INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS

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1 INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DESCRIPTIVA DE CONJUNTOS UDAYAN B.DARJI 1. Introducción En este curso estudiaremos objetos definibles como conjuntos borelianos, conjuntos analíticos, y clasificaciones de funciones según Baire. Qué es un objeto definible? Intuitivamente, un objeto definible es un objeto que se puede describir explícitamente. Por supuesto, la definición de explícita varia dependiendo de la persona. Sin embargo, trabajamos con objetos que tienen estructura topológica o analítica. En general, para estos tipos de objetos hay nociones naturales de definilibidad. Por ejemplo, sea X un espacio polaco como R n. Fijemos una base topológica de X. Dado que X es un espacio polaco, podemos elegir una base numerable {B 0, B 1, B 2,...} de conjuntos abiertos de X. Recordemos que N N = {(n 0, n 1, n 2,...) : n i N}. A cada (n 0, n 1,... ) N N asignemos S 1 (n 0, n 1,... ) = B n0 B n1 B n2.... Evidentemente, S 1 (n 0, n 1,... ) es abierto. Además, para cada conjunto abierto U de X, podemos encontrar una sucesión (n 0, n 1,...) N N tal que S 1 (n 0, n 1,... ) = U. Eso es así porque {B 0, B 1, B 2,...} una base de X. Hemos encontrado una función natural de N N al conjunto de conjuntos abiertos de X. Por eso, podemos decir que los conjuntos abiertos son definibles. Como un conjunto es cerrado si y sólo si su complemento es abierto, hay una función natural de N N a conjunto de los conjuntos cerrados de X, dado por C 1 (A) = X \ S 1 (A). Por lo tanto, también los conjuntos cerrados son definibles. Continuamos del mismo modo. Sea S 2 definida en (N N ) N por S 2 (n 0, n 1,...) = S 1 (n 0 ) S 1 (n 1 ) S 1 (n 2 ).... Notemos que S 2 (n 0, n 1,...) es un conjunto de tipo F σ. Además, cada conjunto de tipo F σ esta en la imagen de S 2. Notemos que la imagen de S 2 contiene como subconjunto a las imágenes de S 1 y C 1. Esto se debe a que los conjuntos abiertos y los conjuntos cerrados son de tipo F σ. Sin embargo, hay conjuntos de tipo F σ, por ejemplo el conjunto de los números racionales, que no son ni abiertos ni cerrados. Digamos que los conjuntos de tipo F σ son definibles, aunque en este caso necesitamos una sucesión de sucesiones de N para representarlo. Entonces, si mostráramos que existe un conjunto F σ que no es ni abierto ni cerrado, probaríamos que la clase F σ es más complicada que lo de los clases de los abiertos y cerrados. Sea C 2 definida en (N N ) N por C 2 (n 0, n 1,...) = X \ S 2 (n 0, n 1,...). Entonces la imagen de C 2 es exactamente el conjunto de los conjuntos de tipo de G δ. Entonces es claro como se define S n y C n para cada n N. Qué haremos cuando lleguemos a ω, el primer ordinal infinito? Volveremos a esta cuestión más tarde. Ahora hablemos de jerarquía de Baire. Recordemos que C([0, 1]) es la clase de las funciones continuas. En general, sea B n la clase de funciones que son limite Date: 3 abril

