Algebra III (Grado en Matemáticas)

Transcripción

1 Algebra III (Grado en Matemáticas) Relación de ejercicios de exámenes propuestos en los cursos , y (Extensiones de cuerpos y Teoría de Galois) Curso a) Dado f = (X 6 4)(X 2 3) Q[X], calcular su cuerpo de descomposición E. b) Dar de forma razonada el número de Q-automorfismos de E. c) El cuerpo F = Q( 3, 3 2) es una subextensión de E. Es α = un elemento primitivo de F? Es E/F normal y separable? Y F/Q? d) Cuantos homomorfismos distintos σ : F C existen? Describir explícitamente los que sean automorfismos de F. 2. Razonar de forma breve si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas: a) El número complejo α = e + i es algebraico sobre Q(e, i, 7) pero trascendente sobre Q(i, 7). b) El polígono regular de p lados, para cualquier primo p, puede construirse con regla y compás. c) Se tiene la igualdad Q( 1 2, i) = Q(i 2). d) La extensión Q( 2, 3 + 3)/Q es normal. e) Si α es una raíz del polinomio f = X 3 + X + 1 Z 2 [X] entonces Z 2 (α) es un cuerpo perfecto y su clausura algebraica también es perfecto. 3. a) Demostrar que si α, β C son trascendentes sobre Q entonces α+β o bien α β son trascendentes sobre Q. Dar un contraejemplo a la implicación: α y β trascendentes sobre Q α + β trascendente sobre Q. b) Expresar en un diagrama de torres de cuerpos las inclusiones que existan entre los cuerpos Q( 3 2), Q( 1 2 ), Q( 2), Q(i + 2), Q( 2), Q(i) y dar, de forma razonada, el grado de cada extensión. 1

2 c) Sea E el cuerpo de descomposición del polinomio x 4 x Q[x] Es E = Q(i, 3)? d) Calcula los siguientes grupos de automorfismos: Aut(Q( 3 3)), Aut(Q( 2, 3 3)) y Aut(E) donde E es el cuerpo de descomposición del polinomio x 3 3 Q[x]. 4. a) Un byte, que es una lista ordenada de 8 bits (es decir de 8 ceros y unos), es un elemento de un cuerpo finito E extensión de F 2 De qué cuerpo se trata? Describe los cuerpos en el retículo de subextensiones de E y razona que todas las extensiones en la torre son extensiones de Galois dando, en cada caso, su grupo de Galois. b) Sea ζ una raíz decimotercera primitiva de 1. Calcular Gal(Q(ζ)/Q(ζ + ζ 3 + ζ 9 )) y todos los cuerpos F tales que Q F Q(ζ + ζ 3 + ζ 9 ). 5. a) Sea K un cuerpo de car(k) 2 y sea f(x) = x 4 + ax 3 + ax + 1 K[x] irreducible sobre K. Estudiar, en función de a, el grupo Gal(f/K). b) Calcular el grupo de Galois sobre Q de los siguientes polinomios: 1) f 1 (x) = x 4 3x 3 3x x 3 2) f 2 (x) = x 4 3x + 1 3) f 3 = x 5 10x + 5 Son todas las ecuaciones f i (x) = 0, i = 1, 2, 3, resolubles por radicales sobre Q? 6. a) Sea K un cuerpo de car(k) = 0 y sea f(x) K[x] con Gal(f/K) = n. Si ζ es una raíz n-ésima primitiva de 1 y suponemos que ζ K y que Gal(f/K) es un grupo soluble, demostrar que la ecuación f(x) = 0 es resoluble por radicales sobre K. b) 1) Resolver por radicales sobre Q la ecuación x 2 + bx + c = 0 (sin usar de forma directa las fórmulas de Baskhara). 2) Qué tipo de radicales se necesitan para resolver una ecuación de grado 4? Razona la respuesta. 7. a) Sea E = Q( ). Estudiar si E/Q es una extensión normal y calcular el grupo de automorfismos Aut(E). b) Describir todos los cuerpos no isomorfos con 3 12 elementos. Determinar sus retículos de subcuerpos y los grados en cada subextensión. Calcular Gal (F 3 12/F 3 3) donde F q denota un cuerpo con q elementos. 2

