El teorema de Lüroth

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1 Abstraction & Application 11 (2014) UADY El teorema de Lüroth Antonio González Fernández, Rodrigo Jiménez Correa, Jesús Efrén Pérez Terrazas Facultad de Matemáticas, Universidad Autónoma de Yucatán, México Abstract We recall a proof of Lüroth s theorem and provide enough arguments. Resumen Recordamos una prueba del Teorema de Lüroth y proporcionamos suficientes argumentos. Keywords and phrases : Algebraico, campo de funciones, Teorema de Lüroth, trascendente Mathematics Subject Classification : 12E05 1. Introducción La conducta que exhibe un anillo de polinomios en una variable es bastante diferente de la que tiene un anillo de polinomios en varias variables, lo que en la disciplina conocida como Teoría de Representaciones de Álgebras de Dimensión Finita se expresa en los tipos de representación manso y salvaje. En este escrito queremos recordar algunas de las propiedades de un campo de funciones en una variable; en particular lo que está contenido en la sección 4 del capítulo 4 de [1], en donde se presenta una prueba del Teorema de Lüroth, y consideramos que aquí el lector encontrará argumentos con suficientes detalles, es por eso que está clasificado como un artículo de revisión. Nuestro propósito es iniciar una serie de artículos que estudiarán a los objetos algebraicos conocidos como módulos genéricos algebraicamente acotados a través de sus anillos de endomorfismos. Los mencionados objetos algebraicos fueron introducidos en [3] con la intención de coadyuvar a extender el Teorema Manso- Salvaje hasta el caso de campo base perfecto. Si bien en general el teorema de mayor interés es el que se acredita a Lüroth, el teorema 3.1 será útil para la serie de escritos mencionada. 52

2 A. González, R. Jiménez, E. Pérez Notación y resultados básicos Por K denotaremos a un campo arbitrario, por K [x] al anillo de polinomios en una variable sobre K y por K (x) al campo de fracciones asociado. Similarmente K [x 1,..., x n ] denota al anillo de polinomios en n variables sobre K y K (x 1,..., x n ) al campo de fracciones asociado. Definición 2.1 Un dominio entero es un anillo conmutativo con unitario R tal que si x, y R {0} entonces xy 0. Definición 2.2 Un dominio de ideales principales (DIP) es un dominio entero R tal que si I es un ideal de R entonces es un ideal principal, es decir que existe r R tal que I = Rr. Definición 2.3 Sea R un dominio entero. Un elemento p R {0} es un elemento primo de R si p no es unidad y si p r 1 r 2, con r 1, r 2 R, implica que p r 1 o que p r 2. Definición 2.4 Un dominio de factorización única (DFU) es un dominio entero R tal que si a R {0} no es unidad entonces: 1. Existe alguna factorización a = p 1 p 2... p s, donde p i es un elemento primo de R para cada i. 2. Si existe otra factorización a = q 1 q 2... q t, donde cada q j es un elemento primo de R, entonces s = t y existen una biyección σ : {1,..., s} {1,..., s} y unidades u 1, u 2,..., u s de R, tales que p i = u i q σ(i). Los siguientes resultados son conocidos y pueden ser encontrados en varios libros, por ejemplo en [2]. Teorema 2.5 K [x] es un DIP. Teorema 2.6 Si R es un DIP entonces R es un DFU. Definición 2.7 Sea R un dominio entero. Un elemento p R {0} es un elemento irreducible de R si p no es unidad y si la identidad p = r 1 r 2, con r 1, r 2 R, implica que r 1 ó r 2 es unidad. Proposición 2.8 Sea R un DFU. El elemento p R es irreducible si y solo si es primo. En un DFU existen los conceptos de máximo común divisor y mínimo común múltiplo, y podemos aplicar ideas útiles de Teoría de Números básica. Definición 2.9 Sea R un DFU. El polinomio r n x n r 1 x + r 0 R [x] {0} es primitivo si el máximo común divisor de los elementos r 0, r 1, r 2,..., r n es una unidad de R. Lema 2.10 (Lema de Gauss) Sean R un DFU y f, g R [x] {0} polinomios primitivos. Entonces el polinomio producto f g es primitivo. Teorema 2.11 Sea R un DFU, entonces R [x] es un DFU. Más aún, si K es el campo de fracciones de R, entonces f R [x] es un elemento primo si y solo si f es primitivo y es un elemento primo de K [x]. Luego se tiene el Teorema Fundamental de la Artimética en un contexto más general: Corolario 2.12 K [x 1,..., x n ] es un DFU.

