Tema 6 (Resultados).- Ortogonalidad y mejor aproximación.

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1 Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química Matemáticas I - Departamento de Matemática Aplicada II Escuela Superior de Ingenieros Universidad de Sevilla Tema 6 (Resultados)- Ortogonalidad y mejor aproximación Ejercicio () Demuestra el Teorema de Thales que afirma que los ángulos inscritos en una semicircunferencia son todos rectos () Sea ABC un triángulo rectángulo isósceles, rectangulo en A y sean M, N y P los puntos medios de los segmentos AB, BC y AC respectivamente Dado un punto genrico X del segmento AB consideremos el punto Y del segmento BC y el punto Z del segmento AC tales que AXY Z es un rectángulo Demuestra que el triágulo XNZ es un triángulo rectángulo isósceles () Determina la ecuación que deben cumplir los puntos P (x, y) del plano desde los cuales el segmento AB de extremos A (, ) y B (, ) se ve con un ángulo θ [, π] Estudia en particular los casos θ π, θ, θ π y θ π () Si consideramos un sistema de referencia de forma que el centro de la circunferencia es el origen de coordenadas y el radio es, tenemos que probar que dado un punto X (x, y) de la circunferencia, los segmentos determinados por dicho punto y los puntos A (, ) y B (, ) son perpendiculares, es decir, X æ XA x y æ XB x y XA XB + x + y x + y, A B y esto último se verifica por estar (x, y) en la circunferencia unidad Ejercicio- (i) Determina los puntos (x,y) del plano desde los cuales el segmento determinado por los puntos A(, ) y B(,4) se ve bajo un ángulo recto (Tiene que salir una circunferencia) (ii) Determina los puntos (x,y,z) del espacio desde los cuales el segmento determinado por los puntos A(,,) y B(,4,) se ve bajo un ángulo recto (Tiene que salir una esfera)

2 R-4 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) () Tomamos el sistema de referencia en el que A es el origen de coordenadas, el segmento AB está sobre el eje de abscisas, el segmento AC está sobre el eje de ordenadas y las coordenadas de los puntos B y C son, respectivamente, B (, ) y C (, ) De esta forma, las coordenadas de los puntos descritos en el enunciado son M (, ), N (, ), P (, ), X (x, ), Y (x, x), Z (, x) C El triágulo XNZ es rectángulo en N: NX NZ (x, ) (, x) x+ +x P Z A N M Y X B El triágulo XNZ es isósceles: NX NZ (x ) + + ( x) NX NZ Ejercicio Sea u [,, ] T () Describe geomtricamente el conjunto de vectores v R que verifican, respectivamente, v u v u v u 4 v u v v v v / 4 () Calcula el radio y el centro de la circunferencia dada por las siguientes ecuaciones v u v () v u v v u v v u 4 v v u v 4 Matemáticas I Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x + y + z Circunferencia de centro el origen y radio Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x + y + z Circunferencia de centro C (, 4, 6 ) y radio Corte de la esfera de centro el origen y radio con el plano x + y + z 4 Nada Corte de la esfera de centro el origen y radio / 4 con el plano x + y + z Un punto Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

3 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- () Radio r 4, Centro C ( 4, 6 4, 9 4 ) Ejercicio Halla una base y unas ecuaciones implícitas de E y de F siendo E y F los subespacios E Gen,, y F x + y + z t x + y t x + y + 9z t E E Nul Base, Nul, Ecuaciones implícitas de E x + x + x 4, x x + x 4 F F Gen v, v, v 9 Col 9 Calculemos una base y unas ecuaciones implícitas de F x y 9 z t y x 9 z t y x y z y 6x + y t + y y x y 6 6 z y t + y los dos primeros vectores columna {v, v } son linealmente independientes y el tercero es combinación lineal de ellos Por tanto {v, v } es una base de F Col (M) y este subespacio vectorial queda caracterizado por las ecuaciones implícitas 6x + 9y + z, y + t Matemáticas I -

4 R-6 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Ejercicio 4 Indica la respuesta correcta: Si v y w son dos vectores linealmente independientes de R n y S es el subespacio de R n de ecuaciones implícitas v t x, w t x, entonces S es el espacio nulo de la matriz [v, w] cuyas columnas son v y w X R n S Gen {v, w} Ninguna de las dos afirmaciones anteriores es correcta Obviamente el subespacio E Gen {v, w} tiene dimensión y el subespacio S tiene dimensión n Para probar que R n S Gen {v, w} bastará comprobar que S Gen {v, w} {} Consideremos un vector genrico u αv+βw de E y supongamos que está en S Dicho vector verificará v T (αv + βw) w T (αv + βw) αvt v + βv T w αw T v + βw T w es decir, los coeficientes α y β tienen que verificar el sistema de ecuaciones æ æ æ v T v v T w α w T v w T w β Notemos que los coeficientes de las inc ognitas son v T v v >, w T w w >, v T w v T v v w, con lo cual el determinante de la matriz de los coeficientes de las incógnitas es v w (v w) > puesto que v y w son linealmente independientes (desigualdad de Cauchy-Schwartz) Por tanto, el sistema homogneo tiene solución única (la solución nula) α β y se verifica que S Gen {v, w} {}, Ejercicio Expresa el vector (,,, 4) T como suma de dos vectores u + v siendo u proporcional a (,,, ) T y v u 4 u + v, v u α α α 4 α, v u u v u 4α + α + 4 α α Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

