Tema 3 (Resultados).- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 3 (Resultados)- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales Ejercicio De las matrices A m n y B n p se sabe que ninguna de las columnas de B es nula pero que, sin embargo, la matriz AB tiene una columna nula Qu puede asegurarse de las columnas de A? Si una columna de AB es nula, la matriz A por la correspondiente columna de B es nula, y esto es equivalente a que una combinación lineal de las columnas de A (la combinación lineal cuyos coeficientes son los elementos de la columna de B considerada) Puesto que ninguna columna de B es nula, en la combinación lineal considerada aparece algún coeficiente no nulo y, por tanto, alguna columna de A se puede expresar como combinación lineal de las restantes De forma equivalente, el sistema homogneo Ax = tiene alguna solución no trivial (es un sistema compatible indetermnado) Ejercicio Suponiendo que las dimensiones de las matrices son coherentes (permiten hacer las operaciones indicadas) despeja la matriz X de las siguientes ecuaciones matriciales dando las condiciones bajo las cuales es posible: (a) AX = BX, (b) AXB + C = D, (c) X = X (a) Si A B es cuadrada y (A B), (b) Si A y B son cuadradas y A y B, AX = BX (A B)X = = X = AXB + C = D AXB = D C X = A (D C)B (c) Si X es cuadrada y ( X ó (X I) ), X = X X(X I) = X = ó X = I Ejercicio 3 Resolver los siguientes sistemas: x + x + x 3 = 3 x +x +x 3 = 5 x +x + x 3 = () x +3x + x 3 = 6 x +5x +x 3 = 8, () x +4x x 3 = 7 x x =, (3) x x +x 3 = x +x +3x 3 = Reducimos los sistemas trabajando sobre la matriz ampliada de cada sistema: 9

2 R-3 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) () operaciones fila x = x = x 3 = () operaciones fila x = x = x 3 = (3) 3 operaciones fila x = x = x 3 = operaciones fila Ejercicio 4 Resolver los siguientes sistemas y escribir la solución en forma vectorial paramtrica: x +x +x 3 +x 4 = operaciones x () +x 3x 3 3x 4 = 3 3 x +x +4x 3 +4x 4 = fila 4 4 x +x +5x 3 +5x 4 = 5 5 () x x x 3 x 4 = α + β, α, β R x +x + x 3 = 3 x +4x +3x 3 +x 4 = 9 x x + x 3 +x 4 = x x x 3 x = + λ operaciones fila, λ R 3 3 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-3 Ejercicio 5 Discutir los siguientes sistemas según los valores de los parámetros: ax + y + z + u = a ax + y + z = a x + ay + z + u = a x + ay z = (), () x + y + az + u = a 3x + y + bz = x + y + z + au = a x y z = () a a a a a a a operaciones fila Ahora tenemos que distinguir si a ó a = Si a podemos seguir reduciendo y obtenemos a F, a F a a operaciones 3 fila a F 4 + a a a a a a a a a a a a a a a 3 + a a Si a =, ya habríamos hemos llegado a una forma escalonada Por tanto: Si a y a 3 a = 3 a = el sistema es compatible determinado incompatible compatible indeterminado () a a a 3 b operaciones fila a + 4 b a + a operaciones fila a + 4 b a Matemáticas I -

4 R-3 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) Si a operaciones fila sistema incompatible b Si a = operaciones fila 4 b + 3 sistema compatible indeterminado b Ejercicio 6 Sean A =, b = α β α y x = (a) Calcular los valores de α y β para los que el sistema Ax = b es compatible (b) Con α = y β =, hallar la solución (o soluciones) de Ax = b que verifican x = y x x 3 + x 4 = (a) Reducimos el sistema a forma escalonada α β α F 3 F F 3 +F x x x 3 x 4 α β α α β Por tanto, el sistema es compatible β = (independientemente de α) (b) Para α = y β = el sistema es compatible según lo obtenido en (a) Calculemos las soluciones