La estructura de un cuerpo finito.

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1 9. CUERPOS FINITOS El objetivo de este capítulo es determinar la estructura de todos los cuerpos finitos. Probaremos en primer lugar que todo cuerpo finito tiene p n elementos, donde p es la característica del cuerpo y n cierto natural. Después veremos que para cada natural n y cada primo p existe un único cuerpo (salvo isomorfismos) de p n elementos. A este cuerpo se le llama el cuerpo de Galois de orden p n y se le representa por GF (p n ) (las letras G y F son las iniciales de Galois field, es decir, el cuerpo de Galois). La estructura de un cuerpo finito. Todo cuerpo finito de característica p (para cierto primo p) tiene orden potencia de p Lema. Sea F E una extensión de grado n, con F = q N. Entonces E = q n. Sea {α 1,..., α n } una base de E como espacio vectorial sobre F. Cada elemento u F se escribe de forma única como u = u 1 α u n α n, con u 1,..., u n F. Como cada u i puede ser uno de los elementos de F, es decir, hay q diferentes u 1,..., q diferentes u n, el número total de elementos de E es q n Corolario. Si E es un cuerpo finito, entonces E = p n, para cierto n N, donde p es la característica de E. Si E tiene característica p, existe un subcuerpo F de E que es isomorfo a Z p. Ahora aplicamos el resultado anterior a F E, que es una extensión finita de grado, digamos n, y tenemos que E = p n. Ahora miramos la estructura multiplicativa de un cuerpo finito E. El siguiente resultado nos dice cómo se construye E a partir de su subcuerpo primo. En lo que sigue supondremos que un cuerpo de característica p contiene a Z p como subcuerpo Teorema. Un cuerpo finito E de p n elementos es (salvo isomorfismos) el cuerpo de descomposición del polinomio x pn x Z p [x]. 1

2 2 Álgebra Clásica. Curso 03/04 Sea E un cuerpo con p n elementos, donde p es su característica. El par (E, ), formado por los elementos no nulos de E y el producto del cuerpo, es un grupo con p n 1 elementos. Consideremos α E. Como el orden de α en (E, ) divide al orden de (E, ), que es p n 1, α pn 1 = 1. Si multiplicamos por α esta igualdad tenemos que α pn = α. Si ahora consideramos el polinomio x pn x Z p [x], por lo que acabamos de demostrar, resulta que α es un cero de dicho polinomio. También 0 es un cero del polinomio. Así, todos los elementos de E son ceros de dicho polinomio que, como tiene grado p n, tiene a lo sumo p n ceros en E. Esto nos dice que los elementos de E son los ceros de tal polinomio y el resultado queda probado Definiciones. Un elemento α perteneciente a un cuerpo es una raíz n-ésima de la unidad si α n = 1. Si α m 1, cualquiera que sea el natural m < n, se dice que α es una raíz primitiva n-ésima de la unidad. Según esta definición, con el resultado anterior lo que hemos probado es que los elementos no nulos de un cuerpo de p n elementos son las raíces n-ésimas de la unidad Ejemplos. En Z 5 todo elemento no nulo α satisface α 10 = 1, luego todo elemento no nulo de Z 5 es raíz 10-ésima de la unidad. Sin embargo, ninguna es primitiva porque α 4 = 1. Sí son raíces primitivas 4-ésimas de la unidad los elementos 2 y 3. No lo es 4 (porque 4 2 = 1) Lema. Sea F un cuerpo, y sea U n el subconjunto de las raíces n-ésimas de la unidad en F. Entonces U n es un subgrupo de (F, ). Si α, β U n, (αβ 1 ) n = α n (β 1 ) n = α n (β n ) 1 = 1.1 = 1, luego αβ 1 U n. Como 1 U n, el lema queda probado Proposición. Sea F un cuerpo. Todo subgrupo finito G de (F, ) es cíclico. Sabemos que como G es un grupo abeliano finito es isomorfo a Z m1... Z mr, donde m 1,..., m r son naturales y podemos elegirlos de forma que m i 1 divida a m i, m para i = {2,..., r}. Si α i Z mi, α i m i = 1, y como m i divide a m r, α r i = 1, luego todo elemento α de G satisface α m r = 1. Como la ecuación X m r 1 = 0 tiene, a lo