5 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-7 Por tanto, la descomposición pedida es 4 u + v, u, v Ejercicio 6 Halla la proyección ortogonal de los siguientes vectores sobre los subespacios que se indican: () (4,,, ) T sobre el subespacio definido por x + x + x + x 4 () (,,, ) T sobre el subespacio de R 4 dado por: x y + z t, E y + z () (, 4, ) T sobre el subespacio f(e) siendo f la aplicación lineal dada por la matriz A y E el subespacio de R dado por x y z () El subespacio vectorial S definido por la ecuación x +x +x +x 4 tiene dimensión y su complemento ortogonal tiene, por tanto, dimensión Además, puesto que dicho complemento ortogonal es S Gen puede obtenerse cómodamente la proyección ortogonal de un vector v R 4 sobre S u proy S (v) v u u u y de dicha proyección podemos obtener la que pide el ejercicio proy S (v) + proy S (v) v proy S (v) v proy S (v) Para el vector v dado, tenemos v 4 proy 4++ S (v) 4 proy S (v) 4, 7 Matemáticas I -

6 R-8 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) () Puesto que el complemento ortogonal de E es E Gen u, u y los vectores u y u son perpendiculares (y no nulos), ya tenemos una base ortogonal {u, u } de E y podemos aplicar la fórmula para obtener la proyección ortogonal de un vector v R 4 sobre E, Para el vector dado tenemos, Por tanto, proy E ( proy E (v) v u u u + v u u u ) 7 u + u 7 proy E (v) v proy E (v) ( E) Para calcular directamente la proyección ortogonal del vector dado sobre el subespacio vectorial E necesitaríamos calcular una base ortogonal de E para poder aplicar la fórmula dada por los coeficientes de Fourier correspondientes Por ejemplo, los vectores w, w forman una base ortogonal de E (comprubalo!) y por tanto la proyección ortogonal de un vector v R 4 sobre E viene dada por proy E (v) v w w w + v w w w () Para obtener una descripción del subespacio vectorial f(e) vamos a obtener una base de E y a partir de ella tendremos vectores que generan el subespacio f(e) x y z x y + z x E v y R : v α z Gen v, v + β 8 6, α, β R Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

7 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-9 Por tanto, f(e) Gen {f(v) : v E} {Av : v E} {αav + βav : α, β R} Gen {Av, Av } Gen Av, Av Puesto que F f(e) R tiene dimensión, su complemento ortogonal tiene dimensión y por tanto, calcular la proyección ortogonal de un vector sobre F es muy sencillo una vez que obtengamos una base Para calcular una base de F podemos expresar F en forma implícita y a partir de dicha ecuación obtener un vector que genere F F Por tanto, x y z x y z x F x + y z F Gen proy F ( 4 ) y lo que nos pide el ejercicio proy F ( 4 ) 4 ä 4 ç ä ç proy F ( 4 ) x y z x y Ejercicio 7 Halla una base de (E + F) siendo E y F los subespacios de R dados por E {x + y z } y F {x + 7y + z, x y z } Calculamos una base de E : E x + y z y x + z E Gen v, v Matemáticas I -

8 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Calculamos una base de F : æ 7 F x y z y y 4y y æ F Gen æ 7 4 w 4 Por tanto, E + F Gen {v, v, w } Col v v w y su complemento ortogonal es (E + F) Nul 4 Nul x y z 8 4 y y y Nul Por tanto, (E + F) es un subespacio vectorial de dimensión y una base es Notemos que, puesto que (E + F) tiene dimensión, el subespacio vectorial E+F tiene dimensión Puesto que E tiene dimensión y F tiene dimensión, para que el subespacio suma E + F tenga dimensión debe cumplirse que E + F E y F E Esto es fácil de verificar directamente puesto que w E (sus coordenadas verifican las ecuaciones implícitas de E) Ejercicio 8 Demuestra: () El producto de matrices ortogonales es ortogonal () La suma de matrices ortogonales puede no ser ortogonal () Si tomamos dos matrices ortgonales Q y Q de orden n, se verifica que Q Q T y Q Q T y, por tanto, la matriz producto Q Q Q es ortogonal pues se verifica que QQ T (Q Q ) (Q Q ) T (Q Q ) Q T QT Q Q Q T QT Q Q T I Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

9 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- () Las matrices Q I y Q I son ortogonales, pero su suma Q + Q no lo es Ejercicio 9 Dadas las bases ortonormales de R B B u /, / T, u /, / T w /, T /, w T /, / y halla la matriz correspondiente al cambio de una de esas bases a la otra Comprueba que la matriz de paso es ortogonal Si denotamos por: x [x k ] la coordenadas de un vector v respecto a la base canónica {e k }, x [x k] la coordenadas del vector v respecto a la base B {u k }, x [x k] la coordenadas del vector v respecto a la base B {w k }, se verifican las siguientes igualdades: v k x k e k k x ku k k x kw k Estas igualdades vectoriales las podemos expresar en forma matricial mediante x k u k x k w k Las matrices de cambio de base entre las bases B y B son las matrices que relacionan los vectores de coordenadas x y x, x k ( ) x P x B B, x P x B B Para obtener dichas matrices basta con expresar x en función de x, y viceversa, a partir de las igualdades matriciales ( ) Para las bases dadas B {u, u } y B {w, w } tenemos æ x x u u æ x x w w æ x x y por tanto, æ x x u u w w æ x x æ x x w w æ u u x x Matemáticas I -

