El Grupo de los Enteros p-ádicos

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1 Divulgaciones Matemáticas Vol. 7 No. 2 (1999), pp El Grupo de los Enteros p-ádicos The Group of p-adic Integers Edixo Rosales (erosales@hydra.math.luz.ve) Departamento de Matemática y Computación Facultad Experimental de Ciencias La Universidad del Zulia Maracaibo, Venezuela Resumen En este artículo se estudia el grupo aditivo del anillo de los números p-ádicos O + y se muestra que el mismo es un grupo topológico compacto y de Hausdorff, para lo cual presentamos una prueba usando la teoría de los límites proyectivos. Al final del trabajo se señala la importancia del problema inverso de Galois y su relaciòn con O +. Palabras y frases clave: números p-ádicos, límites proyectivos Abstract In this paper the additive group O + of the ring of p-adic numbers is studied, showing that it is a compact Hausdorff topological group. A proof using the theory of projective limits is presented. At the end of the article we point out the importance of the inverse Galois problem and its relation with O +. Key words and phrases: p-adic numbers, projective limits Introducción Este trabajo es fundamentalmente de tipo divulgativo. En el mismo estudiamos el grupo O + de los enteros p-ádicos y su conocida propiedad de grupo topológico compacto. El excelente texto de Paul J. MacCarty [1], en su ápendice 2, presenta de manera sintética lo que nosotros en este artículo desarrollamos, sobre todo el problema inverso de Galois, resuelto para O +. Nuestro estudio en la segunda parte del trabajo permite ver el grupo O + como grupo topológico compacto vía el límite proyectivo de grupos topológicos Recibido 1998/11/06. Revisado 1999/03/01. Aceptado 1999/05/20. MSC (1991): Primary 22-01, 22C05; Secondary 11S20.

2 188 Edixo Rosales discretos. Nuestro interés es mostrar la hermosa herramienta proporcionada por los límites proyectivos y la elegancia de las pruebas en algunos tópicos de la teoría de los cuerpos. 1 Preliminares Supondremos que el lector está familiarizado con los conceptos básicos de grupos topológicos, los cuales puede consultar en [2, pág ]. Comenzaremos nuestro estudio con los límites inversos. Sea (S, ) un conjunto dirigido (es decir es un orden parcial sobre S y si α, β S entonces existe γ S tal que α γ y β γ). Consideremos una familia de grupos topológicos (G α ) α S y supongamos que para cada par (α, β) S S con α β existe un morfismo continuo Φ βα : G β G α. Se adiciona que Φ αα = i Gα y si α β, β γ, luego Φ γα = Φ βα Φ γβ. Con estas propiedades se dice que la terna (S, {G α }, {Φ βα }) es un sistema inverso. Ahora consideremos el producto directo de grupos α S G a y el subconjunto de este producto G = {(x α ) α S : si α β entonces Φ βα (x β ) = x α }. Notemos que G ya que si x α = 1 luego (x α ) α S G. A G se le llama el límite inverso o proyectivo de los G α y se denota por G = lim G α. Proposición 1. G con la topología inducida de la topología producto es un grupo topológico. Demostración. Hay que ver que G es un subgrupo de α S G a. En efecto, como (x α ) α S.(y α ) α S = (x α.y α ) α S y Φ βα (x β.y β ) = Φ βα (x β ).Φ βα (y β ) = x α.y α, se deduce que G es cerrado con respecto al producto. Supongamos que (x α ) α S G, luego Φ βα (x 1 β ) = Φ βα(x β ) 1 = x 1 α = (x α ) 1 α S G. Proposición 2. Si cada G α es de Hausdorff entonces G es un subespacio cerrado de α S G a. Demostración. Sea (x α ) α S / G. Entonces existe α β tal que Φ βα (x β ) x α. Como cada G γ es de Hausdorff, existen entornos U α U xα y V α U Φβα (x β ), con U α V α =. Sea el abierto básico γ S A γ, con A α = U α, A β = Φ 1 βα (V α), A γ = G γ, para todo γ α, β. Si (y α ) α S γ S A γ G y β A β, y α U α, y Φ βα (y β ) = y α U α. Se concluye que Φ βα (y β ) V α U α. Esto es un absurdo. Proposición 3. Si cada G α es compacto y de Hausdorff entonces G es compacto y de Hausdorff.

