Capitulo I. Variedades algebraicas afines.

Transcripción

1 Capitulo I. Variedades algebraicas afines. Al conjunto solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lo llamamos variedad algebraica afín. Uno lo considera como objetos de la geometría en espacios afines. En este capítulo estudiaremos sus propiedades básicas y su relación con la teoría de ideales. 1. Definiciones y propiedades básicas de variedades algebraicas afines. Un sistema de ecuaciones algebraicas sobre un campo K es un sistema de la forma f 1 (X 1,..., X n ) = 0. f m (X 1,..., X n ) = 0 (1) donde f 1,..., f m son polinomios en las variables X 1,..., X n con coeficientes en el campo K. Dado un sistema de ecuaciones (1) nos interesamos en forma natural en el conjunto de soluciones ya sea en K n o en n donde es una extensión del campo K. Un caso especial del sistema (1) es el de sistemas lineales n a ik X k b i = 0 (a ik, b i K; i = 1,..., m) (2) i=1 que son estudiados en algebra lineal. Para dichos sistemas hay respuestas sencillas para las siguientes preguntas que uno puede hacerce también para los sistemas (1): a) En que casos el sistema (1) tiene solución? b) Es posible describir el conjunto solución mediante una representación paramétrica y si es así, en que forma se puede calcular? c) Como puede uno imaginarse (dibujar) el conjuto solución en forma geométrica? d) Es posible medir el tamaño del conjunto solución por medio de alguna función de dimensión? e) En que casos tiene el sistema (1) un conjunto finito de soluciones, cuantas soluciones existen en tal caso y como podemos calcular dicho número? f) Como saber cuando dos sistemas de ecuaciones comparten en mismo conjunto solución? g) Si V es el conjunto solución de un sistema (1), cuantos polinomios son extrictamente necesarios para poder describir el conjunto V como solución de un sistema de ecuaciones? Naturalmente para sistemas de ecuaciones algebraicas en general, las respuestas a las preguntas anteriores son mucho mas dificiles que para el caso de sistemas lineales. Necesitaremos algun tiempo de estudio para poder dar respuestas satisfactorias a dichas preguntas. En el capítulo VI trataremos las preguntas d) y g) y en el capítulo VIII nos dedicaremos a la pregunta e). Denotemos por A n = n = {(x 1,..., x n ) x i } al espacio afín de dimensión n sobre una extensión del campo K. En dicho espacio se definen, como se hace para el caso de 1

2 algebra lineal, los subespacios afines (en especial puntos, rectas e hiperplanos) junto con el concepto de paralelismo. Definición 0.1 Un subconjunto V A n se llama K-variedad algebraica afín (o conjunto algebraico afín) si existe un sistema de ecuaciones algebraicas (1) para el cual el conjunto V es el conjunto de soluciones de dicho sistema. Decimos entonces que V está definido sobre K y llamamos a (1) el sistema de definición para V. El campo K es el campo de definición y el campo coordenado para V. A los puntos V A n K los llamamos puntos K-racionales de V. Es claro que si en (1) sucede que m = 0 entonces tenemos V = A n como conjunto solución. También el conjunto vacio resulta ser variedad algebraica afín con el sistema de ecuaciones dado por una única ecuación 1 = 0. Una K-variedad es también una K -variedad para cualquier subcampo K que contenga los coeficientes de algún sistema de definición de la variedad V. Esto sucede claramente si K es un campo intermedio de la extensión /K. Continuamos con algunos resultados sencillos para variedades algebraicas afines. Teorema 0.2 a noción de K-vairedad algebraica afín es invariante bajo transformaciones de coordenadas afines definidas sobre K, esto es transformaciones de la forma (Y 1,..., Y n ) = (X 1,..., X n ) A + (b 1,..., b n ) donde A = (a i,k ) es una matriz de n n y donde a i,k, b i K. Claramente tenemos que al sustituir (X 1,..., X n ) = (Y 1,..., Y n ) A 1 (b 1,..., b n ) A 1 en el sistema (1) podemos obtener el sistema de definición en las variebles Y 1,..., Y n para la variedad resultante. Uno aplica transformaciones afines para simplificar los sistemas y poder con mas facilidad encontrar soluciones de estos. También utilizamos transformaciones de coordenadas para cituar nuestras variedades algebraicas en una mejor posición. Teorema 0.3 Intersecciones e uniones finitas de K-variedades algebraicas afines en A n son de nuevo K-variedades afines. Demonstración: Es suficiente demostrarlo para dos variedades V 1 y V 2. Sea V 1 y V 2 definidas por los sistemas f i = 0 (i = 1,..., m) y g j = 0 (j = 1,..., l) respectivamente. Entonces V 1 V 2 está definido por el sistema f i = 0, g j = 0 (i = 1,..., m; j = 1,..., l), es decir por la conjunción de los dos sistemas. a unión V 1 V 2 está definida por el sistema f i g j = 0 (i = 1,..., m; j = 1,..., l). 2

