CARTA DEL ESTUDIANTE MAB 304 LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS

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1 CARTA DEL ESTUDIANTE MAB 304 LÓGICA Y TEORÍA DE CONJUNTOS BACHILLERATO Y LICENCIATURA EN ENSEÑANZA DE LA MATEÁTICA ESCUELA DE MATEMÁTICA Nombre del docente: Jonathan Espinoza González (G:01) Correo electrónico jonathan.espinoza.gonzalez@una.cr I) ASPECTOS GENERALES CURSO: Lógica y Teoría de Conjuntos CÓDIGO: MAB304 NATURALEZA: Teórico - práctico TIPO DEL CURSO: Regular REQUISITOS: Ingreso a carrera MODALIDAD: Ciclo TOTAL HORAS SEMANALES: 10 CICLO LECTIVO: II Ciclo 2015 HORAS PRESENCIALES: 5 NIVEL: I año de carrera HORAS EST./INDEP.: 5 ÁREA: Álgebra y Geometría CRÉDITOS: 4 HORAS DOCENTES:5 HORARIO: M: 07:00-09:30 V: 7:00-08:40 NRC: AT/EST: a convenir con los estudiantes II) DESCRIPCIÓN DEL CURSO Este es un primer curso dirigido a estudiantes de la carrera de Enseñanza de la Matemática. El objetivo general es que el estudiante se familiarice con el lenguaje y razonamientos característicos de esta disciplina. El curso busca potenciar algunas competencias en el razonamiento y la argumentación involucradas en los quehaceres matemáticos, en concordancia con el Eje Curricular denominado Desarrollo del Pensamiento Lógico-Matemático. Por ello, se dará especial importancia a algunos métodos de demostración matemática, sobre todo por medio de ejemplos, ejercicios y problemas tomados de varios campos de las mismas. Se busca que el estudiante identifique los componentes básicos presentes en un teorema o una proposición matemática (hipótesis, condiciones, tesis, entre otras), que determine el método más conveniente en un proceso de prueba matemática y que realice los pasos deductivos con justificación matemática. Se pretende que los estudiantes comprendan que el sistema axiomático de las Matemáticas es un producto que surge como la solución a la necesidad de validar proposiciones y que la teoría de conjuntos es un medio valioso en la comunicación de conceptos y métodos matemáticos. Lo anterior contribuye en el logro del perfil profesional de la carrera en cuanto le brinda al estudiante las competencias básicas tales como el manejo del formalismo y el lenguaje matemático, la abstracción, la comprensión y la construcción de argumentos que justifiquen procedimientos o proposiciones, lo cual favorece que pueda afrontar los cursos posteriores de una mejor manera. Además, el curso hace su aporte en la formación de una

2 actitud positiva hacia las Matemáticas, así como una adecuada exigencia en su forma de razonar y expresarse matemáticamente. Durante este periodo, es conveniente que no sólo haga énfasis en los aspectos procedimentales de los contenidos, sino también en aspectos conceptuales. Se dejarán problemas interesantes que promuevan la investigación y la búsqueda de información, en concordancia con el eje curricular de investigación. Lo anterior responde a incorporar opciones metodológicas innovadoras que faciliten la construcción del conocimiento matemático y promuevan su mejoramiento. III) OBJETIVOS ESPECÍFICOS Que el estudiante: 1. Obtenga los elementos básicos de la lógica matemática que le permita comprender y fundamentar la veracidad de una proposición matemática. 2. Aplique los métodos de razonamiento y de demostración matemática para construir argumentos válidos. 3. Formalice algunos conceptos del álgebra universitaria que le permitan el uso de los métodos de demostración. 4. Adquiera los elementos básicos de la teoría de conjuntos que le faciliten la comprensión de otros conceptos matemáticos. IV) CONTENIDOS TEMÁTICOS 1) Nociones básicas de Lógica Matemática (2 semanas) Fundamentos de un sistema axiomático. Lógica proposicional. Conectivas lógicas. Tablas de verdad. Proposiciones condicionales y bicondicionales. La implicación lógica. Operadores Lógicos. Proposiciones equivalentes. Tautologías. Cuantificador universal. Cuantificador existencial. 2) Métodos de demostración (2 semanas) Naturaleza de una demostración. Los métodos de demostración en matemática: conjunción, disyunción, implicación, contra-positiva, reducción al absurdo o contradicción. Ejemplos diversos de aplicación de los métodos de demostración matemática. 3) Elementos de la Teoría de Conjuntos (2 semanas) Generalidades. Notaciones. Descripción de un conjunto por extensión y por comprensión. Inclusión. El conjunto vacío. Conjuntos iguales. Teoremas relacionados. El conjunto de partes. Operaciones entre conjuntos: unión, unión generalizada, intersección, intersección generalizada, conjuntos disjuntos. Distributividad de la unión con respecto a la intersección y viceversa. Diferencia de conjuntos y diferencia simétrica. Complemento de un conjunto. Teoremas relacionados a las operaciones de conjuntos. Leyes de DeMorgan. Definición de pares ordenados. Teorema de la igualdad de pares ordenados. Producto cartesiano. Gráfico de un producto cartesiano. 4) El campo de los números reales (3 semanas) 2