10 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Puesto que las bases dadas son ortonormales, las matrices u u y w w son ortogonales (la inversa coincide con la traspuesta) y, por tanto, una de las matrices de cambio de base es P B B w w u u æ que es una matriz ortogonal (puesto que la inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal y el producto de matrices ortogonales es una matriz ortogonal), hecho que se puede obtener directamente sin más que tener en cuenta que los vectores columna forman una base ortonormal de R La otra matriz de cambio de base que relaciona x y x es la inversa de la matriz anterior P B B P B B T P + B B + + Ejercicio Matrices de proyección Sea P una matriz cuadrada real de orden n tal que P P y sean E y F definidos por E {x R n : Px x} y F {x R n : Px } (a) Demuestra que E y F son subespacios vectoriales (b) Demuestra que E F R n (c) Comprueba que P es la matriz de la proyección sobre E en la dirección de F (d) Demuestra que si P es simtrica entonces E y F son uno el complemento ortogonal del otro (con lo cual P es la matriz de la proyección ortogonal sobre E) (a) E es un subespacio vectorial Comprobemos que una combinación lineal arbitraria de vectores de E está en E Sean u, u E(Pu u, Pu u ) y sean α, β R arbitrarios, entonces P (αu + βu ) αpu + βpu αu + βu αu + βu E F es un subespacio vectorial Comprobemos que una combinación lineal arbitraria de vectores de F está en F Sean v, v F(Pv, Pv ) y sean α, β R arbitrarios, entonces P (αv + βv ) αpv + βpv αv + βv F Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

11 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- (b) Comprobemos en primer lugar que E F {}, Si x E F x E Px x x F Px x Comprobemos que E + F R n Un vector arbitrario x R n se puede expresar mediante x Px + (x Px) y los sumandos considerados verifican que u Px E puesto que Pu P(Px) P x Px u, v x Px F puesto que Pv P(x Px) Px P x Por tanto, x u + v con u E y v F (c) Para comprobar que P es la matriz de la proyección sobre E en la dirección de F tenemos que demostrar que, para cualquier vector v R n, el vector Pv verifica que (i) Pv E y (ii) v Pv F y esto lo acabamos de comprobar en el apartado anterior (d) Dados un vector u E(Pu u) y un vector v F(Pv ), comprobemos que son ortogonales: u v (Pu) v (Pu) T v u T P T v u T Pv Ejercicio Halla el vector perteneciente al subespacio de R 4 generado por los vectores (,,, ) T, (,,, ) T y(,,, ) T que está más cerca del vector (,,, ) T Teniendo en cuenta el Teorema de la mejor aproximación, de los vectores de un subespacio vectorial S, el que está más cerca de un vector dado b es el vector proyección ortogonal de b sobre S, es decir, el vector pedido es proy S (b), b, S Gen Puesto que parece que el subespacio S tiene dimensión, su complemento ortogonal tendrá dimensión y será más cómodo calcular la proyección ortogonal sobre S que la proyección ortogonal sobre S Para obtener S vamos a calcular las ecuaciones implícitas de S (que Matemáticas I -,,

12 R-4 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) vendrá caracterizado por ecuación implícita) S x x x x 4 x x x x 4 x x x + x + x x 4 + x + x x x x + x 4 x 4 + x x x x + x + x x + x + x 4 Por tanto, los vectores dados son linealemnte independientes (forman una base de S), el subespacio S tiene dimensión y queda caracterizado por la ecuación implícita S x + x + x 4 El complemento ortogonal es, por tanto, S Gen w Las proyecciones ortogonales de b, sobre S y sobre S son proy S (b) b w w w w 9 w proy S (b) b proy S (b) b 9 w La distancia de b al subespacio S es dist(b,s) min { b x : x S} b proy S (b) proy S (b) Ejercicio Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre cada uno de los siguientes subespacios de R 4 : () el subespacio generado por (,,, ) T y (,,, ) T () el subespacio generado por (,,, ) T y (,,, ) T x y + z + t () Sobre E y E, siendo E Comprueba que, como debe ser, x y + z + t la suma de ambas matrices vale I Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

13 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- () Los vectores dados forma una base del subespacio vectorial S que generan (son linealmente independientes), pero no son ortogonales Para calcular la matriz de la proyección ortogonal vamos a obtener una base ortogonal del subespacio, a partir de ella obtendremos una base ortonormal y con la base ortonormal obtendremos la matriz de la proyección ortogonal Para obtener una base ortogonal, aplicamos el mtodo de Gram-Schmidt a los vectores que generan S y obtenemos Por tanto, v v u v, u v v u u u u v u w u u, w u u w, w es una base ortonormal de S y la matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S w w w w T 9 4 (Los elementos que faltan en la matriz anterior no son nulos, quines tienen que ser?) () Para calcular la matriz de la proyección ortogonal vamos a obtener una base ortogonal del subespacio y, a partir de ella, una base ortonormal Aplicamos el mtodo de Gram-Schmidt a los vectores {v, v } que generan el subespacio, u v, u v v u u u u v u Obtenemos una base ortonormal del subespcio q u u, q u u q, q Matemáticas I -

14 R-6 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Obtenemos la matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio generado P UU T q q q q (Completa las posiciones donde aparece ( )) T 9 4 () E: Calculamos una base de E æ E x y z t E Gen z t z z t v z æ, v + t æ Ortogonalizamos (mtodo de Gram-Schmidt) para obtener una base ortogonal de E u v, u v v u u u u v 6 u Normalizamos para tener una base ortonormal de E q u u, q u u q 6, q Construimos la matriz de la proyección ortogonal sobre E, P E UU T q q q q (Completa las posiciones donde aparece ( )) T 4 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