del sistema dado y, de entre ellas, obtengamos las que además verifican las dos condiciones adicionales: x = y x x 3 + x 4 = = x x x 3 x 4 = + x 3 x 4 x 3 x 3 x 4 = Con las condiciones/ecuaciones adicionales tenemos x = λ = x x 3 + x 4 = + λ µ λ + µ = + λ + µ λ = µ = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-33 y, por tanto, la única solución es Ejercicio 7 Consideremos un sistema de ecuaciones lineales Ax = b = y supongamos que tenemos dos soluciones u = cuando sea posible: 3 y v = (a) Otras dos soluciones del sistema de ecuaciones dado Ax = b (b) Dos soluciones del sistema homogneo asociado Ax = (c) Una solución del sistema A x = intercambiar sus columnas y (d) Una solución del sistema A x = 4 4 multiplicar su primera columna por 3 (e) Una solución del sistema Ax = 5b (f) Una solución del sistema homogneo à 4 del sistema dado Calcula, siendo A la matriz que se obtiene de A al siendo A la matriz que se obtiene de A al x x x 3 t = obtiene al añadirle a la matriz A el vector columna b = columna siendo 4 à la matriz que se como cuarto vector (a) Puesto que Au = b y Av = b, si tomamos dos escalares α y β, obtenemos A(αu + βv) = αb + βb = (α + β)b Por tanto, basta considerar α y β que verifiquen α + β = Matemáticas I -

6 R-34 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) (b) A(u v) = Au Av = b b = y A(αu αv) = para cualquier escalar α x (c) Al multiplicar una matriz A por un vector x se obtiene una combinación lineal de las columnas de A En dicha combinación lineal los coeficientes respectivos son x, x y x 3 Si hacemos un intercambio en las columnas de A basta hacer el correspondientes intercambio entre los coeficientes para obtener el mismo resultado Por tanto A = A = b y A = A = b (d) Siguiendo un planteamiento similar al de (c) tenemos que A = A = b 3 (e) A(5u) = 5Au = 5b (f) Siguiendo un planteamiento similar al de los apartados (c) y (d) la igualdad vectorial que se obtiene de Au = b se puede reescribir como à 3 = A b = 3 Por otra parte si tenemos una solución (x, x, x 3 ) T del sistema homogneo Ax =, tambin tenemos x A b x x 3 = x 3 Ejercicio 8 Encontrar todas las matrices cuadradas A de orden tales que: æ æ a a A = A, con a, b R, a b b b æ x x Siendo A la matriz A = la ecuación matricial dada se reduce al sistema de x 3 x 4 ecuaciones lineales æ ax = bx puesto que x = ax 3 = bx 3 a b x 3 = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-35 Por tanto, las matrices A que conmutan con las matrices matrices diagonales A = æ x, x x, x 4 R 4 æ a b, a b, son todas las Observación: Cualquier matriz A,, conmuta con cualquier matriz que sea múltiplo de la matriz identidad, æ a a Ejercicio 9 Consideremos el siguiente sistema: 3 4 x 3 a x = x b 4 b 3 3 b 4 Determinar las condiciones a satisfacer por a y b para que dicho sistema sea: (a) incompatible, (b) compatible determinado, (c) compatible indeterminado 3 operaciones fila 3 a a a b 4 b b 4 4 b Por tanto: Si a y b 4 a = y b 4 ó a y b = 4 a = y b = 4 el sistema es incompatible compatible determinado compatible indeterminado Ejercicio Para qu valores de a y b se verifica que el vector (, a, b, ) pertenece a Gen{(,, 3, 4), (,, 3, )}? a 3 3 b 4 operaciones fila a b 3 a es un sistema compatible a = 3, b = Matemáticas I -