3 El Grupo de los Enteros p-ádicos 189 Demostración. Como α S G a es compacto y de Hausdorff y G es de Hausdorff y cerrado, se deduce que G es compacto. Teorema 4. Sean G un grupo topológico de Hausdorff compacto y (S, {G α }, {φ βα }) un sistema inverso de grupos topológicos, donde cada G α es compacto y de Hausdorff. Supongamos que para cada β S existe un morfismo continuo sobreyectivo ψ β : G G β tal que si β γ luego φ γβ ψ γ = ψ β y que la familia {ψ β } separa puntos en G. Es decir dados a b en G, existe un ψ β tal que ψ β (a) ψ β (b). Entonces G lim G α como isomorfismo de grupos topológicos. Demostración. Sea K = lim G α. Si a G, se define Ψ(a) = (Ψ α (a)) α S. Hay que demostrar que Ψ(a) K. Si β γ Φ γβ (Ψ γ (a)) = Ψ β (a), esto dice que Ψ está bien definido. Por otro lado si a b, existe un γ S, tal que Ψ γ (a) Ψ γ (b). Por lo tanto Ψ es inyectiva. Supongamos que (x α ) α S K, luego ψ 1 β ({x β}) = F β es cerrado. Es claro que cada F β. Veamos que la familia {F β } cumple la propiedad de intersección finita. En efecto n k=1 F β = n k=1 ψ 1 β ({x β}). Si β k γ k = 1,..., n, tenemos que existe a G, con Ψ γ (a) = x γ. Veamos que a n k=1 F β. Note que Ψ βk (a) = φ γβk ψ γ (a) = φ γβk (x γ ) = x βk. Como G es compacto y de Hausdorff, se deduce que β S F β. Veamos que Ψ es continuo. Sea el abierto básico γ S A γ en la topología producto, con A γ = G γ, salvo a lo sumo para los abiertos A γi de G γi, con i = 1,..., n. Entonces Ψ 1 ( α S A α) = α S ψ 1 α (A α ) = ψα 1 1 (A α1 )... ψα 1 n (A αn ) es un abierto de G. Finalmente como G es de Hausdorff y compacto, K es de Hausdorff y compacto, Ψ es una biyección y continua, luego Ψ es un homeomorfismo. Esto prueba lo pedido. Corolario 5. Sean G un grupo topológico compacto y T 2 y {H α } α S familia de subgrupos normales y cerrados. Supongamos que si α y β están en S, existe un γ S tal que H γ H α H β y que α S H α = {1}. Para cada α consideramos G α = G/H α. Si H β H α se define φ βα : G β G α por φ βα (a.h β = a.h α. Entonces S puede ser parcialmente ordenado de tal forma que (S, {G α }, {φ βα }) forman un sistema inverso y G lim G α. Demostración. Se define α β sii H β H α. Esto define un orden parcial en S. Si α, β S, existe un γ S tal que H γ H α H β entonces α γ y β γ. Esto dice que S es dirigido. Veamos que cada H α es compacto y T 2. Se supone que G α tiene la topología cociente inducida por el morfismo proyección. Sabemos que G α es un grupo topológico. Además el morfismo

