Curvas No Singulares

Transcripción

1 Curvas No Singulares 1. Algunos preliminares algebraicos Definición Sea K un cuerpo, G un grupo abeliano totalmente ordenado, y sea K = K\{0}. Una valuación de K con valores en G es una aplicación v : K G tal que para todo x, y K se tiene que 1. v(xy) = v(x) + v(y) 2. v(x + y) mín{v(x), v(y)}. Si v es una valuación de K, ponemos R = {x K : v(x) 0} {0}; R es un anillo local con ideal maximal m = {x K : v(x) > 0}. Decimos que R es el anillo de valuación de v. Un anillo de valuación es un dominio que es el anillo de valuación de una valuación en su cuerpo de fracciones. Si k K es un subcuerpo tal que v(x) = 0 para todo x k, decimos que v es una valuación de K/k, y R es un anillo de valuación de K/k. Definición Si A y B son anillos locales en un cuerpo K (con ideales maximales m A y m B, respectivamente), decimos que B domina a A si A B y m B A = m A. Comenzamos el estudio algebraico con un teorema que caracteriza a los anillos de valuación: Teorema 1.1 Sea K un cuerpo. Un anillo local R K es un anillo de valuación de K si y solamente si es un elemento maximal del conjunto de anillos locales contenidos en K, ordenados con respecto a la dominación de la definición anterior. En particular, todo anillo local contenido en K es dominado por un anillo de valuación de K. Para demostrar el Teorema 1.1, utilizaremos el siguiente lema: Lema 1.2 R K es un anillo de valuación si y solamente si para todo x K, se tiene que o bien x R o x 1 R. Demostración Si R es un anillo de valuación, entonces esto es obvio. Recíprocamente, supongamos que R cumple tal propiedad. Sea U el grupo de unidades de R; notamos que es un subgrupo multiplicativo (normal) de K. Sea entonces G = K /U. Definimos un orden en G de la siguiente manera: si ξ, η G tiene como representantes x, y K respectivamente, ponemos ξ η si y solamente si xy 1 R. Está claro que es un orden total en G, y de hecho si ξ η, se tiene que ξω ηω para todo ω G. Vemos que la proyección natural π : K G cumple las propiedades buscadas para ser valuación de K, y para que R sea el anillo de valuación de π. Demostración del Teorema 1.1 Supongamos primero que R es un elemento maximal del conjunto de anillos locales de K, ordenado por dominación, y sea m el anillo maximal de R. Tomemos la proyección natural π : R R/m; vemos que es un homomorfismo de R al cuerpo k = R/m. Afirmamos que (R, π) es un elemento maximal en el conjunto Σ de todos los pares (A, f), donde f : A k y (A, f) (A, f ) si y sólo si A A y f A = f. Si no, entonces existe (A, f) maximal 1

2 en Σ con R A y f R = π. Se tiene en tal caso que A es un anillo local y ker f es su ideal maximal (véase [1, p. 65]). Sin embargo, en tal caso se tiene que ker f R = ker π = m, y luego se tendría que A domina a R, una contradicción. Por lo tanto, (R, π) es maximal en Σ, y luego R es un anillo de valuación de K ([1, Teorema 5.21]). Recíprocamente, supongamos que R es un anillo de valuación de K con valuación v, y supongamos que existe un anillo local A tal que R A y m A R = m R. Si x m A \m R, entonces en particular x / R. Por el Lema 1.2, esto implica que x 1 R A. Por lo tanto, x sería unidad, y entonces m A = 1, una contradicción. Por lo tanto, necesariamente m A = m R. Por lo mismo, si x A\R, entonces es unidad en A y x 1 R. Sin embargo, si x / R y luego v(x) < 0. Pero entonces v(x 1 ) > 0 y luego x 1 m A, una contradicción. Por lo tanto, x R, y concluimos que R es maximal con respecto al orden de dominación. Definición Decimos que una valuación es discreta si su grupo de valores son los enteros, y decimos que su anillo de valuación es un anillo de valuación discreta. En nuestro estudio de curvas no singulares, los dominios Noetherianos locales de dimensión 1 tendrán mucha importancia, ya que para todo punto p en una curva no singular, su anillo local asociado (el anillo de todas las funciones regulares en tal punto donde dos se identifican si coinciden en una vecindad de p) tiene estas características (definiremos estas propiedades más abajo). Definición Sea A un dominio Noetheriano local con ideal maximal m y cuerpo residual k = A/m. Entonces decimos que A es un anillo local regular si dim k (m/m 2 ) = dim A (donde la dimensión de A es la dimensión de Krull de A). Teorema 1.3 Sea A un dominio Noetheriano local de dimensión 1 cuyo ideal maximal es m. Entonces las siguientes condiciones son equivalentes: 1. A es un anillo de valuación discreta 2. A es integralmente cerrado 3. m es principal 4. A es un anillo local regular Demostración (1. 2.) Sea K el cuerpo de fracciones de A. Si x / A es entero sobre A, entonces por el Lema 1.2 se tiene que x 1 A. Tenemos que x satisface un polinomio mónico con a i A. Así, tenemos que x n + a 1 x n a n 1 x + a n = 0 x = (a 1 + a 2 x a n 1 x n+2 + a n x n+1 ) A, una contradicción. Por lo tanto A es integralmente cerrado. (2. 3.) Sea a m con a 0. Como todo anillo Noetheriano tiene una descomposición primaria para sus ideales y cada anillo contiene una potencia de su radical, se tiene que existe n tal que m n (a) y tal que m n 1 (a). Sea b m n 1 tal que b / (a), y sea x = a/b K. Está claro que x 1 / A, y entonces x 1 no es entero sobre A. Así se tiene que x 1 m m (pues si fuese así, se tendría que m sería un A[x 1 ]-módulo fiel, y sería finitamente generado como A-módulo; esto implicaría que x 1 es entero sobre A, una contradicción). Vemos que por construcción, x 1 m A, 2