3 Axiomas de campo para los números reales. Demostración de las propiedades algebraicas. Axiomas de orden. Demostración de las propiedades de orden. Valorabsoluto de un número real: definición y demostración de las propiedades fundamentales (desigualdad triangular). Sumatoria y productoria. 5) Números naturales, enteros, racionales e irracionales (5 semanas) Números naturales: introducción con axiomas de Peano. Teorema del principio de inducción. Definición de suma y producto en». Demostración de propiedades: cierre de la suma y el producto; todo número natural es positivo. Definición de números enteros. Demostración de propiedades: cierre para la suma y producto en». Definición de números racionales. Definición de suma y producto en» y clausura de estas leyes. El símbolo factorial y coeficiente binomial. Demostración del Binomio de Newton. Existencia de al menos un número no racional. 6) Potenciación y radicación en el conjunto de los reales (2 semanas) Definición de potenciación en»: exponente natural y entero. Teorema de la existencia de la raíz n-ésima (sin demostración) y potencia con exponente racional. Demostraciones de las leyes de potencias (estas incluyen las propiedades de las raíces). V) METODOLOGÍA Entre las estrategias principales de instrucción están la clase magistral, trabajo individual y discusiones de los temas en subgrupos, en donde se promueva la sana discusión de los temas y el trabajo cooperativo. En cada unidad didáctica se dedicarán lecciones al desarrollo teórico y práctico, asimismo, el docente tratará de rescatar aspectos históricos de cada tema. En las lecciones prácticas es sumamente importante la participación del estudiante en la resolución de problemas, para lo cual se requiere que el alumno tenga un contacto previo con los ejercicios que se le plantean, dado que en clase se revisarán aquellos que son más representativos. El estudiante debe asumir su responsabilidad participando activamente en el proceso de su aprendizaje desde el inicio del curso. Se espera que los aportes del estudiante sean creativos e innovadores a su nivel de carrera. El profesor tendrá el papel de guía durante todo el desarrollo del curso y buscará promover un ambiente de respeto y tolerancia en las lecciones, de manera que se genere un clima de aprendizaje adecuado, donde cada estudiante pueda participar con total libertad. Se cuenta con un material de apoyo a la docencia en la Editorial de la Universidad Nacional el cual ha sido elaborado especialmente para el curso, consiste en una recopilación de materiales anteriores y de algunos textos sobre Lógica y Teoría de Conjuntos, Matemáticas Discretas y Análisis Real. Está dividido en seis capítulos, dentro del cual se presenta la teoría por secciones y cada una con sus respectivos ejercicios. 3