4 190 Edixo Rosales proyección ψ α : G G α definida por ψ α (a) = a.h α es morfismo continuo y abierto. Para ver que G α es T 2, sea R = {(a, b) : ab 1 H α }. Consideremos una red (a d, b d ) (a, b) en la topología producto, luego a d a y b d b, por lo tanto a d b 1 d ab 1 y como a d b 1 d H α luego a d b 1 d H α = H α. Se deduce lo pedido. Como ψ α (G) = G/H α y G es compacto luego G α es compacto. Veamos que la familia {ψ α } separa puntos. En efecto si a b en G luego ab 1 / α S H α. Se tiene que ab 1 / H α para algún α. Se deduce que a / ψ α (b) y por tanto ψ α (a) ψ α (b). Finalmente φ βα ψ β (a) = φ βα (ah α ) = ah α = ψ α (a),cuando α β. Aplicando el Teorema 4 se deduce G lim G α. 2 El grupo O + de los enteros p-ádicos Sean Q el conjunto de los números racionales con la valuación p ádica p y Q p su completación. Sea O p el anillo de valuación asociado a Q p. Denotamos por Q + p a (Q p, +). Se quiere ver que Q + p es un grupo topológico compacto. Lema 6. Sea x O +. Entonces existe una única sucesión x n Z, 0 x n p n 1, tal que x n x n+1 (mod p n ) con x n x en la valuación p ádica. Se define φ nm : Z/(p n ) Z/(p m ) con m n por φ nm ( (mod p n )) = x (mod p m ). Se tiene que ({Z/(p n )}, {φ nm }, N) es un sistema inverso y A = lim Z/(pn ) es compacto. Teorema 7. O + lim Z/(p n ) como isomorfismo topológico. Demostración. Usando el Lema 6, dado x O + existe x n x en la valuación p ádica tal que x n x n+1 (mod p n ) y (x n ) n N es la única sucesiòn con esta propiedad. Se define γ : O + A por γ(x) = (x n (mod p n )). Veamos que γ está realmente bien definida. Note que si m n luego x m x m+1 (mod p m ),..., x n 1 x n (mod p n 1 ). Como x n x m = (x n x n 1 ) + (x n 1 x n 2 ) (x m+1 x m ) = a 1 p n a m p m = p m b, se concluye que x n x m (mod p m ). Dado (x n (mod p n )) A, se tiene que x n+1 x n (mod p n ). Podemos elegir 0 x n p n 1. Como x n x m p max( x i x i 1 p ) m i n 1/p n, se deduce que (x n ) es de Cauchy en O p y por tanto x n x en la valuación p-ádica. Además x n p 1 luego x p 1. Esto dice que x O +. Se define

5 El Grupo de los Enteros p-ádicos 191 ϕ : A O + por ϕ((x n (mod p n ))) = x. continua luego O + es compacto. Note que ϕ(a) = O + y como ϕ es Consideremos los subgrupos cerrados A n = p n O + de O +. Veamos que n 1 pn O + = 0. En efecto si x n 1 pn O + luego x = p n a n = x p 1/p n = x = 0. Si m n se define φ nm : O + /p n O + O + por φ nm (a + p n O + ) = b + p m O +. Es claro que ({O + /p n O + }, {φ nm }, N) es un sistema inverso. Usando el corolario5 se tiene que O + lim O + /p n O +. Corolario 8. O + lim O + /p n O + lim Z/(p n ). 3 Comentarios finales Dado un cuerpo finito k, sabemos que k es el cuerpo descomposición del polinomio x pn x F p [x], donde F p es el subcuerpo primo de k y [k : F p ] = n. Se puede construir inductivamente una torre de subcuerpos k n de la clausura algebraica F p de F p, tal que k n k n 1 y [k n : k n 1 ] = p n. Sea τ : k n k n por τ(a) = a p el morfismo de Frobenius. Sabemos que τ es un generador cíclico del grupo Aut Fp k n. Si τ(a) = a p = a, luego a F p. Esto dice que el cuerpo fijo k Aut Fp k n n = F p, por lo tanto k n es de Galois. Definimos K = n 1 k n. Sabemos que K es una extensión normal y separable de F p y por tanto de Galois. Sea F = {L F p : L K normal y finita}. Es claro que cada k n F. Sea L F luego L = k(a) con a L. Se tiene que a k n, donde elegimos n como el primer índice que tiene esta propiedad. Como k n F p es de Galois y L F p es normal tenemos que Aut L k n es un subgrupo normal de Aut Fp k n. Se deduce que Aut L k n = p n s. Además Aut L k n es el único subgrupo de Aut Fp k n que tiene este orden. Como Aut ks k n = p n s se tiene que Aut L k n = Aut ks k n = L = k s. Es obvio el resultado: Corolario 9. Aut Fp K lim Aut Fp k n lim Z/(p n ) O +. Referencias [1] McCarthy, P. Algebraic Extensions of Fields, Blaisdell, [2] Kelley, J. Topología General, Editorial Universitaria de Buenos Aires, Buenos Aires, 1962.

6 192 Edixo Rosales [3] Morandi, P. Fields and Galois Theory, Springer, Berlin, [4] Quadros, F. Primeiros Passos p-ádicos, 17 o Coloquio Brasileiro de Matemática, IMPA, Rio de Janeiro, 1989.