3 y luego por maximalidad de m se tiene que x 1 m = A. Por lo tanto m = Ax = (x) y m es principla. (3. 4.) Como A es Noetheriano de dimensión 1, se tiene que m m m n para todo m n. Vemos que dim k (m/m 2 ) 1 (porque m es principal), y por el comentario previo se tiene que m m 2, y luego dim k (m/m 2 ) = 1. (4. 1.) Sea a un ideal no trivial. Entonces existe n tal que m n a. Se tiene que A/m n es un anillo de Artin local, y como dim k (m/m 2 ) = 1, se tiene que todos los ideales de A/m n son principales, y de hecho una potencia del ideal maximal. Así, se tiene que a es una potencia de m. Como m m 2, existe x m\m 2, y como (x) = m r para algún r, se tiene que m = (x). Definimos entonces la siguiente valuación: si a A, tenemos que (a) = (x k ) para algún k; definimos v(a) := k. Para extender v a K, ponemos v(ab 1 ) = v(a) v(b); se tiene que v es valuación. Definición Un anillo de Dedekind es un dominio Noetheriano integralmente cerrado de dimensión 1. Observamos que si A es un anillo de Dedekind y p es un ideal primo (no trivial) de A, entonces por el teorema anterior se tiene que A p (la localización de A en p) es un anillo de valuación discreta. Ejemplo Sea X P n una superficie de Riemann compacta que sea una curva de intersección local completa, y sea p X. Entonces sabemos que el cuerpo de funciones meromorfas de X es igual al cuerpo de funciones racionales C(X) de X. Consideremos el anillo O p de todas las funciones en C(X) que son holomorfas (es decir, regulares) en p. Entonces O p es un anillo local con ideal maximal m = {f O p : f(p) = 0}. Notamos que m 2 = {f C(X) : ord p f 2}. Además, si f, g m con f, g / m 2 entonces localmente tienen la forma f = a 1 z + a 2 z 2 + y g = b 1 z + b 2 z 2 + (con a 1, b 1 0), de donde (b 1 /a 1 )f = g (mod m 2 ). Así vemos que dim C (m/m 2 ) = 1. Vemos que ord p : C(X) Z es una valuación discreta, y que O p es justamente el anillo de valuación de ord p. Además O p tiene dimensión 1, y por el Teorema 1.3 se tiene que m es principal. Teorema 1.4 La clausura integral de un dominio de Dedekind en una extensión finita de su cuerpo de fracciones es un anillo de Dedekind. Demostración Véase [3, Teorema 19, pg. 281]. 2. Curvas abstractas no singulares Una variedad Y para nosotros será cualquier variedad afín, cuasi-afín, proyectiva o cuasiproyectiva (irreducible). Denotamos por O(Y ) el conjunto de las funciones regulares en Y. Recordamos que el anillo local de una variedad afín (o cuasi-afín) Y en p Y es la localización de O en el ideal maximal de todas las funciones regulares en Y que se anulan en p; lo denotaremos por O p (Y ) (o simplemente O p ). Como toda variedad proyectiva (o cuasi-proyectiva) es afín (o cuasi-afín) localmente, definimos el anillo local en un punto de la forma anterior. Decimos que una variedad es no singular en un punto p si O p es un anillo local regular. La variedad es no singular si es no singular en todos sus puntos. Si Y A n es afín y su ideal está generado por f 1,..., f r, entonces esta definición de no singularidad es equivalente a que el rango de la matriz ( f i / x j (p)) i,j sea n r. 3

