19 Capítulo 1. Clases de conjuntos 16 Demostración de Ejemplo IV ( F). S (P) = (P) ya que R 2 S (P) puesto que ( n; n] 2 P S (P) : (de Proposición 30). S R = 1 ( n; n]; Teorema 38 Los siguientes conjuntos están en (P) : i) fag ; a 2 R ii) A; A numerable iii) Los intervalos: abiertos, cerrados, semi-cerrados, nito o in nito. iv) A; A es abierto. v) A; A es cerrado. Lema 39 Sea P O = f(a; b) : a < b; a; b 2 Rg : Entonces (P O ) = (P) : Ejemplos. Sea un conjunto no-vacío ff n ; n 1g una sucesión de -álgebras de tal que F n F n+1 ; n 1: Entonces S i) 1 F n es un álgebra. S ii) 1 F n no necesariamente es -álgebra. (dar ejemplo de que no es -álgebra). 1 S F 1 = F n es la -álgebra generada por ff n g : De nición 40 Una colección D de subconjuntos de es una D-clase si es cerrada bajo diferencias propias y uniones numerables de ajenos: i) E; F 2 D; E F ) F ne 2 D ii) Si E n 2 D; n 1 y son ajenos, entonces 1 S E n 2 D:
20 Capítulo 1. Clases de conjuntos 17 De nición 41 Una colección M de subconjuntos de es una clase monótona si es cerrada bajo límites monótonos: S Si E n 2 M ; n 1 y E n E n+1 (E n+1 E n ) 8n 1; entonces 1 E n 2 M T 1 E n 2 M : Observación 42 a) Dada una clase E de subconjuntos de siempre existe una mínima D-clase que contiene a E ; denotada por D (E ) ; D-clase generada por E : b) Igualmente, existe una mínima clase monótona M que contiene a E ; denotada por M (E ) ; la clase monótona generada por E : c) -anillo y -álgebra son ejemplos de D-clases monótonas. Teorema 43 Si E es un -sistema, entonces D (E ) es también un -sistema. Demostración. (Técnica de los buenos conjuntos). E es un -sistema. Sea E y D E = ff : F \ E 2 D (E )g : Observemos que, si F 2 D E ; entonces E 2 D F. Para todo E ; D E es una D-clase: Sean F; G 2 D E ; F G: Observemos que F ng = (F \ E) n (G \ E) ; dado que E; F 2 D E se sigue que (F \ E) 2 D (E ) y (G \ E) 2 D (E ) : D (E ) es una D-clase y si F G ) F \E G\E: Por lo tanto (F \ E) n (G \ E) 2 D (E ) : O sea, D E es cerrado bajo diferencias propias. Si F n 2 D E ; n 1 F n ajenos, entonces F n \ E 2 D (E ) ; n 1 y son ajenos.
21 Capítulo 1. Clases de conjuntos 18 Lo que implica que S 1 S F n \ E = 1 (F n \ E) 2 D (E ) ; ya que D (E ) es cerrado bajo uniones numerables de ajenos. Por lo tanto D E es una D-clase 8 E : Ahora, si E 2 E ; entonces E D E ya que F \ E 2 E D (E ) ; 8F 2 E : Así, D E es una D-clase que contiene a E : D (E ) D E ; 8E 2 E : (1.1) Si E 2 E y F 2 D (E ) se sigue que F 2 D E : En consecuencia E 2 D F ; o sea, E D F si F 2 D (E ) : Por lo tanto D (E ) D F si F 2 D (E ) : Finalmente, si F; E 2 D (E ) ; F \ E 2 D (E ) ; i.e., D (E ) es -sistema. Teorema 44 Si E es un -sistema, entonces D (E ) = S (E ) : Demostración. Por la demostración anterior, S (E ) es D-clase (que contiene a E ): Entonces D (E ) S (E ) : Por el Teorema 43 D (E ) es cerrado bajo diferencias propias, uniones numerables de ajenos y bajo intersecciones, por lo que el resultado se sigue del siguiente lema: Lema 45 Si E es un -sistema que es una D-clase, entonces E es un -anillo. Demostración. i) A; B 2 E : AnB = An (A \ B) ; A (A \ B) ) AnB 2 E pues E es D-clase. ii) A; B 2 E A [ B = (AnB) [ (BnA) [ (A \ B) [? [ [? 2 E ; pues E es D-clase.
22 Capítulo 1. Clases de conjuntos 19 iii) Por el Lema 21 ii), Si A n 2 E ; n 1 y E es anillo, entonces E ; n 1 son ajenos. 1[ Por lo tanto A n 2 E : 1[ A n = [ G n, G n 2 Corolario 46 a) Si E es un -sistema y 2 E ; entonces D (E ) coincide con (E ) ; i.e., D (E ) = (E ) : b) Si E es un álgebra, M (E ) = (E ) : Teorema 47 Si E es un anillo, entonces M (E ) = S (E ) : Demostración. Ejercicio.
23 Capítulo 2 La medida y sus propiedades Sea C una clase de conjuntos cualquiera. Consideraremos sólo funciones de la siguiente forma: : C! R; donde R = R [ f 1; 1g (reales extendidos). De nición 48 La función : C! R es: a) Aditiva, si (A [ B) = (A) + (B) siempre que A; B 2 C son ajenos. b) Aditiva nita si! ns A j = nx (A j ) ; siempre que A j 2 C ; j = 1; :::; n y sean ajenos (por pares). c) -aditiva si! 1S A j = 1X (A j ) ; siempre que A j 2 C ; j = 1; 2; ::: y sean ajenos (por pares).
24 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 21 De nición 49 La función : C! R es: a) Finita si j (A)j < 1; A 2 C : b) - nita si para cada A 2 C existe fa n g n1 2 C tal que S A 1 A j y j (A j )j < 1; j 1: Observación 50 Es necesario que la función sea nita para que sea - nita. De nición 51 Sea R un anillo. Una medida es una función : R! [0; 1] que es -aditiva y (?) = 0: Observación 52 i) -aditiva implica (?) = 0; excepto en el único caso donde (A) = 1; 8A 2 R; esto porque si (A) < 1; entonces A = A [? [ [? [ 2 R ) (A) = (A) + (?) + ) (?) = 0: ii) La medida es aditiva nita. En efecto ns A j = A 1 [ [ A n [? [? [ 2 R; lo que implica que! ns A j = 1X (A j ) = nx (A j ) : 2.1 Propiedades de la medida La clase R será un anillo, a menos que se especi que lo contrario.
25 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 22 Teorema 53 Sea una medida sobre R: Entonces es a) Monótona; i.e., (A) (B) ; siempre que A; B 2 R y A B: b) Sustractiva; i.e., (BnA) = (B) (A) ; siempre que A; B 2 R; A B y (A) < 1: Teorema 54 Sea una medida sobre R: Si A 2 R y fa n g n1 R es tal que A S 1 A n; entonces 1X (A) (A n ) : Observación 55 No es necesario que S 1 A n 2 R: Teorema 56 Sea una medida sobre R: Entonces 1X (A n ) (A) ; siempre que A 2 R; fa n g n1 ; A n elementos de R; n 1; con S 1 A n A y A n \ A m =? 8n 6= m: Teorema 57 Sea una medida sobre R: Entonces 1 S A n = lím (A n ) ; n!1 para toda sucesión fa n g n1 de R; monótona creciente y tal que S 1 A n 2 R: Teorema 58 Sea una medida sobre R: Entonces 1 T A n = lím (A n ) ; n!1 siempre que fa n g n1 ; A n elementos de R; n 1; monótona decreciente, tal que T 1 A n 2 R y por lo menos existe m tal que (A m ) < 1:
26 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 23 Observación 59 Si para una sucesión fa n g n1 monótona. (A n ") o (A n #) denotamos De esta manera los teoremas anteriores nos dicen que lím A n = lím (A n ) : n!1 n!1 Entonces es continua por abajo y por arriba en A 2 R en el sentido de la siguiente: De nición 60 Una función : C! R es: a) Continua por abajo en A 2 C si para toda sucesión fa n g n1 de C tal que A n " A se tiene que lím (A n) = (A) : n!1 b) Continua por arriba en A 2 C si para toda sucesión fa n g n1 de C tal que A n # A y j (A m )j < 1 para algún m; se tiene que lím (A n) = (A) : n!1 Teorema 61 Sea una función nita, no-negativa y aditiva sobre el anillo R: Si a) la función es continua por abajo para toda A 2 R o b) la función es continua por arriba al?; entonces es medida sobre R: Observación 62 Debido a que es -aditiva, se cumple que (?) = 0.
27 Capítulo 2. La medida y sus propiedades Extensión de medida Consideremos : C! R y : D! R funciones cualesquiera. Si C D y (A) = (A) para toda A 2 C se dice que es una extensión de a D: Ejemplo 63 P = f(a; b] : a < bg es un semianillo y la función ((a; b]) = b a (la longitud de (a,b]) es nita y -aditiva. Más adelante veremos que tiene una única extensión a una medida sobre S (P) (-anillo). resulta que S (P) son los conjuntos de Borel. Objetivo: Extender la función : P! R a una medida sobre el -anillo S (P) : El método. Extender la función de P (semianillo) a R (P) (anillo) y luego de R (P) (anillo) a S (P) (-anillo). Teorema 64 Sea P un semianillo y : P! [0; 1] una función -aditiva tal que (?) = 0: Entonces se extiende a una única medida sobre el anillo R = R (P) : Ejercicio: Si la función es nita, entonces la medida lo es también. Si la función es - nita, entonces también lo es La medida exterior Usaremos la medida exterior para construir medidas con el n de extender una medida en un anillo a una en un -anillo.
