Estructuras algebraicas Grado en Matemáticas. Curso 2013/2014. Apuntes de teoría. Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla

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1 Estructuras algebraicas Grado en Matemáticas. Curso 2013/2014 Apuntes de teoría Departamento de Álgebra Universidad de Sevilla Tema 2: Anillos e ideales. Divisibilidad y factorización Anillos, subanillos e ideales Definición 2.1. Un anillo es una terna (A, +, ), tal que (A, +) es un grupo abeliano, es una operación binaria interna cumpliendo la propiedad asociativa, y además se cumple la propiedad distributiva de la suma y el producto. Diremos que un anillo es conmutativo si a b = b a para todo a, b A. Diremos que un anillo tiene elemento unidad si existe un elemento neutro para, que denotaremos 1. Observemos que (A, ) no es en general un grupo, y no tiene por qué existir el elemento inverso de un elemento dado. De hecho, sea 0 A al elemento neutro de la suma; si existiera el inverso de 0, tendríamos 0 x = 1, pero entonces = 0 x + 0 x = (0 + 0) x = 1, luego restando 1 a ambos lados obtendríamos 1 = 0. Pero en este caso, dado a A, tendríamos a = a 1 = a 0 = a (0 + 0) = a + a, es decir, a = 0 para todo a A. Por tanto, si 0 tuviera inverso, tendríamos A = {0}, el anillo trivial. Podría ocurrir que todo elemento distinto de 0 tuviera inverso. En este caso (si A es un anillo conmutativo, con elemento unidad) (A\{0}, ) sería un grupo abeliano, y diremos que (A, +, ) es un cuerpo. Ejemplo 2.2. En los siguientes ejemplos, la suma y el producto de elementos son bien conocidos, y no se especificarán. Z es un anillo conmutativo con elemento unidad. Z/Zn es un anillo conmutativo con elemento unidad. El conjunto de los números pares, Z2, es un anillo conmutativo que no tiene elemento unidad. Q, R y C son cuerpos. Sea A un anillo. M n n (A) es un anillo (en general no conmutativo), con elemento unidad. Z[x] es un anillo conmutativo con elemento unidad. Dado un anillo A conmutativo con elemento unidad, A[x] es un anillo conmutativo con elemento unidad. 1

2 Dado un cuerpo K, K[x] es un anillo conmutativo con elemento unidad. Dado un anillo A conmutativo con elemento unidad, A[x 1,..., x n ] es un anillo conmutativo con elemento unidad. Dado un cuerpo K, K[x 1,..., x n ] es un anillo conmutativo con elemento unidad. A partir de ahora, cuando digamos sea A un anillo, estaremos suponiendo que A es conmutativo con elemento unidad, que la suma y el producto son operaciones bien conocidas, y denotaremos ab := a b. Definición 2.3. Sea (A, +, ) un anillo. Diremos que un subconjunto no vacío B A es un subanillo de A, si (B, +, ) es un anillo, donde + y son las mismas operaciones que en A. Proposición 2.4. Un subconjunto no vacío B de un anillo A es un subanillo si y sólo si cumple las siguientes propiedades: 1. b 1 b 2 B para todo b 1, b 2 B (es decir, (B, +) es subgrupo de (A, +)) B. 3. b 1 b 2 B para todo b 1, b 2 B. Ejemplo 2.5. El único subanillo de Z es Z. ( por qué?) El único subanillo de Z/Zn es Z/Zn. ( por qué?) Z es subanillo de Q, que es subanillo de R, que es subanillo de C. Z es subanillo de Z[x], que es subanillo de Z[x, y], que es subanillo de Z[x, y, z] Z[x] es subanillo de Q[x], que es subanillo de R[x], que es subanillo de C[x]. Los subconjuntos de un anillo que más nos van a interesar no son, curiosamente, los subanillos, sino unos subconjuntos llamados ideales. La historia de los ideales se remonta a mediados del siglo XIX, cuando el matemático alemán Ernst Kummer demostró que en algunos anillos (en concreto en los llamados anillos de enteros ciclotómicos) había elementos que no tenían factorización única, como sucedía en Z. Por ejemplo, si consideramos el anillo A = Z[ 3] formado por los números complejos de la forma a + b 3, con a, b Z, nos damos cuenta de que 4 = 2 2, pero también 4 = (1 + 3)(1 3), donde los factores 2, y 1 3 no se pueden descomponer nuevamente en factores de A. Por tanto, el número 4 tendría dos posibles factorizaciones distintas, en el anillo A. Para solventar este problema, Kummer introdujo lo que él llamó números ideales, y demostró que usando esos números, los anillos de enteros ciclotómicos sí tenían factorización única. El concepto de números ideales fue luego generalizado por matemáticos de la talla de Richard Dedekind, Leopold Kronecker, David Hilbert y Emmy Noether, hasta llegar a la definición actual, que es la siguiente. Definición 2.6. Sea (A, +, ) un anillo. Un ideal de A es un subconjunto I A tal que 1. (I, +) es un subgrupo de (A, +). 2. AI I. (Es decir, a A b I, ab I.) 2