15 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-7 E : Para calcular directamente la matriz de la proyección ortogonal sobre E pueden seguirse los mismos pasos que antes Calculamos una base de E o un conjunto de vectores que generen E como por ejemplo E Gen v, v Ortogonalizamos (mtodo de Gram-Schmidt) para obtener una base ortogonal de E Normalizamos para tener una base ortonormal de E Construimos la matriz de la proyección ortogonal sobre E, que tiene que ser P E I P E 4 (Completar las posiciones donde aparece ( )) Ejercicio Sea u R m un vector no nulo y sea T : R m R m la transformación lineal definida mediante T(x) x u x u u (a) Prueba que T es lineal y calcula la matriz A asociada (b) Prueba que A A (o lo que es lo mismo T T T) (c) Es A invertible? (d) Prueba que Ax x para cualquier x R m (e) Describe esta transformación en trminos geomtricos para m y para m Consideramos m >, para m la transformación T es la transformación nula y no hay nada que discutir Siendo u R m un vector no nulo, el vector u x u u que se obtiene a partir de un vector genrico x R m es el vector proyección ortogonal de x sobre la recta S Gen {u} definida por el vector u Por tanto, el vector x u x u u es el vector proyección ortogonal de x sobre el complemento ortogonal S de S que tiene dimensión m Matemáticas I -

16 R-8 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) (a) Obviamente T es lineal puesto que α, β R y x, x R m se verifica que T (αx + βx ) αx + βx u [u (αx + βx )] u αx + βx u [αu x + βu x ]u αx α u [u x] u + βx β u [u x ] u αt(x) + βt(x ) Puesto que el producto escalar de dos vectores se puede expresar como el producto matricial vector fila por vector columna, tenemos T(x) x u x u u x u u (u x) x u u u T x æ x u uut x uu T es una matriz m m Por tanto, la matriz de T es A I u T u uut I u uut x (b) Geomtricamente está claro que A A Tratándose de una proyección sobre un subespacio, para cada x R m el vector A x A (Ax) es el vector que se obtiene al proyectar (sobre S ) el vector Ax, que está en S Obtenemos la igualdad A A de forma algebraica, A I u uut I u uut + u 4(uuT ) I u uut + u 4 u (uu T ) A (c) Obviamente la transformación T y la matriz A asociada no pueden ser invertibles puesto que aplastan cada recta paralela a la recta generada por u sobre un único vector del complemento ortogonal de Gen {u}, v v + αu v + Gen {u} T(v) Av Av, α R, puesto que Au De hecho, el espacio nulo de A es la recta generada por u Ax x u x u u x Gen {u} (d) Al igual que antes, desde un punto de vista geomtrico la desigualdad es evidente puesto que se trata de un cateto, Ax, y de la hipotenusa, x, de un triángulo rectángulo Cada vector x R m se puede expresar como x Ax + u x u u (x proy S(x) + proy S (x)) Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

17 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-9 y puesto que los dos sumandos son ortogonales (uno al otro) (Ax) u x u u x u x u u aplicando el teorema de Pitágoras tenemos x Ax + u x u u u x u (x u) u x u u u, u x u u (e) En cualquier dimensión, Gen {u} es una recta, por tanto Ax para m, T es la proyección ortogonal sobre la recta (que pasa por el origen de coordenadas) y es perpendicular al vector u para m, T es la proyección ortogonal sobre el plano (que pasa por el origen de coordenadas) y tiene al vector u como vector normal Ejercicio 4 Sea S un subespacio vectorial de R m y sean P S y P S las matrices de la proyección ortogonal sobre S y sobre S respectivamente (a) Calcula la matriz de la simetría respecto a S y la matriz de la simetría respecto a S (b) Prueba que P S P S P S P S (c) Calcula el espacio columna y el espacio nulo de P S Supongamos que S es un subespacio vectorial propio, es decir no es ni el espacio nulo {} ni el espacio total R m, en cuyo caso las matrices de proyección serían la matriz nula y la matriz identidad respectivamente (a) La matriz de la simetría respecto a un subespacio vectorial puede calcularse cómodamente a partir de la proyección ortogonal sobre dicho subespacio Siendo T S : R m R m la simetría respecto a S, para cada vector v R m se verifica que v + T S (v) P S v y, por tanto, si denotamos por M a la matriz de la simetría respecto a S tenemos I + M P S M P S I S v P S v v S O P S v P S v P S v v T(v) simtrico de v Matemáticas I -

18 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) De manera análoga la matriz de la simetría T S es la matriz I P S P S I M puesto que T S (v) T S (v) para cualquier vector v R m (b) Para cualquier vector v R m el vector w P S v es un vector de S y, por tanto, su proyección ortogonal sobre S es el vector nulo puesto que S S Por tanto, De forma análoga P S P S [P S P S ] v, v R m P S P S (c) El espacio columna y el espacio nulo de P S son Col (P S ) {v R m : P S x v, para algún x R m } S, Nul (P S ) {x R m : P S x } S Obviamente, Col (P S ) Nul (P S ), Nul (P S ) Col (P S ) Ejercicio Dado el subespacio S R definido por x x + x, se pide: (a) Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre S Cuál es la matriz de la proyección ortogonal sobre S? (b) Obtener una base de S (c) Demostrar que Col (A) S, siendo A (d) Dado el vector v (,, ) T, calcular el vector de S que dista menos de v El subespacio S (de R ) tiene dimensión y, por tanto, su complemento ortogonal tiene dimensión (a) Cualesquiera dos vectores de S que sean linealmente independientes forman una base (de S), por ejemplo v, v Ortogonalizamos: u v, u v v u u u 4 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