28 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 25 De nición 65 Sea : 2 X! [0; 1] con (?) = 0 y X cualquier conjunto. La función se llama medida exterior si: a) Es monótona como función, i.e., (A) (B) ; 8A B: b) Es -subaditiva, i.e., 1 S E n 1X (E n ) ; para toda colección de subconjuntos, fe n g n1 de 2 X : Ejemplo 66 Si es medida en 2 X ; entonces es medida exterior. De nición 67 Un conjunto E se llama -medible si para todo A X; (A) = (A \ E) + (A \ E c ) : (2.1) Sea Para probar que E 2 S ; basta probar que S = E 2 2 X : E satisface (2.1) : (A) (A \ E) + (A \ E c ) ; 8A X: La colección S será una -álgebra y : S! [0; 1] una medida. Lema 68 Para todo E; F 2 S y A 2 2 X ; se tiene que a) (A) = (A \ E \ F ) + (A \ E c \ F ) + (A \ E \ F c ) + (A \ E c \ F c ) :
29 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 26 b) (A \ (E [ F )) = (A \ E \ F ) + (A \ E c \ F ) + (A \ E \ F c ) : c) siempre que E y F sean ajenos. (A \ (E [ F )) = (A \ E) + (A \ F ) ; Demostración. Como F 2 S ; entonces (A \ E) = (A \ E \ F ) + (A \ E \ F c ) y (A \ E c ) = (A \ E c \ F ) + (A \ E c \ F c ) ; y como E 2 S ; sustituimos ambas ecuaciones en (2.1) y obtenemos (a). Al sustituir A \ (E [ F ) por A en (a) se obtiene (b). Por último si E \ F =?; entonces E F c y F E c : Entonces (b) ) (c): Teorema 69 La colección S es una -álgebra y la restricción de a S es una medida. Demostración. Probaremos primero que S es álgebra. i) Por propiedad de simetría de la de nición de S ; tenemos que si E 2 S se sigue que E c 2 S : ii). Si E; F 2 S y A 2 2 X ; del Lema 68 (a) y (b) tenemos que (A) = (A \ (E [ F )) + (A \ (E [ F ) c ) : iii). X 2 S :
30 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 27 Luego S es álgebra. Ahora probaremos que S es una -álgebra. Por demostrar que si fe n g 1 S se cumple que 1[ E = E n 2 S : Podemos suponer, sin pérdida de generalidad que los E n s son ajenos, esto porque S es anillo y se puede particionar. Por inducción sobre n e inciso (c) del Lema 68! n[ A \ E i = nx (A \ E i ) : Sea F n = Entonces n[ E i : es claro que F n 2 S ; pues S es álgebra. (A) = (A \ F n ) + (A [ Fn) c ; n 1 nx = (A \ E i ) + (A \ Fn) c nx (A \ E i ) + (A \ E c ) (por monotonía), haciendo n! 1 se sigue que (A) 1X (A \ E i ) + (A \ E c ) (A \ E) + (A \ E c ) (por -subaditividad). Por lo tanto E 2 S : Veamos ahora que es medida en S :
31 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 28 1[ Sea E = E i ; E i s conjuntos ajenos que pertenecen a S : Entonces 1X (A) = (A \ E i ) + (A [ E c ) ; 8A: la prueba termina tomando A = E; pues el segundo término se hace cero y 1X (E) = (E i ) : El Teorema de extensión De nición 70 Sea : R! [0; 1] medida y E 2 2 X : De nimos : 2 X! [0; 1] como 8 ( ) 1P 1[ >< ínf (E n ) : E E n ; E n 2 R (E) = >: +1; cuando no se puede cubrir a E: Teorema 71 La función es una medida exterior y es una extensión de : Demostración. Dividiremos la demostración en tres pasos: i) es una extensión. Sea E 2 R; E = E [? [? [ ; entonces (E) (E) + (?) + (por de nición de ) 1[ Ahora, si E 2 R; E E n ; E n 2 R; se tiene que 1X (E) (E n ) (Teorema 56)
32 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 29 (E) (E) (por de nición de ) (E) = (E) 8E 2 R: En particular (?) = 0: ii) es monótona. Sea E F: Cualquier sucesión ff n g 1 F que cubre a F; cubre a E: Entonces (E) (F ) : Si F no se puede cubrir, entonces (F ) = 1 y la desigualdad es clara. iii) es -subaditiva. Sea fe n g 1 2X con (E n ) < 1: Por de nición de ; dado " > 0; para cada n existe fe mn g 1 m=1 R tal que 1[ E n m=1 E mn y 1X m=1 (E mn ) (E n ) + " 2 n : Notemos que [ 1[ fe mn : n = 1; 2; :::; m = 1; 2; :::g E := E n : Entonces 1X 1X (E) (E mn ) Haciendo "! 0; se prueba lo deseado. m=1 1X (E n ) + ": Lema 72 Probar que S (R) S ; donde S es la -álgebra de los conjuntos -medibles respecto a la medida exterior de la De nición 70. Demostración. Ejercicio. Teorema 73 Sea : R! [0; 1] una medida. Entonces existe una medida : S (R)! [0; 1] tal que se extiende a sobre S (R) : Si es - nita sobre R; entonces la extensión es - nita y única.
33 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 30 Demostración. Suponga que es - nita en R: Sean 1 ; 2 : R! [0; 1] medidas tales que extienden a ; i.e., Fijar A 2 R tal que (A) < 1 y sea 1 (E) = 2 (E) = (E) ; 8E 2 R: D = fe 2 S (R) : 1 (A \ E) = 2 (A \ E)g : i) E; F 2 D; F E; entonces 1 ((EjF ) \ A) = 1 (E \ A) 1 (F \ A) = 2 (E \ A) 2 (F \ A) = 2 ((EjF ) \ A) : ii) Si fe n g 1 D y ajenos, entonces 1! [ 1 E n \ A = = 1X 1 (E n \ A) 1X 2 (E n \ A) 1! [ = 2 E n \ A : En consecuencia D es cerrado bajo diferencias propias y unión numerable de ajenos, esto es, D es una D-clase. Obsérvese que R D: Entonces D (R) D: Por otra parte, D (R) = S (R) (ver Teorema 44). Entonces D S (R) ; así 1 (E \ A) = 2 (E \ A) ; 8E 2 S (R) :
34 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 31 Dado que D (R) = S (R) y por la - nitud de en R: Si E 2 S (R) ; entonces existen E n 2 R; 1[ E E n y (E n ) < 1: (2.2) Podemos tomar los E n s ajenos, E = 1 S (E \ E n ) ; y los (E \ E n ) s son ajenos. 1 (E \ E n ) = 2 (E \ E n ) ; n 1 Entonces 1X 1X 1 (E) = 1 (E \ E n ) = 2 (E \ E n ) = 2 (E) : Luego, la extensión es única. Que es - nita es precisamente (2.2). Teorema 74 (Teorema de extensión de Carathéodory). Sea P un semianillo y : P! [0; 1] una función -aditiva y (?) = 0: Entonces existe una medida : S (P)! [0; 1] que es una extensión de sobre P: Si es - nita en P; entonces la extensión es única y - nita en S (P) : Demostración. Paso I: se extiende a sobre R (P) y por paso II: se extiende a sobre S (R (P)) = S (P) : La extensión es única pero no. Como es - nita, por ejercicio es - nita sobre R (P) y entonces es - nita sobre S (R (P)) :
35 Capítulo 2. La medida y sus propiedades Ejemplo: Medida de Lebesgue Teorema 75 Existe una única medida en la -álgebra de Borel B (R) tal que ((a; b]) = b a; 8a < b: La medida es - nita y se llama la medida de Lebesgue en B (R) : Observación 76 Sea la medida de Lebesgue en B (R) : (a) (fag) = 0: Sea A n = (a 1 n ; a]; (A n) = 1 n < 1; A n # fag ) (A n )! (fag) ) 1! 0 ) (fag) = 0: n (b) Si A 2 B (R) es numerable, entonces (A) = 0; por -aditividad. En particular (Q) = 0 y (I) = 1: (c) La medida de lebesgue de un intervalo acotado es su longitud. ((a; b]) = b a: ([a; b]) = (fag [ (a; b]) = b a: (a; b] = (a; b) [ fbg ) ((a; b]) = ((a; b)) + (fbg) ) ((a; b)) = b a: (d) La medida es - nita en P; R (P) y S (P) y S : Invariancia bajo traslaciones de la medida de Lebesgue De nición 77 Si A R y x 2 R; entonces la traslación de A por x se de ne como el conjunto x A = fx + a : a 2 Ag :
36 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 33 Ejemplo 78 Sea la medida de Lebesgue. Entonces (x I) = (I) ; I = (a; b]; (a; b); [a; b); [a Teorema 79 Si E R y x 2 R; entonces (x E) = (E) : Demostración. Si E S 1 E i; E i 2 S ; entonces x E S 1 (x E i) : Además, debido a que 1X (E i ) = 1X (x E i ) ; lo que implica que ( 1 ) X S (x E) inf (x E i ) : x E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (E i ) : x E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (E i ) : E 1 K i ; K i 2 S = (E) : (K i = ( x) E i ; K i 2 S :) Ahora ( 1 ) X S (E) inf (E i ) : E 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E x 1 E i ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E 1 (x E i ) ; E i 2 S ( 1 ) X S = inf (x E i ) : x E 1 I i ; I i 2 S = (x E) :
37 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 34 (I i = x E i ; I i 2 S :) Por lo tanto (x E) = (E) : Ejercicio 80 Sean A y B subconjuntos de R y z 2 R: Entonces (z A) \ B = z fa \ [( z) B]g y x B c = (x B) c : Teorema 81 Si E 2 B (R) y x 2 R; entonces x E 2 B (R) y (x E) = (E) : Demostración. Dado que es invariante bajo traslaciones, tenemos ([( x) A] \ B) = (( x) [A \ (x B)]) = (A \ (x B)) : (2.3) Ahora, sea E 2 B (R) ; sustituyendo B por E y por E c en (2.3), respectivamente,se obtiene que (A) = (( x) A) = ([( x) A] \ E) + ([( x) A] \ E c ) = (A \ (x E)) + (A \ (x E c )) = (A \ (x E)) + (A \ (x E) c ) ;
38 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 35 para todo A 2 2 R : Por lo tanto x E 2 B (R) y por lo anterior (x E) = (E) = (E) : Ejercicio 82 Para un subconjunto E de R y a; b 2 R; a 6= 0; de namos T (E) = ae + b = fax + b : x 2 Eg : 1) T (E) 2 B (R) si, y sólo si, E es de Borel. 2) Si es la medida de Lebesgue en B (R) ; entonces (T (E)) = jaj (E) : Un conjunto no Boreliano Teorema 83 Existe un subconjunto en R que no pertenece a B (R). De namos una relación de equivalencia en R por x y () x y 2 Q: Esta relación particiona a R en clases de equivalencia [x] = fx + q : q 2 Qg : Claramente cada clase de equivalencia contiene a un punto de [0; 1] : Sea V [0; 1] un conjunto con exactamente un punto de cada clase de equivalencia (dicho conjunto existe, por el axioma de elección).