4 Consideremos ahora una extensión de cuerpos K/k finitamente generada con grado de transcendencia igual a 1. Si K es el cuerpo de funciones racionales de una curva no singular Y definida sobre k, entonces notamos que para todo p Y se tiene que k O p K. Así podemos asociar a todo punto de Y un anillo de valuación discreta en K. Observamos que si p, q Y son distintos, entonces O p O q (y viceversa). Esto ocurre porque si Y es afín (los otros casos se reducen al caso afín), entonces existen ideales maximales distintos m, n O(Y ) tales que O p = O(Y ) m y O q = O(Y ) n. Si O p O q, entonces m n, pero entonces deben ser iguales. Como los ideales maximales de O(Y ) están en correspondencia biyectiva con los puntos de Y, obtenemos una contradicción si p q. Sea K/k una extensión de cuerpos como antes, y sea C K el conjunto de todos los anillos de valuación discreta de K/k. Lema 2.1 Si x K, entonces {R C k : x / R} es un conjunto finito. Demostración Por el Lema 1.2, notamos que x / R si y solamente si x 1 m R, y así bastaría demostrar que dado y K, el conjunto {R C K : y m R } es finito. Podemos suponer que y / k. Como k es algebraicamente cerrado, vemos que k[y] es isomorfo a un anillo de polinomios y K es una extensión finita de k(y). Sea B la clausura entera de k[y] en K; por el Teorema 1.4 obtenemos que B es un dominio de Dedekind (pues k[y] lo es en k(y)) y es finitamente generado como k-álgebra ([3, Cáp. 5, Teorema 9, pg. 267]). Si y está contenido en R C K, entonces como R es integralmente cerrado obtenemos que necesariamente B R. En este caso, sea n = m R B. Entonces B n es dominado por R y es un anillo de valuación discreta; por la maximalidad de los anillos de valuación, necesariamente B n = R. Si y m R, entonces también y n. Vemos que B es el anillo de coordenadas de alguna variedad Y, e Y es no singular de dimensión 1. Visto como función regular en Y, n es el ideal maximal correspondiente a algún punto p Y, y entonces y(p) = 0. Como y solamente se anula en una cantidad finita de puntos y estos a su vez corresponden a ideales maximales, concluimos que y solamente puede estar en una cantidad finita de ideales maximales de B, y luego solamente puede estar en una cantidad finita de elementos de C K. Como corolario a este lema (en verdad la demostración), tomando R C K e y R\k, obtenemos que Corolario 2.2 Todo anillo de valuación discreta de K/k es isomorfo al anillo local en algún punto de una curva afín no singular. Observamos que C K es infinito, pues contiene a todos los anillos locales en los puntos de una curva no singular; por lo que comentamos antes del lema anterior, tenemos que todos estos anillos son distintos. Llegamos entonces a la definición de curva abstracta no singular: Definición Sea K/k una extensión de cuerpos finitamente generada y de grado de transcendencia igual a 1. Le agregamos una topología a C K, definiendo los cerrados de C K como o bien los conjuntos finitos o todo C K. Una curva abstracta no singular es un subconjunto abierto U C K. Si U es una curva abstracta no singular, definimor el anillo de las funciones regulares en U como O(U) := R U R. Vemos que si f O(U), entonces realmente define una función f : U k, poniendo f(r) := f (mod m R ). 4

5 Vemos que si f y g definen las mismas funciones regulares en U, entonces f = g (mod m R ) para infinitos R, y por el Lema 2.1, tenemos que necesariamente son iguales. Definiremos ahora la categoría de las curvas abstractas no singulares, mostrando cúales son los morfismos: Definición Un morfismo φ : X Y entre curvas abstractas no singulares es una aplicación continua tal que para todo abierto V Y y toda función regular f : V k, se tiene que f φ es regular en φ 1 (V ). En lo que sigue demostraremos que efectivamente toda curva cuasi-proyectiva no singular es isomorfa a una curva abstracta no singular, y viceversa. Así, vemos que realmente no hemos cambiado de categoría. Proposición 2.3 Toda curva cuasi-proyectiva no singular Y es isomorfa a una curva abstracta no singular. Demostración Sea U el conjunto de todos anillos locales de los puntos de Y, y consideremos la aplicación ϕ : Y U C K tal que p O p (donde K es el cuerpo de funciones racionales de Y ). Observamos que ϕ es biyectiva; debemos demostrar ahora que es un isomorfismo. Primero, demostraremos que U es abierto. Para ello, basta demostrar que contiene un conjunto abierto (pues los abiertos son complementos de conjuntos finitos), y entonces podemos suponer que Y es afín. Consideremos el anillo O(Y ) = k[x 1,..., x n ]/I(Y ) de funciones regulares en Y ; sabemos que O(Y ) una k-álgebra finitamente generada y K es el cuerpo de fracciones de O(Y ). Además, ϕ(y ) consiste precisamente de todos los anillos de valuación discreta de K/k que contienen a O(Y ). Sean x 1,..., x r los generadores de O(Y ) sobre k; entonces A R si y solamente si x 1,..., x r R. Por lo tanto, vemos que U = r i=1 U i, donde U i = {R C K : x i R}. Por el Lema 2.1, C K \U i es finito, y luego U es abierto. Notamos que para todo conjunto abierto V Y, se tiene que O(V ) = p V O(V ) p ; de tal forma obtenemos que los anillos de funciones regulares en Y y U son iguales. La proposición anterior muestra a prioris que hemos ampliado la categoría de las curvas, para incluir las curvas abstractas. De ahora en adelante, denotaremos los elementos de C K como puntos p, donde p corresponde a un anillo de valuación R p. El siguiente resultado es bastante interesante, y tendrá implicancias fuertes en nuestro estudio de curvas. Proposición 2.4 Sea X una curva abstracta no singular, p X, Y P n una variedad proyectiva, y sea φ : X\{p} Y un morfismo. Entonces existe un único morfismo φ : X Y que extiende a φ. Demostración Véase [2, Proposición 6.8, pg. 43]. Ahora podemos citar el resultado principal: Teorema 2.5 Sea K/k una extensión de cuerpos finitamente generada de grado de transcendencia igual a 1. Entonces C K es isomorfo a una curva proyectiva no singular. Demostración Véase [2, Teorema 6.9, pg. 43]. 5

