Verdadero o falso (Total: 12 puntos)

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1 Universidad de la República Geometría y Álgebra Lineal 1 Facultad de Ingeniería - IMERL Curso 2017 Solución Primer Parcial 29 de Abril 2017 N o de parcial Cédula Apellido y nombre Salón Verdadero o falso (Total: 12 puntos) Respuesta correcta: 1,5 puntos Respuesta incorrecta: -1,5 puntos No responde: 0 punto Respuestas F V F F F V F V 1. Si A M 5 7 entonces existe b tal que el sistema AX = b es compatible determinado. 2. Si A M n n y el sistema AX = 0 es compatible determinado entonces A es invertible y A 1 b es solución del sistema AX = b cualquiera sea b. 3. Si r y s son dos rectas de R 3 tales que r s = entonces r y s son paralelas. 4. Si u y v son vectores de R 3 entonces u v = v u. 5. Si {v 1,..., v n } es linealmente dependiente entonces v n es combinación lineal de v 1,..., v n Si A 2 = I n entonces A es invertible. 7. Si det(a) = 0 entonces A tiene una fila o una columna formada por ceros. 8. Si A M n n entonces AA t es simétrica y det(aa t ) 0. Múltiple opción (Total: 28 puntos) En cada pregunta hay una sola opción correcta. Respuesta correcta: 4 puntos Respuesta incorrecta: 1 punto No responde: 0 punto Respuestas B E B C D C C Ejercicio 1. Se considera el sistema 2x + y + z = 1 x + ay + z = b

2 (A) Es compatible determinado para todo a y b reales. (B) Si a = 1 y b 2/5 es incompatible. (C) Si a = 1 y b = 2/5 el sistema es compatible indeterminado. (D) Si a = 1 y b 5/2 el sistema es incompatible. (E) Si a = 1 y b = 2/5 el sistema es compatible determinado. Ejercicio 2. Sean A, B y C tres matrices 3 3. Se consideran las siguientes afirmaciones: (I) Si AB = AC = B = C (II) Si B 2 = O = B = O (III) det ( det(a)a ) = ( det(a) ) 2 (IV) Si A y B son invertibles entonces A + B es invertible (A) Solamente (I), (II) y (III) son verdaderas. (B) Solamente (II) y (III) son verdaderas. (C) Solamente (III) es verdadera. (D) Solamente (I) y (III) son verdaderas. (E) Todas son falsas. Ejercicio 3. Sean A = a b c d e f g h w B = 2b 6(e + h) 2h 2c 6(f + w) 2w tales que det(a) = 5. Se consideran las siguientes afirmaciones: (I) det(c 1 B) = 15 (II) det( 1 2B) = 45 (III) det(cb) = 360 C = (A) Las tres afirmaciones son verdaderas (B) Solamente (I) y (II) son verdaderas (C) Solamente (I) y (III) son verdaderas (D) Solamente (II) y (III) son verdaderas (E) Solamente (I) es verdadera Ejercicio 4. Se consideran las siguientes afirmaciones: (I) Si A es invertible entonces A es el producto de matrices elementales (II) El determinante de cualquier matriz elemental vale 1 o 1. (III) Toda matriz elemental es invertible. Entonces:

3 (A) Sólo la afirmación (I) es verdadera. (B) Solamente las afirmaciones (I) y (II) son verdaderas. (C) Solamente las afirmaciones (I) y (III) son verdaderas. (D) Solamente las afirmaciones (II) y (III) son verdaderas. (E) Todas son verdaderas Ejercicio 5. Sabiendo que el conjunto A = { (1, 1, 2), (2, 1, 2), (1, 2, a) } es linealmente dependiente, entonces el conjunto B = { (1, 1, 1), (2, 0, 1), (2, a, b) } es: (A) linealmente independiente sólo si b = 3. (B) siempre linealmente dependiente. (C) linealmente independiente sólo si b = 6. (D) linealmente dependiente sólo si b = 3. (E) linealmente dependiente sólo si b = 6. Ejercicio 6. Se consideran el plano π de ecuación x + 2y z = 1 y la recta r que pasa por los puntos P = (2, 1, 1) y Q = (3, 2, a). Entonces: (A) Hay infinitos valores de a que hacen que π y r sean paralelos. (B) No existe ningún a de manera que π y r sean paralelos (D) π y r son paralelos solamente si a = 1. (E) π y r son paralelos solamente si a = 0. (C) π y r son paralelos solamente si a = 4. Ejercicio 7. Sean u y v dos vectores del espacio. Si u = 2, el ángulo entre u y v es π 3, y u + v, 2v = 24. Entonces: (A) v no puede determinarse con los datos del problema. (B) v = 9. (C) v = 3. (D) v = 12. (E) v = 12. Solución Ejercicio 1. Si en el sistema hacemos las operaciones F 2 + 2F 1 y lo colocamos en la fila dos, F 3 F 1 y lo colocamos en la fila tres obtenemos 5y + 5z = 3 (a 2)y z = b 1 Si ahora hacemos la operación F 3 a 2 5 F 2 y colocamos el resultado en la fila tres obtenemos