39 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 36 Para todo q i 2 Q\ [ 1; 1] ; de namos V i = q i V: Observemos que [0; 1] S V i [ 1; 2] : (2.4) i2n Para ver que la primera inclusión es válida, notemos que si x 2 [0; 1] ; debe de existir y 2 V tal que x 2 [y] ~ : (debido a que x debe de pertenecer a alguna clase de equivalencia y de la de nición de V éste contiene un elemento de cada clase de equivalencia). Entonces x y = q i ; para algún q i 2 Q\ [ 1; 1] y así x 2 q i V: Observemos también que V i \ V j =? si i 6= j; (2.5) de no ser así para algún y; z 2 V; y 6= z implica que y + q i = z + q j! lo cual es imposible por la elección de V: Demostración del Teorema 83. Supongamos que V es medible. Entonces también lo es V n ; n = 1; 2; ::: y S i2n V i: Por (2.4) y la monoticidad de la medida de Lebesgue tendremos S 1 = ([0; 1]) V i ([ 1; 2]) = 3: (2.6) i2n Por invariancia bajo traslaciones de tenemos que 0 < (V i ) = (V ) : (2.7) Por lo tanto, debido a que los V i son ajenos y por -aditividad tenemos que lo cual es una contradicción de (2.6). S V i = X (V i ) = X (V ) = +1!; i2n i2n i2n En consecuencia el conjunto V no puede ser medible.
40 Capítulo 2. La medida y sus propiedades Medida de Lebesgue-Stieltjes De nición 84 Una función F : R! R se llama función de distribución si es nodecreciente y continua por la derecha. Teorema 85 (Caracterización de medidas en B (R)): a) Sea F una función de distribución. Entonces existe una única medida (- nita) F en la -álgebra de Borel B (R) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) ; 1 < a < b < 1: b) Recíprocamente si es una medida en B (R) tal que ((a; b]) < 1 para todo 1 < a < b < 1; entonces existe una función de distribución F tal que = F : c) La función F es única módulo una constante aditiva. Demostración. Sea S = f(a; b]; (c; 1); ( 1; d]; ( 1; 1) : a < b 2 Rg : La colección S es una semi-álgebra. Por el Teorema de Carathéodory (Teorema 74) para demostrar (a) tenemos que probar que F es -aditiva en la semi-álgebra S : si (a i ; b i ]; i 1 son ajenos F S (a i ; b i ] = 1X F ((a i ; b i ]) : Lema 86 Sea E 0 2 S y fe n g n1 una sucesión de intervalos ajenos en S tal que E i E 0 ; para todo i 1: Entonces 1X F (E i ) F (E 0 ) :
41 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 38 Demostración. Si F (E 0 ) = 1; la demostración termina. Supongamos que F (E 0 ) < 1: Sea n jo, entonces nx nx F ((a i ; b i ]) = [F (b i ) F (a i )] F (b 0 ) F (a 0 ) = F (E 0 ) : Así, tomando el límite tenemos 1X F ((a i ; b i ]) F (E 0 ) : Lema 87 Si S [a 0 ; b 0 ] n (a i ; b i ) ; entonces nx F (b 0 ) F (a 0 ) [F (b i ) F (a i )] : Demostración. Ejercicio (utilizar -subadtividad de F ). Lema 88 Si E 0 2 S ; E i 2 S ; i 1 y E 0 S 1 E i; entonces 1X F (E 0 ) F (E i ) : Demostración. Supongamos que F (E 0 ) < 1: Siempre podemos tomar E i s de longitud nita (E i = (a i ; b i ]; 1 < a i < b i < 1). Sea " > 0, tal que, 0 < " < F (b 0 ) F (a 0 ) : Por ser F continua por la derecha, elegimos i tal que F (b i + i ) < F (b i ) + " ; i = 1; 2; ::: 2i
42 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 39 Entonces S [a 0 + "; b 0 ] 1 (a i ; b i + i ): Por el Teorema de Heine-Borel existe un n tal que Entonces por el Lema 87. S [a 0 + "; b 0 ] n (a i ; b i + i ): F (b 0 ) F (a 0 + ") (F es no decreciente) = nx [F (b i + i ) F (a i )] 1X [F (b i + i ) F (a i )] 1X [F (b i + i ) F (b i ) + F (b i ) F (a i )] 1X F ((a i ; b i ]) + 1X " 2 i : Por lo tanto F (b 0 ) + F (a 0 + ") Si " # 0 y por continuidad por la derecha de F 1X F ((a i ; b i ]) + ": F ((a 0 ; b 0 ]) = F (b 0 ) F (a 0 ) 1X F ((a i ; b i ]) : Volviendo a la demostración del Teorema 85-(a): Si E i 2 S ; i 1 son ajenos y S 1 E i = E 0 2 S ; por los Lemas 86 y 88 tenemos que F (E 0 ) = 1X F (E i ) ;
43 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 40 es decir, F es -aditiva en S : Ahora, F es - nita en S ya que todo E 2 S F (E) = 1X F (E i ) ; F (E i ) < 1; E i ajenos, E i = (a i ; b i ]; 1 < a i < b i < 1: Por Carathéodory (Teorema 74) se desprende que existe una única medida F en (S ) = B (R) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) : Demostración Teorema 85-(b): Sea una medida en B (R) tal que (E) < 1; para todo E 2 S : De namos 8 < F (x) = : ((0; x]) ; x 0 ((x; 0]) ; x < 0: La función es una medida, lo que implica que F es no decreciente. Además, F es continua por la derecha: Sea x 0 y h n # 0: Entonces (0; x + h n ] # (0; x]: Por el Teorema de continuidad de medida (Teorema 58) ((0; x]) = lím ((0; x + h n ]) ; n!1 es decir F (x) = lím F (x + h n ) : n!1 Por otro lado F ((a; b]) = F (b) F (a) = ((a; b]) : ( es - nita en S ).
44 Capítulo 2. La medida y sus propiedades 41 La unicidad se sigue por Carathéodory (Teorema 74) F = en B (R) : Demostración Teorema 85-(c): Si G es otra función de distribución tal que G = ; entonces para todo x 2 R G (x) G (0) = F (x) F (0) : En consecuencia F = G + C: Observación 89 a) F (fag) = F (a) F (a ) ; pues F (fag) = lím 1 F (a ; a] n!1 n = lím F (a) F a 1 n!1 n = F (a) F (a ) : b)si F es continua en a 2 R; entonces F (fag) = 0: c) F ((a; b)) = F (b ) F (a) ; F ([a; b)) = F (b ) F (a ) : d) F (x) = x nos da la medida de Lebesgue (única en B (R) que a cada intervalo acotado le asigna su longitud) e) Si F (+1) = 1 y F ( 1) = 0; entonces F es una medida de probabilidad en B (R) :
45 Capítulo 3 Funciones medibles y variables aleatorias 3.1 Espacios de medida y espacios medibles (X; S ) es un espacio medible si X es un conjunto no-vacío y S es una -álgebra. (X; S ; ) es un espacio de medida si (X; S ) es un espacio medible y es una medida en S : (X; S ; ) es un espacio de probabilidad si es un espacio de medida y (X) = 1: Denotemos por B R la -álgebra que contiene a a) B (R) b) f 1g ; f+1g Ejercicio. Prueba que B R = B; B [ f+1g ; B [ f 1g ; B [ f+1g [ f 1g : B 2 B R :
46 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 43 Convenciones algebraicas Si 1 < a < 1 1 a = 1 1 a = 1 (1) (0) = 0 (1) = 0: Si a > 0; a (1) = 1; a ( 1) = 1 Si a < 0; a (1) = 1; a ( 1) = 1: = 1; 1 1 = 1: No permitiremos 1 1 ni 1 + ( 1) : 3.2 Transformaciones y funciones medibles Imagen inversa transforma conjuntos T : X! Y (T x 2 Y; x 2 X) T 1 G = fx 2 X : T x 2 Gg ; G Y: Lema 90 Sea T una transformación de X en Y y G; H; G i ; i = 1; 2; ::: subconjuntos de Y: Entonces
47 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 44 i) T 1 (GnH) = T 1 GnT 1 H (T 1 (?) =?) 1! [ 1[ ii)t 1 G i = T 1 G i 1! \ 1\ iii)t 1 G i = T 1 G i iv) T 1 G c = (T 1 G) c Lema 91 Sea T : X! Y y sea T un -anillo de Y: Entonces T 1 T = T 1 G : G 2 T : es un -anillo de X: T 1 T es una -álgebra si T es una -álgebra y si T está de nida en todo X: Demostración. Use Lema 90 i), ii). Lema 92 Sea (X; S ) un espacio medible y T : X! Y una transformación. Entonces T = G : T 1 G 2 S ; es un -anillo. Demostración. Trivial. De nición 93 Sean (X; S ) y (Y; T ) espacios medibles y T : X! Y: Se dice que T es S jt -medible si T 1 T S ; es decir, T 1 G 2 S ; para todo G 2 T ; es decir la imagen inversa de un medible es medible. De nición 94 Si Y = R y f : X! R decimos que f es medible si f es S jb R -medible.