3 Ejemplo 2.7. En un anillo A, el propio A y el conjunto {0} son siempre ideales de A. Cualquier otro ideal se denomina ideal propio. Hemos visto que el único subanillo de Z es Z. Sin embargo, los ideales de Z son precisamente los subconjuntos de la forma Zn, para cualquier n. En un cuerpo K, los únicos ideales son K y {0}. Por qué? En el anillo Z[x], el conjunto de los polinomios con término independiente par, que denotaremos 2, x, es un ideal. Proposición 2.8. La intersección de una familia arbitraria no vacía de ideales de un anillo A, es un ideal de A. Definición 2.9. Sea A un anillo, y E un subconjunto de A. Se define el ideal generado por E, y se denota E, como la intersección de todos los ideales que contienen a E (que es una familia no vacía puesto que A es un ideal que contiene a E). Proposición Sea E un subconjunto no vacío de un anillo A. El ideal E es el conjunto de todas las sumas finitas de la forma i a ie i, con a i A y e i E. Definición Un ideal I A se llama principal si se puede generar por un sólo elemento. Es decir, si I = a, para un cierto a A. Observemos que en Z, todos los ideales son principales. Sin embargo, en Z[x] no pasa lo mismo, porque el ideal 2, x Z[x] no es principal. ( por qué?) La propiedad más importante de los ideales es que sirven para definir los anillos cocientes. Dado un ideal I A, sabemos que (I, +) es un subgrupo (abeliano) de (A, +), y por tanto podemos considerar el grupo cociente A/I. Lo interesante es que en este grupo cociente, además de la suma: (a + I) + (b + I) = (a + b) + I, se puede definir un producto, de forma natural: (a + I)(b + I) = ab + I. Este producto está bien definido porque I es un ideal. Además, la suma y el producto de clases de equivalencia que acabamos de definir, cumplen las propiedades necesarias que hacen de A/I un anillo: El anillo cociente de A sobre I. Observación: Si A es un subanillo distinto de A, en el grupo cociente A/A el producto natural anterior no está necesariamente bien definido. Por eso nos interesan más los ideales que los subanillos Homomorfismos de anillos. Extensión y contracción de ideales Definición Sean A y B dos anillos (conmutativos con elemento unidad, como siempre). Una aplicación f : A B es un homomorfismo de anillos (o morfismo de anillos), si: 1. f(a + a ) = f(a) + f(a ), a, a A. (f es morfismo de grupos.) 2. f(a a ) = f(a) f(a ), a, a A. 3

4 3. f(1) = 1. un isomorfismo es un morfismo de anillos biyectivo. Ejemplo si A es un subanillo de A, la inclusión A A es un morfismo de anillos inyectivo. La aplicación f : A A[x] definida por f(a) = a, es un morfismo de anillos inyectivo. Podemos identificar A con su imagen por f, y considerar que A es un subanillo de A[x]. Sea A un anillo, y fijemos un elemento a A. La aplicación f a : A[x] A, definida por f a (p(x)) = p(a), es un morfismo de anillos sobreyectivo. Si I es un ideal de A, la aplicación π : A A/I definida por f(a) = a + I, es un morfismo de anillos sobreyectivo, llamado proyección canónica de A sobre A/I. Proposición Sea f : A B un morfismo de anillos. Se tiene: 1. Im(f) es un subanillo de B. 2. ker(f) es un ideal de A. Teorema 2.15 (Primer teorema de isomorfía para anillos). Sea f : A B un morfismo de anillos. Los anillos A/ ker(f) e Im(f) son isomorfos. Demostración: Basta ver que el isomorfismo de grupos ϕ : A/ ker(f) Im(f) definido por ϕ(a + I) = f(a), preserva el producto. En efecto: ϕ((a + I)(b + I)) = ϕ(ab + I) = f(ab) = f(a)f(b) = ϕ(a + I)ϕ(b + I). Proposición Sea f : A B un morfismo de anillos. Se tiene: 1. Si J es un ideal de B, entonces f 1 (J) es un ideal de A, llamado ideal contraído de J por f, y denotado J c. 2. Si I es un ideal de A, entonces f(i) no es necesariamente un ideal. Para enviar un ideal I A mediante f : A B a un ideal de B, definimos el ideal extendido de I por f: I e = f(i). Hay un caso en el que f(i) sí es un ideal: Proposición Si f : A B es un morfismo de anillos sobreyectivo, e I A es un ideal, entonces f(i) es un ideal. Por tanto, si f es sobreyectivo, I e = f(i). Corolario Sea I un ideal de A. Existe una biyección natural, que preserva las inclusiones, entre los ideales del anillo A/I y los ideales de A que contienen a I. Demostración: Consideremos la proyección canónica π : A A/I. A todo ideal J A que contenga a I, le hacemos corresponder el ideal J e = π(j) de A/I. Basta ver que esta correspondencia es biyectiva. De hecho, la inversa hace corresponder a un ideal K A/I, el ideal K c de A. (Obervemos que K c contiene a I, ya que K c = π 1 (K) contiene a π 1 (0) = I.) 4

5 2.3. Ideales primos y maximales Recordemos que los ideales de Z son precisamente los subgrupos de la forma Zn. Es decir, los ideales de Z se corresponden con los numeros naturales (y el cero). Recordemos también que una de las formas de ver si un número natural es primo, es la siguiente: Diremos que p > 1 es primo si dados a, b Z tales que p ab, entonces o bien p a o bien p b. Esta propiedad se puede expresar en términos de ideales de Z: El número p > 1 es primo si dados a, b Z tales que ab Zp, entonces o bien a Zp, o bien b Zp. Esto nos permite tener, en un anillo arbitrario, la noción de ideal primo: Definición Un ideal I A se dice primo si, dados a, b A tales que ab I, o bien a I o bien b I. Observemos que hemos descartado el caso I = A (que en los enteros correspondería a p = 1), pero no hemos descartado el caso I = {0}. Es decir, {0} Z sí es un ideal primo. Los ideales primos de Z son, entonces, aquellos de la forma Zp, con p un número primo, ó p = 0. El hecho de que un ideal I A sea primo o no, se puede detectar fácilmente a través del anillo cociente A/I. Definición Dado un anillo A, un elemento a A se dice que es un divisor de cero si existe b A\{0} tal que ab = 0. Un anillo A se dice dominio de integridad (o simplemente dominio), si el único divisor de cero es 0. Proposición Un ideal I A es primo si y sólo si A/I es un dominio de integridad. El caso de los ideales de Z es muy representativo. Si n no es primo, entonces n = ab con 1 a, b < n, luego (a + Zn)(b + Zn) = 0 + Zn, por tanto Z/Zn tiene divisores de cero distintos de cero, luego no es un dominio de integridad. Sin embargo, si p es primo, sabemos que Z/Zp es un cuerpo, y por tanto es un dominio de integridad ( por qué?). Pero los números primos también se pueden caracterizar por otra propiedad: Un número natural p > 1 es primo si los únicos divisores que admite son 1 y p. En términos de ideales, observemos que a b si y sólo si b a. Por tanto, un número p > 1 es primo si y sólo si los únicos ideales que contienen a p son p y 1 = Z. Este tipo de ideales se llaman maximales. Definición Un ideal I A se llama maximal si los únicos ideales que lo contienen son I y A. Observamos que en Z, los ideales maximales son precisamente los ideales primos (salvo el {0}, que es primo pero no maximal). Al igual que con los ideales primos, los ideales maximales también se pueden reconocer usando el anillo cociente. Proposición Un ideal I A es maximal si y sólo si A/I es un cuerpo. Corolario Un anillo A no nulo es un cuerpo si y sólo si el ideal {0} es maximal. Hemos visto que puede haber ideales primos no maximales (el ideal {0} Z). Pero el recíproco no es cierto: 5