2 2 U.B.DARJI puntual de funciones en la clase B n 1. (Sea B 0 = C([0, 1]).) Es evidente que hay funciones en B 1 que no perteneces a la clase B 0 ; por ejemplo, la función característica del conjunto {0}. En general, hay funciones en la clases B n que no pertenecen a la clase B n 1? Cómo determinar si una función dada pertenece a cierta clase de Baire? Por ejemplo, consideremos la siguiente cuestión: Es posible escribir la función característica de los números raciónales como el limite puntual de los polinomios trigonométricos? Resolveremos esta cuestión y mas en este curso. En general, en la teoría descriptiva de conjuntos se trabaja en el espacio N N. La razón es que este espacio tiene dimensión nula por eso es más fácil trabajar ahí. Además, N N tiene una estructura suficientemente rica para capturar todo lo que se necesita desde de punto de vista de la teoría descriptiva de conjuntos. Por lo tanto, comencemos a estudiar N N. 2. Espacios de Cantor y Baire En esta sección probaremos resultados básicos sobre los espacios de Cantor y Baire. Los espacios N N y {0, 1} N tienen topologías naturales, como la topolgía producto generada por la topología discreta sobre N y {0, 1}. Describamos en más detalles estas topologías. Hay una métrica natural sobre {0, 1} N. Sean σ, τ {0, 1} N. Definamos d(σ, τ) = 2 i dónde i es el mínimo elemento de N tal que σ(i) τ(i). Claramente, d(σ, τ) = 0 si σ = τ. La bola abierta con centro en σ y radio 2 i, se denota B(σ, 2 i ), y es simplemente el conjunto {τ {0, 1} N : σ(j) = τ(j), j i}. Introduzcamos otra notación que será muy útil. El conjunto {0, 1} <N consiste simplemente en todas las sucesiones finitas de números 0 y 1. Para cada σ {0, 1} <N, [σ] = {τ {0, 1} N : τ es una extensión de τ}. Análogamente, {0, 1} N consiste de la unión de los conjuntos {0, 1} N y {0, 1} <N. Tenemos los siguientes resultados básicos. Resultado 2.1. La métrica anterior sobre {0, 1} N genera la topología producto. Resultado 2.2. El conjunto {σ {0, 1} N : hay sólo finitos i tal que σ(i) 0} es denso en {0, 1} N. Resultado 2.3. El espacio {0, 1} N tiene las siguientes propiedades. 1. Es un espacio compacto métrico. 2. Es de dimensión nulla, eso es que tiene una base de conjuntos cerriertos (cerrados y abiertos simultáneamente). Considere la base { [σ] : σ {0, 1} <N }. 3. No tiene puntos aislados. Todo los espacios con las tres condiciones antes son homomorfos. Antes que podamos probarlo, necesitamos una lemma. Lema 2.4. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado 2.3. Entonces, para cada ɛ > 0 existe n N tal que para cada m > n hay una partición {U 1, U 2,... U m } de X en conjuntos cerradoabiertos tal que diam(u i ) < ɛ para todos 1 i m. Teorema 2.5. Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado 2.3. Entonces, X es homeomorfo a {0, 1} N.

3 3 Corolario 2.6. El conjunto {0, 1} N es homeomorfo al conjunto de Cantor de R. Definición 2.7. Diremos que X es un espacio de Cantor si X es homeomorfo a {0, 1} N. Ahora describamos en más detalles el espacio N N. Como antes, podemos describir explícitamente una métrica sobre N N. Sean σ, τ N N. Definamos d(σ, τ) = 2 i dónde i es el mínimo elemento de N tal que σ(i) τ(i). Claramente, d(σ, τ) = 0 si σ = τ. La bola abierta con centro en σ y radio 2 i, se denota B(σ, 2 i ), y es simplemente el conjunto {τ N N : σ(j) = τ(j), j i}. Introduzcamos otra notación que será muy útil. El conjunto N <N consiste en todas las sucesiones finitas de N. Para cada σ N <N, [σ] = {τ N N : τ es una extensión de σ}. Análogamente, N N consiste en la unión de los conjuntos N N y N <N. Tenemos los siguientes resultados básicos. Resultado 2.8. La métrica antes sobre N N genera la topología producto. Resultado 2.9. El conjunto {σ N N : hay sólo finitosi tal que σ(i) 0} es denso en N N. Resultado El espacio N N tiene las siguientes propiedades. 1. Es un espacio polaco (separable y tiene una métrica completa). 2. Es de dimensión nula. 3. Es en ninguna parte compacto localmente. Lema Sea X un espacio que satisface las tres condiciones del Resultado Para cada ɛ > 0, existe una partición {U 1, U 2,...} de X en conjuntos cerrardoabiertos y no vacios tal que diam(u i ) < ɛ para cada i N. Teorema Sea X un espacio que satisface las tres condiciones de Resultado Entonces, X es homeomorfo a N N. Corolario El conjunto N N es homeomorfo al conjunto R \ Q. Corolario El espacio {0, 1} N \D es homeomorfo a N N, dónde D es cualquier conjunto numerable denso en {0, 1} N. Para demostrar los corolarios anteriores, recordemos el siguiente teorema de Alexandroff. Teorema (Alexandroff) Sea X un espacio completo métrico y Y X. Y tiene una métrica complete que genera la subtopología de X si y soló si Y es G δ subconjunto de X. Se consigue la demostración del Teorema de Alexandroff por hacer los ejercicios. Definición Diremos que X es un espacio de Baire si X es homeomorfo a N N. Teorema Sea X un espacio polaco no numerable. Entonces X contiene un subconjunto homeomorfo a {0, 1} N y un subconjunto homeomorfo a N N.