3 Álgebra Clásica. Curso 03/04 3 sumo m r soluciones en F, y G = Π r i 1 m i, necesariamente r = 1, luego G = Z m1, que es cíclico. De este resultado se deducen de manera inmediata los siguientes corolarios: 9.8. Corolario. Sea F un cuerpo, y sea U n el subconjunto de las raíces n-ésimas de la unidad en F. Entonces U n es un subgrupo cíclico de (F, ) Corolario. Si F es un cuerpo finito, (F, ) es un grupo cíclico Corolario. Toda extensión finita de un cuerpo finito es una extensión simple. Sea F E una extensión finita, y sea F finito. Por (9.7), (E, ) es un grupo cíclico, luego existe α E que genera tal grupo cíclico. En tal caso, E = F (α) Ejemplos. Consideremos el cuerpo Z 11. Por el Corolario 9.9, (Z 11, ) (Z 11 en adelante), es cíclico. Tratemos de encontrar un generador. Para ello, comencemos con 2. Como Z 11 tiene 10 elementos, por el Teorema de Lagrange el orden de 2 divide a 10, es decir, es 2, 5 o 10. Como 2 2 = 4 1 y 2 5 = 1 1, 2 es un generador; dicho con otras palabras, 2 es una raíz primitiva 10-ésima de la unidad en Z 11. Ahora, determinemos todas las raíces primitivas 10-ésimas de la unidad en Z 11, equivalentemente, los generadores de Z 11. Sabemos que todo generador de este grupo ha de ser de la forma 2 n, con n primo relativo con 10. Por tanto, las raíces primitivas 10-ésimas de la unidad en Z 11 son: 2 1, 2 3 = 8, 2 7 = 7 y 2 9 = 6. Si ahora queremos conocer las raíces primitivas 5-ésimas de la unidad en Z 11, hemos de tener en cuenta que éstas son de la forma 2 m, siendo el máximo común divisor de m y 10 igual a 2, y éstas son: 2 2 = 4, 2 4 = 5, 2 6 = 9 y 2 8 = 3. Raíces primitivas 2-ésimas de la unidad en Z 11 sólo hay una: 2 5 = 10 = 1. Observemos que hablar de raíces m-ésimas es lo mismo que hablar de los elementos de un subgrupo H de orden m en Z 11 (por el Teorema de Lagrange m sólo puede ser 1, 2, 5 o 10), y que hablar de las raíces primitivas m-ésimas es hablar de los generadores de H.

4 4 Álgebra Clásica. Curso 03/ Lema. La Existencia de GF(p n ). Sea F un cuerpo finito de característica p. Entonces f(x) = x pn x F [x] tiene p n ceros distintos en el cuerpo de descomposición K de f(x) sobre F (F K F ). Veamos que la multiplicidad de cada cero de f(x) en K es 1. Sea α 0 un cero de g(x). Como α es no nulo, será también un cero de g(x) = x pn 1 1, luego (x α) divide a g(x). Sea h(x) = g(x) (x α) = n xp 2 + αx pn 3 + α 2 x pn α pn 3 x + α pn 2. Observemos que h(x) tiene p n 1 sumandos, y que cada sumando al ser evaluado en α da α pn 2 = αpn 1 α = 1 α, luego h(α) = [(pn 1) 1]α 1 = α 1 0, lo que concluye la demostración Teorema. Para cada primo p y cada natural n existe un cuerpo que tiene p n elementos. Sea K Z p el cuerpo de descomposición de f(x) = x pn x Z p [x] sobre Z p, y sea F el subconjunto de K formado por todos los ceros (en K) de f(x). Es inmediato probar que F es cerrado para la suma, el opuesto, el producto y el inverso; además 0 y 1 están en F, lo que demuestra que F es un cuerpo, subcuerpo de K, que contiene a Z p. Como K es el menor subcuerpo de Z p que contiene a Z p y a las raíces de f(x), K = F. Además, por el resultado anterior, todos los ceros de f(x) tienen multiplicidad 1, luego F = p n Definición. Para cada primo p y cada natural n existe un cuerpo que tiene p n elementos y es el cuerpo de descomposición de x pn x en Z p (Teorema 9.13). Llamémosle GF (p n ). Además, si E es otro cuerpo con p n elementos, por el Teorema 9.3, E es el cuerpo de descomposición de x pn x sobre Z p (en realidad, sobre el subcuerpo de E isomorfo a Z p ), luego GF (p n ) y E son isomorfos, así que GF (p n ) es único salvo isomorfismos. A este cuerpo de orden p n, único salvo isomorfismos, se le llama el cuerpo de Galois de orden p n Corolario. Sea F un cuerpo finito. f(x) F [x] de grado n. Para cada natural n existe un polinomio irreducible

5 Álgebra Clásica. Curso 03/04 5 Supongamos que F tiene p r elementos, donde p es su característica. Por el Teorema 9.13 existe un cuerpo, E = GF (p rn ), que contiene una copia de Z p, y es el cuepo de descomposición de x prn x sobre Z p. Por el Teorema 9.3 todo elemento de F es un cero de x pr x. Si ahora tenemos en cuenta que para cualquier s N, p rs = p r p r(s 1) y que todo elemento α de F satisface α pr = α, tenemos: α prn = α pr p r(n 1) = (α pr ) pr(n 1) = α pr(n 1) =... = α pr = α, así que F E. Por el primer resultado del tema, [E : F ] = n. Por otro lado, por el Corolario 9.10, F E es una extensión simple, luego existe β F tal que E = F (β). Como [E : F ] = deg(β, F ), irr(β, F ) debe tener grado n.

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