6 Proposición Todo ideal maximal es primo. Hemos visto que un morfismo de anillos f : A B nos permite hacer corresponder ideales de A con ideales de B y viceversa, mediante la extensión y la contracción. Podemos preguntarnos si esta correspondencia preserva la propiedad de ser primo o de ser maximal. Desafortunadamente, sólo hay un caso en que esta propiedad se preserva: Proposición Sea f : A B un morfismo de anillos. Si J B es un ideal primo, entonces J c A es un ideal primo. Observación: La contracción de un ideal maximal no es necesariamente maximal. La extensión de un ideal primo no es necesariamente primo. La extensión de un ideal maximal no es necesariamente maximal. En el caso de un anillo cualquiera A, nos podríamos preguntar si de verdad existen ideales primos o maximales. La respuesta es que siempre existen ideales maximales (y por tanto primos), pero para demostrarlo necesitamos suponer que es cierto el axioma de elección. Más concretamente, usaremos el lema de Zorn (que es equivalente al axioma de elección), para demostrar la existencia de ideales maximales. Teorema Todo anillo no nulo tiene al menos un ideal maximal. Corolario Sea A un anillo y I A un ideal. Entonces I está contenido en un ideal maximal. Definición Un elemento a A se dice que es una unidad, si existe b A tal que ab = 1. Corolario Todo elemento de A que no sea una unidad está contenido en un ideal maximal. A veces, aunque un dominio de integridad A no sea un cuerpo, nos interesa asociarle un cuerpo K que lo contiene, que llamaremos cuerpo de fracciones de A, y que se define del mismo modo que el cuerpo Q se define a partir de Z. Definición Dado un dominio de integridad A, consideremos el conjunto de las fracciones { a } F = b ; a, b A, b 0. El cuerpo de fracciones K de A es el anillo formado por el conjunto cociente F/, donde es la relación de equivalencia definida por: con las operaciones a b + c d a b c d ad + bc =, bd ad = bc, a b c d = ac bd. Proposición El cuerpo de fracciones de un dominio A está bien definido, es un cuerpo, y contiene a A (mediante el morfismo de anillos inyectivo a a 1 ). 6

7 2.4. Anillos noetherianos. Teorema de la base de Hilbert En esta sección estudiaremos un tipo particular de anillos, cuyas propiedades fueron estudiadas por Emmy Noether, a principios del siglo XX. Definición Un anillo se dice noetheriano si todos sus ideales son finitamente generados. Definición Se dice que un anillo A cumple la condición de cadena ascendente si toda cadena creciente de ideales es estacionaria. Es decir, si para toda familia de ideales I 1 I 2 I 3 existe un k 1 tal que I k = I m para todo m > k. Uno de los principales logros de Emmy Noether consistió en descubrir que estas dos condiciones son equivalentes: Teorema Un anillo es noetheriano si y sólo si cumple la condición de cadena ascendente. Gracias a esta caracterización, podemos dar un resultado muy potente sobre los anillos de polinomios: Teorema 2.36 (Teorema de la base de Hilbert). Si A es un anillo noetheriano, entonces A[x] es un anillo noetheriano. Si nos damos cuenta de que el anillo de polinomios en varias variables A[x 1,..., x n ] es isomorfo a A[x 1 ][x 2 ] [x n ], entonces el siguiente resultado se sigue inmediatamente, por inducción, del teorema de la base de Hilbert. Corolario Si A es un anillo noetheriano, entonces A[x 1,..., x n ] es un anillo noetheriano. Este resultado tiene una importancia fundamental en geometría algebraica, donde se estudian las soluciones de los sistemas de ecuaciones polinómicas. Supongamos que un conjunto de puntos S k n es solución de un conjunto de ecuaciones polinómicas {p i (x 1,..., x n )} i I (es decir, S es el conjunto de puntos que anulan a todos los polinomios p i a la vez). En esta situación se dice que S es un conjunto algebraico. Entonces es evidente que S anula a todos los polinomios de I = {p i (x 1,..., x n )} i I, que es un ideal de k[x 1,..., x n ]. Por el teorema de la base de Hilbert, I es un ideal finitamente generado, por tanto I = q 1,..., q r, para ciertos polinomios q i = q i (x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ]. Así, todo conjunto algebraico es solución de un sistema finito de ecuaciones polinómicas. Esto simplifica muchísimo el estudio de estos conjuntos, y tiene infinidad de consecuencias, que son estudiadas por la geometría algebraica. Observemos entonces que los ideales, además de estar relacionados con la unicidad de factorización en los anillos, lo están también con los sistemas de ecuaciones polinómicas. De hecho, el conjunto de polinomios que anulan a un subconjunto cualquiera de A n es un ideal de A[x 1,..., x n ]. Y en el caso en que A sea noetheriano (por ejemplo, si A es un cuerpo), este ideal es finitamente generado. 7

