Funciones Racionales en Variedades Algebraicas

Transcripción

1 Funciones Racionales en Variedades Algebraicas Sea U un abierto denso en una variedad algebraica V afín o proyectiva y sea r O(U). Una extensión de r es una función r O(U ) donde U es un abierto que contiene propiamente a U es tal que r U = r (esto es ρ U U (r ) = r). Por la propiedad de maximalidad de conjuntos abiertos, r posee siempre una extensión máxima, tomando como la misma en caso de que ya no se pueda extender, y por el teorema de identidad?? esta extensión es única. Definición 0.1 Una función regular en un abierto denso U V que no se puede extender a una función regular en un abierto que contenga propiamente a U se llama funcion racional en V, esto es, una función regular máxima. Al conjunto Def (r) := U lo llamamos dominio de definición y al conjunto V \U lo llamamos conjunto de polos (o variedad polar) de r. El conjunto de funciones racionales lo denotamos por R(V ). Claramente K R(V ) el conjunto de funciones constantes son racionales. Podemos sumar y multiplicar funciones racionales en la manera en que lo hacemos sobre la intersección de sus dominios de definición que vuelve a ser denso, despues extendemos la función resultante a una función regular máxima. Es claro que bajo dichas operaciones, R(V ) tiene la estructura de K-álgebra conmutativa. La relación que tiene con el anillo de coordenadas K[V ] es facil de observar. Tenemos el siguiente Lema 0.2 Sea r R(V ) una función racional con dominio de definición U. Entonces existe un no-divisor de cero (homogeneo para el caso proyectivo) g K[V ] con D(g) U denso y r = f en D(g) con f K[V ] y ν N (donde para el caso proyectivo f es g ν homogeneo con deg f = ν deg g). Demonstración: De III?? un abierto denso U V contiene un abierto denso de la forma D(g) (donde para el caso proyectivo g es homogeneo con deg g > 0). De III?? g no es divisor de cero en K[V ] y de?? r D(g) tiene la representación deseada. Denotamos por Q(K[V ]) (resp. Q h (K[V ])) al anillo total de cocientes (resp. anillo de cocientes homogeneos) de K[V ]. Del cociente f Q(K[V ]) (resp. f g g Qh (K[V ]) tenemos una función regular en el abierto D(g) V que da lugar a una función racional tomando su extensión máxima. Teorema 0.3 Para el caso afín sea α : Q(K[V ]) R(V ) la aplicación donde a cada f Q(K[V ]) la envía en su correspondiente función racional. g Analogamente para el caso proyectivo, sea β : Q h (K[V ]) R(V ) definida análogamente. Entonces α y β son isomorfismos de K-álgebras. 1

2 Demonstración: Es claro que α y β son K-homomorfismos. De 0.2 tenemos que α y β son suprayectivas. Si el cociente f se aplica en la función cero entonces f g = 0 en todo g V, esto es, f g = 0 en K[V ]. Dado que g no es divisor de cero esto implica f = 0 así que α y β son inyectivas. Ejemplo: a) Sea V A n L una variedad afín irreducible entonces K[V ] es dominio entero. Escribiendo K[V ] = K[x 1,..., x n ] con funciones coordenadas x 1,..., x n tenemos entonces R(V ) = Q(K[V ]) = K(x 1,..., x n ) un campo de funciones algebraicas. Caso especial es R(A n L) = K(X 1,..., X n ) para este caso tenemos que toda función racional r R(A n L ) la podemos escribir en la forma r = f g con f, g K[X 1,..., X n ] g 0 (f, g) = 1 donde f y g son únicos salvo factores de K. Tenemos que Def (r) = Def (g) y V(g) = A n L \ D(g) es el conjunto polar de r. Tenemos también que si V es una variedad factoral, es decir, K[V ] es dominio de factorización única existe una situación similar. b) Sea V una variedad proyectiva irreducible, entonces K[V ] también es dominio entero entonces R(V ) = Q h (K[V ]) el anillo de cocientes graduado de K[V ], esto es, el conjunto de fracciones f Q(K[V ]) g 0 con f y g homogeneos del mismo grado. Un g caso especial es R(P n L) = { f g K(,..., Y n ) f, g K[,..., Y n ]}. Tenemos resultados similares que para a) sobre el dominio de definición y el conjunto polar de una función racional r R(P n L ). Si el conjunto polar no es vacio entonces es una hipersuperficie. Pensamos ahora en A n L inmerso en Pn L como en I.1. Dada una K-variedad V en An L denotamos por V a su cerradura en P n L. Cada conjunto abierto denso en V es de nuevo abierto denso en V. Denotamos por O V (resp. O V ) a la gavilla de funciones regulares en V (resp. V ). Cada r O V (U) es también una función de O V (U): dado r = f en g D(g) U con f, g K[V ], g 0 escogiendo representantes F, G K[X 1,..., X n ] para f y g tomamos F := Y d+1 0 F ( Y 1,..., Y n ), G := Y d+1 0 G( Y 1,..., Y n ) con d := Max{grad F, grad G}. Sean f y g las imágenes de F y G en K[V ], tenemos entonces que r = f en D(g ) = D(g). g 2