3 54 El teorema de Lüroth El siguiente resultado nos recuerda una diferencia fundamental: Teorema 2.13 K [x 1,..., x n ] no es un DIP cuando n > Teorema de Lüroth Aunque queremos estudiar a K (x), para ello vamos a requerir usar propiedades de K [x 1, x 2 ]. Invitamos al amable lector a que verifique las identidades (K [x 1 ]) [x 2 ] = K [x 1, x 2 ] = (K [x 2 ]) [x 1 ] ; la primera indica que un polinomio f K [x 1, x 2 ] se puede expresar como f = f 0 (x 1 ) + f 1 (x 1 ) x f n (x 1 ) x n 2, con f i (x 1 ) K [x 1 ] para cada i, mientras que la segunda identidad indica que f se puede expresar como f = h 0 (x 2 ) + h 1 (x 2 ) x h m (x 2 ) x m 1, con h j (x 2 ) K [x 2 ] para cada j. Teorema 3.1 Sean K un campo y α trascendente sobre K. Si β K (α) K, entonces α es algebraico sobre K (β). Más aún, si β se expresa como β = f(α) g(α) con f(x) y g(x) primos relativos en K[x], entonces [K (α) : K (β)] = max{deg (f), deg (g)} y el polinomio f(x) βg(x) es irreducible en K (β) [x]. Demostración Sea n = max{deg (f), deg (g)}, es decir que podemos escribir f (α) = a n α n a 1 α + a 0, donde a n 0 o b n 0. Como β = f(α) g(α), tenemos que g (α) = b n α n b 1 α + b 0, (a n βb n ) α n (a 1 βb 1 ) α + (a 0 βb 0 ) = f (α) βg (α) = 0, de modo que α es raíz del polinomio f(x) βg(x) K [β, x] = (K [β]) [x]. Además, notemos que a n βb n 0 ya que a n 0 o b n 0 y β / K. El polinomio f(x) βg(x) es irreducible en K [β, x] = (K [x]) [β], pues si se tiene que f(x) βg(x) = h (β, x) w (β, x), puesto que es de grado uno sobre β, entonces alguno de los factores es en realidad un polinomio en la variable x, y sin pérdida de generalidad elegimos h (β, x) = h (x), así que w (β, x) = w 1 (x)+βw 2 (x), luego h (x) divide a cada uno de los polinomios f(x) y g(x) y, como son primos relativos, se sigue que h (x) es una unidad, es decir, un elemento de K {0}. Se sigue del teorema 2.11 que f(x) βg(x) es irreducible en K (β) [x]. Hemos mostrado que α es un elemento algebraico de grado n sobre K (β). Teorema 3.2 (Lüroth) Sean K un campo y α un elemento trascendente sobre K. Todo subcampo K L K (α) es una extensión trascendente simple de K. Demostración: Sea β L K. Del teorema 3.1 sabemos que α es algebraico sobre K (β), luego también es algebraico en L, ya que K (β) L. Expresemos al polinomio mínimo (y mónico) de α sobre L como m α,l (x) = x n + l n 1 x n l 1 x + l 0,