8 2.5. Divisibilidad. Dominios de factorización única Veamos alguna propiedad de los dominios de integridad. Lema Si A es un dominio de integridad, se pueden cancelar factores no nulos. Esto es, si ab = ac con a 0 entonces b = c. Definición En un dominio de integridad A, diermos que a divide a b, y escribiremos a b, si existe c tal que ac = b. En este caso c es único (por la propiedad de la cancelación), y lo designaremos c = b/a. Observemos que una unidad u A (esto es, un divisor de 1), divide a cualquier otro elemento de A, ya que a = u(u 1 a) para todo a A. Definición Se dirá que a, b A son asociados si a b y b a. Lema Dos elementos a, b A son asociados si y sólo si b = au (y por tanto a = bu 1 ) para una unidad u A. Definición Sean a, b A. Un máximo común divisor de a y b es un elemento d que es máximo (con el orden parcial dado por la divisibilidad) en el conjunto de los divisores comunes de a y b. Esto es: 1. d a y d b. 2. Si d a y d b, entonces d d. No está claro que, en un anillo, el conjunto de los divisores comunes de dos elementos a y b tenga algún máximo. Lo que sí tendremos es una cierta unicidad: Proposición Si d y d son máximos comunes divisores de a y b, entonces son asociados. En otras palabras, el máximo común divisor de dos elementos, si existe, es único salvo producto por unidad. Por ejemplo, en Z, el máximo común divisor de dos elementos es único salvo signo. Lo escribiremos m.c.d(a, b). Definición Sean a, b A. Un mínimo común múltiplo de a y b es un elemento m que es mínimo (con el orden parcial dado por la divisibilidad) en el conjunto de los múltiplos comunes de a y b. Esto es: 1. a m y b m. 2. Si a m y b m, entonces m m. Al igual que ocurría con los máximos comunes divisores, no está claro que, en un anillo, el conjunto de los múltiplos comunes de dos elementos a y b tenga algún mínimo. Pero también tenemos el mismo tipo de unicidad: Proposición Si m y m son mínimos comunes múltiplos de a y b, entonces son asociados. Es decir, el mínimo común múltiplo de dos elementos, si existe, es único salvo producto por unidad. Por ejemplo, en Z, el mínimo común múltiplo de dos elementos es único salvo signo. Lo escribiremos m.c.m(a, b). 8

9 Veamos en qué tipo de anillos podemos afirmar que existen máximos comunes divisores y mínimo comunes múltiplos. Para ello vamos a estudiar cómo se pueden factorizar los elementos de un anillo, y qué tipo de factores nos interesan. Al igual que estudiamos dos tipos especiales de ideales, primos y maximales, ahora veremos dos tipos especiales de elementos, primos e irreducibles. Definición Sea A un dominio de integridad. Un elemento p A que no sea ni cero ni unidad se dice primo si, dados a, b A tales que p ab, o bien p a o bien p b. Observemos que p 0 es primo si y sólo si p es un ideal primo. Definición Sea A un dominio de integridad. Un elemento p A que no sea ni nulo ni unidad se dice irreducible si es únicamente divisible por sus asociados y por las unidades. En este caso, p es irreducible si y sólo si p es maximal en el conjunto de los ideales principales de A; pero esto no quiere decir que p sea un ideal maximal. Por ejemplo 2 Z[x] es irreducible, pero 2 2, x. Observemos que en el anillo Z, los elementos primos e irreducibles coinciden. Esto no es cierto, como veremos, en otros dominios. Pero sí hay una relación entre los dos conceptos. Proposición En un dominio de integridad, todo elemento primo es irreducible. El recíproco no es cierto. Por ejemplo, si consideramos el anillo A = Z[ 3], que es dominio