19 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- Normalizamos (dividimos cada vector por su norma para tener vectores con norma, sin cambiar la ortogonalidad que ya tenemos), base ortonormal de S w u u, w u u 4 Siendo U una matriz cuyas columnas forman una base ortonormal de S, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S UU T, P S 4 æ 4 La matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S I P S (b) Puesto que S x R : x x x Gen, su complemento ortogonal es S Gen y una base es (c) Puesto que cada uno de los vectores columna de A está en S tenemos Col (A) S y puesto que ambos subespacios tienen dimensión, tienen que ser iguales (d) El vector u de S más cercano a v es el vector proyección ortogonal de v sobre S, es decir, P S v La distancia de v a S es v P S v P S v 9 Matemáticas I -

20 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Ejercicio 6 Aplica el mtodo de Gram-Schmidt a: (a) La base de R 4, (,,, ) T, (,,, ) T, (,,, ) T, (,,, ) T (b) Las columnas de las matrices A, B (a) (b) A: Ortogonalizamos los vectores columna v y v de A, u v, u v v u u u B: Ortogonalizamos los vectores columna v y v de B, u v, u v v u u u Ejercicio 7 La proyección ortogonal del vector v (,, ) T sobre la recta x y, y z es: (,, ) T (,, ) T X (,, ) T u, proy r (v) v u u Ejercicio 8 Halla una base ortonormal de Col (A) y otra de Nul (A) siendo A Col (A) En primer lugar aplicamos el mtodo de Gram-Schmodt a los vectores columna {v, v, v } de A (que generan el subespacio Col (A)) u v, u v v u u u v u u v v u u u v u u u v u u v + u, Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

21 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- Por tanto {u, u, u } es una base ortogonal de Col (A) y normalizando obtenemos una base ortonormal q u u, q u u, q u u Nul (A) Resolvemos el sistema homogneo Ax, x x x Ejercicio 9 Dado el vector u R n, que verifica u t u, se define la familia de matrices A I (α+)uu t, con α R Discutir, según los valores del parámetro α, cuándo la matriz A es ortogonal Observación - Notemos que la condición u t u nos dice que u es un vector unitario y, por tanto, la matriz uu t es la matriz de la proyección ortogonal sobre la recta generada por u Puesto que A I (α + )uu t es una matriz cuadrada real se verifica que A es ortogonal AA T I Teniendo en cuenta que A I (α + )uu t es simtrica, AA T [I (α + )uu t ] [I (α + )uu t ] I (α + )uu t + (α + ) (uu t ) (uu t ) I (α + )uu t + (α + ) uu t uu t I (α + )uu t + (α + ) uu t Por tanto, A es ortogonal si y sólo si AA T I (α + ) uu t (α + )uu t (α + ) (α + ) α α ± Observación - Para α se obtiene A I y para α se obtiene la matriz A I uu t que es la matriz de la simetría respecto al complemento ortogonal de la recta generada por u Ejercicio Dado el subespacio E Gen (a,,, ) T, (a, a, b, ) T, (a, b, a, ) T con a, b R (a) Halla una base ortonormal del subespacio E según los valores de a y b Matemáticas I -

22 R-4 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) (b) Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre E, cuando a (c) Calcula los valores de los parámetros a y b tales que el subespacio dado por las ecuaciones sea ortogonal a E F x x + x + x x + x x + x 4 (a) Sean v a, v a a b, v Los productos escalares de estos vectores (cada dos) son: a b a v v v v v v a, con lo cual si a los vectores son ortogonales dos a dos y tenemos los siguientes casos: a, b En este caso v v y {v } es una base ortonormal de E a, b En este caso, E Gen b, b æ puesto que b y puesto que {u, v } es una base ortogonal de E, u, v + b es una base ortonormal Gen, b a Los tres vectores {v, v, v } son no nulos y no ortogonales entre sí Podemos sustituir v por u [,,, ] T que es un vector unitario en la misma dirección que v, aunque puede ser que con sentido distinto (si a < ), Ortogonalizamos, aplicando Gram-Schmidt, {u, v, v }, u u, u v v u u u v au u v v u u u v u u v au u a b, b a Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

23 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- Por último, normalizamos los vectores obtenidos y tenemos una base ortonormal de E, u, w u u a + b a b, w u u + a + b (b) Teniendo en cuenta lo que hemos obtenido en el apartado anterior, para a tenemos los siguientes casos: a, b Puesto que {v } es una base ortonormal de E, la matriz de la proyección ortogonal sobre E es P v v T ä ç b a a, b Puesto que u, v + b es una base ortonormal de E, la matriz de la proyección ortogonal sobre E es P b +b +b b +b b +b (c) Resolviendo el sistema homogneo que define a F, obtenemos que F Gen w b b +b +b b +b +b Para que los subespacios E y F sean ortogonales (cada vector de uno de los subespacios sea ortogonal a todos los vectores del otro subespacio), basta con que el vector w (que genera F) sea ortogonal a los vectores que generan E, es decir tiene que cumplirse a, a a b a+b, a b a b a (a) a + a, b b a+ Matemáticas I -

24 R-6 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Ejercicio Consideremos los vectores y el subespacio vectorial dados por v, v α α, u α ; S x + x + αx Determina α sabiendo que proy S (v ) proy S (v ) u (un dibujo puede ayudar) Se trata de determinar el valor de α conociendo dos condiciones sobre los vectores y el subespacio dados, que proy S (v ) proy S (v ) y que estás proyecciones son iguales al vector u La condición proy S (v ) proy S (v ) es equivalente a decir que el vector v v está en S con lo cual proy S (v ) proy S (v ) v v v v es múltiplo de α α 6 α S Gen v v α α 6 para algún c R Resolviendo el sistema de ecuaciones que se obtiene α c α c 6 cα α c α c Hemos obtenido un único valor posible de α utilizando sólo una de las dos condiciones dadas, ahora hay que comprobar que efectivamente para dicho valor de α se verifican las dos condiciones Para obtener los vectores proyección sobre S lo más cómodo es trabajar con S que tiene dimensión S x + x x S Gen proy S (v ) v Por tanto proy S (v ) u y tambin proy S (v ) u proy S (v ) u α Ejercicio Sea A una matriz cuadrada de orden cuyo rango es Qu sucede al aplicar el mtodo de Gram-Schmidt a los vectores columna de A? Cuántas veces? Por qu? Puesto que el rango de A es, la dimensión del espacio Col (A) es y por tanto, si consideramos los vectores columna de A en el orden en el que aparecen en la matriz, hay 4 vectores que se pueden expresar como combinación lineal de los anteriores (en el Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