3 8. a) Sea ζ una raiz undécima primitiva de la unidad. 1) Calcular Irr(ζ, Q) y [Q(ζ) : Q]. 2) Determinar G = Gal(Q(ζ)/Q) 3) Calcular el retículo de subgrupos de G y el de subcuerpos intermedios de Q(ζ)/Q, dando un elemento primitivo para cada cuerpo intermedio, y establecer la conexión de Galois entre ellos. b) Calcular el grupo de Galois de los siguientes polinomios: 1) f 1 (x) = x sobre K 1 = Q; 2) f 2 (x) = x 3 10 sobre K 2 = Q( 3); 3) f 3 (x) = (x 3 5)(x 2 3) sobre K 3 = Q. Son todas las ecuaciones f i (x) = 0, i = 1, 2, 3, resolubles por radicales sobre K i? Y lo es el polinomio ciclotómico Φ 14 (x) Q[x]? Razonar en cada caso la respuesta. 9. a) Poner ejemplos diferentes de los siguientes conceptos para extensiones de cuerpos: a) extensión finita de grado 5; b) extensión trascendente; c) extensión normal de grado 3; d) extensión separable no normal de grado 4; e) extensión finita de Galois de grado 10. b) Sea K un cuerpo de car(k) = 0. Demostrar que si K contiene una raíz n-ésima primitiva de 1 y si E/K es una extensión radical con [E : K] = n entonces E/K es una extensión cíclica. 10. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Las extensiones Q(π, 3)/Q( 3) y Q( π)/q(π) son trascendentes. b) La extensión Q( 2, 3 2) tiene a 6 2 como elemento primitivo pero no es una extensión de Galois. c) Si F q denota el cuerpo finito con q elementos se tiene que F 27 = Z 3 [x] (x 3 +2x+1) y F 729/F 9 es una extensión cíclica de grado 3. d) Hay tres polígonos regulares de n lados construibles con regla y compás cuando n es un entero tal que 80 n 90. e) La ecuación ax 8 +bx 6 +cx 4 +dx 2 +e = 0 con coeficientes racionales (a 0) es resoluble por radicales sobre Q. 11. a) Si f(x) = x 4 2x 2 2 calcular Gal(f(x)/Q), Gal(f(x)/Q( 2)) y Gal(f(x)/Q( 3)). b) Si E es el cuerpo de descomposición del polinomio f(x) = x 4 2x 2 2 sobre Q( 3) calcular Gal(E/Q( 3)) y el retículo de las subextensiones de la extensión E/Q( 3). 3

4 12. a) Calcular el polinomio ciclotómico Φ 10 (x) y el grupo de Galois Gal(Q(ξ)/Q) donde ξ es una raíz décima primitiva de la unidad. Establecer la conexión de Galois entre los retículos de subgrupos y subcuerpos de la extensión. b) Sea K un cuerpo de car(k) = 0 y E/K una extensión de grado n. Si K contiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad y E/K es una extensión cíclica demostrar que E/K es una extensión radical. c) Resolver por radicales sobre Q la ecuación Φ 10 (x) = a) Calcula el grupo de Galois de la extensión (E/Q( 3) siendo E el cuerpo de descomposición del polinomio (X 6 4)(X 2 3). Calcula los cuerpos fijos bajo dos subgrupos propios de distinto orden. b) Calcular el retículo de los subcuerpos del cuerpo F Calcula un subcuerpo K de forma que F 4096 /K sea de Galois de grado 4. Razona si esta extensión es cíclica y, en caso afirmativo, da su generador. 14. a) Calcula el grupo de Galois y los retículos de subgrupos y subcuerpos de la extensión ciclotómica Q(ζ)/Q donde ζ es una raíz 17 a primitiva de la unidad. b) Calcula el grupo de Galois de los siguientes polinomios: - 2X 5 5X sobre Q; - Φ 8 (X) sobre Z 3 ; - X 4 + 5X + 5 sobre Q. 15. Poner ejemplos de los siguientes conceptos: a) extensión de cuerpos infinita; b) extensión de cuerpos finita de grado 4; c) extensión de cuerpos trascendente; d) extensión de cuerpos normal de grado 3; e) polígono regular construible con regla y compás con mas de 50 lados; f) extensión de cuerpos separable no normal de grado 6; g) dos extensiones de cuerpos distintas con grupos de Galois isomorfos; h) polinomio de grado 16 resoluble por radicales; i) extensión finita de Galois de grado 12; j) extensión radical de Q de grado 12. 4