8 R-36 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) Ejercicio () Para qu vectores (b, b, b 3, b 4 ) R 4 es compatible el sistema x + x +x 4 = b x +3x 3 +x 4 = b? x + x 3 = b 3 x + x +4x 3 = b 4 () Describir mediante una ecuación los vectores (b, b, b 3, b 4 ) R 4 que pertenecen a Gen{(,,, ), (,,, ), (, 3,,4), (,,, )} () Reduciendo el sistema tenemos b operaciones 3 b fila b 3 4 b 4 b 3 b b 4 b 3 + b b b b b 3 + b 4 y, por tanto, el sistema es compatible las coordenadas del vector b verifican que b b b 3 + b 4 = () Los vectores b R 4 que pertenecen al subespacio generado por los vectores dados son aquellos para los que el sistema de ecuaciones que resulta de la ecuación vectorial b x + x + x x 4 = b b 3 4 b 4 es un sistema compatible (con incǵnitas x, x, x 3 y x 4 ) Por tanto, este apartado tiene la misma respuesta que el anterior Ejercicio Calcula vectores tales que el subespacio generado por ellos coincida con el conjunto solución del sistema x +x 3 x 4 +x 5 = x +x +x 4 = x +x +x 3 +x 5 = Se trata de resolver el sistema dado Reduciendo tenemos operaciones fila 4 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-37 y, por tanto, las soluciones del sistema dado son x x x 3 = λ x + µ 4 x 5, λ, µ R Puesto que el conjunto-solución del sistema dado es el formado por todas las combinaciones lineales consideradas en la igualdad anterior, dicho conjunto solución es Gen, = Gen, Ejercicio 3 Calcula la inversa de la matriz A = Aplicamos el mtodo de Gauss-Jordan Restando en la matriz [A I] cada fila menos dos veces la anterior, de forma consecutiva, de arriba abajo tenemos [A I] F F F 3 F F n F n ( ) ( ) ( ) 3 ( ) ( ) n ( ) n ( ) n 3 Matemáticas I -

10 R-38 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) Por tanto, la matriz inversa de A es la matriz B = A = [b ij ] dada por b ij = si i < j, ( ) i j si i j, A = 4 ( ) n 4 Ejercicio 4 Sean æ D D = diag(,,, n), b = (,,, n) T y A = b T b α Determina el valor del escalar α para el que la matriz A no es invertible Sólo tenemos que estudiar el número de pivotes que se obtienen al reducir A a forma escalonada No obstante, aplicamos el mtodo de Gauss-Jordan, sin llegar a obtener la inversa en los casos en los que exista restando a la última fila n n la suma de todas las demás n α F n+ F F n+ F F n+ F n n n α n(n+) n(n + ) puesto que n = Por tanto, A es invertible para α n(n+) y es no invertible para α = n(n+), es decir, A α n(n + ) Para obtener la inversa de A, para α n(n+), bastaría con seguir reduciendo por filas hasta obtener la matriz identidad en la parte de la izquierda: (i) pivotar sobre el elemento (n +, n + ) para anular los restantes elementos de su columna, (ii) dividir cada fila por su pivote Ejercicio 5 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-39 () Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales cuyo conjunto-solución sea el conjunto de los vectores de la forma x + β x x 3 = α β, α, β R + α + β x 4 + 3α + β () Determina, si existen, dos sistemas de ecuaciones lineales cuyo conjunto-solución sea el conjunto de los vectores de la forma x x x 3 = α + β, α, β R x 4 3 (3) Considera los conjuntos S y S de vectores de R definidos respectivamente por x = α x = lnβ S x = + α, (α R); S, (β > ) x = + lnβ Es S el conjunto-solución de algún sistema de ecuaciones lineales? Por qu? Lo es S? Por qu? () Por ejemplo, 4x + x x 3 = 5 4x + 3x x 4 = 3 y 4x + x x 3 = 5 x + x 3 x 4 = () Por ejemplo, los sistemas homogneos asociados a los sistemas anteriores, 4x + x x 3 = 4x + x y x 3 = 4x + 3x x 4 = x + x 3 x 4 = (3) S : Los puntos de S son los puntos de una parábola Eliminando el parámetro es fácil obtener su ecuación implícita x + = (x 4 ) Obviamente S no puede ser el conjunto solución de una