48 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 45 De nición 95 Si (X; S ; ) es un espacio de probabilidad las funciones medibles se llaman variables aleatorias. Teorema 96 Sean (X; S ) ; (Y; T ) espacios medibles y T una transformación de X en Y: Sea G una clase de subconjuntos de Y tal que S (G ) = T (-anillo generado por G ): Entonces T es S jt -medible si, y sólo si, T 1 G 2 S ; para todo G 2 G : Demostración. Si T es S jt -medible, claramente T 1 G 2 S ; 8G 2 G : (3.1) Recíprocamente. Supongamos que se cumple (3.1) y que S (G ) = T y sea D = G Y : T 1 G 2 S : Por el Lema 92, D es un -anillo y, por hipótesis, G D; por lo tanto S (G ) = T D: Entonces T 1 G 2 S ; 8G 2 T : Luego T es S jt -medible. Teorema 97 Sea (X; S ) un espacio medible y f : X! R: Entonces f es una función medible si, y sólo si, a) f 1 (f 1g) 2 S ; f 1 (f1g) 2 S y a 1 ) f 1 (B) 2 S ; para todo B 2 B (R) ; o a 2 ) fx 2 X : 1 < f (x) ag = f 1 (( 1; a]) 2 S ; para todo a real.
49 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 46 Observación 98 La condición (a 2 ) se puede sustituir por f 1 ( 1; a) 2 S ; para todo a 2 R; o f 1 ([a; 1)) 2 S ; para todo a 2 R; o f 1 (a; 1) 2 S ; para todo a 2 R; y a 2 R se puede sustituir por a 2 Q: Demostración. Ejercicio. Ejemplos de funciones medibles (X; S ) espacio medible. 1) f (x) = k; para todo x 2 X es medible. Si a k; f 1 (a; 1) =? 2 S : Si a < k; f 1 (a; 1) = X 2 S : 2) La función indicadora o característica de un conjunto E X: 8 < 1; x 2 E; E (x) = 1 E (x) = : 0; x =2 E: 1 1 E (a; 1) = 8 >< >:?; a > 1; E; 0 < a < 1; X; a 0: 1 E es medible si, y sólo si, E 2 S :
50 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 47 Esto nos permite construir una función no medible, tomando 1 E : R! R; donde E R es no-medible. 3) Si f : X! R es continua, entonces f es medible. f 1 (a; 1) es un abierto ya que (a; 1) es abierto y f es continua. En general f 1 (O X ) O Y si f es continua, f : X! Y: 4) Si X = R; S = B (R) ; entonces cualquier función monótona es medible. Supongamos que f es monótona creciente 8 < (b; 1) 2 B (R) ; f 1 (a; 1) = : [b; 1) 2 B (R) ; para algún b 2 R: Lema 99 Sea (X; S ) un espacio medible y f; g : X! R funciones S jb (R)-medibles. Entonces las siguientes funciones son medibles: (a) cf; para todo c 2 R; (b) f 2 ; (c) f + g; (d) fg; f n para todo n 1; (e) jfj : Demostración. (a) Si c = 0; es trivial. Si c > 0; fx 2 X : cf (x) > ag = n x 2 X : f (x) > c o 2 S ; a ya que f es medible. El caso c < 0 es similar. (b). Si a < 0; x 2 X : f 2 (x) > a = X 2 S : Si a 0 x 2 X : f 2 (x) > a = x 2 X : f (x) > p a [ x 2 X : f (x) < p a ;
51 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 48 dado que f es medible se tiene que fx 2 X : f (x) > p ag 2 S y fx 2 X : f (x) < p ag 2 S y así se sigue que f 2 es medible. (c) Para r 2 Q; S r = fx 2 X : f (x) > rg \ fx 2 X : g (x) > a rg 2 S ; dado que f y g son medibles. Además fx 2 X : f (x) + g (x) > ag = S S r 2 S ; por lo tanto f + g es medible. (d) En virtud de que r2q fg = 1 4 (f + g) 2 (f g) 2 ; y utilizando (a), (b) y (c) se tiene que fg es medible. Asimismo, f n es medible para todo n 1: (e) Si a < 0; fx 2 X : jf (x)j > ag = X 2 S : Si a > 0; fx 2 X : jf (x)j > ag = fx 2 X : f (x) > ag [ fx 2 X : f (x) < ag 2 S ; lo anterior es porque f es medible. Observación 100 i) Puede ser que jfj sea medible y f no lo sea. e.g. sea E =2 B (R) : 8 < 1; x 2 E; f (x) = : 1; x =2 E; f (x) no es Borel medible y sin embargo la función jfj = 1 sí es Borel medible.
52 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 49 ii) Si f; g : X! R entonces (a) ; (b) y (e) en el lema anterior se cumplen. (ejercicio) iii) fg también es medible A f = fx : f (x) = +1g 2 S B f = fx : f (x) = 1g 2 S C f = A f [ B f : iv) f + g puede estar no de nida. Sin embargo la función 8 < f (x) + g (x) ; x =2 C f [ C g ; h (x) = : 0; x 2 C f [ C g ; es medible y C f [ C g 2 S : Proposición 101 Sea f : X! R y f + (x) = max ff (x) ; 0g 0 y f (x) = max f f (x) ; 0g 0: Entonces a) f = f + f : b) jfj = f + + f : c) f + = 1 (jfj + f) y f 2 = 1 (jfj 2 f) : d) f + y f son medibles si, y sólo si, f es medible. Demostración. Los incisos (a), (b) y (c) son triviales. (d). Si f es medible, entonces jfj es medible; por (c) f + y f son medibles. Si f + y f son medibles, por (a), f es medible. Observación. La proposición anterior es cierta si f : X! R: Lema 102 Sea f n : X! R una sucesión de funciones medibles y f (x) = ínff n (x) ; n F (x) = sup f n (x) ; n
53 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 50 f (x) = límf n (x) ; F (x) = límf n (x) : n n Entonces f; F; f ; F : X! R son medibles. Demostración. La demostración se sigue de las siguientes observaciones fx 2 X : f (x) ag = 1 T fx 2 X : F (x) > ag = 1 S fx 2 X : f n (x) ag ; fx 2 X : f n (x) > ag ; f (x) = sup ínf f n (x) ; F (x) = ínf sup f n (x) : n1 mn n1 mn Corolario 103 Sea f n : X! R una sucesión de funciones medibles tal que 1 f n! f: Entonces f es medible. Corolario 104 Sean f; g : X! R medibles, entonces fg es medible. Demostración. Sea 8 f (x) ; jf (x)j n; >< f n (x) = n; f (x) > n; >: n; f (x) < n; 8 g (x) ; jg (x)j m; >< g m (x) = m; g (x) > m; >: m; f (x) < m: Entonces para todo n 1; f n ; g n : X! R y es fácil ver que son medibles y f n! f y g m! g: Además, por el Lema 99 (d), f n g m son funciones medibles. Por el Corolario 103, 1 lím n!1 f n (x) = f (x) ; x 2 R:
54 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias 51 para todo n 1; f n g = f n lím g m es medible, y de nuevo, por el Corolario 103 fg = lím f n g m!1 n!1 es medible. Observación 105 Se dice que una función g : X! R es simple si existen k; A i 2 S ; k[ a i 2 R; i = 1; 2; :::; k: Los A i s son ajenos tales que X = A i y g (x) = P k a i1 Ai (x) : Teorema 106 ( Teorema de aproximación) Sea f una función medible no-negativa. Entonces existe una sucesión f n de funciones simples reales no-negativas medibles tal que 2 f n " f: Demostración. Sea n jo. Para k = 0; 1; :::; n2 n 1 sean E k;n = x 2 X : k2 n f (x) < (k + 1) 2 n ; y para k = n2 n Ek;n = fx 2 X : f (x) ng : E k;n 2 S para todo k; ya que f es medible, además los E k;n son ajenos X = n2n S k=0 E k;n : Sea Observemos que f n : X! R: f n (x) = 1 X n2n k1 2 n Ek;n (x) : k=0 Entonces f n cumple lo deseado (ejercicio). 2 Para todo n 1, f n (x) f n+1 (x) ; para todo x 2 R y lím n!1 f n (x) = f (x) :
55 Capítulo 3. Funciones medibles y variables aleatorias Variables aleatorias Sea (; F ; P ) un espacio de probabilidad. Una función X :! R es variable aleatoria si es una función medible. Sea F (x) = P (X x) = P (f! : X (!) xg) : Entonces F (x) es una función de distribución y F (+1) = 1; F ( 1) = 0 (Función de distribución de probabilidad). Teorema 107 Dada una función de distribución de probabilidad F; existe un espacio de probabilidad (; F ; P ) y una variable aleatoria X en (; F ; P ) tal que X tiene distribución F; es decir F (x) = P (X x) ; para todo x 2 R: Demostración. Sea = R; F = B (R) y F la medida en (R; B (R)) tal que F ((a; b]) = F (b) F (a) : Sea P = F y X :! R de nida por X (!) =!: Claramente X es variable aleatoria y P (X x) = F (( 1; x]) = F (x) : P () = 1:
56 Capítulo 4 Integración Sea (X; A ; ) un espacio de medida. De namos Nos preguntamos De nición 108 Una función ' : X Representación estándard: : X! [0; 1] ; f : X! [ 1; 1] ; A -medible. X X fd = fd?! fd: fd:! R es simple si toma un número nito de valores. ' (x) = donde los a 0 js son distintos y A j 2 A son ajenos y X = S n A j: nx a j 1 Aj (x) ; (4.1)
57 Capítulo 4. Integración 54 Observación 109 Existen muchas representaciones para ': Ejemplo 110 ' (x) = 3 1 [1;3] (x) [2;4] (x) = 3 1 [1;2) (x) [2;3] (x) [3;4] (x) : La integral con respecto de de ' 0 se de ne por 'd = Nota: R 'd 2 [0; 1] : nx a j (A j ) : Lema 111 (Linealidad). Sean '; funciones simples no negativas y c 0; a) R c'd = c R 'd; R (' + ) d = R 'd + R d: b) : A! [0; 1] de nida por (A) = '1 A d; es medida en X: Notación. R '1 A d = R A 'd: Demostración. El caso c = 0 es obvio. Sea c > 0: Entonces c = nx c j 1 Aj (r.e. = representación estándard). Luego, cd = nx c j (A j ) = c d:
58 Capítulo 4. Integración 55 Sea (x) = P n j1 Bj (x) su r.e. dada por (4.1). Podemos representar ( + ) (x) = nx mx k=1 j + k 1Aj \B k (x) : Sean c i ; i = 1; :::; p los distintos números del conjunto j + k : j = 1; :::; n; k = 1; :::; m : I i = (j; k) : j + k = c i ; A j \ B k 6=? D i = S (A j \ B k ) ; i = 1; :::; p: (j;k) (D i ) = P (j;k)2i i (A j \ B k ) y + = ( + ) d = = = = px c i 1 Di es la r.e. dada por (4.1). px px X c i (D i ) = c i (A j \ B k ) nx mx k=1 nx j (A j ) + d + (j;k) j + k (Aj \ B k ) mx k (B k ) r.e. de ; : k=1 d: b) 1 A = P n j1 Aj \A: (A j \ A) \ (A k \ A) =?; j 6= k:
59 Capítulo 4. Integración 56 Por linealidad e inducción nita 1 A d = = = nx j 1 Aj \Ad nx j (A \ A j ) nx j j (A) ; es una combinación lineal nita de medidas. Consideremos una función f medible no negativa. De nición 112 Sea f : X! [0; 1] medible. De nimos fd = sup 'd : 0 ' f; ' simple : Nota. R fd 2 [0; 1] : R f1 A d = R A fd: Lema 113 a) 0 f g; entonces R fd R gd: b) Si A B; A; B 2 A ; entonces R A fd R B fd: Demostración. (a) 0 ' f ) 0 ' g: (b) Aplicar inciso (a) a f1 A f1 B : Teorema 114 (Teorema de convergencia monótona). Suponga que 0 f n " f: Entonces (i.e., R f n d " R fd): fd = lím n!1 f n d:
60 Capítulo 4. Integración 57 Nota. No se pide convergencia en ambos lados. Demostración. Tenemos que f es medible, ya que f n (x)! f (x) 8x 2 X: Como f n f; para toda n; se sigue que f n d fd; así lím f n d fd: Sea 0 < " < 1; y sea 0 ' f simple. De namos A n = fx 2 X : "' (x) f n (x)g : Luego, A n 2 A ; A n A n+1 ; 1S A n = X: Si x 2 X entonces "' (x) < ' (x) f (x) : Lo que implica que existe n tal que "' (x) f n (x) : Así Por otro lado "'d A n f n A n 'd = = f n d: '1 X d '1 S 1 d A n (monotonía de la medida) = lím 'd: n!1 A n Entonces " 'd lím n!1 f n d;
61 Capítulo 4. Integración 58 haciendo "! 1 se obtiene que 'd lím n!1 f n d: Corolario 115 Sean f; g : X! [0; 1] y c 0: Entonces a) cfd = c fd: b) (f + g) d = fd + gd: Demostración. a) el caso c = 0 es obvio. Si c > 0; sean 0 ' n f; tal que ' n ' n+1 ; ' n s simples y ' n % f: ( Teorema de aproximación 106) Tenemos que c' n % cf; c' n s simples. Entonces cfd = lím n!1 c' n d = c fd: Para la primera igualdad se utilizó el Teorema de convergencia monótona (T.C.M. 114) y para obtener la segunda igualdad se utilizó la linealidad de la integral, Lema 111. b) Si 0 n % g; n s simples (f + g) d = lím (' n + n ) d (T.C.M. 114) n!1 = lím ' n d + lím n!1 n!1 nd (linealidad, Lema 111) = fd + gd (T.C.M. 114).
62 Capítulo 4. Integración 59 Corolario 116 Sean g n 0: Entonces X 1 1X g n d = g n d: Demostración. Aplicar T.C.M. a nx 1X f n = g j % g j : Lema 117 (Lema de Fatou) Sean f n 0; n 1: Entonces límínff n límínf f n d: Demostración. Sea g n = ínf ff n ; f n+1 ; :::g : Notemos que g n %liminf f n : Entonces, por el T.C.M. 114 g n d % liminff n d: (4.2) Por otro lado, g n f m ; 8m n; entonces Por (4.2) y (4.3) se sigue que g n d f m d; 8m n; g n d f m d: (4.3) ínf mn liminff n d liminf f n d:
63 Capítulo 4. Integración 60 Corolario 118 Sea f : X! [0; 1] : a) b) (A) = fd es medida en A : A f (x) = 0; -c.t.p 1. si, y sólo si, fd = 0: Demostración. a) (A) 0; pues f lo es. (?) = R f1? d = 0: Para probar -aditividad, considerar A 1 ; A 2 ; :::; en A con A = 1 S De namos la sucesión monótona-creciente a f1 A por f n = P n f1 A j : Dado que f n % f1 A ; por el TCM 114 (A) = f1 A d = lím n!1 f n d = lím n!1 nx b) De namos A = fx : f (x) > 0g ; A n = x : f (x) > 1 : n S Observemos que A = 1 A n y f (x) 1 1 n A n (x) 8x 2 X: Si R fd = 0 ) 0 1 n (A n) ; 8n: Entonces (A) = 0; lo cual implica que f (x) = 0 -c.t.p.. Si (A) = 0; de nimos f n = n1 A : f1 Aj d = A j y A i \ A j =?; j 6= k: 1X (A j ) : liminff n (x) = sup n1 inf m1 A (x) f (x) ; 8x 2 X: mn 0 fd liminff n d liminf f n d (Fatou, Lema 117). = liminfn (A) = 0; pues (A) = 0:
64 Capítulo 4. Integración 61 Corolario 119 El T.C.M. (Teorema 114) sigue siendo válido si reemplazamos 0 f n " f (puntualmente) por 0 f n " f -c.t.p. Ejemplo 120 (Desigualdad estricta en el Lema de Fatou: Lema 117). Sea = (la medida de Lebesgue). f n (x) = 1 [n;n+1] (x)! f (x) = 0; 8x 2 R; y observe que f n d = 1 > fd = 0: Ejemplo 121 (No se aplica el Lema de Fatou) Sea = (la medida de Lebesgue). f n (x) = 1 n 1 [0;n] (x)! f (x) = 0 (uniformemente). R fd = 0 > 1 = R fn d; 8n = límínf R f n d: Ejemplo 122 (No se aplica el T.C.M. Teorema 114). Consideremos f n (x) = 1 [n;1] (x) " f (x) = 0: Pero f n d = 1 < fd = 0: Ejemplo 123 El T.C.M. (Teorema 114) y el Lema de Fatou (Lema 117) es válido para funciones negativas 1 < f 1 d:
65 Capítulo 4. Integración 62 De nición 124 Una función f : X! R medible es integrable con respecto a si f + d < 1 y f d < 1: Y en este caso de nimos R fd = R f + d R f d: Notación. Cuando f es (Lebesgue) integrable, escribimos f 2 L = L (X; A ; ) : fd = f1 A d; 8A 2 A : A Observación 125 a) f + ; f : X! R + : b) R fd < 1 c) Si f = f 1 f 2 ; f 1 ; f 2 : X! R + y R f 1 d < 1; R f 2 d < 1: Entonces f + f = f 1 f 2 ) f + + f 1 = f 2 + f ) R f + d + R f 1 d = R f 2 d + R f d (linealidad) R fd = R f 2 d R f 1 d ( nitud). d) : A! R de nida por (A) = fd; (f 2 L ); A es una medida signada. i) (?) = f + 1? d f 1? d = 0: ii)!! 1S 1S A j = + A j! 1S A j ;
66 Capítulo 4. Integración 63 donde A j 2 A ; A j s son mutuamente ajenos y + (A) = f + 1 A d; (A) = f 1 A d: Así! 1S A j = = = = 1X + (A j ) 1X (A j ) 1X + (A j ) (A j ) 1X 1X (A j ) : f + 1 A d f 1 A d e) fd = A 1X S 1 Aj fd; 8A = 1 A j ; A j 2 A ; A j s son mutuamente ajenos. Teorema 126 La función f es integrable si, y sólo si, jfj es integrable. Demostración. La función f es integrable si, y sólo si, f + d < 1 y f d < 1; lo anterior es cierto si, y sólo si, f + y f son integrables, de nuevo si, y sólo si, jfj + = jfj = f + + f ; {z } integrables
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión
Teoría de la Probabilidad Tema 2: Teorema de Extensión Alberto Rodríguez Casal 25 de septiembre de 2015 Definición Una clase (no vacía) A de subconjuntos de Ω se dice que es un álgebra si A es cerrada
Más detallesTeoremas de Convergencia
Capítulo 24 Teoremas de Convergencia El teorema de la convergencia monótona (Lema 21.3) establece ciertas condiciones sobre una sucesión de funciones medibles para que se puedan permutar los símbolos y
Más detallesTerminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales.