25 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-7 caso del primer vector columna, puede suceder que sea nulo) Al aplicar el mtodo de Gram- Schmidt a los vectores columna de A, cada vez que lleguemos a un vector que es combinación lineal de los anteriores, obtendremos el vector nulo puesto que un paso típico del mtodo de Gram-Schmidt consiste en obtener la proyección ortogonal del vector v k+ sobre el ortogonal del subespacio generado por los vectores anteriores, v k+ v k+ proy Sk (v k+ ) S k Gen {v,,v k } con lo cual, si v k+ es combinación lineal de los anteriores tenemos que proy Sk (v k+ ) v k+ y por tanto v k+ Resumiendo, al aplicar el mtodo de Gram-Schmidt a los vectores columna de la matriz A: Qu sucede? Que en algunos pasos de dicho mtodo se obtiene el vector nulo puesto que los vectores originales no son linealmente independientes Cuántas veces? Cuatro Cada vez que llegamos a un vector que es combinación lineal de los anteriores Por qu? Porque un paso típico del mtodo de Gram-Schmidt Ejercicio Sean S y S los subespacios vectoriales de R 4 definidos mediante S x + x + x + x 4, S x + x x x 4 (a) Determina el vector v R 4 sabiendo que sus proyecciones ortogonales sobre S y S son respectivamente u proy S (v), u proy S (v) (b) Siendo S y S los subespacios vectoriales dados en el apartado anterior, calcula la matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio S S S (a) Es inmediato comprobar que u S y que u S Entonces tenemos, u proy S (v) v u S Gen para algún α R De forma análoga u proy S (v) v u S Gen 7 7 v u + α v u + β Matemáticas I -

26 R-8 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) para algún β R Por tanto, v + α β Y basta con resolver el sistema de ecuaciones lineales en α y β que se obtiene: α β 4 α β 4 α + β α + β Por tanto, existen dos números reales α y β tales que v α, β Observación El vector v se puede obtener de otras muchas formas (no muy distintas), por ejemplo utilizando que proy S (v) proy S u + proy S (v) (b) Matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio S S S S S S 6 8 x + x + x + x 4 x + x x x 4 S Nul æ S Col Gen w Puesto que {w, w } es una base ortogonal de S, tenemos que w w, w w w, w, w es una base ortonormal de S y, por tanto, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es T P S æ 4 Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

27 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-9 Teniendo en cuenta que proy S (w) + proy S (w) w, w R 4, para las correspondientes matrices de proyección se verifica que P S + P S I y, por tanto, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es Observaciones: P S I P S () No conlleva ninguna dificultad adicional el calcular directamente la matriz P S sin pasar por la matriz de la proyección ortogonal sobre S, siempre y cuando no se aplique de manera incorrecta la fórmula P S UU T siendo U una matriz cuyos vectores-columna () Puesto que se trataba de calcular la matriz de la proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial de R 4 (lo que quiere decir que al multiplicar un vector de R 4 por dicha matriz el resultado es el vector, de R 4, que se obtiene como proyección ortogonal del vector dado sobre el subespacio considerado), dicha matriz tiene que ser una matriz 4 4 Ejercicio 4 Sea A una matriz 4 tal que Nul (A) Gen, Col (A) Gen v, v (a) Calcula la proyección ortogonal del vector v [ ] T R 4 sobre el subespacio Col (A) (b) Determina la matriz A sabiendo que es de la forma A (a) Proyectamos sobre Col (A) y luego usamos que P Col(A) + P Col (A) I Para ello, obtenemos una base ortonormal del subespacio Col (A), aplicando el mtodo de Gram-Schmidt a la base que nos da el enunciado: u v, u v v v v v v Matemáticas I -

28 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Cada uno de los vectores obtenidos tiene norma Dividiendo cada vector por su norma y colocándolo por columnas en una matriz U (4 ) obtenemos la matriz, UU t, de la proyección ortogonal sobre Col (A) La proyección del vector v sobre el subespacio Col (A) es I UU t v Otros caminos para resolver este apartado son: Calcular una base de Col(A) sabiendo que las componentes de los vectores de una base de Col (A) son los coeficientes de unas ecuaciones implícitas de Col (A): x x Col (A) + x, x x + x 4 O bien, resolver antes el apartado (), pues de las columnas de la matriz A se obtiene fácilmente una base de Col (A) (b) Como nos dan un vector del núcleo de la matriz A, si multiplico A por ese vector me ha de dar el vector nulo y de ahí se obtiene que a y a : A + a, + a Ahora, cada columna de A queda determinada salvo dos incógnitas Cada columna de A pertenece al subespacio Col (A), por lo tanto debe ser ortogonal a v y v Imponer esa condición conduce a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, para cada columna Lo vemos para la primera columna y las otras dos se hacen igual: a a 4 {v, v } + a, + a 4 Sin más que hacer la operaciones indicadas se obtiene: A 4 a, a 4 Ejercicio Sean Q (n n) y Q (m m) dos matrices ortogonales Sea Q la matriz dada por bloques de la siguiente manera æ Q U Q, V Q Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