ecuación lineal o de un sistema de ecuaciones lineales Es fácil comprobar que si tenemos dos puntos distintos (x, x ) y (x, x ) de S entonces en la recta que une dichos puntos hay puntos que no están en S S : Eliminando el parámetro tenemos x = x + Por tanto todos los puntos de S pertenecen a la recta definida por la ecuación anterior Y viceversa, puesto que ln(β) recorre todo R cuando β recorre el intervalo (, + ), cualquier punto de la recta es un punto de S Por tanto, S es el conjunto solución de la ecuación lineal x + x = 3 Matemáticas I -

12 R-4 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) Ejercicio 6 Sea A una matriz n n y supongamos que det (A) = 3, calcula el determinante de las siguientes matrices: (a) A T, A, A, (A), A 3, A 4, AA T (b) La matriz que se obtiene de A al multiplicarla por la izquierda por la matriz diagonal cuyos elementos diagonales son (,,, n) (a) det (A T ) = det (A) det (A) = n det (A) det (A ) = n det (A) det ((A) ) = n det (A) det (A 3 ) = n det (A) 3 det (A 4 ) = det (A) 4 (b) (n!)det (A) det (AA T ) = det (A) Ejercicio 7 Sea A una matriz 6 6 Calcula el determinante de la matriz B, 7 7, que se obtiene al intercalar entre las filas 4 y 5 de A la fila (,,,,,, ) y entre las columnas y 3 de A la columna ( 3,,,,, 5, 3), es decir, A se obtiene de B suprimiendo la fila y la columna indicada (en las posiciones correspondientes) det (B) = ( ) 3+5 det (A) Ejercicio 8 () Sea M la matriz n n cuyas entradas son los números,,, n ordenados por filas, de izquierda a derecha y de arriba abajo Calcula el determinante de M segn los valores de n N () Sea a, a, una progresión aritmtica y sea A n la matriz cuadrada, n n, cuyas entradas son a ij = a i+j, i, j n Calcula el determinante de A n según los valores de n N (3) Sea b, b, una progresión geomtrica y sea B n la matriz cuadrada, n n, cuyas entradas son b ij = a i+j, i, j n Calcula el determinante de B n según los valores de n N Recurdese que: Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-4 (a) Se dice que a,a, es una progresión aritmtica (de diferencia d) si la diferencia entre dos trminos consecutivos es constante (igual a d) Es decir si En este caso, tenemos que a a = a 3 a = = d a = a + d,a 3 = a + d,,a k = a + (k )d, (b) Se dice que b,b, es una progresión geomtrica (de razón r ) si el cociente entre dos trminos consecutivos es constante (igual a r) Es decir si En este caso, tenemos que b b = b 3 b = = r b = b r,b 3 = b r,,b k = b r k, () Para n =, det (M) = y para n 3, det (M) = () Para n =, det (A ) = d y para n 3, det (A n ) = (3) Para n, det(b n ) = Ejercicio 9 () Calcula el determinante de la matriz A λi siendo λ un escalar y siendo A la matriz: A =, a, a,,a k R (ó C) a k a k a k a Nota La matriz A (k k) se denomina matriz compañera del polinomio (de grado k) p(λ) = λ k + a λ k + + a k λ + a k () Calcula el determinante de una matriz de Vandermonde: x x x n x A = x x n x n+ x n+ x n n+ y demuestra que dados n + puntos del plano (x, y ),,(x n+, y n+ ) de forma que no hay dos en una misma vertical, hay un único polinomio p(x) = a + a x + + a n x n de grado menor o igual que n cuya gráfica pasa por los n + puntos dados Matemáticas I -