4 4 U.B.DARJI 3. jerarquías de Borel y Baire Necesitamos resultados básicos sobre ordinales y cardinales. Denotemos por ω 1 el cardinal mínimo que no es numerable. El cardinal ω 1 tiene siguientes propiedades. 1. ω 1 es bien ordenado. 2. Para cada α ω 1, el conjunto {β ω 1 : β < α} es numerable. 3. Cada sucesión {α 1, α 2,...} en ω 1 es acotada, eso decir, hay β ω 1 tal que α i < β para cada i N. Para resto de la sección, X denotará un espacio no vacío polaco y T su topología. Ahora definamos la jerarquía de Borel. Definamos Σ 0 1 = {U : U es abierto en X} and Π 0 1 = {U : U es cerrado en X}. Sea 1 < α < ω 1. Definamos { } Σ 0 α = A n : A n Π 0 β n, β n < α, y n=1 { } Π 0 α = A n : A n Σ 0 β n, β n < α. n=1 Para cada 1 α < ω 1, se define 0 α = Σ 0 α Π 0 α. Teorema 3.1. Siguientes resultados son validos para 1 α < ω La unión numerable de los conjuntos en Σ 0 α esta en Σ 0 α. La intersección numerable de los conjuntos en Π 0 α esta en Π 0 α. 2. A Σ 0 α si y sólo si X \ A Π 0 α. 3. Para cada 1 α < β < ω 1, tenemos que [ Σ 0 α Π 0 α] 0 β. 4. La intersección finita de los conjuntos en Σ 0 α esta en Σ 0 α. La unión finita de los conjuntos en Π 0 α esta en Π 0 α. 5. α<ω1 Σ 0 α es el conjunto de los conjuntos borelianos de X, eso decir, es la σ-álgebra mínima que contiene los conjuntos abiertos de X. 6. Sea A X. Si M X está en Σ 0 α(x), respectivamente Π 0 α(x), entonces A M está en Σ 0 α(a), respectivamente Π 0 α(a). 7. Sean Y un espacio polaco y f : X Y. Si M Y está en Σ 0 α(y ), respectivamente Π 0 α(y ), entonces f 1 (M) está en Σ 0 α(x), respectivamente Π 0 α(x). Lema 3.2. (Diagonalización de Cantor) Sea A X X y para cada x X, A x = {y X : (x, y) A}. Sea D = {x X : x / A x }. Entonces, D / {A x : x X}. Definición 3.3. Sea A P(X). Digamos que U X X es universal para A si para cada A A hay x X tal que U x = A y U x A para cada x X. Proposición 3.4. Sean B N N N N en Σ 0 α(n N N N ), respectivamente Π 0 α(n N N N ), y δ N N. Definamos B(δ) = {(σ, τ) : τ B σδ.} Entonces, B(δ) σ = B σδ, y además B(δ) está en Σ 0 α(n N N N ), respectivamente Π 0 α(n N N N ).