de integridad (es un subanillo de C), tenemos 2 2 = (1 + 3)(1 3). Es fácil demostrar que 2 es irreducible en A, y que no divide ni a ni a 1 3, aunque sí divide a su producto. Por tanto 2 A es irreducible pero no es primo. El hecho de que los elementos irreducibles sean los mismos que los primos, está relacionado con una propiedad importante que pueden tener los anillos, como veremos a continuación. Definición Un Dominio de factorización única (DFU) es un dominio de integridad A que verifica las condiciones siguientes: [DFU1] Todo elemento de A que no sea cero ni unidad es producto finito de irreducibles. [DFU2] La descomposición anterior es única salvo orden y producto por unidades. La descomposición de un elemento de la forma indicada en el resultado anterior se llama descomposición factorial. Los ejemplos que conocemos de DFU son Z y el anillo de polinomios k[x] (aunque esto lo probaremos más adelante). Por otro lado, hemos visto que Z[ 3] no es DFU. Veamos que, en la definición de DFU, podríamos haber cambiado la propiedad [DFU2] por la siguiente: [DFU3] Todo elemento irreducible es primo. Proposición Si en un dominio de integridad A se satisface [DFU1], entonces [DFU2] [DFU3]. Es decir, un dominio de integridad es DFU si y sólo si cumple [DFU1] y [DFU3]. 9

10 Corolario En un DFU, todo par de elementos admite un máximo común divisor, y un mínimo común múltiplo. Ejemplos importantes de DFU son los anillos de polinomios (en una o varias variables) con coeficientes en un DFU. Demostraremos que estos anillos son DFU al final del tema Dominios euclídeos Algunas de las propiedades más relevantes de los números enteros, como la factorización única en irreducibles, o que todo ideal sea principal, se pueden deducir del hecho de que en Z existe la división euclídea. Recordemos lo que esto significa: Dados a, b Z, con b 0, existen unos únicos q, r Z tales que con 0 r < b. a = qb + r, También sabemos que existe una división euclídea en K[x], ya que dados dos polinomios a(x), b(x) K[x], con b(x) 0, existen unos únicos polinomios q(x), r(x) K[x] tales que a(x) = q(x)b(x) + r(x) donde, o bien r(x) = 0, o bien 0 gr(r(x)) < gr(b(x)). Estos dos ejemplos nos hacen intuir la definición general de una división euclídea en un anillo A. En primer lugar, necesitaremos algún modo de comparar los elementos de A, para decidir cuándo consideramos que algún elemento es menor que otro. En el caso de Z, usaremos el valor absoluto. En el caso de K[x], usamos el grado de los polinomios. En general, requeriremos que exista una aplicáción δ : A\{0} N, y compararemos los elementos no nulos de A simplemente comparando sus imágenes por δ. Llamaremos a δ(a) el valor de a. Es importante que δ tome valores en N, un conjunto con un buen orden, ya que la estrategia que se suele seguir para calcular la división euclídea de a por b (con a, b A) consiste en comenzar con a, e ir restándole sucesivamente múltiplos de b, para ir reduciendo su valor todo lo posible. Como los valores son números naturales, el proceso se detendrá. La división euclídea está estrechamente relacionada con la divisibilidad: Una de las razones principales por la que un elemento a se divide entre un elemento b, es para ver si a es múltiplo de b (lo que ocurrirá si y sólo si el resto de la división euclídea es cero). Es por eso que trataremos sólo con anillos que sean dominios de integridad (donde la divisibilidad es un orden parcial). Además, queremos que δ respete ese orden parcial, por lo que exigiremos que si b a, entonces δ(b) δ(a). Un dominio euclídeo será un dominio de integridad donde exista una división euclídea. Es decir, tenemos lo siguiente: Definición Un dominio de integridad A se dice dominio euclídeo (DE) si existe una aplicación δ : A\{0} N tal que [DE1] Si a, b A\{0}, entonces b a δ(b) δ(a). 10

