Unidad I Elementos de lógica y de Teoría de Conjuntos

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1 INSTITUTO SUPERIOR DE FORMACION DOCENTE Nº 813 SEDE LAGO PUELO PROFESORADO EN MATEMÁTICA PROGRAMA DE ALGEBRA I AÑO 2008 Prof. Ricardo J. Tamer Unidad I Elementos de lógica y de Teoría de Conjuntos Introducción al cálculo proposicional Los Usos del Lenguaje. Funciones básicas. Falacias no formales, de atenencia y de ambigüedad. Proposiciones conectivos lógicos tablas de verdad. Tautologías. Contradicción y contingencias. Condiciones necesarias y suficientes, Predicados y conjuntos. Cálculos con predicados. Implicación. Inclusión. Negación de una implicación. Leyes Lógicas Figuras y modos tradicionales del silogismo. Razonamiento deductivo válido. Introducción al cálculo funcional. Funciones proposicionales. Cuantificadores. Conmutación de cuantificadores. Negación. Algebra de Conjuntos. Determinación de conjuntos Inclusión. Conjunto de Partes. Complementación. Intersección. Unión.

2 Propiedades. Leyes distributivas. Leyes de De Morgan. Diferencia. Diferencia Simétrica. Propiedades. Producto cartesiano. Propiedades. Operaciones de Boole. Equivalencias Lógicas e identidades entre conjuntos. Leyes fundamentales del algebra de conjuntos. Relaciones Concepto general de relación. Relaciones binarias. Representación. Dominio. Imagen. Relación inversa. Composición. Relaciones en un conjunto. Propiedades de las relaciones. Relaciones de equivalencia. Relaciones de orden. Funciones Funciones y operaciones. Relación de orden y equivalencia. Presentación. Clasificación. Funciones especiales. Función inversa. Composición de funciones. Imagen y preimagen de subconjuntos del dominio y el codominio. Restricción y extensión de funciones. Leyes de Composición Leyes de composición internas y externas. Propiedades.

3 Homomorfismos. Coordinabilidad, Inducción Completa, Combinatoria Conjuntos coordinables, finitos y numerables. Inducción completa. La función factorial. Números combinatorios. Potencia de un binomio. Análisis combinatorio. Sistemas Axiomáticos Sistemas axiomáticos. Algebra de Boole. Sistema de Peano. Estructura de monoide y de semigrupo. Unidad II Estructuras de Grupo Estructura de Grupo. Concepto y propiedades de grupo. Subgrupos. Operaciones. Homomorfismos de grupos. Núcleo e Imagen de un morfismo de grupos. Rellación de equivalencia compatible. Subgrupos distinguidos. Subgrupos normales o invariantes. Grupo cociente. Grupos finitos. Estructuras de Anillo y Cuerpo números Enteros y Racionales Anillos, definición, propiedades.

4 Anillos sin divisores de cero. Dominio de integridad. Subanillos e ideales. Factorización de un anillo. Anillo ordenado. Estructura de cuerpo Dominio de integridad de los enteros. Isomorfismo de los enteros positivos con los naturales. Propiedades del valor absoluto. Algoritmo de la división entera. Algoritmo de Euclides. Números primos. Números racionales. Isomorfismo de Q en Z. Relación de orden en Q. Numerabilidad de Q. Números Reales Operaciones. Isomorfismo de R en Q. Cuerpo ordenado y completo de R. Cortaduras en Q. Completitud, potencación y logaritmación en R. Potencia del conjunto de los reales. Números Complejos Isomorfismo de los complejos reales en R. Forma binómico. Conjugado, módulo y raíz de un número complejo. Forma polar. Operaciones. Radicación, forma exponencial y logaritmación. Forma exponencial compleja general. Raíces primitivas de la unidad.

5 Polinomios Anillo de polinomio de un cuerpo. Divisibilidad en el dominio K[X] Ideales de K[X] Factorización en K[X] Raíces. Raíces múltiples. Polinomio derivado. Raíces de un polinomio real. Relaciones entre raíces y coeficientes. Fórmula de Taylor La estructura del algebra. Metodología de la matemática. El método axiomático. El cálculo proposicional como sistema deductivo. Bibliografía sugerida: Irving M. Copi, INTRODUCCIÓN A LA LÓGICA, Ed. Eudeba, Buenos Aires, 1987 Juan de Burgos, ALGEBRA LINEAL, Ed. Mc Graw Hill, Madrid, 1996 Armando O. Rojo, Álgebra I, Ed. El Ateneo, Buenos Aires 1985 Gentile, Enzo, NOTAS DE ALGEBRA I, Ed. Eudeba, Buenos Aires, 1973 Trejo, César, EL CONCEPTO DE NÚMERO, Ed. Eudeba, Buenos Aires, Alicia Gianella de Salama. LOGICA SIMBOLICA Y ELEMENTOS DE METODOLOGIA DE LA CIENCIA..Ed. El Ateneo, Buenos Aires 1980.