5 5 Demostración. Considere la function f : N N N N N N N N definida por f(σ, τ) = (σδ, τ). f es continua y B(δ) = f 1 (B). Ahora la demostración sigue por Lemma 3.1. Lema 3.5. Sea 1 α < ω 1. Entonces existen conjuntos U α Σ 0 α(n N N N ), P α Π 0 α(n N N N ) tal que U α es universal para Σ 0 α(n N ) y P α es universal para Π 0 α(n N ). Demostración. Sea {B 1, B 2,...} una base de conjuntos abiertos de N N. Sea δ 1, δ 2,... N N tal que cada δ n es injectiva, im(δ n ) im(δ m ) = cuando n m, n=1 im(δ n) = N. Caso α = 1. Definamos U 1 por U 1 (σ) = n=1 B σ(n). Sea P 1 = (N N N N ) \ U 1. Entonces, U 1, P 1 tiene las propiedades deseadas. Caso α > 1 y α = β + 1. Sea P β como deseado. Definamos U α por (U α ) σ = (P β ) σδn, n=1 y P α = (N N N N ) \ U α. Caso α > 1 y α es ordinal limite. Sean {β n } α y P βn como deseado. Definamos U α por (U α ) σ = (P βn ) σδn, n=1 y P α = (N N N N ) \ U α. Con la ayuda de la proposición anterior, se puede verificar que U α, P α tienen las propiedades deseadas. Teorema 3.6. Entonces para cada 1 α < ω 1, Σ 0 α(n N ) \ Π 0 α(n N ) y Π 0 α(n N ) \ Σ 0 α(n N ) son no vacíos. Demostración. Sean U α, P α como en la lemma anterior. Entonces, y {σ N N : σ / U σ } Π 0 α(n N ) \ Σ 0 α(n N ) {σ N N : σ / P σ } Σ 0 α(n N ) \ Π 0 α(n N ). Teorema 3.7. Supongamos que X es no numerable. Entonces para cada 1 α < ω 1, Σ 0 α \ Π 0 α y Π 0 α \ Σ 0 α son no vacíos. Demostración. Como X es no numerable, X contiene una copia de {0, 1} N. Llamelo C. Para α = 1, considere un conjunto que consiste de una sucesión convergente de C con su limite. Este conjunto pertenece a Σ 0 1(X) \ Π 0 1(x). Para α = 2, considere un conjunto numerable de C que sea denso en C. Este conjunto pertenece a Σ 0 2(X) \ Π 0 2(x).

6 6 U.B.DARJI Para α > 2, hagamos lo siguiente. Sea D un conjunto numerable y denso en C. Entonces, B = C \ D es homeomorfo a N N. Considere un subconjunto A de B que esté en Σ 0 α(b) \ Π 0 α(b). Ahora termine la demostración usando el Ejercicio Proposición 3.8. Sea T 1 una topología de X tal que T T 1 Borel(T ). Entonces Borel(T 1 ) = Borel(T ). Lema 3.9. Sea (X, T ) un espacio polaco y A X cerrado. Entonces existe una topología T A tal que (X, T A ) es polaco, A es cerradoabierto en T A, T T A, y las topologías T y T A generan los mismos conjuntos borelianos. Lema Sean T 1, T 2,... topologías polacas de X tal que T T n Borel(T ). Entonces n=1t n genera una topología polaca T de X y además Borel(T ) = Borel(T ). Teorema Sea B X boreliano. Entonces existe una topología polaca T B tal que B es cerradoabierto en T B, T T B y Borel(T ) = Borel(T B ). Teorema Supongamos que B X es boreliano y no numerable. Entonces B contiene un conjunto de Cantor. Ahora estudiaremos la jerarquía de Baire. Sea B 0 el conjunto de las funciones continuas desde X a R. Para 1 α < ω 1, sea B α el conjuntos de las funciones que son limite puntual de los funciones en las clases B β dónde β < α. Teorema Una función f B α si y sólo si f 1 (U) Σ 0 α+1 para cada U abierto en R. Demostración. ( ) La mostramos en la clase. ( ) exige un poco mas. Es un proyecto para un alumno. Teorema α<ω 1 B α es el conjunto de las funciones borelianas. Teorema Si X es no numerable, entonces B α+1 \ B α es no vacío. Teorema La función f B 1 si y sólo si para cada C X cerrado y no vacío, f C tiene un punto de continuidad. Demostración. ( ) La mostramos en la clase. ( ) es un proyecto para un alumno.