11 [DE2] Dados a, b A con b 0, existen q, r A (cociente y resto) tales que donde, o bien r = 0, o bien δ(r) < δ(b). a = qb + r Observemos que en esta definición no se dice nada sobre la unicidad del cociente y el resto. De hecho, veremos ejemplos de dominios euclídeos donde el cociente y el resto de algunas divisiones no son únicos. Ya hemos visto que Z con δ(n) = n es un dominio euclídeo, y K[x] con δ(p(x)) = gr(p(x)) también lo es. Un ejemplo interesante es el siguiente: Z[x] con δ(p(x)) = gr(p(x)) NO ES dominio euclídeo. Aunque sí cumple [DE1], no cumple [DE2], ya que no podemos dividir, por ejemplo x 2 entre 2x y obtener como resto un polinomio nulo o de grado cero. Observemos que todo cuerpo K es un dominio euclídeo, y que la aplicación δ sólo puede ser esencialmente una. Aunque la división euclídea en este caso es bastante inútil. Un importante ejemplo de dominio euclídeo son los enteros de Gauss: Z[i] = {a + bi; a, b Z} C, donde definimos δ(a + bi) = a + bi 2 = ( a 2 + b 2 ) 2 = a 2 + b 2. No es evidente demostrar [DE2] en este caso. Proposición Sea (A, δ) un dominio euclídeo. 1. Si u A es una unidad, δ(u) es el mínimo valor posible. 2. Si a, b A\{0} son asociados, entonces δ(a) = δ(b). 3. Si a, b A\{0} son tales que δ(a) = δ(b) y además a b, entonces son asociados. 4. Un elemento u A\{0} es una unidad si y sólo si δ(u) = δ(1). Las propiedades más importantes de un dominio euclídeo, además de la posiblidad de usar la división euclídea, son las siguientes: En un dominio euclídeo todo ideal es principal, y todo dominio euclídeo es un DFU. Veámoslo. Definición Un dominio de integridad A se dice dominio de ideales principales (DIP) si todo ideal es principal (es decir, todo ideal puede ser generado por un sólo elemento). Ejemplos de DIP son Z, o cualquier cuerpo. Ya vimos que Z[x] no es un DIP. Demostraremos lo siguiente: DE DIP DFU Proposición Todo dominio euclídeo es un dominio de ideales principales. Demostración: Dado un ideal I {0} de un dominio euclídeo, basta tomar un elemento no nulo a I de valor mínimo, y demostrar que I = a usando la división euclídea. 11

12 Esto demuestra, por ejemplo, que Z[x] no es un dominio euclídeo, para ninguna aplicación δ que podamos imaginar, ya que si lo fuera también sería DIP, y esto último no es cierto. El recíproco del resultado anterior no es cierto: Existen ] dominios de ideales principales que no son dominios euclídeos. Un ejemplo es Z. Una demostración sencilla de este [ hecho, por R. A. Wilson (simplificando una demostración de Oscar A. Cámpoli), puede encontrarse en [ raw/mth5100/pidnoted.pdf] Un resultado muy conocido para números enteros, que se cumple para todo DIP (y por tanto para todo DE) es la identidad de Bezout. Lo vemos en el resultado siguiente, del que también se deduce inmediatamente que en un DIP (y por tanto en un DE) todo par de elementos admite un máximo común divisor. Proposición 2.56 (Identidad de Bezout). Sea A un DIP. Dados a, b A\{0}, existe d = mcd(a, b), y además existen α, β A tales que d = αa + βb. Demostración: Basta considerar el ideal a, b. Como A es un DIP, este ideal se puede generar por un sólo elemento, es decir, existe un elemento d A tal que a, b = d. Se tiene por tanto que d = αa + βb para ciertos α, β A. Sólo queda demostrar que d = mcd(a, b). Por un lado, como a, b d, tanto a como b son múltiplos de d. Por otra parte, si d es un divisor común de a y b, entonces a d y además b d, luego d = a, b d, lo que equivale a decir que d d. Veamos ahora que todo DIP es un DFU, mediante los siguientes resultados. Proposición Todo DIP verifica la condición de cadena ascendente. Demostración: Todo DIP es evidentemente noetheriano, puesto que sus ideales pueden ser generados por un sólo elemento. Como sabemos que un anillo es noetheriano si y sólo si cumple la CCA, el resultado es inmediato. Proposición Si A cumple la CCA, todo elemento a A que no sea nulo ni unidad, admite un divisor irreducible. Demostración: Si a es irreducible, ya hemos terminado. Si no, existirá un divisor a 1 a que no es ni unidad ni asociado a a. Si a 1 es irreducible, hemos terminado. Si no, existirá un divisor a 2 a 1 que no es ni unidad ni asociado a a 1. Continuamos el proceso, obteniendo una sucesión a, a 1, a 2, a 3,..., donde cada elemento es divisor del anterior, y no es ni unidad ni asociado a él. Si algún a n es irreducible, hemos encontrado un divisor irreducible de a. En caso contrario, obtendríamos una cadena de ideales a a 1 a 2 a 3 que no es estacionaria. Es decir, A no cumpliría la CCA, lo cual contradice la hipótesis. Por tanto, existe un divisor irreducible de a. Proposición Si A satisface la CCA, entonces satisface [DFU1]. Demostración: Tomemos un elemento a A que no sea ni nulo ni unidad. Debemos demostrar que a es producto finito de irreducibles. 12