TEMA 5. CARDINALES 241 Tema 5. Cardinales Terminaremos el capítulo con una breve referencia a la teoría de cardinales. Definición A.5.1. Diremos que el conjunto X tiene el mismo cardinal que el conjunto
Más detalles1. Convergencia en medida
FACULTAD CS. FÍSICAS Y MATEMÁTICAS UNIVERSIDAD DE CHILE MA3801 Teoría de la Medida. Semestre 2009-02 Profesor: Jaime San Martín Auxiliares: Andrés Fielbaum y Cristóbal Guzmán Clase auxiliar 7 21 de Septiembre
Más detallesFunciones integrables en R n
Capítulo 1 Funciones integrables en R n Sean un subconjunto acotado de R n, y f : R una función acotada. Sea R = [a 1, b 1 ]... [a n, b n ] un rectángulo que contenga a. Siempre puede suponerse que f está
Más detallesA partir de la definición obtenemos las siguientes propiedades para estas funciones:
Capítulo 1 Conjuntos Supondremos conocidas las nociones básicas sobre teoría de conjuntos, tales como subconjuntos, elementos, unión, intersección, complemento, diferencia, diferencia simétrica, propiedades
Más detallesConjuntos, relaciones y funciones Susana Puddu
Susana Puddu 1. Repaso sobre la teoría de conjuntos. Denotaremos por IN al conjunto de los números naturales y por ZZ al de los enteros. Dados dos conjuntos A y B decimos que A está contenido en B o también
Más detalles1. Sucesiones y redes.
1. Sucesiones y redes. PRACTICO 7. REDES. Se ha visto que el concepto de sucesión no permite caracterizar algunas nociones topológicas, salvo en espacios métricos. Esto empieza con algunas definiciones
Más detallesEstructuras Algebraicas
Tema 1 Estructuras Algebraicas Definición 1 Sea A un conjunto no vacío Una operación binaria (u operación interna) en A es una aplicación : A A A Es decir, tenemos una regla que a cada par de elementos
Más detallesTeoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral
Capítulo 8 Teoremas de convergencia y derivación bajo el signo integral En este capítulo estudiaremos sucintamente bajo qué circunstancias puede intercambiarse el orden de la integral con las operaciones
Más detallesPor ser f continua y R compacto, existen x 0, y 0 en R tales que f(x 0 ) = sup{f(t) : t R} y f(y 0 ) = inf{f(t) : t R}
Proposición. Sea un rectángulo en R n, y sea f : R una función continua. Entonces f es integrable en. Conjuntos de Demostración: Como f es continua en, y es compacto, f es acotada en, y uniformemente continua.
Más detallesTeoría de la Medida e Integración. Carlos Martínez Yáñez
Teoría de la Medida e Integración Carlos Martínez Yáñez Marzo 2002 2 Índice general 1. lementos Previos 7 1.1. lementos y Subconjuntos........................... 7 1.2. Uniones Disjuntas...............................
Más detallesSemana05[1/14] Relaciones. 28 de marzo de Relaciones
Semana05[1/14] 28 de marzo de 2007 Introducción Semana05[2/14] Ya en los capítulos anteriores nos acercamos al concepto de relación. Relación Dados un par de conjuntos no vacíos A y B, llamaremos relación
Más detallesConjuntos Medibles. Preliminares
Capítulo 18 Conjuntos Medibles Preliminares En el capítulo anterior vimos que la medida exterior de Lebesgue no resulta σ-aditiva en todo R n. Ahora vamos a construir una familia M de subconjuntos de R
Más detallesSemana03[1/17] Funciones. 16 de marzo de Funciones
Semana03[1/17] 16 de marzo de 2007 Introducción Semana03[2/17] Ya que conocemos el producto cartesiano A B entre dos conjuntos A y B, podemos definir entre ellos algún tipo de correspondencia. Es decir,
Más detallesContinuidad. 5.1 Continuidad en un punto
Capítulo 5 Continuidad 5.1 Continuidad en un punto Definición 5.1.1 (Aplicación continua en un punto). Sean (X, τ) e (Y, τ ) dos espacios topológicos, y sea f : X Y una aplicación entre ellos. Diremos
Más detallesEspacios Topológicos 1. Punto de Acumulación. Al conjunto de puntos de acumulación de A se le denomina el conjunto derivado de A (A a Notación).
Espacios Topológicos 1 Punto de Acumulación Definición: Sea A un subconjunto arbitrario de R n, se dice que x R n es un punto de acumulación de A si toda bola abierta con centro x contiene un punto A distinto
Más detallesEspacios topológicos. 3.1 Espacio topológico
Capítulo 3 Espacios topológicos 3.1 Espacio topológico Definición 3.1.1. Un espacio topológico es un par (X, τ), donde X es un conjunto, y τ es una familia de subconjuntos de X que verifica las siguientes
Más detallesEspacios, Funciones y Multifunciones
Apéndice A Espacios, Funciones y Multifunciones Denotaremos por B () a la -álgebra de Borel de un espacio topológico ; es decir, la mínima -álgebra de subconjuntos de que contiene a todos los abiertos.
Más detallesSubconjuntos notables de un Espacio Topológico
34 Capítulo 4 Subconjuntos notables de un Espacio Topológico 4.1 Adherencia Definición 4.1.1 (Punto adherente). Sea (X, τ) un espacio topológico, y sea S un subconjunto de X. Diremos que x X es un punto
Más detallesb) Sea una relación de equivalencia en A y una operación en A. Decimos que y son compatibles si a b a c b c y c a c b para todo a, b, c A
APENDICE Relaciones y Operaciones Compatibles 1 Definición: a) Sea A un conjunto y una relación entre elementos de A. Decimos que es una relación de equivalencia si es: i Reflexiva: a A, a a. ii Simétrica:
Más detalles- Fernando Sánchez - Departamento de Matemáticas - Universidad de Extremadura. Topología
- Fernando Sánchez - - 6 Topología Cálculo I en R 26 10 2015 Elementos de la topología en R. Una topología en un conjunto da un criterio para poder hablar de proximidad entre los elementos de un conjunto.
Más detallesAlgebra lineal y conjuntos convexos
Apéndice A Algebra lineal y conjuntos convexos El método simplex que se describirá en el Tema 2 es de naturaleza algebraica y consiste en calcular soluciones de sistemas de ecuaciones lineales y determinar
Más detallesConvergencia de sucesiones
TEMA 4. CONVERGENCIA DE SUCESIONES 65 Tema 4. Convergencia de sucesiones Definición 5.4.1. Sea X un conjunto: una sucesión en X es una aplicación s : N X; denotaremos x n := s(n) y por S := {x n } n N
Más detalles1 Números reales. Funciones y continuidad.
1 Números reales. Funciones y continuidad. En este tema nos centraremos en el estudio de la continuidad de funciones reales, es decir, funciones de variable real y valor real. Por ello es esencial en primer
Más detallesEspacios conexos. Capítulo Conexidad
Capítulo 5 Espacios conexos 1. Conexidad En este capítulo exploraremos el concepto de conexidad en un espacio métrico, y estudiaremos algunas de sus aplicaciones. Definición 5.1. Decimos que el espacio
Más detallesAnálisis Matemático I: La integral de Riemann
Contents : La integral de Riemann Universidad de Murcia Curso 2006-2007 Contents 1 Definición de la integral y propiedades Objetivos Definición de la integral y propiedades Objetivos 1 Definir y entender
Más detallesSemana 09 [1/28] Sucesiones. 29 de abril de Sucesiones
Semana 09 [1/28] 29 de abril de 2007 Semana 09 [2/28] Definición Sucesión Una sucesión real es una función: f : N R n f (n) Observaciones Para distinguir a una sucesión de las demás funciones, se ocupará
Más detalles1. Construcción de la Integral
1. Construcción de la Integral La integral de Riemann en R n es una generalización de la integral de funciones de una variable. La definición que vamos a dar reproduce el método de Darboux para funciones
Más detallesALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Enteros
Resumen teoría Prof. Alcón ALGEBRA 1- GRUPO CIENCIAS- TURNO TARDE- Z = N {0} N Enteros Las operaciones + y. son cerradas en Z, es decir la suma de dos números enteros es un número entero y el producto
Más detallesIntegrales múltiples
ntegrales múltiples Cálculo (2003) El objetivo de este capítulo es definir y aprender a calcular integrales de funciones reales de varias variables, que llamamos integrales múltiples. Las motivación más
Más detallesAxiomas de separación
CAPíTULO 6 Axiomas de separación Tema 1. Axiomas de separación: conceptos básicos El objetivo de este capítulo es considerar ciertas propiedades topológicas que comparten algunos espacios topológicos y
Más detallesConjuntos Infinitos. Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO
Ramón Espinoza Armenta AVC APOYO VIRTUAL PARA EL CONOCIMIENTO El estudio de los conjuntos infinitos se inicia con Las Paradojas del Infinito, la última obra del matemático checo Bernard Bolzano, publicada
Más detallesFunciones de Clase C 1
Capítulo 7 Funciones de Clase C 1 Vamos a considerar ahora la extensión a varias variables del concepto de función de clase C 1. Cada vez que establezcamos una propiedad de las funciones diferenciables,
Más detallesRecordemos que utilizaremos, como es habitual, la siguiente notación para algunos conjuntos de números que son básicos.