7 7 4. Conjuntos analíticos y coanalíticos Por el resto de esta sección, X, Y, Z son espacios polacos. Definición 4.1. Un conjunto A X es analítico si hay una función continua surjectiva f : N N A. Σ 1 1(X) se denota el conjunto de los conjuntos analíticos de X. Teorema 4.2. Los siguientes valen. 1. La imagen continua de un conjunto analítico es analítico. 2. La unión numerable de los conjuntos analítico es analítico. 3. Cada espacio polaco es analítico. 4. La intersección numerable de los conjuntos analítico es analítico. 5. Cada conjunto boreliano en un espacio polaco es analítico. Teorema 4.3. Sea A X. Los siguientes son equivalentes. 1. A es analítico. 2. A es la imagen continua de un espacio polaco. 3. A es la imagen continua de un conjunto boreliano de un espacio polaco. 4. Existe un conjunto cerrado M N N X tal que A = P r X (M). 5. Existe un conjunto Borel M N N X tal que A = P r X (M). Teorema 4.4. In cada espacio polaco no numerable, existe un conjunto analítico que no es boreliano. Definición 4.5. Un conjunto A X se llama coanalítco si X \ A es analítico. Π 1 1(X) se denota el conjunto de los conjuntos conanalíticos de X. Lema 4.6. Sean {A n } y {B n } sucesiones de conjuntos analíticos. Si para cada n, m N hay un conjunto borealiano C n,m tal que A n C n,m y C n,m B m =, entonces existe un conjunto boreliano C tal que n=1a n C y C ( n=1b n ) =. Teorema 4.7. Sean A, B X analíticos. Entonces existe un conjunto Borel C X tal que A C y B C =. Corolario 4.8. Borel(X) = Σ 1 1(X) Π 1 1(X). Teorema 4.9. Sean {A n } una sucesión de conjuntos analíticos disjuntos. Entonces existe una sucesión {B n } de los conjuntos borelianos disjuntos tal que A n B n. Corolario Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva de un conjunto cerrado de N N. Demostración. Uno de los proyectos. Teorema Sea B X una imagen continua inyectiva de un conjunto cerrado de N N. Entonces B es boreliano. Lema Sea A X boreliano y f : A Y boreliano. Entonces {(x, f(x)) : x B} es un conjunto boreliano de X Y. Teorema Sea B Y una imagen boreliana inyectiva de un conjunto boreliano de X. Entonces, B is boreliano.

8 8 U.B.DARJI Definición Sea A cualquier conjunto y T A <N. Digamos que T es un árbol de A si (σ T ) (σ n T para cada n N). El cuerpo del árbol T es [T ] = {σ A N : σ n T para cada n N}. Digamos que el árbol T es bien fundado si [T ] =. Un árbol que no es bien fundado es mal fundado. Todos los árboles que consideremos son árboles de N a menos que se indique lo contrario. Existe una topología natural sobre T, la colección de los árboles de N. A cada T T podemos asignar un punto único de {0, 1} N<N, es decir f T : N <N {0, 1} definido por f T (σ) = 1 si y sólo si σ T. Claramente, {0, 1} N<N es homeomorfo al espacio de Cantor. Entonces T tiene la topología indocta por la topología de {0, 1} N<N. Usaremos esta topología. Proposición T es cerrado y perfecto. Entonces es homeomorfo al espacio de Cantor. Lema BF, la colección de los árboles bien fundados, es coanalítico. Entonces, MF, la colección de los conjuntos mal fundados, es analítico. Definición Sea T T. Digamos que σ N <N es una hoja de T si σ T y no existe n N tal que σn T, eso decir que σ no tenga una extensión en T. Para cada T T, sea T = T \ {σ T : σ es hoja de T }. Ahora definamos un rango para T. Sea r 0 (T ) = T. Si 1 α < ω 1 y α = β + 1, entonces r α (T ) = (r β (T )). Si 1 α < ω 1 es un ordinal limite, entonces r α (T ) = β<α rβ (T ). Teorema Para cada T T existe α < ω 1 tal que [r α (T )] = [T ]. Definición Rango(T ) es el mínimo ordinal α tal que [r α (T )] = [T ]. Lema Para cada 0 α < ω 1, existe T BF tal que rango(t ) = α. Teorema La colección BF no es boreliano. Teorema (Mazurkiewciz) Sean C([0, 1]) el espacio de la funciones continuas y D la colección de todas funciones diferenciables en [0, 1]. Entonces, D es coanalítco y no boreliano.