29 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- donde U y V son matrices con las dimensiones adecuadas Probar que Q es ortogonal si, y sólo si, U y V La mariz Q es una matriz cuadrada real, será una matiz ortogonal si y sólo si Q T Q I Calculamos Q T Q, æ æ æ Q Q T T Q V T Q U Q T U T Q T Q + V T V Q T U + V T Q V Q U T Q + Q T V UT U + Q T Q Por tanto, para que dicha matriz sea la matriz identidad tiene que verificarse, en particular, que Q T Q + V T V I + V T V I V T V, U T U + Q T Q U T U + I I U T U Puesto que los elementos diagnales de la matriz V T V son los cuadrados de las normas de los vectores columna de V, la matriz V T V es la matriz nula si y sólo si cada vector columna de V es el vector nulo o, lo que es equivalente, V es la matriz nula De forma análoga, para que Q pueda ser ortogonal, U tiene que ser la matriz nula Resumiendo, para que Q pueda ser una matriz ortogonal, las matrices U y V tienen que ser nulas (cada una de las dimensiones apropiadas) y en tal caso (U, V ) la matriz æ æ Q U Q Q V Q Q es ortogonal puesto que es real cuadrada y verifica Q T Q I Ejercicio 6 Resolver en el sentido de los mínimos cuadrados los siguientes sistemas de ecuaciones () x, x 7, x, x () x a, x a,, x a n, siendo a, a,, a n números reales Qu se obtiene cuando alguno de los valores a k aparece repetido? () Ax b siendo A æ æ y b 4 () x () x a + a + + a n Cuando alguno de los valores a k aparece repetido, la expresión n anterior es válida y se trata de una media aritmtica ponderada donde cada uno de los distintos valores pesa según el número de veces que aparece repetido Matemáticas I -

30 R- Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) () Mediante las ecuaciones normales de Gauss æ 6 A T Ax A T b x 6 + x æ α x α, α R Ejercicio 7 Resuelve en el sentido de los mínimos cuadrados los dos sistemas equivalentes siguientes (que tendrían las mismas soluciones exactas si fueran compatibles) x + x (a) x + x, (b) x + x 4 x + x Utilizando las ecuaciones normales de Gauss A T Ax A T b asociadas a cada uno de los sistemas Ax b tenemos (a) æ x + x æ x x x x æ æ + α, α R (b) æ 4 4 x + x æ x æ x x x æ + β æ, β R Es decir, las soluciones en mínimos cuadrados de cada uno de los sistemas es una recta y ambas rectas son paralelas Notemos que si en el sistema (a) a la segunda ecuación le restamos la primera, se obtiene el sistema (b) Ejercicio 8 Dados el subespacio E Gen [,,, ] T, [,,, ] T, [,,, ] T y la matriz A (a) Calcula una base de E a b a a b b (b) Halla la matriz de la proyección ortogonal sobre E (c) Calcula A sabiendo que Col (A) está contenido en E (d) Resolver en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Ax b con b (,,, ) t (a) E w Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

31 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- (b) Puesto que una base ortonormal de E es sobre E es P E w wwt 7 w w, la matriz de la proyección ortogonal 4 Por tanto, la matriz de la proyección ortogonal sobre E es P E I P E (c) Para que Col (A) est contenido en E basta con que cada uno de los vectores columna de A est en E, es decir sea un múltiplo de w, o bien, cada uno de los vectores columna de A sea ortogonal a cada uno de los vectores que generan E Utilizando esta última condición tiene que cumplirse que a a 4 a b + b, + b b + b Resolviendo cada uno de los sistemas de ecuaciones obtenemos A 4 Notemos que, puesto que dim (E ) y Col (A) E (y el espacio columna de A no es el subespacio nulo), de hecho se verifica que Col (A) E (d) Puesto que Col (A) E, las soluciones en mínimos cuadrados del sistema Ax b son las soluciones del sistema Ax proy E (b) b w w w w + w 7 7 w Resolvemos dicho sistema, x 7 x æ x x æ 4 + x æ Es decir, las soluciones en mínimos cuadrados son los puntos de la recta que pasa por el punto (, ) y tiene como vector dircción (, ) 4 Matemáticas I -

32 R-4 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Ejercicio 9 Calcula las rectas de regresión y ax + b y x αy + β para los datos: x y Recta de regresión y sobre x: Sustituimos los puntos dados en la ecuación y ax + b y resolvemos las ecuaciones normales de Gauss asociadas a dicho sistema, æ a b ecuaciones normales de Gauss æ æ æ a b 4 recta de regresión y/x y 4 x + 4 Recta de regresión x sobre y: Sustituimos los puntos dados en la ecuación x αy + β y resolvemos las ecuaciones normales de Gauss asociadas a dicho sistema, æ α β ecuaciones normales de Gauss æ æ æ α β 4 recta de regresión x/y x 4 y + 4 Ejercicio Por el mtodo de los mínimos cuadrados, ajustar una parábola, y ax + bx + c, a los puntos (, ), (, ), (, ) y (, ) Al imponer que cada uno de los puntos dados est en la parábola de ecuación y ax + bx + c obtenemos el sistema de ecuaciones Notemos que puesto que el rango de la matriz A de los coeficientes de las incógnitas no es máximo (los vectores columna son linealmente dependientes), el sistema va a tener infinitas soluciones en mínimos cuadrados, independientemente de cual pueda ser el trmino independiente a b c Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