Capítulo 1 Preliminares Vamos a ver en este primer capítulo de preliminares algunos conceptos, ideas y propiedades que serán muy útiles para el desarrollo de la asignatura. Se trata de resultados sobre
Más detallesUna topología de los números naturales*
Una topología de los números naturales* Divulgación Gabriel Ruiz Hernández Instituto de Matemáticas, UNAM 1 de septimebre de 1997 resumen En este trabajo vamos a describir un espacio topológico X con las
Más detallesLas particiones y el Teorema de Bolzano
Miscelánea Matemática 41 (005) 1 7 SMM Las particiones y el Teorema de Bolzano Carlos Bosch Giral Departamento de Matemáticas ITAM Río Hondo # 1 Tizapán San Angel 01000 México D.F. México bosch@itam.mx
Más detallesAlgebra Lineal. Gustavo Rodríguez Gómez. Verano 2011 INAOE. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano / 21
Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Verano 2011 Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE) Algebra Lineal Verano 2011 1 / 21 Espacios Vectoriales Espacios Vectoriales INAOE Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)
Más detallesCardinalidad. Teorema 0.3 Todo conjunto infinito contiene un subconjunto infinito numerable.
Cardinalidad Dados dos conjuntos A y B, decimos que A es equivalente a B, o que A y B tienen la misma potencia, y lo notamos A B, si existe una biyección de A en B Es fácil probar que es una relación de
Más detallesCONTENIDOS. 1. Procesos Estocásticos y de Markov. 2. Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (CMTD) 3. Comportamiento de Transición de las CMTD
CONTENIDOS 1. Procesos Estocásticos y de Markov 2. Cadenas de Markov en Tiempo Discreto (CMTD) 3. Comportamiento de Transición de las CMTD 4. Comportamiento Estacionario de las CMTD 1. Procesos Estocásticos
Más detallesConjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación.
NÚMEROS REALES Conjuntos Los conjuntos se emplean en muchas áreas de las matemáticas, de modo que es importante una comprensión de los conjuntos y de su notación. Un conjunto es una colección bien definida
Más detallesLímite superior y límite inferior de una sucesión
Límite superior y límite inferior de una sucesión Objetivos. Definir las nociones de los límites superior e inferior de una sucesión y estudiar sus propiedades básicas. Requisitos. Supremo e ínfimo de
Más detallesSucesiones y Suma Finita
Sucesiones y Suma Finita Hermes Pantoja Carhuavilca Centro Pre-Universitario CEPRE-UNI Universidad Nacional de Ingeniería Algebra Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 21 CONTENIDO Convergencia de una sucesión
Más detallesCAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS
CAPÍTULO 2 NOCIONES BÁSICAS DE TEORÍA DE CONJUNTOS 2.1. NOCIONES PRIMITIVAS Consideraremos tres nociones primitivas: Conjunto, Elemento y Pertenencia. Conjunto Podemos entender al conjunto como, colección,
Más detallesApuntes de la Teoría de la Medida
Apuntes de la Teoría de la Medida k n M k 1 n M k k k Herbert A. Medina Profesor de Matemáticas Loyola Marymount University Los Angeles, California, UU Herbert A. Medina Profesor de Matemáticas Loyola
Más detallesAnálisis IV. Joaquín M. Ortega Aramburu
Análisis IV Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en Julio de 2001 2 Índice General 1 Integral de Riemann 5 1.1 Integración de Riemann............................... 5 1.2 Contenido
Más detallesRelaciones. Estructuras Discretas. Relaciones. Relaciones en un Conjunto. Propiedades de Relaciones en A Reflexividad
Estructuras Discretas Relaciones Definición: relación Relaciones Claudio Lobos, Jocelyn Simmonds clobos,jsimmond@inf.utfsm.cl Universidad Técnica Federico Santa María Estructuras Discretas INF 152 Sean
Más detallesEspacio de Funciones Medibles
Capítulo 22 Espacio de Funciones Medibles Igual que la σ-álgebra de los conjuntos medibles, la familia de funciones medibles, además de contener a todas las funciones razonables (por supuesto son medibles
Más detallesMay 4, 2012 CAPÍTULO 5: OPTIMIZACIÓN
May 4, 2012 1. Optimización Sin Restricciones En toda esta sección D denota un subconjunto abierto de R n. 1.1. Condiciones Necesarias de Primer Orden. Proposición 1.1. Sea f : D R diferenciable. Si p
Más detallesSucesiones Introducción
Temas Límites de sucesiones. convergentes. Sucesiones divergentes. Sucesiones Capacidades Conocer y manejar conceptos de sucesiones convergentes y divergentes. Conocer las principales propiedades de las
Más detallesn=1 2. Sea Ω un conjunto cualquiera con al menos dos puntos, x, y y sea C = P(Ω). Definimos
Capítulo 2 Espacios de Medida 2.1. Funciones Aditivas de Conjunto Definición 2.1 Sea µ : C R = R {, + } una función definida sobre una colección de conjuntos C. Decimos que µ es finitamente aditiva si
Más detallesAnálisis III. Joaquín M. Ortega Aramburu
Análisis III Joaquín M. Ortega Aramburu Septiembre de 1999 Actualizado en julio de 2001 2 Índice General 1 Continuidad en el espacio euclídeo 5 1.1 El espacio euclídeo R n...............................
Más detallesNotas de Análisis. Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.
Notas de Análisis Dr. Richard G. Wilson Departamento de Matemáticas, Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa comentarios: rgw@xanum.uam.mx Marzo del 2005 2 Contenido 1 Topología de espacios métricos
Más detallesCapítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte
Capítulo 2: Inducción y recursión Clase 2: El principio de Inducción Fuerte Matemática Discreta - CC3101 Profesor: Pablo Barceló P. Barceló Matemática Discreta - Cap. 2: Inducción y Recursión 1 / 20 Motivación
Más detallesNotas sobre el teorema minimax
Notas sobre el teorema mini Antonio Martinón Abril de 2012 1 Teoremas mini Sean X e Y dos conjuntos no vacíos y consideremos una función Se verifica sup inf efectivamente, dado x X resulta claro que f
Más detallesAnillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo
Capítulo 2 Anillo de polinomios con coeficientes en un cuerpo En el conjunto Z se ha visto cómo la relación ser congruente módulo m para un entero m > 1, es compatible con las operaciones suma y producto.
Más detallesTeoría de la Probabilidad
Teoría de la Probabilidad Departament d Estadística i Investigació Operativa Universitat de València Guillermo Ayala & Francisco Montes 2 Índice general 1. Experimento, Probabilidad y Medida 1 1.1. Experimento,
Más detallesTema 2. Grupos. 3. El conjunto de matrices de orden 2 con coeficientes enteros (o reales) con la suma es un grupo conmutativo.
Tema 2. Grupos. 1 Grupos Definición 1 Un grupo es una estructura algebraica (G, ) tal que la operación binaria verifica: 1. * es asociativa 2. * tiene elemento neutro 3. todo elemento de G tiene simétrico.
Más detallesDemostraciones a Teoremas de Límites
Demostraciones a Teoremas de Límites Programa de Bachillerato.Universidad de Chile. Otoño, 009 En esta sección solo daremos los fundamentos teóricos que nos permiten resolver los problemas que se nos plantean,
Más detallesx si x 2 Q 1 x si x 2 R Q
Relacion 4.CONTINUIDAD Y LÍMITE FUNCIONAL 1 Demuestrese i) que si una función tiene límite, éste es único. ii) aplicando la de nición de límite, que a) lim!0 sen 1 =0 b) lim!1 1 = 1 ( 1) 4 iii) que no
Más detallesFunciones convexas Definición de función convexa. Tema 10
Tema 10 Funciones convexas Los resultados obtenidos en el desarrollo del cálculo diferencial nos permiten estudiar con facilidad una importante familia de funciones reales de variable real definidas en
Más detalles1 Método de la bisección. 1.1 Teorema de Bolzano Teorema 1.1 (Bolzano) Contenido
E.T.S. Minas: Métodos Matemáticos Resumen y ejemplos Tema 3: Solución aproximada de ecuaciones Francisco Palacios Escuela Politécnica Superior de Ingeniería de Manresa Universidad Politécnica de Cataluña
Más detallesSESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES
SESIÓN N 07 III UNIDAD RELACIONES Y FUNCIONES RELACIONES BINARIAS PAR ORDENADO Es un arreglo de dos elementos que tienen un orden determinado donde a es llamada al primera componente y b es llamada la
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices
Capítulo 4 Sistemas de Ecuaciones Lineales y Matrices El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación lineal con n-incógnitas x 1, x 2,, x n es una
Más detallesCÁLCULO II. Grado M+I. Sucesiones y series de funciones. Sucesiones y series de funciones 1 / 27. Grado M+I () CÁLCULO II
CÁLCULO II Grado M+I Sucesiones y series de funciones Sucesiones y series de funciones 1 / Sucesiones funciones. Convergencia puntual Sucesión de funciones Definición Una sucesión de funciones será cualquier
Más detalles8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV
8.4. CRITERIO DE ESTAB.: METODO DE LIAPUNOV 309 8.4. CRITERIO DE ESTABILIDAD POR EL METODO DIRECTO DE LIAPUNOV Consideremos el sistema autónomo dx = F (x, y) dt (8.32) dt = G(x, y), y supongamos que tiene
Más detallesSucesiones en R n. Ejemplos.-Considerando el espacio R 2 sea la sucesión {x k } 1 dada por x k = ( k, 1 k) podemos listar como sigue:
Sucesiones en R n Definición. Una sucesión en R n es cualquier lista infinita de vectores en R n x, x,..., x,... algunos de los cuales o todos ellos pueden coincidir entre si. Dada una sucesión x, x,...,
Más detallesApéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales
Apéndice sobre ecuaciones diferenciales lineales Juan-Miguel Gracia 10 de febrero de 2008 Índice 2 Determinante wronskiano. Wronskiano de f 1 (t), f 2 (t),..., f n (t). Derivada de un determinante de funciones.