9 9 Proyecto 1 Sea X un espacio polaco. En este proyecto se llega a la demostración del resultado siguiente: Sea f : X R tal que f 1 (U) Σ 0 α+1(x) para cada U abierto en R. Entonces, f B α (X). Lema Sean A 1, A 2,... Σ 0 α(x), 2 α < ω 1. Entonces, existen B 1, B 2,... Σ 0 α(x) tal que B n A n para n N, B n B m = si n m, y n=1 B n = n=1 A n. Corolario Sean A, B Π 0 α(x), 2 α < ω 1, disjuntos. Entonces, existe C 0 α(x) tal que A C y B C =. Lema Sea A 0 α+1(x), 1 α < ω 1. Entonces, χ A B α (X). Lema Sea f : X [0, r] tal que f 1 (U) Σ 0 α+1(x) para cada U abierto en R. Entonces, existe A 0 α+1(x), tal que f r 3 χ A 2r 3. Lema Sea f : X [0, r] tal que f 1 (U) Σ 0 α+1(x) para cada U abierto en R. Entonces, existen A 1, A α+1(x) y a 1, a 2,... [0, ) tal que n=1 a n < y n=1 a nχ An = f. Lema Sea f 1, f 2, f 3, B α (X) tal que n=1 f n converge uniformemente. Entonces, n=1 f n B α (X). Lema Sea f : X [0, 1] tal que f 1 (U) Σ 0 α+1(x) para cada U abierto en R. Entonces, f B α (X). Teorema Sea f : X R tal que f 1 (U) Σ 0 α+1(x) para cada U abierto en R. Entonces, f B α (X). (Consejo: Use aractan(f).)

10 10 U.B.DARJI Proyecto 2 Sea X un espacio polaco. En este proyecto se llega a la demostración del resultado siguiente: Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva de un conjunto cerrado de N N. Lema 4.1. Sea S un espacio métrico separable. Entonces cada sucesión transfinita {C α } de conjuntos cerrados de S con la propiedad que (β < α) (C β C α ) es numerable. Lema 4.2. Sean S un espacio métrico separable y B una base abierta de S. Entonces existe una partición {A n } n=1 de X (puede ser que algunos A n son vacíos) tal que para cada n N, A n = B C para unas B B, C X cerrado. Lema 4.3. Sea S un espacio métrico separable. Entonces existen A σ, σ N <N X (tal vez A σ es vacío para unas σ) tal que n=1 A n = S y para cada σ N <N, n=1 A σn = A σ, Si σ, τ N <N, σ = τ, y σ τ, entonces A σ A τ =. diam(a σ ) < 2 σ, A σn A σ para cada σ N <N, n N. Teorema 4.4. Cada espacio polaco es la imagen continua, inyectiva de un espacio cerrado de N N. Lema 4.5. Sean {A n } una sucesión de conjuntos tal que cada A n es la imagen inyectiva de un conjunto cerrado de X. Entonces, n=1 A n y n=1 A n tienen la misma propiedad. Lema 4.6. Sea α 2 y A Σ 0 α(x). Entonces existen conjuntos disjuntos {A n } tal que A = n=1 A n y A n Π 0 β n para β n < α. Corolario 4.7. Cada conjunto boreliano de X es la imagen continua, inyectiva de un conjunto cerrado de N N.

11 11 Este proyecto se trata de aplicaciones. Proyecto 3 Sea C([0, 1] el espacio de las funciones continuas desdes [0, 1] a R. Bajo sup norm, este espacio es polaco Ejercicio 4.1. Sea L = {f C([0, 1]) : f Lipschitz}. Muestre que f Σ 0 2 \ Π 0 2. Definición 4.2. Sea f C([0, 1]) y x [0, 1]. Digamos que f es Lipschitz en x si existe ɛ > 0 tal que f (x ɛ,x+ɛ) es Lipschitz. Ejercicio 4.3. Sea {a n } una sucesión en [0, 1] y A = {f : C([0, 1]) : fes Lipschitz en a n para cada n N}. Determine la complejidad de A, eso decir, determine 1 alpha < ω tal que A Σ 0 α \ Π 0 α, A Π 0 α \ Σ 0 α o A 0 α. La solución podría depender sobre la estructura de {a n }. Ejercicio 4.4. Muestre que el conjunto de todas las funciones que no sean Lipschitz en ningún punto es coanalítco. (Es analítico? Les envito a probarlo pero no es exigido.) Definición 4.5. Sea K([0, 1]) el espacio de conjuntos compactos de [0, 1], bajo la métrica de Hausdorff. Ejercicio 4.6. Sea A = {A K([0, 1]) : K tiene solo finitos puntos aislados}. Muestre que A es boreliano y determine su complejidad. Ejercicio 4.7. Denotemos por λ la medida de Lebsegue en R. Sea Muestre que P Σ 0 2 \ Π 0 2. P = {A K([0,1]) : λ(k) > 0}.