3 A traves del proceso de deshomogeneizar vemos facilmente que cada r O V (U) pertenece también a O V (U). Hemos mostrado Teorema 0.4 Para cada conjunto abierto U V tenemos O V (U) = O V (U) en otras palabras, O V = O V V Naturalment posee toda función racional en V una extensión única a una función racional en V. Inversamente, la restricción de una función racional r R(V ) en Def (r) V es también racional en V. Teorema 0.5 Tenemos un K-isomorfismo canónico R(V ) = R(V ) En especial tenemos que también para variedades proyectivas irreducibles V el campo R(V ) es un campo de funciones algebraicas sobre K. Todo campo de funciones algebraicas F/K aparece como el campo de funciones racionales de alguna K-variedad proyectiva irreducible. Si tenemos F = K(x 1,..., x n ) entonces K[x 1,..., x n ] es el anillo de coordenadas de alguna K-variedad algebraica V A n L y de 0.3 tenemos F = Q(K[x 1,..., x n ]) = R(V ) Sea V la cerradura proyectiva de V en P n L, asi que de 0.5 tenemos F = R(V ) En este caso llamamos a V un modelo proyectivo del campo de funciones F/K. Desde el punto de vista de los algebristas un modelo proyectivo es de gran ayuda para el estudio de campos de funciones. Ejemplo: Sea F/K un campo de funciones algebraicas con grado de trascendencia 1. Decimos que F/K es separable si existe un elemento t F trascendente sobre K de tal forma que F/K(t) es una extensión separable. Del teorema del elemento primitivo existe u F con F = K(t, u) = Q(K[t, u]). Aquí tenemos K[t, u] = K[X, Y ]/(f) con f K[X, Y ] un polinomio irreducible, así que F es K-isomorfo al campo de funciones racionales R(C) de una curva C : F (X, Y ) = 0. Si C : f = 0 la cerradura proyectiva de C entonces F = R(C) Todo campo de funciones algebraicas de grado de trascendencia 1 tiene una curva proyectiva irreducible en el plano como modelo. Desde el punto de vista de los geómetras los campos de funciones algbraicas son de gran utilidad para el estudio de variedades, por ejemplo para su clasificación. 3