14 R-4 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) () Si en la matriz A λi suprimimos la primera fila y la primera columna nos queda una matriz del mismo tipo (y un orden menor) Vamos a calcular el determinante pedido para orden pequeño k =, 3 y a partir de lo que obtengamos podremos conjeturar la expresión de dicho determinante para un orden arbitrario Para k = tenemos det (A λi) = det æ λ a a λ = λ ( a λ) + a = λ + a λ + a Para k = 3 tenemos det (A λi) = det = λ λ λ a 3 a a λ λ a a λ = + ( a 3) desarrollando por la primera columna λ = = = λ (λ + a λ + a ) a 3 = (λ 3 + a λ + a λ + a 3 ) Para un orden k 3, genrico, podemos abordar el cálculo teniendo en cuenta que la última fila de la matriz A λi es suma de las filas [ a k, a k, a k,, a ] y [,,,, λ] y, por tanto, podemos expresar el det (A λi) mediante det λ λ λ a k a k a k a + det λ λ λ λ El segundo determinante es ( λ) k Desarrollando el primer determinante por los elementos de la última columna tenemos sumandos del tipo que se obtiene al considerar el sumando correspondiente a, por ejemplo, el elemento (k, 3): ( ) k+3 ( a k )det Por tanto λ λ λ λ = ( ) k+3 ( a k )( λ) k 3 = = ( ) k a k λ det (A λi) = ( λ) k + ( ) k a λ k + + ( ) k a k λ + ( ) k a k λ + ( ) k a k = = ( ) k ä λ k + a λ k + a λ k + + a k λ + a k λ + a k ç Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-43 () Calcula el determinante de una matriz de Vandermonde: x x x n Comenzando por la x det (A) = det x x n = última columna, hacemos = x n+ x n+ x n C n+ k+ x C k x = det x x x x x n x x n = x n+ x x n+ x x n+ x n n+ x x n+ = det = x x (x x )x (x x )x n x n+ x (x n+ x )x n+ (x n+ x )xn+ n Sacando factor común en cada fila = (x x ) (x n+ x )det = x x n x n+ xn+ n æ xn = [(x x ) (x n+ x )] [(x 3 x ) (x n+ x )] det = x n+ = [(x x ) (x n+ x )] [(x 3 x ) (x n+ x )] (x n+ x n ) Polinomio de interpolación Dados n+ puntos del plano (x, y ),,(x n+, y n+ ) de forma que no hay dos en una misma vertical, es decir las abscisas x, x,,x n+ son distintas dos a dos, vamos a comprobar que hay un único polinomio de grado menor o igual que n, es decir un polinomio de la forma p(x) = a + a x + + a n x n cuya gráfica pasa por los n + puntos dados Es decir tiene que verificarse que a + a x + + a n x n = y x x a + a x + + a n x n = y n a x, x n a = a + a x n+ + + a n x n n+ = y n+ x n+ x n n+ a n Puesto que la matriz de los coeficientes es una matriz de Vandermonde, su determinante es (x i x j ) = [(x x ) (x n+ x )] [(x 3 x ) (x n+ x )] (x n+ x n ) i>j puesto que las abscisas x,,x n son distintas entre sí Por tanto, el sistema tiene solución única y la solución nos daría (si resolvieramos el sistema) los coeficientes del único polinomio de grado n cuya gráfica pasa por los n + puntos dados Matemáticas I - y y n =

16 R-44 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) Ejercicio Sean A y D matrices cuadradas y sean B y C matrices de las dimensiones adecuadas æ A B (a) Demuestra que det = det (A) det (D) D (b) Da un ejemplo de matrices A, B, C y D tales que æ A B det det (A) det(d) det (B) det(c) C D (a) Basta reducir A y D a forma escalonada y considerar la reducción a forma escalonada de æ A B D (b) Consideremos las siguientes matrices A, B, C y D, æ æ 3 A = C = I, B =, D = 4 Entonces det (A) = det (C) =, det(b) = y det (D) = Pero det æ A B C D = det 3 4 = det = 4 Ejercicio Determina la matriz de cada una de las siguientes transformaciones: () Proyección ortogonal sobre la recta x 3y = () Simetría respecto de la recta x 3y = (3) Proyección sobre la recta x 3y = en la dirección de la recta x + y = x 3y + z = (4) Proyección ortogonal sobre la recta x + y + z = (5) Simetría respecto de la recta del apartado anterior (6) Proyección ortogonal sobre el plano x 3y + z = (7) Simetría respecto al plano x 3y + z = x 3y + z = (8) Proyección sobre la recta x + y + z = según el plano x + y z = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-45 (9) Proyección sobre el plano x 3y + z = según el vector u = [ ] () Proyección ortogonal sobre la recta x 3y = Teniendo en cuenta que el proyectado de cualquier vector de la recta dada r x 3y = es el propio vector y que el proyectado de cualquier vector de la recta perpendicular a r que pasa por el origen, s 3x + y =, es el vector nulo, la matriz P de la proyección tiene que verificar: æ æ 3 3 v = r = P æ 3 =, v = æ 3 = P æ 3 = æ 3 Por tanto P æ 3 3 = æ 3 = P = 3 æ () Simetría respecto de la recta x 3y = Siendo v un vector dirección de la recta considerada y v un vector perpendicular a dicho vector dirección, la matriz S que tiene que verificar Sv = v y Sv = v Escribiendo estas igualdades vectoriales en forma matricial, tenemos que la matriz buscada A tiene que verificar que S v v = v v = S = v v v v La matriz cuyos vectores columna son los vectores v y v tiene inversa puesto que dichos vectores son linealmente independientes Tomando obtenemos S = æ 3 v = æ 3 3 æ 3 3 y v = æ 3 = æ Matemáticas I -

18 R-46 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) (3) Proyección sobre la recta r x 3y = en la dirección de la recta s x + y = Se trata de obtener, para cada vector v R, una descomposición v = u + w de forma que u está en r y w está en s Puesto que, en la dirección de la recta s, cada vector de r se proyecta sobre si mismo y cada vector de s sobre el vector nulo, tenemos que la matriz P pedida debe verificar Por tanto, P æ 3 = æ æ 3 3 P = æ 3 = P = æ, P æ 3 æ = æ 3 = æ x 3y + z = (4) Proyección ortogonal sobre la recta Utilizando un vector de la x + y + z = recta, por ejemplo v = (4,, 5) y dos vectores perpendiculares, por ejemplo v = (, 4, ) y v 3 = (,, ) (generan el plano perpendicular que pasa por el origen de coordenadas), la matriz P de la proyección tiene que verificar Pv = v, Pv = Pv 3 = Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando P se obtiene P = (5) Simetría respecto de la recta del apartado anterior Utilizando los mismos vectores que en el aparatado anterior, la matriz S de la simetría tiene que verificar Sv = v, Sv = v y Sv 3 = v 3 Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando S se obtiene S = (6) Proyección ortogonal sobre el plano x 3y+z = Utilizando dos vectores, v y v, del plano y un vector v 3 de la recta perpendicular que pasa por el origen de coordenadas, la matriz P de la proyección tiene que verificar Pv = v, Pv = v y Pv 3 = Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando P se obtiene P = Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-47 (7) Simetría respecto al plano x 3y + z = Con los mismos vectores que en el apartado anterior, la matriz S de la simetría tiene que verificar Sv = v, Sv = v y Sv 3 = v 3 Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando S se obtiene A = x 3y + z = (8) Proyección sobre la recta según el plano x + y z = Utilizando x + y + z = un vecto v de la recta proyección y dos vectores, v y v 3, del plano proyectante, la matrz P de la proyección tiene que verificar Pv = v, Pv = y Pv 3 = Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando P se obtiene P = (9) Proyección sobre el plano x 3y + z = según el vector u = [ ] Utilizando dos vectores v y v del plano proyección y el vector u (que da la dirección proyectante), la matrz P de la proyección tiene que verificar Pv = v, Pv = v y Pu = Expresando estas