4 VI) EVALUACIÓN Su trabajo será evaluado por medio de tres exámenes parciales, los cuales tendrán el mismo valor para un total de 70%. Se aplicarán tres exámenes cortos con un valor de 10 % cada uno. La suma de las notas obtenidas proporcionará la nota del curso. Las fechas y contenidos a evaluar en las pruebas escritas son las siguientes: Evaluación Fecha Capítulos a evaluar I Parcial Sábado 27 de agosto 1 y 2 II Parcial Sábado 24 de setiembre 3 y 4 III Parcial Martes 08 de noviembre 5 y 6 I Quiz Viernes 19 de agosto 1 y 2 II Quiz Viernes 09 de setiembre 3 III Quiz Viernes 21 de octubre 5 (Excepto irracionales) Cuando él o la estudiante se considere perjudicado(a) en sus calificaciones tiene derecho a manifestar su disconformidad ante el profesor y obtener respuesta de éste, todo en un plazo de cinco días hábiles a partir de la fecha en que conoce el resultado de la calificación. Ausencia a Exámenes El estudiante que por enfermedad o por fuerza mayor no puede efectuar una prueba, debe presentar al profesor, por escrito, la justificación en un tiempo límite de cinco días hábiles a partir de la fecha en que se realizó. Si es aceptada, de común acuerdo con el alumno, se fijará la fecha de realización, dentro de los ocho días hábiles siguientes a la presentación de la justificación. En caso de no aceptarse la justificación, el estudiante puede apelar ante El Consejo Académico de la Escuela de Matemática Si una prueba no se realiza en la fecha prevista, por ausencia del profesor, los estudiantes deben levantar un acta consignando la ausencia de éste a la Dirección de la Escuela. El coordinador de área o el Director, según corresponda, tomará las medidas del caso para que la prueba se realice en una nueva fecha fijada en común acuerdo con los estudiantes. Aplazados La nota mínima para aprobar el curso es de No obstante, si se obtiene una nota de curso inferior a 7.00 y superior o igual a 6.00, el estudiante tiene derecho a presentar un examen extraordinario que se realizará en la fecha establecida por el Calendario Universitario y que se realizará el martes 22 de noviembre a las 8:00 am. El lugar se definirá posteriormente. Los temas a evaluar son todos los capítulos desarrollados en el curso; incluyendo sus respectivos ejercicios y tareas. VII) BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA 4

5 1. Alfaro, C., Fonseca, F. (2015).Curso de Lógica y Teoría de Conjuntos.Editorial de la Universidad Nacional. Costa Rica. 2. Chinchilla, E. Elementos de Lógica Matemática. Sin publicar. Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica. 3. Camacho, L. (1987). Introducción a la lógica. Cartago, Costa Rica: Editorial Tecnológica. Segunda edición. 4. Camacho, L. (2003). Lógica simbólica básica. San José: EUCR. 5. Duarte A., Cambronero S. (2004). Un poco sobre teoría de conjuntos. Sin publicar. Escuela de Matemática, Universidad de Costa Rica. 6. Enderton, A. B. (2004). Una introducción matemática a la lógica. México D.F: UNAM. 7. Murillo, M. (2007). Introducción a la Matemática Discreta. Cartago, Costa Rica: Editorial Tecnológica. 8. Oubiña, L. (1976). Introducción a la teoría de conjuntos. Buenos Aires: Editorial Universitaria de Argentina. Cualquier otro aspecto que no haya sido contemplado aquí, se someterá a estudio y resolverá según lo estipulan los reglamentos vigentes, o bien por medio de una previa consulta a la Coordinación de la carrera o a la Dirección de la Escuela, según corresponda. Esperando obtenga un buen provecho del curso y con la esperanza que el mismo contribuya satisfactoriamente a su formación profesional, les saludan, Jonathan Espinoza González Coordinador de la Cátedra MAB 304 Lógica y Teoría de Conjuntos Jesennia Chavarría Vásquez Coordinadora de la Carrera Enseñanza de la Matemática 5

6 VIII) CRONOGRAMA TENTATIVO DE ACTIVIDADES Semana Fechas Tema julio Lectura del programa del curso. Lógica Matemática de julio Lógica Matemática de agosto Métodos de demostración de agosto Métodos de demostración de agosto de agosto 7 29 de agosto 03 de setiembre de setiembre Teoría de conjuntos Quiz No. 1: viernes 19 de agosto Temas a evaluar: Lógica Matemática y Métodos de demostración Teoría de conjuntos I Parcial: Sábado 27 de agosto. Los números reales Los números reales Quiz No. 2 viernes 09 de Setiembre Tema a evaluar: Teoría de Conjuntos de setiembre Los números reales de setiembre Los números naturales II Parcial: Sábado 24 de Setiembre de setiembre 01 de octubre Los números naturales de octubre Los números enteros de octubre Los números racionales de octubre Los Números irracionales Quiz No. 3 Viernes 21 de octubre. Tema a evaluar: Naturales, enteros y racionales de octubre Exponente natural y entero de octubre 05 de noviembre Exponente racional de noviembre III Parcial: martes 08 de noviembre de noviembre Entrega de promedios Martes 15 de noviembre 09:00 am noviembre Examen Extraordinario: Martes 22 noviembre 8:00 a.m. Feriados Lunes 25 de julio Martes 2 de agosto Lunes 15 de agosto Jueves 15 de setiembre Lunes 17 de octubre 6