Más detallesUna norma en un espacio lineal (o vectorial) X es una función. : X R con las siguientes propiedades: (a) x 0, para todo x X (no negatividad);
MATEMÁTICA APLICADA II Segundo cuatrimestre 20 Licenciatura en Física, Universidad Nacional de Rosario Espacios de Banach. Introducción Frecuentemente estamos interesados en qué tan grande. es una función.
Más detallesComisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 1: Aplicaciones Lineales EPN, verano 2012
AMARUN www.amarun.org Comisión de Pedagogía - Diego Chamorro Análisis Funcional (Nivel 2). Lección n 1: Aplicaciones Lineales EPN, verano 212 Introducción Algunas fechas: 197: Noción de Operador lineal
Más detalles5. Integrales dobles de Riemann.
68 Integrales paramétricas e integrales dobles y triples. Eleonora Catsigeras. 19 Julio 2006. 5. Integrales dobles de Riemann. El desarrollo de la teoría de integrales múltiples de Riemann lo haremos con
Más detallesCONTINUIDAD DE FUNCIONES. SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos.
CAPÍTULO IV. CONTINUIDAD DE FUNCIONES SECCIONES A. Definición de función continua. B. Propiedades de las funciones continuas. C. Ejercicios propuestos. 121 A. DEFINICIÓN DE FUNCIÓN CONTINUA. Una función
Más detallesTeorema del valor medio
Práctica 6 - Parte 1 Teorema del valor medio El teorema del valor medio para derivadas (o teorema de Lagrange) es un resultado central en la teoría de funciones reales. Este teorema relaciona valores de
Más detallesPROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES. Problemas 02
PROBLEMAS RESUELTOS DE PREPARACIÓN PARA OPOSICIONES Problemas 0 Salvador Pérez Gómez pies3coma14@hotmail.com 4 de abril de 007 PROBLEMA 1 Sea n un número natural. Sea A n = n + n + 3n. a) Demostrar que
Más detallesVariables aleatorias
Distribuciones continuas Se dice que una variable aleatoria X tiene una distribución continua, o que X es una variable continua, si existe una función no negativa f, definida sobre los números reales,
Más detallesTema 3: Cálculo de Probabilidades. Métodos Estadísticos
Tema 3: Cálculo de Probabilidades Métodos Estadísticos 2 INTRODUCCIÓN Qué es la probabilidad? Es la creencia en la ocurrencia de un evento o suceso. Ejemplos de sucesos probables: Sacar cara en una moneda.
Más detallesEspacios Vectoriales www.math.com.mx
Espacios Vectoriales Definiciones básicas de Espacios Vectoriales www.math.com.mx José de Jesús Angel Angel jjaa@math.com.mx MathCon c 007-009 Contenido. Espacios Vectoriales.. Idea Básica de Espacio Vectorial.................................
Más detallesCurso intermedio de PROBABILIDAD
Curso intermedio de PROBABILIDAD Luis Rincón Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias UNAM Circuito Exterior de CU 04510 México DF Mayo 2005 El presente texto corresponde a la versión electrónica
Más detallesGrupos libres. Presentaciones.
S _ Tema 12.- Grupos libres. Presentaciones. 12.1 Grupos libres. En el grupo Z de los enteros vimos una propiedad (cf. ejemplos.5), que lo caracteriza como grupo libre. Lo enunciamos al modo de una Propiedad
Más detallesDerivadas de Orden superior
Derivadas de Orden superior Para una función cualquiera f, al tomar la derivada, obtenemos una nueva función f y podemos aplicar la derivada a f. La función f se suele escrbir f y recibe el nombre de derivada
Más detallesSeries. Capítulo Introducción. Definición 4.1 Sea (x n ) n=1 una sucesión de números reales. Para cada n N. S n = x k = x 1 + x x n.
Capítulo 4 Series 4 Introducción Definición 4 Sea (x n ) n= una sucesión de números reales Para cada n N definimos n S n = x k = x + x 2 + + x n k= La sucesión (S n ) n se conoce como la serie infinita
Más detalles9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias.
Funciones de variable compleja. Eleonora Catsigeras. 8 Mayo 26. 85 9. Aplicaciones al cálculo de integrales impropias. Las aplicaciones de la teoría de Cauchy de funciones analíticas para el cálculo de
Más detallesJohn Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn
Georg Cantor Matemático Alemán creador de la teoría de conjuntos John Venn Matemático y filósofo británico creador de los diagramas de Venn August De Morgan Matemático ingles creador de leyes que llevan
Más detallesEl ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales.
EL SISTEMA DE LOS NÚMEROS REALES Introducción El ente básico de la parte de la matemática conocida como ANÁLISIS, lo constituye el llamado sistema de los número reales. Números tales como:1,3, 3 5, e,
Más detallesNÚMEROS COMPLEJOS: C
NÚMEROS COMPLEJOS: C Alejandro Lugon 21 de mayo de 2010 Resumen Este es un pequeño estudio de los números complejos con el objetivo de poder usar las técnicas de solución de ecuaciones y sistemas diferenciales
Más detallesIntegrales dobles. Integrales dobles
Integrales dobles Integrales iteradas b g2 (x) a g 1 (x) f(x, y) dydx ó d h2 (y) c h 1 (y) f(x, y) dxdy Los límites interiores de integración pueden ser variables respecto a la variable exterior de integración,
Más detallesTEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS
TEMA2. SUCESIONES DE NÚMEROS REALES Y COMPLEJOS 2.1 SUCESIONES DE NUMEROS REALES 2.1.1 Definición de sucesión de números reales Definición: Una sucesión de números reales es una aplicación del conjunto
Más detallesÁlgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes
Álgebra y Trigonometría Clase 7 Sistemas de ecuaciones, Matrices y Determinantes CNM-108 Departamento de Matemáticas Facultad de Ciencias Exactas y Naturales Universidad de Antioquia Copyleft c 2008. Reproducción
Más detallesALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA , Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS.
ALGEBRA I, ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA 520135, 522115 Segundo Semestre CAPITULO 6: POLINOMIOS. DEPARTAMENTO DE INGENIERIA MATEMATICA Facultad de Ciencias Físicas y Matemáticas 1 Definición: Polinomio Sea K
Más detallesTEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y
Álgebra II: Tema 8. TEMA 8.- NORMAS DE MATRICES Y NúMERO DE CONDICIóN Índice. Introducción 2. Norma vectorial y norma matricial. 2 2.. Norma matricial inducida por normas vectoriales......... 4 2.2. Algunos
Más detallesDefinición de la integral de Riemann (Esto forma parte del Tema 1)
de de de Riemann (Esto forma parte del Tema 1) Departmento de Análise Matemática Facultade de Matemáticas Universidade de Santiago de Compostela Santiago, 2011 Esquema de Objetivos del tema: Esquema de
Más detallesUNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS. Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cuerpos cuadráticos
UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOS FACULTAD DE CIENCIAS MATEMÁTICAS EAP DE MATEMÁTICA PURA Fracciones continuas, ecuación de Pell y unidades en el anillo de enteros de los cueros cuadráticos Caítulo
Más detallesAPUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1: LA RECTA EN EL PLANO Conceptos Primitivos: Punto, recta, plano. APUNTES DE GEOMETRÍA ANALÍTICA Definición 1 (Segmento) Llamaremos segmento a la porción de una línea recta comprendida entre
Más detallesMATEMÁTICAS BÁSICAS. Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño
MATEMÁTICAS BÁSICAS Autora: Jeanneth Galeano Peñaloza Edición: Oscar Guillermo Riaño Universidad Nacional de Colombia Departamento de Matemáticas Sede Bogotá Enero de 2014 Universidad Nacional de Colombia
Más detallesResumen sobre mecánica analítica
Resumen sobre mecánica analítica Ecuaciones de Lagrange. Supongamos una partícula, cuyo movimiento se puede describir mediante una sóla coordenada x, de modo que en el instante t la posición de la partícula
Más detallesCoordinación de Matemática I (MAT021) 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo. Contenidos
Cálculo Coordinación de Matemática I MAT021 1 er Semestre de 2013 Semana 2: Lunes 18 Viernes 22 de Marzo Contenidos Clase 1: La Ecuación Cuadrática. Inecuaciones de grado 2, con y sin valor absoluto. Clase
Más detallesIntroducción a la topología
Introducción a la topología Beatriz Abadie CENTRO DE MATEMÁTICAS FACULTAD DE CIENCIAS UNIVERSIDAD DE LA REPÚBLICA Agosto de 2013 i Índice general Capítulo 1. Elementos de la teoría de conjuntos 1 1.1.
Más detalles(x + y) + z = x + (y + z), x, y, z R N.
TEMA 1: EL ESPACIO R N ÍNDICE 1. El espacio vectorial R N 1 2. El producto escalar euclídeo 2 3. Norma y distancia en R N 4 4. Ángulo y ortogonalidad en R N 6 5. Topología en R N 7 6. Nociones topológicas
Más detallesEn general, un conjunto A se define seleccionando los elementos de un cierto conjunto U de referencia que cumplen una determinada propiedad.
nidad 3: Conjuntos 3.1 Introducción Georg Cantor [1845-1918] formuló de manera individual la teoría de conjuntos a finales del siglo XIX y principios del XX. Su objetivo era el de formalizar las matemáticas
Más detallesTeoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo.
1 Tema 5.-. Teoría de anillos. Dominios, cuerpos y cuerpos de fracciones. Característica de un cuerpo. 5.1. Anillos y cuerpos Definición 5.1.1. Un anillo es una terna (A, +, ) formada por un conjunto A
Más detalles