4 Definición 0.6 a) Dos K-variedades irreducibles (afines o proyectivas) V 1, V 2 se dicen birracionalmente equivalentes si existe un K-isomorfismo R(V 1 ) = R(V 2 ). b) Una K-variedad irreducible V se dice racional (pseudoracional) si R(V ) es puramente trascendente sobre K (subcampo de una extensión puramente trascendente de K). Ejemplo: Racionalidad de secciones cónicas irreducibles Sea K = L un campo algebraicamente cerrado chark 2. Toda curva irreducible C P 2 L de grado 2 (una cuádrica proyectiva) tiene en un sistema de coordenadas adecuado la ecuación X1 2 + X2 2 + X0 2 = 0. En coordenadas afines (en el complemento del hiperplano X 0 = 0) está definida por la ecuación q := X 2 +Y 2 1. Las soluciones de q = 0 son entonces (0, 1) y el conjunto de puntos 2t ( t 2 + 1, t2 1 t ) (t K t ) (ver [K4] cap. 2 Ej. 9). En el nucleo del K-homomorfismo (con una indeterminada T ). α : K[X, Y ] K(T ) (X 2t t 2 + 1, Y t2 1 t está contenido (q), más aún, ya que q es irreducible implica que Ker(α) = (q). Tenemos entonces un K-homomorfismo inyectivo K[X, Y ]/(q) K(T ) y así un K-homomorfismo R(C) K(T ). Dado que α(y ) + 1 α(x) = ( T 2 1 ) T T T Dicho homomorfismo es suprayectivo y por lo tanto R(C) = K(T ). = T. Definición 0.7 Una K-variedad algebraica V A n L tiene una representación paramétrica (racional) si existen elementos φ, φ 1,..., φ n en el anillo de polinomios K[T 1,..., T d ] tales que {( φ1 (τ) Z := φ(τ),..., φ ) } n(τ) τ L d φ(τ) 0 (1) φ(τ) es un subconjunto denso de V. Decimos entonces que V está descrita por la representación paramétrica X i φ(t 1,..., T n ) (i = 1,..., n) φ(t 1,..., T n ) Teorema 0.8 Dada una K-variedad afín V no vacía son equivalentes las siguientes afirmaciones a) V tiene una representación paramétrica. b) V es variedad irreducible pseudoracional 4

5 Demonstración: a) b) Supongamos que tenemos una representación paramétrica como en 0.7. Ya que V tenemos entonces que φ 0. Por I??, el nucleo del homomorfismo α : K[X 1,..., X n ] K(T 1,..., T d ) con α(x i ) = φ i φ (i = 1,..., n) es el ideal de anulamiento I(V ). La variedad es por lo tanto irreducible por lo que α induce un K-homomorfismo inyectivo K[V ] K(T 1,..., T d ) y por lo tanto también una inyección R(V ) K(T 1,..., T d ), así que V es pseudoracional. b) a) Dado V A n L sea R(V ) K(T 1,..., T d ). Sea K[V ] = K[x 1,..., x n ] con funciones coordenadas x i. Escribamos x i = φ i (i = 1,..., n) con los polinomios libres de φ factores comunes φ, φ 1,..., φ n K[T 1,..., T d ] con φ 0. Tomemos el K-homomorfismo α : K[X 1,..., X n ] K(T 1,..., T d ). Claramente ker α = I(V ). Dado Z como en 0.7 tenemos Z V y su cerradura Z posee la representación paramétrica X i = φ i φ (i = 1,..., n), tenemos I(Z) = I(Z) = ker α = I(V ), es decir Z = V. Existen variedades que no son pseudoracionales, así como pseudoracionales que no son racionales. Si L = K(X) un campo de funciones racionales en una variable X sobre K, entonces también lo es todo campo intermedio Z de L/K (Teorema de Lüroth). En este caso, es decir para curvas algebraicas, coinciden las nociones de racional y pseudoracional. En el teorema siguiente nos interesamos en funciones regulares globales en variedades proyectivas irreducibles. Como material de ayuda utilizaremos el teorema de la base de Hilbert para módulos el cual dice que todo submodulo de un módulo finítamente generado sobre un anillo de Noether R este también es finítamente generado. Teorema 0.9 Sea V una K-variedad proyectiva irreducible y O(V ) R(V ) la K-álgebra de funciones regulares definidas en todo V. Sea K la cerradura algebraica de K en R(V ). Entonces O(V ) K. En especial O(V ) es una extensión de campos finita de K, y tenemos que O(V ) = K si K es algebraicamente cerrado. Demonstración: Sea K[V ] = K[,..., Y n ]/I + (V ) = K[y 0,..., y n ] el anillo de coordenadas de V donde y i es la imagen de Y i en K[V ]. Tomando un orden adecuado podemos suponer que y i 0 para i 0,..., m y y i = 0 para i = m + i,... n. Tenemos entonces que V = m i=0d(y i ) y D(y i ) son densos en V. En lo que sigue denotemos por K[V ] ν al estrato de elementos de grado ν de K[V ]. Cada r O(V ) lo podemos escribir por?? de la forma r = f i y ν i i para i = 0,..., m. Sea ν = m i=0 ν i. Entonces (ν i N f i K[V ] νi ) y α y αm m r K[V ] ν cada vez que 5 m α i = ν i=0