igualdades vectoriales en forma matricial y despejando P se obtiene P = Las matrices que se obtienen en todos los apartados de este ejercicio tienen algunas características comunes entre sí Consideremos una recta o plano (que pase por el origen de coordenadas), la matriz P de una proyección sobre dicha recta o plano (proyección ortogonal o no) y la matriz S de la simetría correspondiente Las matrices P y S verifican: P = P, puesto que para cualquier vector x, PPx = Px (el proyectado del proyectado de x es igual al primer proyectado que se obtiene) S = I, puesto que para cualquier vector x, SSx = x (el simtrico del simtrico de x es x) Matemáticas I -

20 R-48 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) P = (S + I) Ejercicio Calcula la matriz de la simetría respecto a un plano (que pasa por el origen de coordenadas) sabiendo que transforma el vector u = [,, ] en un múltiplo positivo de e = [,, ] Denotemos por S : R 3 R 3 la simetría descrita y por A la matriz asociada (S es una transformación lineal) La transformación considerada respeta las distancias Por tanto, la norma del vector transformado tiene que ser igual a la del original Siendo S(u) = αe, α >, tenemos u = + + = αe = α α = 3 El plano que define la simetría tiene que ser el plano que pasa por el origen de coordenadas y un vector normal al plano es n = S(u) u = Por tanto, el plano considerado tiene por ecuación x y z = La matriz A de la simetría considerada puede determinarse sabiendo que los vectores del plano se transforman en sí mismos y los vectores de la recta perpendicular al plano que pasa por el origen de coordenadas se transforman en su opuesto, A =, A =, La matriz A puede despejarse de la ecuación matricial A = A = A = 3 = Ejercicio 3 Describe cómo se transforman: (a) los vectores canónicos, (b) el cuadrado unidad y (c) el rectángulo [, 4] [, ] mediante las matrices æ 3 A = æ, B =, AB y BA Sean e y e los vectores canónicos de R y consideremos la transformación T : R R definida por una matriz real M,, T(x) = Mx Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 Tema 3- Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales (Resultados) R-49 Los vectores canónicos se transforman, respectivamente, en los vectores Me y Me que son los dos vectores columna de M El cuadrado unidad (superficie) está formado por los vectores x R de la forma x e + x e con x y x Al transformar estos vectores mediante T(x) = Mx obtenemos los vectores T(x) = Mx = x Me + x Me con x, x Es decir, es el paralelogramo determinado por los dos vectores columna de M El rectángulo (superficie) [, 4] [, ] está formado por los vectores x R de la forma æ æ x = + αe x + βe con α y β Al transformar estos vectores mediante T(x) = Mx obtenemos los vectores æ T(x) = Mx = M + αme + βme con α, β æ Es decir, es la traslación, según el vector M del paralelogramo (con uno de sus vrtices en el origen de coordenadas) determinado por el ectores Me (primer vector columna de M multiplicado por ) y Me (segundo vector columna de M) A: (a) Vectores columna de A (b) Rectángulo [3, ] [, ] (c) Rectángulo [6, ] [ 4, ] B: (a) Vectores columna de B (b) Paralelogramo (uno de los vrtices es el origen) (c) Paralelogramo (uno de los vrtices es (6, )) AB: (a) Vectores columna de AB (b) Paralelogramo (uno de los vrtices es el origen) (c) Paralelogramo (uno de los vrtices es ) BA: (a) Vectores columna de BA (b) Paralelogramo (uno de los vrtices es el origen) (c) Paralelogramo (uno de los vrtices es ) Matemáticas I -