13 Por el resultado anterior, sabemos que existe α 1 divisor irreducible de a, y tendremos a = α 1 β. Si β es unidad, hemos terminado, puesto que α 1 β sería irreducible. Si no, β debe tener algún divisor irreducible α 2, y tendremos a = α 1 α 2 β 2. Si β 2 es unidad, hemos terminado, puesto que (α 1 )(α 2 β) sería una descomposición de a como producto de irreducibles. Continuamos el proceso, tomando divisores irreducibles de cada β i. Si algún β i es unidad, habremos terminado. Pero si β i no es unidad para ningún i, entonces tendremos una cadena ascendente de ideales a β 1 β 2 β 3 que no es estacionaria, contradiciendo la CCA. Corolario Todo DIP satisface [DFU1]. Demostración: todo DIP satisface la CCA, y por tanto satisface [DFU1]. Proposición Todo DIP satisface [DFU3]. Demostración: Hemos visto que todo DIP satisface la identidad de Bezout. Veamos que podemos usar esta identidad para demostrar que todo elemento irreducible es primo. Sea A un DIP y sea p A un elemento irreducible. Para ver que es primo supongamos que p ab para ciertos a, b A. Supongamos que p no divide a a, y demostremos que p b. Como p no divide a a, y p es irreducible, se tiene mcd(a, p) = 1, luego existen α, β A tales que αa + βp = 1. Multiplicando por b, tenemos αab + βpb = b. Observemos que p divide a cada sumando de la izquierda de la igualdad, y por tanto divide a b, como queríamos demostrar. Corolario Todo DIP es un DFU. Hemos demostrado, por tanto, que DE DIP DFU Recordemos que uno de los ejemplos principales de dominio euclídeo es K[x], donde K es un cuerpo. Los resultados que acabamos de demostrar nos dicen que K[x] es un DIP, y que K[x] es un DFU. Gracias a esto, además, podemos finalmente demostrar un resultado que habíamos dejado para el final: Si A es un DFU, A[x] es un DFU. Con ello demostraremos, por ejemplo, que Z[x] es un DFU. Veamos cómo lograrlo. Definición Sea A un DFU. Dado un polinomio no nulo f(x) A[x], llamamos contenido de f(x), denotado c(f(x)), al máximo común divisor de sus coeficientes. Diremos que f(x) es primitivo si c(f(x)) = 1. Lema Sea A un DFU. Todo polinomio no nulo f(x) A[x] se descompone de forma única (salvo producto por unidades) de la forma f(x) = c(f(x))g(x), donde g(x) es primitivo. Lema 2.65 (Lema de Gauss). Sea A un DFU, y sean f(x), g(x) A[x] dos polinomios no nulos. Si f(x) y g(x) son primitivos, entonces f(x)g(x) es primitivo. 13

14 Corolario Sea A un DFU, y sean f(x), g(x) A[x] dos polinomios no nulos. Se tiene c(f(x)g(x)) = c(f(x))c(g(x)). Gracias al lema de Gauss, veremos que la irreducibilidad de polinomios en A[x] está relacionada con la irreducibilidad de polinomios en K[x], donde K es el cuerpo de fracciones de A. Lema Sea A un DFU y sea K su cuerpo de fracciones. Si f(x) K[x] es un polinomio no nulo, entonces f(x) = αg(x), donde α K y g(x) A[x] es un polinomio primitivo. Esta descomposición es única salvo producto por unidades de A. Gracias a estos resultados, ya podemos comprobar si un polinomio es irreducible en A[x]. Proposición Sea A un DFU y sea K su cuerpo de fracciones. Un polinomio no nulo f(x) A[x] es irreducible si y sólo si cumple una de las condiciones siguientes: 1. gr(f(x)) = 0 y f(x) es irreducible en A. 2. gr(f(x)) > 0, f(x) es primitivo y es irreducible en K[x]. Finalmente podemos demostrar: Teorema Si A es un DFU, entonces A[x] es un DFU. Corolario Si A es un DFU, entonces A[x 1,..., x n ] es un DFU. 14