6 entonces tenemos α i ν i por lo menos para alguna i = 0,..., m. Se sigue que K[V ] ν r t K[V ] ν para todo t N, en especial r t 1 y ν 0 K[V ] n u. Como submódulo del K[V ]-módulo finitamente generado K[V ] + y 1 el módulo K[V ][r] es ν 0 también finitamente generado. Tenemos que r es entero sobre K[V ], esto es, existe una igualdad r ρ + a 1 r ρ a ρ = 0 (a i K[V ] ρ > 0). Tenemos entonces también la igualdad f ρ 0 + a 1 y ν 0 0 f ρ a ρ y ν 0ρ 0 = 0. Es facil ver que podemos tomar los coeficientes a i como elementos homogeneos del mismo grado en K[V ]. Entonces basta tomar para r una igualdad con coeficientes en K, es decir r K. Dado que R(V )/K es campo de funciones algebraicas entonces K/K es finítamente gerado, esto es, [K, K] < (ver ej. 4). Como campo intermedio de K/K entonces también es O(V ) extensión finita de campos de K. El teorema 0.9 es equivalente en la teoría de funciones complejas al teorema de Liouville. Dada una variedad V con descomposición en componentes irreducibles V = V 1... V t veremos ahora cual es la relación entre el campo R(V ) y los campos R(V i ) (i = 1,..., t). Por 0.5 podemos reducir el problema al caso en que V sea variedad afín. Dado r R(V ) es Def (r) V i un abierto no vacio de V i y por lo tanto denso, así que r Vi define una función racional en V i la cual denotaremos por r Vi. Teorema 0.10 R(V ) R(V 1 )... R(V t ) (r (r V1,..., r V t )) es un isomorfismo de K-álgebras. Demonstración: Tenemos R(V ) = Q(K[V ]) = K[V ] S donde S es el conjunto de no divisores de cero de K[V ]. Como anillo de Noether reducido K[V ] tiene sólo un número finito de ideales primos mínimos P i,..., P t y S = K[V ] \ t i=1p i (i = 1,..., t) donde el epimorfismo canónico r r Vi con r K[V ]. Tenemos Spec K[V ] S = {(P i ) S,..., (P t ) S } ya que para todo ideal primo no mínimo P K[V ], P S. Los primos (P i ) S son a su vez mínimos y máximos (i = 1,..., t) y tenemos t i=1(p i ) S = (0) así que K[V ] S también es reducido. Del teorema chino del residuo tenemos el isomorfismo R(V ) = K[V ] S = Π t i=1k[v ] S /(P i ) S 6

7 y dado que tomar cocientes permuta con tomar clases residuales tenemos K[V ] S /(P i ) S = (K[V ]/P i ) S donde S es la imagen de S en K[v]/P i = K[V i ]. Dado que (P i ) S es ideal máximo, (K[V ]/(P i )) S es necesariamente Q(K[V i ]) = R(V i ) el campo de fracciones de K[V i ], tenemos el K-isomorfismo R(V ) = R(V 1 ),..., R(V t ) dado por r (r V1,..., r Vt ) y de donde podemos ver fácilmente que la proyección R(V ) R(V i ) viene de la aplicación K[V ] K[V i ] con r r Vi 7