ALGEBRA LINEAL Segundo Semestre. Parte II

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1 1 Universidad Nacional de La Plata Facultad de Ciencias Astronómicas y Geofísicas ALGEBRA LINEAL 2015 Segundo Semestre Parte II

2 2 1. Valores y Vectores propios. Diagonalización.Forma de Jordan Polinomios Repaso P K [x] son los polinomios en la variable x con coeficientes en K. Es un anillo conmutativo con unidad. (Tiene neutro con el producto pero no hay inverso multiplicativo). Es un espacio vectorial sobre K Divisibilidad en P K [x]: Sean p y d P K [x], d 0. Se dice que p es divisible por d si existe q P K [x] tal que p = q.d. Se anota también p/d. Recordar que c K, p P K [x], entonces (x c)/p sí y sólo sí p(c) = 0. Se dice que c es raíz de p(x). Recordar también que si p es un polinomio no nulo de grado n de K [x], entonces p tiene, a lo sumo n raíces distintas.

3 3 DEFINICIÓN: Si c es raíz de p P K [x], la multiplicidad de c como raíz de p es el mayor entero r tal que (x c) r divide a p, es decir c es raíz de multiplicidad r de p sí y sólo sí (x c) r /p pero (x c) r+1 no divide a p DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo. Un ideal M de P K [x] es un subespacio vectorial de P K [x] tal que f.g M, para todo f P K [x] y para todo g M. (Un polinomio cualquiera multiplicado por uno de M debe darme un polinomio de M).

4 4 EJEMPLO 1: K cuerpo, d P K [x], fijo. M = d.p K [x] = {d.f, f P K [x]} es un ideal, llamado ideal principal generado por d. Vamos a ver que todo ideal de polinomios es principal, generado por un sólo polinomio que es el MCD entre todos los polinomios que lo generan. EJEMPLO 2: Sean d 1, d 2, d n un número finito de polinomios de P K [x], M = d 1.P K [x] + d 2.P K [x] + d n.p K [x] es un ideal de P K [x]. A M se lo llama ideal generado por d 1, d 2, d n

5 5 Teorema: Sea K un cuerpo y sea M un ideal no nulo de P K [x]. Entonces existe un único polinomio d P K [x] tal que M es el ideal principal generado por d, es decir M = d.p K [x] Demostración Corolario: Si p 1, p 2, p n son polinomios sobre un cuerpo K, no todos nulos, existe un único polinomio d P K [x] tal que: 1. d está en el ideal generado por p 1, p 2, p n 2. d/p i, i = 1, n

6 6 Cualquier polinomio que satisface los dos puntos anteriores necesariamente satisface 3. d es divisible por todos los polinomios que dividen a cada uno de los p i. DEFINICIÓN: Si p 1, p 2, p n son polinomios sobre un cuerpo K, no todos nulos, el generador mónico del ideal d 1.P K [x] + d 2.P K [x] + d n.p K [x] se llama máximo común divisor de p 1, p 2, p n. Se dice que p 1, p 2, p n son primos entre sí si su MCD es 1 (en ese caso el ideal generado por ellos es todo P K [x] DEFINICIÓN: Sea K un cuerpo. Un polinomio f P K [x] es reducible sobre K si existen polinomios f, g P K [x], ambos de grado 1 tal que f = g.h. f es primo o irreducible sobre K cuando ésto no se cumple.

7 7 Teorema: Sean p, f y g polinomios sobre el cuerpo K. Supongamos que p es primo sobre K y que p/f.g. Entonces p/f o p/g. Teorema de la factorización prima: Sea K un cuerpo, un polinomio mónico no escalar de P K [x] puede factorizarse como producto de factores primos en P K [x] de manera única, salvo el orden f = p n 1 1.pn 2 2 pn k k DEFINICIÓN: El cuerpo K es algebraicamente cerrado si todo polinomio primo sobre K tiene exactamente grado 1. NOTA: R no es un cuerpo algebraicamente cerrado mientras que C sí lo es

8 Introducción a valores y vectores propios Cuando vimos en el punto 2.4 Cambio de base para aplicaciones lineales vimos que dada un aplicación lineal T era posible encontrar una base tal que la matriz sea diagonal. ( ) 6 2 T = Y surge la pregunta Esto siempre es posible? T = 6 1 ( )

9 9 Dada la matriz T = ( Supongamos existe una matriz C de cambio de base tal que ) C 1 T C = T = ( α 0 0 β ) Se llega a una contradicción. No todas las matrices son diagonalizables.