12 12 U.B.DARJI Ejercicios Ejercicio 4.1. Sea {A n } una sucesión de conjuntos finitos tal que A n > 1. Muestre que Π i=1 A i sea homeomorfo a {0, 1} N. Ejercicio 4.2. Sea A = {0} {1, 1/2, 1/3,...}. Muestre que Π i=1a sea homeomorfo a {0, 1} N. Ejercicio 4.3. Sea A un subconjunto finito de R. Muestre que R\A sea un espacio metrizable completamente, eso es que haya una métrica completa en R \ A que genera la subtopología de R \ A. Ejercicio 4.4. Sean A, B conjuntos de tipo F σ que son densos en R y no contengan ningún intervalo de R. Muestre que R \ A y R \ B sean homomorfos. Los ejercicios siguientes llevar a la demostración del Teorema de Alexandroff. Ejercicio 4.5. Sea X un espacio métrico con métrica completa d y sea A X cerrado tal que A X. Definamos una métrica en X \ A por d A (x, y) = d(x, y) + 1 mín{1, d(x,a) 1 d(y,a).}. Entonces, d A es una métrica completa en X \ A que genera la misma toplogía como d en X \ A. Ejercicio 4.6. Sea X un espacio métrico con métrica completa d y sea {A n } una sucesión de conjuntos cerrados de X. Sea d n = d An dónde d An es definida como antes. Definamos una métrica d en X \ ( i=1 A i) por d (x, y) = i=1 1 2 i d n(x, y). Entonces, d es una métrica completa en X \( i=1 A i) que genera la misma toplogía como d en X \ ( i=1 A i). A decir en otro modo, G δ subconjuntos de los espacios métricos son metrizable completamente. Definición 4.7. Sean X un espacio topológico y f : X R una función. La oscilación de f en x, denotado por osc(f, x), es lím sup{ f(y) f(z) : y, z B ɛ(x, ɛ)}. ɛ 0 Ejercicio 4.8. Sean X un espacio topológico, f : X R una función y η > 0. Muestre que U η = {x X : osc(f, x) > η} sea cerrado en X. Concluya que el conjunto de los puntos de discontinuidad de f sea un conjunto G δ en X. Ejercicio 4.9. Sea X un espacio métrico y A X tal que hay una métrica completa en A que genera la subtopología de X. Muestre que A sea G δ en X. Entonces el Teorema de Alexander sigue de los Ejercicios 4.6 y 4.9. Ejercicio Sea D cualquier conjunto numerable y denso en {0, 1} N. Mostre que {0, 1} N \ D es G σ pero no F σ. Ejercicio Determine complejidad de los siguientes conjuntos. A = {σ {0, 1} N 1 n : lím σ(i) = 0.} n n i=1 B = {σ N N : lím σ(n) = }. n

13 13 Ejercicio Sean X un espacio polaco y A X cerrado. Si M Σ 0 α(a), α > 1, entonces M Σ 0 α(x). Lo mismo vale para M Π 0 α(a). Ejercicio Sea D = {d 1, d 2,...} [0, 1] y definamos f : [0, 1] R por f(x) = 0 si x / D y f(d n ) = 1 n. Mostre, por la definción de B 1, que f B 1. Ejercicio Sean X un espacio polaco y A X. Si A Π 0 2 y X \ A es denso en X, entonces A / Σ 0 2. Ejercicio Sea K el espacio de los conjuntos compactos de [0, 1] con la métrica de Hausdorff. Muestre que está en Π 0 2 \ Σ 0 2. {A K : A es perfecto} Ejercicio Muestre que hay una función f : [0, 1] R en B 1 que es discontinua a.e., eso decir, que el conjunto de los puntos de continuidad tiene medida cero. Ejercicio Sea X espacio compacto métrico. Muestre que hay una función continua surjectiva f : {0, 1} N X. Ejercicio Sea Σ 0 α(x, R) = {f : X R f 1 (U) Σ 0 α(x) para cualquier U abierto en R}. Muestre que f, c f, f + g, f g están en Σ 0 α(x, R) cuando f, g Σ 0 α(x, R) y c R. Ejercicio Muestre que f, c f, f + g, f g están en B α cuando f, g B α y c R. Ejercicio Muestre que cada no numerable conjunto analítico contiene una copia del conjunto de Cantor.