Segundo Parcial de Geometría y Álgebra Lineal 2

Transcripción

1 Segundo Parcial de Geometría y Álgebra Lineal Miércoles 3 de Julio de 03 Apellido y Nombre Cédula de Identidad No Parcial La prueba dura 4 horas La prueba consta de 5 ejercicios multiple opción y ejercicio de desarrollo Cada ejercicio múltiple opción vale 6 puntos si se responde bien, - si se responde mal y 0 si no se responde El ejercicio de desarrollo vale 30 puntos Ejercicios Múltiple Opción 30 puntos RESPUESTAS DE EJERCICIOS MÚLTIPLE OPCIÓN: D D B E A Se considera R 3 con el producto interno usual y el operador lineal T : R 3 R 3 dado por T x, y, z = x y + z, x y z, x + y A T es una simetría respecto del plano π = {x, y, z R 3 : x + y = 0} B T es una simetría respecto a la recta r = {λ, λ, 0 : λ R} C T es una rotación de ángulo π/ al rededor de la recta r = {λ, λ, 0 : λ R} D T es una rotación de ángulo π/ al rededor de la recta r = {λ, λ, 0 : λ R} seguida de una simetría respecto al plano π = {x, y, z R 3 : x + y = 0} E T no es una isometría

2 Sea V un R espacio vectorial con producto interno y B = {v, v, v 3 } una base de V, formada por vectores de norma, y tal que v, v = v, v 3 = 0 y v, v 3 = Para α, β, γ R, consideramos el operador T en V tal que BT B = A T es autoadjunta para todo α, β, γ R B Si α = 0, existen β, γ R tal que T es ortogonal α β γ C Si α =, entonces T es ortogonal si y sólo si β = γ = D T es autoadjunta si y sólo si β = γ E Dado α R, existen β, γ R, γ β tal que T es autoadjunta 3 Consideramos en R 4, el subespacio S = {x, y, z, t : x y = 0; z t = 0} Entonces, el min{x + y 3 + z + t + 3 : x, y, z, t S} es: A 0 B 0 C 0 D 4 E 9 4 Sean V y W dos espacios vectoriales reales, con producto interno y de diemensión finita Sea T : V W una transformación lineal que preserva el producto interno Consideramos las siguientes afrimaciones: I T = T II Si V = W entonces T es diagonalizable y los valores propios son y - III T es inyectiva A Las tres afirmaciones son correctas B Sólo las afirmaciones I y III son correctas C Sólo la afirmación II es correcta D Sólo las afirmaciones II y III son correctas E Sólo la afirmación III es correcta

3 5 Se considera C 3 con el producto interno usual y M C el espacio vectorial de las matrices complejas de tamaño con el producto interno definido por A, B = trazab t A Sea T : C 3 M la transformación lineal definida por: 3x + iy y iz T x, y, z = iy + z x Sea A = a c b d A T A = 3a + d, ia + b ic, ib + c B T A = 3a + d, ia + b + ic, ib + c C T 3a ib c ib A = b + ic a D T 3a + d b + ic A = ib + c 3a + d E T a, b, c = 3a ib, b + ic, ib + c 3

4 Universidad de la República Geometría y Álgebra Lineal Facultad de Ingeniería - IMERL Primer Semestre, 03 Segundo Parcial Miércoles 3 de Julio, 03 Nro de Parcial Cédula Apellido y Nombre PARA USO DOCENTE a 3 b a 5 4b 5 4c 5 Total Ejercicio de Desarrollo 30 puntos Sea V un espacio vectorial sobre un cuerpo K = R ó C, con producto interno, y T : V V un operador Si T es autoadjunto: a Demostrar que los valores propios de T son reales Si λ es valor propio de T y v es un vector propio asociadao a λ, entonces T v, v = λv, v = λ v, v Pero también, T v, v = v, T v = v, T v = v, λv = λ v, v Así que λ v, v = λ v, v y como v es no nulo, v, v 0 y por lo tanto λ = λ y por lo tanto λ R b Demostrar que si λ y µ son valores propios distintos de T, entonces S λ S µ Si v es un vector propio con valor propio λ y w es un vector propio con valor propio µ, entonces T v, w = λv, w = λ v, w Pero también, T v, w = v, T w = v, T w = v, µw = µ v, w = µ v, w la última igualdad porque los valores propios son reales Entonces λ v, w = µ v, w así que λ µ v, w = 0 y como los valores son propios, λ µ 0 y por lo tanto v, w = 0 Probar que si V es de dimensión finita y existe B, una base ortonormal de V y λ,, λ n R tales que λ λ 0 BT B =, 0 0 λ n 4

5 entonces T es autoadjunto Como la base B es ortonornormal, tenemos que B T B = B T B t = B T t B = BT B las últimas dos igualdades son porque B T B es real y simétrica Así que B T B = B T B y por lo tanto, T = T 3 Si T es autoautoadjunto, preserva el producto interno? Probar o encontrar un contraejemplo No, por ejemplo en R con el producto interno usual, T x, y = x, y es autoadjunto pues la matriz asociada en la canónica es 0 0 pero no preserva el producto interno ya que T, 0 =, 0 = 4 Consideramos R 3 con el producto interno usual, B = {, 0, 0,,, 0, 0,, } y la matriz 4 M = 3 a Sea T : R 3 R 3 tal que B T B = M T es autoadjunto? Hallemos la matriz asociada en la base canónica: tenemos que T, 0, 0 = 4, 0, 0,, 0+ 0,, = 3, 0, T 0,, 0 = T,, 0 T, 0, 0 =, 0, 0+,, 0+0,, 3, 0, = 0,, 0 y T 0, 0, = T 0,, T 0,, 0 =, 0, 0,, 0+30,, 0,, 0 =, 0, 3 Así que la matriz asociada a T en la canónica que es una bon con el pi usual es CT C = A = que es simétrica, y por lo tanto T es autoadjunto b Hallar, si existe una base ortonormal de R 3 formada por vectores propios de T Como T es autoadjunto, por el teo espectrar, existe una bon formada por vectores propios de T, y por la parte b para hallarla basta con unir bons de los subespacios propios El polinomio característico de T es λ3 λ así que los valores propios de T son, con MA = y 4 con MA4 = Tenemos que S = {x, y, z : x+z = 0}; así que una bon de S es {0,, 0,, 0, } El otro subespacio propio es S 4 = {x, y, z : x+z = 0, y = 0}, así que una bon de S 4 es {, 0, } Por lo tanto una base ortonormal formada por { vectores propios de T es 0,, 0,, 0,,, 0, } c Existe una matriz ortogonal P y una diagonal D tal que M = P DP t? Justificar la respuesta No, no existen, ya que si existerian, entonces existiría una bon de R 3 formada por vectores propios de M y por lo tanto M sería simétrica y no lo es Otra forma de ver ésto, es que si existieran, entonces M t = P DP t t = P t t D t P t = P DP t = M y esto no es cierto ; 5