10 10 Veremos que siempre es posible encontrar la forma más sencilla en que una matriz dada puede transformarse mediante un cambio de base. Esta forma más sencilla se denomina matriz de Jordan de la matriz dada. (El nombre se debe al matemático Camille Jordan ). La forma de Jordan puede usarse para clasificar las aplicaciones lineales y también para hallar potencias de matrices. T 6 = ( ) 6 como T = CT C 1

11 Subespacios invariantes. Valores y vectores propios de una aplicación lineal Dado un espacio vectorial V y una aplicación lineal T : V V, es decir T L(V ), un subespacio vectorial W de V se llama invariante respecto a L si T (W ) W, es decir la imagen T x de todo vector x W es un elemento de W. EJEMPLO 1: Sea T L(R 2 ) una aplicación lineal en R 2 cuya matriz respecto de la base { e 1, e 2 } de R 2 está dada por ( ) 2 0 T = 0 1 Entonces W 1 = {x 1 e 1, x 1 R} y W 2 = {x 2 e 2, x 2 R} son invariantes respecto de T.

12 12 En efecto y T (x 1 e 1 ) = x 1 T ( e 1 ) = x 1 (2 e 1 ) = (2x 1 ) e 1 W 1 T (x 2 e 2 ) = x 2 T ( e 2 ) = x 2 e 2 W 2 EJEMPLO 2: Sea R x una rotación de ángulo α 0 en R 3 con respecto al eje Oz. Geométricamente se observa que el plano xoy y la recta Oz son invariantes con respecto a esta aplicación. Para comprobar algebraicamente que el plano xoy es invariante obsevar que la matriz de R x con respecto a la base canónica de R 3 es R = cosα senα 0 senα cosα

13 13 EJEMPLO 3: Sea P la proyección ortogonal de R 3 sobre el plano xoy; todo plano π que contiene al eje Oz es invariante. En efecto, como la matriz de P es P = con respecto a la base canónica, y los elementos de π son de la forma v = x 1 e 1 +λx 1 e 2 +x 3 e 3, λ R, tenemos que P ( v) es de nuevo un elemento del plano π. Otros subespacios invariantes de esta proyección ortogonal son el plano xoy, el eje Oz y cualquier recta del plano xoy que pase por el origen de coordenadas. NOTA: Para cualquier aplicación lineal T L(V ) el subespacio E = { 0}, formado sólo por el elemento nulo, es invariante ya que T ( 0) = 0 y el propio espacio vectorial V es también invariante.

14 14 PROPOSICIÓN 1: La intersección y la suma de subespacios invariantes respecto de una aplicación lineal T L(V ) son subespacios invariantes respecto de T. DEFINICIÓN: Valores y Vectores propios Un vector x 0 de un espacio vectorial V sobre K se llama autovector o vector propio de una aplicación lineal T L(V ) si existe un escalar λ K tal que T ( x) = λ x; este número λ se denomina autovalor o valor propio de la aplicación T correspondiente al vector x. NOTA: Si x es un vector propio de T con autovalor λ, todo elemento no nulo del subespacio unidimensional generado por x es un autovector de T con el mismo autovalor λ.

15 15 Supongamos que una aplicación lineal T en un espacio V de dimensión n tiene n vectores propios linealmente independientes, e 1, e 2,, e n con valores propios λ 1, λ 2,, λ n respectivamente, tomando { e 1, e 2,, e n } como una base de V se tiene que T ( e 1 ) = λ 1 e 1, T ( e 2 ) = λ 2 e 2,, T ( e n ) = λ n e n y, por lo tanto, la matriz de T con respecto a esta base es la matriz diagonal T = λ λ λ n

16 16 Recíprocamente, toda aplicación lineal que tiene una matriz diagonal en una cierta base, tiene a los elementos de esta base como vectores propios. Si decimos que una aplicación lineal T L(V ) es diagonalizable si existe una base de V en la cual la matriz de T es diagonal, hemos probado el siguiente resultado: PROPOSICIÓN 3: Una aplicación lineal T L(V ) es diagonalizable sí y sólo sí existe una base de V formada por vectores propios DEFINICIÓN: Una matriz T M n n (K) se dice diagonalizable en K si la aplicación lineal T : K n K n que la tiene como matriz es diagonalizable Veremos a continuación cómo se calculan autovalores y autovectores de una aplicación lineal.