3 Como ejemplo tenemos la intersección de dos superficies algebraicas en A 3 que es una curva algebraica. El concepto exacto de curva algebraica en dimensiones superiores sera contemplado en el estudio de teoría de la dimensión (Cap. VI). a unión finita de rectas (configuración de rectas) son también variedades algebraicas, por ejemplo, la unión de rectas sobre las que yacen las aristas de un poliedro. Un número finito de puntos K-racionales en A n son de nuevo K-variedad. Teorema 0.4 (Producto de variedades). Sean V 1 A n 1 y V 2 A n 2 dos K-variedades entonces también el producto cartesiano. es una K-variedad. V 1 V 2 A n 1 An 2 = An 1+n 2 Demonstración: Sea V 1 el conjunto solución del sistema f i = 0 (i = 1,..., m) con f i K[X 1,..., X n1 ] y V 2 el conjunto solución de g j = 0 (j = 1,..., l) con g j K[Y 1,..., Y n2 ]. Considerando el sistema conjunto f i y g j visto como sistema en el anillo de polinomios K[X 1,..., X n1, Y 1,..., Y n2 ] vemos que su conjunto solución es exactamente V 1 V 2. Considerar el producto de una variedad V A n 1 con una recta en An 2 cilindro en A n 1+n 2. da lugar a un Teorema 0.5 a) Si contiene un número infinito de elementos y si n 1 entonces existe un número infinito de puntos de A n fuera de una K-variedad V An. b) Si es algebraicamente cerrado y n 2 entonces toda K-hipersuperficie en A n contiene un número infinito de puntos. Demonstración: a) Basta demostrar la afirmación para el caso de una hipersuperficie. Supongamos que dicha hipersuperficie está definida por el polinomio f K[X 1,..., X n ]. Podemos suponer que la indeterminada X n aparece en f, así podemos escribir f = φ 0 + φ 1 X n φ t X t n (3) donde φ i K[X 1,..., X n ] (i = 1,..., t), t > 0 y φ t 0. Aplicando inducción podemos suponer que existe (x 1,..., x n 1 ) n 1 tal que φ t (x 1,..., x n 1 ) 0. Entonces el polinomio f(x 1,..., x n 1, X n ) es un polinomio no indenticamente cero en [X n ] que posee unicament un número finito de raices. Dado que es infinito existe un número infinito de posibles x n para las cuales f(x 1,..., x n 1, x n ) 0. b) Sea la hipersuperfice definida por f = 0 con f dada como en (3). Dado que n 2 y que un campo algebraicamente cerrado es infinito tenemos por a) que existe un número infinito de puntos (x 1,..., x n 1 ) n 1 tales que φ t (x 1,..., x n 1 ) 0. Para cada dicho punto (x 1,..., x n 1 ) posee f(x 1,..., x n 1, X n ) una raiz x n en. De esta forma mostramos que f tiene un número infito de raices. 3

4 Teorema 0.6 Sea n 1 y algebraicamente cerrado. Sean dos hipersuperficies H i definidas por las igualdades f i = 0 (i = 1, 2) donde f 1, f 2 K[X 1,..., X n ] son dos polinomios libres de factores comunes. Entonces tenemos que H 1 H 2 H i (i = 1, 2) Para la demostración aplicaremos el siguiente lema. ema 0.7 Sea R un dominio de factorización con campo de cocientes K. Sean f 1, f 2 R[X] primos relativo, entonces también lo son en K[X]. Existe entonces d R \ {0} y a 1, a 2 R[X] tales que d = a 1 f 1 + a 2 f 2 Demonstración: Supongamos que tenemos f i = α i h donde α i, h K[X] (i = 1, 2), donde h no es constante. Recorriendo los denominadores de los coeficientes de h a los α i, por medio de productos y cocientes con elementos de R, podemos suponer que h R[X]. Escribamos ahora α i = γ ik X k (γ ik K, i = 1, 2). Sea η R el comun denominador de γ ik. Tenemos que ηf i = φ i h (i = 1, 2) donde φ i := ηα i R[X]. Un elemento primo de R que sea divisor de η no puede ser divisor de φ 1 y φ 2 al mismo tiempo ya que η es el comun divisor de los coeficientes de α 1 y α 2. Dicho divisor debe ser entonces divisor de h así que tenemos la igualdad f i = φ i h (i = 1, 2) donde h R[X] es un polinomio no constante. Esto contradice la hipótesis de que f 1 y f 2 eran primos relativos en R[X]. Se sigue entonces que f 1, f 2 son primos relativos también en K[X]. Aplicando algoritmo de Euclides existen polinomios A 1, A 2 K[X], tales que 1 = A 1 f 1 + A 2 f 2. Multiplicando la igualdad por un comun denominador d de los coeficientes de A i (i = 1, 2) tenemos la igualdad esperada d = a 1 f 1 + a 2 f 2 (a 1, a 2 R[X]) Demonstración: (de 0.6) Podemos suponer que X n aparece en f 1. Escribimos entonces f 1 = φ 0 + φ 1 X n φ t X t n 4

5 como en (3). Por el lema 0.7 existe un polinomio d K[X 1,..., X n 1 ] \ {0} y a 1, a 2 K[X 1,..., X n ] tales que d = a 1 f 1 + a 2 f 2. (4) Escojamos por 0.5 a) un punto (x 1,..., x n 1 ) n 1 tal que d(x 1,..., x n 1 ) φ t (x 1,..., x n 1 ) 0. Dado que es algebraicamente cerrado existe algun x n tal que f 1 (x 1,..., x n ) = 0. De (4) no puede suceder que también f 2 (x 1,..., x n ) = 0 porque entonces tendriamos que d(x 1,..., x n 1 ) = 0. Así que (x 1,..., x n ) H 1 pero (x 1,..., x n ) H 1 H 2. Corolario 0.8 Dadas dos curvas H 1 y H 2 en el plano definidas por dos polinomios primos relativos entonces H 1 H 2 está formado por un número finito de puntos. En otras palabras, un sistema de ecuaciones f 1 = 0, f 2 = 0 con polinomios f 1, f 2 K[X 1, X 2 ] primos relativos, tiene como conjunto solución a un número finito de puntos en A 2. Demonstración: En esta situación d K[X 1 ] es un polinomio con un número finito de raices. Existe entoces un número finito de posibles valores que puede tomar la coordenada X 1 para los puntos de H 1 H 2. Por un argumento simétrico para la coordenada X 2 tenemos el resultado. 5