6 Como corolario a este Teorema, obtenemos que Corolario 2.6 Toda curva abstracta no singular es isomorfa a una curva cuasi-proyectiva no singular. Corolario 2.7 Toda curva es birracionalmente equivalente a una curva proyectiva no singular. Demostración Si Y es una curva con cuerpo de funciones racionales igual a K, entonces Y es birracionalmente equivalente a C K (sus cuerpos de funciones racionales son iguales). El corolario siguiente es muy importante: Corolario 2.8 Las siguientes tres categorías son equivalentes: 1. Curvas proyectivas no singulares con morfismos dominantes (morfismos cuyas imágenes son Zariski-densas) 2. Curvas cuasi-proyectivas y aplicaciones racionales dominantes 3. Extensiones de cuerpos K/k finitamente generadas de grado de transcendencia igual a 1, con k-homomorfismos. Demostración Existe un functor obvio de 1. a 2.; de 2. a 3. tenemos el functor Y K(Y ). Por el Teorema 2.5, todo cuerpo K que cumple las propiedades de arriba es el cuerpo de funciones de una variedad proyectiva no singular, y entonces 2. y 3. son equivalentes. Debemos encontrar entonces un functor de 3. a 1.. Tomemos la función K C K. Si f Hom k (K 1, K 2 ), entonces por la equivalencia entre 2. y 3., f induce una aplicación racional dominante entre dos variedades Y 2 e Y 1. Esto se representa como un morfismo ϕ : U C K1, donde U C K2 es un abierto. Por la Proposición 2.4, ϕ se extiende a un morfismo ϕ : C K2 C K1. Se ve que f ϕ junto a K C K es un functor, y es la inversa del functor de 1. a Aplicación a las superficies de Riemann compactas Sea X una superficie de Riemann de género g, y sea D Div(X) un divisor muy amplio (si X no es hiperelíptica, entonces podemos tomar D como un divisor canónico). Entonces D induce una aplicación holomorfa inyectiva φ D : X P n, tal que φ D es un biholomorfismo entre X y su imagen. Por el Teorema de Chow, se tiene que φ D (X) es una variedad proyectiva, y entonces se ve que las funciones meromorfas de φ D (X) son cuocientes de polinomios homogéneos del mismo grado, cuyo denominador no se anula en φ D (X). Si L(D) = f 0,..., f n C, entonces esto implica que las funciones meromorfas de X son cuocientes de polinomios homogéneos del mismo grado (cuyo denominador no se anula en φ D (X)) compuestas con los f i. El Corolario 2.8 implica que hay una equivalencia entre categorías entre las superficies de Riemann compactas, las curvas proyectivas no singulares (sobre C) y las extensiones de cuerpos sobre C finitamente generadas de grado de transcendencia igual a 1. Esto muestra que para estudiar superficies de Riemann compactas, se puede hacer desde varios puntos de vista: desde el punto de vista analítico, desde el algebraico (álgebra conmutativa, herramientas de la geometría algebraica) y desde el punto de vista de la teoría de cuerpos. 6

7 Referencias [1] M. F. Atiyah, I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, Addison-Wesley Series in Mathematics, Oxford, [2] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics, vol. 52, Springer-Verlag, New York, [3] P. Samuel, O. Zariski, Commutative Algebra, Volume 1, Graduate Texts in Mathematics, vol. 28, Springer-Verlag,