5 16. Sea ζ una raíz 19 a primitiva de 1 sobre Q. a) Calcular Gal(Q(ζ)/Q(ζ + ζ 7 + ζ 11 )) y todos los cuerpos intermedios F tales que Q F Q(ζ + ζ 7 + ζ 11 ). b) Si alguno de los cuerpos intermedios F es de grado 2 sobre Q, expresarlo como una extensión radical de Q. 17. Sea f = x 4 4x 2 1 Q[x]. a) Calcular el cuerpo de descomposición E de f sobre Q b) Calcular Gal(E/Q) y Gal(E/Q(i)). c) Contrastar los resultados anteriores calculando los grupos Gal(f/Q) y Gal(f/Q(i)). 18. a) Demostrar (Teorema de Lagrange) que si K es un cuerpo con car(k) = 0 que contiene una raíz n-ésima primitiva de la unidad, entonces si E/K es una extensión cíclica de grado n se tiene que E/K es una extensión radical. b) Sea f = x 4 + x Q[x]. Calcular Gal(f/Q). Usando el Teorema de Lagrange y las resolventes oportunas, resolver por radicales la ecuación f = 0. Contrastar resultados con la resolución, como bicuadrada, de la ecuación f = 0 usando las fórmulas de Bhaskara para la cuadrática. (Nota: Para la resolución por el método general se aportan los siguientes cálculos relacionados con las raíces α i, i = 1, 2, 3, 4, de la cuártica y las raíces β 1 = α 1 α 2 + α 3 α 4, β 2 = α 1 α 3 + α 2 α 4 y β 3 = α 1 α 4 + α 2 α 3 de la resolvente cúbica: (α 1 α 3 ) 2 + (α 2 α 4 ) 2 = ( i α i ) 2 2 i<j α i α j 2β 2, [(α 1 α 3 ) 2 (α 2 α 4 ) 2 ] 2 = [( i α i ) 2 4(β 1 +β 2 )][( i α i ) 2 4(β 2 +β 3 )]. ) 19. Razonar si son verdaderas o falsas las siguientes afirmaciones: a) Si ζ 5 es una raíz quinta primitiva de 1 sobre Q y E es el cuerpo de descomposición de X 5 2 sobre Q(ζ 5 ) entonces Gal(E/Q(ζ 5 )) = Z 5. b) El polígono regular de 1700 lados es construible con regla y compás. c) La extensión F 2187 /F 27 es una extensión de Galois con grupo de Galois isomorfo a Z 3. d) Irr( 2, Q( 4 8)) = x 2 y Irr( 2, Q( 3 2)) = x 2 2. e) La ecuación x 5 2x 4 + 2x 4 = 0 es resoluble por radicales sobre Q. 5

6 20. Define y enuncia una caracterización para los siguientes conceptos: a) Extensión finita b) Extensión finita normal c) Extensión finita separable d) Extensión finita de Galois En cada caso pon un ejemplo de una tal extensión y de una que no lo sea. 21. a) Calcular todos los n N que sean divisores de 260 y tales que el polígono regular de n lados sea construible con regla y compás. b) Si p es un primo y E = F p r y F = F p s son subcuerpos de F p n razona si es verdadero o falso que E F = F p d donde d = m.c.d.(r, s). c) Si ζ 100 es una raíz 100 a primitiva de 1 sobre Q es cierto que la extensión Q(ζ 100 ) de Q contiene una raíz séptima primitiva de 1? d) Si E es el cuerpo de descomposición de x 4 7 sobre Q, calcula Gal(E/Q(i)) dando de forma explícita sus elementos. 22. a) Encontrar dos representaciones distintas del cuerpo F 9 de 9 elementos dando un isomorfismo explícito entre ellas. Encontrar una extensión de F 9 de grado 4 y calcular el grupo de Galois de dicha extensión. Describir para ella la conexión de Galois. b) Calcula los siguientes grupos de Galois: - Gal(x 4 10x 2 4x + 6/Q) - Gal(x 4 5x x 2 10x + 5/Q) 23. Sea ζ una raíz 12 a primitiva de la unidad. a) Calcular Irr(ζ, Q), el grado [Q(ζ) : Q] y determinar el grupo G = Gal(Q(ζ)/Q). b) Establecer la conexión de Galois describiendo el retículo de subgrupos de G y el de subcuerpos intermedios de Q(ζ)/Q, dando un elemento primitivo para cada uno de ellos. c) Usando el Teorema de Galois y las resolventes oportunas, resolver por radicales sobre Q la ecuación ciclotómica Φ 12 (x) = 0. 6