4 5y + 5z = 3 (1 a)z = b 1 3( a 2 5 ) De aquí concluímos que si a = 1 el sistema es compatible si y solo si b 1 3( ) = 0 b = 2 5 siendo además compatible indeterminado. Si a 1 el sistema es compatible determinado. La opción correcta es la B. Ejercicio 2. La afirmación uno es falsa, si A es la matriz nula la igualdad AB = AC se cumple siempre incluso si B y C son diferentes. La afirmación dos también es falsa, como lo muestra el contraejemplo B = 0 0 1, B 2 = La afirmación tres también es falsa, si α = det(a) entonces det(det(a)a) = det(αa) = α 3 det(a) = det(a) 4. Finalmente la cuarta afirmación también es falsa, pues I y I son invertibles pero su suma O no lo es. La opción correcta es la E Ejercicio 3. Hallemos primero el determinante de B, para esto usamos las propiedades del determinante, y que el determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta Por otro lado, C = B = B = b 6(e + h) 2h 2c 6(f + w) 2w b 3(e + h) h = 4 c 3(f + w) w b 3(e + h) h = 24 a 3(d + g) g c 3(f + w) w b e + h h = 72 a d + g g c f + w w b e h = 72 a d g c f w a d g = 72 b e h c f w a b c = 72 d e f = 360 g h w = 32 8 = 24. Por lo tanto, C 1 B = C 1 B = = 15, = 45 y CB = C B = 24 ( 360) = La opción correcta es la B.

5 Ejercicio 4. Si A es invertible, es posible escalerizarla hasta llevarla a la matriz identidad. Esto corresponde a multiplicarla a izquierda por matrices elementales obteniendo entonces E k E k 1... E 1 A = I. Si ahora utilizamos que toda matriz elemental es invertible (la inversa de una matriz elemental es la matriz elemental obtenida al aplicar la transformación elemental inversa a la identidad) obtenemos que A = E E 1 k 1 E 1 k es producto de matrices elementales. ( ) 2 0 Por otro lado, la matriz elemental tiene determinante 2. Por lo tanto la opción correcta es la C. 0 1 Ejercicio 5. El conjunto A = { (1, 1, 2), (2, 1, 2), (1, 2, a) } es linealmente dependiente si y solo si el sistema lineal α(1, 1, 2) + β(2, 1, 2) + γ(1, 2, a) = (0, 0, 0) tiene solución no trivial. Esto ocurre si y solo si a = 4, donde α = 3, β = 1 y γ = 1 es solución. El conjunto B = { (1, 1, 1), (2, 0, 1), (2, 4, b) } es linealmente dependiente si y solo si el sistema lineal λ 1 (1, 1, 1) + λ 2 (2, 0, 1) + λ 3 (2, 4, b) = (0, 0, 0) tiene solución no trivial. Esto ocurre si y solo si b = 3, donde λ 1 = 4, λ 2 = 1 y λ 3 = 1 es solución. La opción correcta es la D. Ejercicio 6. La recta que pasa por P y Q es paralela al plano π si y solo si su vector director es perpendicular al vector normal al plano. Un vector director de la recta es Q P = (1, 1, a 1), un vector normal al plano es el (1, 2, 1), estos son perpendiculares si y solo si (1, 1, a 1), (1, 2, 1) = (a 1) = 0 a = 4 La opción correcta es la C. Otra forma de llegar a la solución es verificar cuando el vector director de la recta es combinación lineal de los vectores directores del plano. Ejercicio 7. Por un lado tenemos que ( π ) cos = 1 u, v = u, v = v v Por otro lado tenemos que 24 = u + v, 2v = 2 u + v, v = 2( u, v + v, v ) = 2( v + v 2 ). Se tiene entonces que 12 = v + v 2 que como ecuación de segundo grado en v tiene soluciones 3 y 4, pero como la norma de un vector no puede ser negativa, concluímos que v = 3. La respuesta correcta es la C.