33 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R- Resolvemos las ecuaciones normales de Gauss A T Ax A T b asociadas al sistema anterior Es decir, para cualquier valor de c R, todas las parábolas y 4a + 4c, b c x 4 x + c se ajustan igual de bien, en el sentido de los mínimos cuadrados, a los puntos dados y se ajustan mejor que todas las demás Siendo estrictos en la lectura del enunciado quizá habría que suprimir una de las curvas que se obtiene mediante la ecuación anterior, cuál? Ejercicio Resolviendo el sistema sobredeterminado que se obtiene de la ecuación general de la circunferencia x + y + ax + by + c, calcular la circunferencia que mejor se ajuste, en el sentido de los mínimos cuadrados a los puntos (, ), (, ), (, ) y (, ), indicando las coordenadas del centro y el radio de la misma Al sustituir los puntos dados en la ecuación ax+by+c x y obtenemos el siguiente sistema con incógnitas a, b y c, c a + c b + c a + b + c Para obtener las soluciones en mínimos cuadrados resolvemos las ecuaciones normales de Gauss asociadas al sistema anterior: 4 4 Por tanto la circunferencia que mejor se ajusta, en el sentido de los mínimos cuadrados, a los puntos dados es x + y x y a b c x + y, es decir, se trata de la circunferencia de centro, y radio Notemos que, de hecho, los puntos dados están en la ciecunferencia obtenida es decir, la solución en mínimos cuadrados es solución (en el sentido estricto) del sistema original Ejercicio Se supone que el número de horas de autonomía de un avión está relacionada con las cantidades de dos tipos de combustible x y x (que se pueden utilizar de manera Matemáticas I -

34 R-6 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) indistinta o mezclados) mediante y c x + c x Despus de realizar un experimento se obtienen los siguientes datos: x x y Cuáles son los mejores coeficientes c y c en el sentido de los mínimos cuadrados? Sustituyendo los puntos (x, x, y) dados en la ecuación c x + c x y y resolviendo las ecuaciones normales de Gauss asociadas al sistema obtenido, tenemos æ c c ecuaciones normales æ de Gauss æ c c æ 8 8 y 8 x + 8 x Ejercicio Consideremos el sistema x y á Sus æecuaciones æ normales æ de Gauss son: 6 x 4 4 y 8 æ æ æ 6 x 4 y 4 æ æ æ 6 x 4 X 4 y 8 Ejercicio 4 Considera los vectores v, v, v y v 4 de R 4 y la matriz C dados por v, v, v, v 4 8 ; C v v (a) Calcula la matriz de la proyección ortogonal sobre S Gen {v, v, v }, el vector de S más cercano a v 4 y la distancia de v 4 a S (b) Resolver, en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Cx v (a) Podríamos calcular la matriz de la proyección ortogonal construyendo una base ortonormal de S (para lo cual tendríamos que ortogonalizar previamente los vectores {v, v, v }), y a partir de dicha base ortonormal obtener la matriz de la proyección Sin embargo, puesto que S parece tener dimensión, su complemento ortogonal tendrá dimensión Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

35 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-7 y será más simple obtener la matriz de la proyección ortogonal sobre S que la de la proyección ortogonal sobre S Calculamos una base de S, S x x + x x + x + x 4 x x + x + x 4 x x x x 4 x 4 S Gen w 4 4 Por tanto, (el subespacio S tiene dimensión, S tiene dimensión, {v, v, v } es una base de S y) la matriz de la proyección ortogonal sobre S es P S w wwt Matriz de la proyección ortogonal sobre S: P S I P S Vector de S más cercano a v 4 : Vector proyección ortogonal de v 4 sobre S, P S v Distancia de v 4 a S: La distancia de v 4 a S es v 4 P S v 4 v PS (b) Para obtener las soluciones en mínimos cuadrados del sistema Cx v resolvemos las ecuaciones normales de Gauss asociadas a dicho sistema, æ x x ecuaciones normales æ æde Gauss x x æ 4 Matemáticas I -

36 R-8 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) Ejercicio Sea S el subespacio vectorial de R n definido por la ecuación x + x + + x n Calcula la matriz P de la proyección ortogonal sobre S y resuelve, en el sentido de los mínimos cuadrados, el sistema Px Interpreta geomtricamente el resultado (en dimensión y en dimensión ) Puesto que dim (S) n, el complemento ortogonal S de S tiene dimensión y de hecho está generado por el vector cuyas coordenadas son los coeficientes de la única ecuación implícita que define S Es decir S Gen w Obviamente, es más simple calcular (directamente) la matriz de la proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial de dimensión, como es S, que calcular (directamente) la matriz de la proyección ortogonal sobre un subespacio vectorial de dimensión n como es S Puesto que w w es una base ortonormal de S, la matriz de la proyección ortogonal sobre S es n P S w w w wt [ ] n n Puesto que para cualquier subespacio se verifica que P S + P S I, tenemos que la matriz de la proyección ortogonal sobre el subespacio dado es P S I P S P S n n n n n Las soluciones en mínimos cuadrados del sistema dado, Px b, son las soluciones del sistema de ecuaciones Px proy V (b) siendo V Col (P) S Es decir, se trata de resolver el sistema Px Pb o, lo que es lo mismo, de obtener los vectores x R n cuya Matemáticas I Ingenierías: Aeroespacial, Civil y Química

37 Tema 6- Ortogonalidad y mejor aproximación (Resultados) R-9 proyección ortogonal sobre S coincide con la del vector b Obviamente, dichos vectores x son los vectores de la forma b + u, u S Puesto que S Gen [,,, ] T, las soluciones en mínimos cuadrados pedidas son x + α, α R Interpretación geomtrica: Ejercicio Matemáticas I -