4 A. González, R. Jiménez, E. Pérez 55 donde l i = fi(α) g i(α) con f i(x) = 0 ó f i (x) y g i (x) primos relativos en K[x]. Sea G(x) = mcm{g i (x) : f i (x) 0}. Si p(x) K [x] es un polinomio irreducible tal que p(x) G(x) y n es el máximo entero tal que p(x) n G(x) (es decir que p(x) n+1 G(x)), entonces p(x) n g i0 (x) para alguna i 0 tal que f i0 (x) 0. Como f i0 (x) y g i0 (x) son primos relativos, entonces p(x) f i0 (x). Luego, p (α) G (α) pero p (α) f i0 (α) G(α) g i0 (α) = G (α) l i 0. Se sigue que el polinomio M (α, x) = G (α) m α,l (x) es primitivo sobre x en (K [α]) [x] = K [α, x] (observe que el coeficiente líder es G (α)). Como α es trascendente sobre K, algún l i no pertenece a K; de modo que m = max i {0,...,n 1} {deg (f i ), deg (g i )} > 0. Aplicando nuevamente el teorema 3.1 obtenemos que [K (α) : K (l i1 )] = m y que el polinomio f i1 (x) l i1 g i1 (x) es irreducible en K (l i1 ) [x], para algún i 1 {0,..., n 1}. Como α es raíz del polinomio f i1 (x) l i1 g i1 (x) y sus coeficientes pertenecen a L, tenemos que m α,l (x) divide a f i1 (x) l i1 g i1 (x) en L[x], es decir, existe q(x) L[x] {0} tal que f i1 (x) l i1 g i1 (x) = m α,l (x)q(x). Sea G (α) K [α] el mínimo común múltiplo de los denominadores de los coeficientes de q(x), luego Q (α, x) = G (α) q(x) K [α, x]. Tenemos entonces la identidad G (α) g i1 (α) G (α) [f i1 (x)g i1 (α) f i1 (α) g i1 (x)] = M (α, x) Q (α, x). Como M (α, x) es primitivo sobre x en (K [α]) [x] se tiene que F (α) = G(α) g i1 (α) G (α) es un factor de Q (α, x), luego f i1 (x)g i1 (α) f i1 (α) g i1 (x) = M (α, x) Q (α, x), (3.1) donde Q (α, x) = Q(α,x) F (α) K [α, x]. Ahora, el grado sobre α del lado izquierdo de la ecuación previa es a lo más m. Debido a que los polinomios G (α) y f i1 (α) G(α) g i1 (α) son coeficientes de M (α, x), visto como polinomio sobre la variable x, su grado sobre α es al menos m. De modo que ambos lados de la ecuación 3.1 son de grado m sobre α y por consiguiente Q (α, x) = Q (x) K[x]. Recordemos que M (α, x) es un polinomio primitivo sobre x en (K [α]) [x], y notemos que Q (x), al considerarlo como polinomio en (K [α]) [x], también es primitivo, así que el lado derecho de la ecuación 3.1 es primitivo sobre (K [α]) [x] por el lema 2.10, luego el lado izquierdo también lo es. Debido a que el lado izquierdo de 3.1 es simétrico en las variables x y α, entonces también es primitivo con respecto a (K [x]) [α], de modo que el lado derecho de 3.1 es primitivo en (K [x]) [α], lo que implica que Q (x) es un polinomio de grado cero, es decir, un elemento de K distinto de cero. Además el grado de M (α, x) sobre x es el mismo grado que tiene sobre α. Luego [K (α) : L] = deg x (m α,l (x)) = n = deg x (M (α, x)) = deg x (f i1 (x)g i1 (α) f i1 (α) g i1 (x)) = m = [K (α) : K (l i1 )], y como K (l i1 ) L, se sigue que K (l i1 ) = L.

5 56 El teorema de Lüroth Referencias [1] N. Jacobson. Lectures in Abstract Algebra, III. Theory of Fields and Galois Theory. Springer-Verlag, [2] E. Guerrero, E. Pérez. Álgebra Abstracta, de grupos a preliminares de la Teoría de Galois, Ediciones de la Universidad Autónoma de Yucatán, [3] E. Pérez. On semigeneric tameness and base field extension. Aceptado en Glasgow Mathematical Journal.