17 17 Supongamos que x es un vector propio de una aplicación lineal T en un espacio vectorial V y que λ es su autovalor, es decir T ( x) = λ x. Sea { e 1, e 2,, e n } una base de V y x = n j=1 x j e j. Si (a ij es la matriz de T con respecto a la base tenemos que n j=1 λx j e j = λ n j=1 n x j e j = λ x = T ( x) = T ( x j e j ) j=1

18 18 = n j=1 x j T ( e j ) = n j=1 x j ( n i=1 a ij e i ) = n n ( i=1 j=1 a ij x j ) e i ) Como { e 1, e 2,, e n } es una base de V se tiene (a 11 λ).x 1 + a 12.x a 1n.x n = 0 a 21.x 1 + (a 22 λ).x a 2n.x n = 0 a n1.x 1 + a n2.x (a nn λ).x n = 0 (1)

19 19 Como es un sistema homogéneo, para que exista una solución no nula debe ocurrir que Det(T λi) = 0, donde I denota la matriz identidad. Esto es una ecuación de grado n en λ y sus soluciones en K (R o R) son los autovalores de T. Si V es un espacio vectorial complejo, por el teorema fundamental del álgebra la ecuación anterior tiene n soluciones complejas contando cada una con su multiplicidad. Si V es un epacio vectorial real, no podemos asegurar que la ecuación anterior tenga n soluciones reales. EJEMPLO 1: Determinar los valores y vectores propios de la aplicación lineal de T : V V, V = R 2, que tiene como matriz, T = ( )

20 20 Al polinomio Det(T λi) se lo denomina polinomio característico de la aplicación T o de la matriz T. Este polinomio no depende de la base elegida. Para demostrar esto, sea P B (λ) = Det(T λi) el polinomio característico de la aplicación T en la base B = { e 1, e 2,, e n } como una base de V y sea P{ B (λ) = Det(T λi) el polinomio característico de T en la base B = e 1, e 2,, e m} ; si C es la matriz del cambio de base, sabemos que T = CT C 1, y se tiene (dem) P B (λ) = P B (λ) Esto prueba que el polinomio característico no depende de la base elegida en V para representar T.

21 21 EJEMPLO 2: Determinar los valores y vectores propios de la aplicación lineal que corresponde a la rotación de ángulo α que tiene como matriz, ( ) cosα senα R α = senα cosα con respecto a la base canónica de R 2 EJEMPLO 3: Idem para una rotación de ángulo α en R 3 con respecto al eje Oz, que tiene como matriz, R = cosα senα 0 senα cosα

22 22 La proposición 3 nos da una condición necesaria y suficiente para saber cuándo una aplicación lineal es diagonalizable, a saber, que exista una base del espacio vectorial V formada por vectores propios. En algunos casos puede resultar laborioso encontrar esta base. Una condición que es suficiente para poder asegurar la diagonalizaciónde una matriz está contenida en la proposición siguiente: PROPOSICIÓN 4: Los vectores propios de una aplicación T correspondientes a valores propios distintos dos a dos, son linealmente independientes Demostración NOTA: La condición Det(T λi) = 0 es equivalente a que T λi no es inyectivo, o sea N(T λi) 0

23 23 EJEMPLO 4: Estudiar si las matrices son diagonalizables. EJEMPLO 5: Sea A = 0 α 0 α A = ( ) 0 1 T = 1 0 Analizar para qué valores de α R la matriz es diagonalizable.

24 24 Sea T L(V ). Al subespacio de vectores propios correspondientes a λ se lo llama espacio propio asociado a λ y se lo anota E(λ) = N(T λi) E(λ) contiene todos los vectores propios correspondientes a λ junto con el vector 0 De los resultados ya vistos se tiene que E(λ) es un subespacio vectorial de V y dim(e(λ)) = dim(v ) dim(im(t λi)) = dim(v ) r(t λi) Teorema: Sea T L(V ), V de dim <. Sean λ 1, λ 2,, λ n los autovalores distintos de T. Son equivalentes: 1. T es diagonalizable 2. Si el polinomio característico de T es (x λ 1 ) α 1(x λ 2 ) α 2 (x λ n ) α n entonces α i = dim(e(λ i ))