A d) Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R 2 [x]? Razonar la respuesta.

Transcripción

1 Universidad de Oviedo Ejercicio.5 puntos Se consideran las aplicaciones lineales T : R [x] R y T : R R [x] de las que se conoce la matriz A asociada a T en las bases canónicas de R [x] y R y la matriz A asociada a T en la base B = {,,0, de R y la base canónica de R [x] A = A = a Demostrar que T = T T es un endomorfismo y calcular la matriz asociada en la base canónica de R [x]. b Dar una base, unas ecuaciones implícitas y unas paramétricas de KerT e ImT. Es kert ImT? son los subespacios kert y ImT suplementarios? c Calcular T +x y T {x,+x. d Estudiar la diagonalización del endomorfismo T. Es posible encontrar una base de vectores propios de R [x]? Razonar la respuesta. Solución: a Como el espacio final de la aplicación lineal T es R, y este espacio coincide con el espacio inicial de T tiene sentido la composición. Además, sabemos que la composición de aplicaciones lineales es una aplicación lineal, por lo que T T es una aplicación lineal, definida de R [x] en R [x], al coincidir el espacio inicial y el final podemos concluir que se trata de un endomorfismo en R [x]. Para calcular la matriz asociada a la composición, y siempre que la base intermedia sea común a ambos, por lo que debemos hacer un cambio de base como sigue: P= T : R B 0 A R [x] Bc R B c R [x] Bc M I Por lo tanto M = A P. Calculemos la inversa de P: 0 0 F F y tenemos la matriz pedida es M = A P A = P 0 = b Para calcular el kert = px = a+bx+cx R [x] / M a b = 0 0 c 0 Vamos a resolver el sistema homogéneo: 0 0 F3 0 0 F F = 0 0 Z. Fernández Muñiz //009 M. Serrano Ortega

2 Unas ecuaciones implícitas serían x+z = 0 y = 0 x = α y = 0 α R, y una base, po- z = α dría ser: {,0, +x. Con respecto a ImT = sistema generador: T = 0,Tx =, unas paramétricas:,0,,,,0,,tx =,0, F F 0,,0 F 3 F 0,0,0 0. Calculamos una base a partir del por lo tanto, una base de ImT sería {,0, +x,0,,0 x, a partir de ella se calculan unas ecuaciones x = α paramétricas: y = β α,β R y unas implícitas serían: x z = 0 z = α Para ver si la suma es directo, veremos si la unión de las bases es un sistema libre:,0, 0,,0,0,,0, F 3 +F 0,,0 0,0, que es un sistema libre, por lo tanto la suma es directa. Además la dimensión de la suma coincide con la dimensión del espacio, por lo que son suplementarios. c Sabemos que T +x = { px = a+bx+cx / Tpx +x, por lo tanto, será la solución del sistema: 0 0 α 0 0 α 0 a b c F 3 F = α α 0 α 0 0 α α Observamos que el sistema sólo tiene solución si α = 0, por lo tanto T +x = kert = +x Para calcular T {x,+x debemos resolver dos sistemas lineales con la misma matriz de coeficientes y distintos términos independientes, que podemos resolver simultáneamente como sigue: F 3 F F F observamos que el segundo sistema no tiene solución ya que tiene un pivote en la columna de términos independientes, por lo tanto T +x = /0. A partir del sistema se tiene que T {x,+x = { α + x+αx / α R d Cálculo del polinomio característico: det 0 0 = det = det = 0 = det = det = λ λ y dado que todos los valores propios son simples, el endomorfismo es diagonalizable. Z. Fernández Muñiz //009 M. Serrano Ortega

3 Ejercicio.5 punto En el espacio vectorial R 3 [x] se considera el producto escalar siguiente: a Dado el subespacio U =,x,x, calcular U. px qx = pxqxdx b Calcular la proyección ortogonal del polinomio px = x 3 sobre el subespacio U SOLUCIÓN: a Dado que dimu = 3 y dimr 3 [x] = sabemos que dimu =, por lo tanto cualquier vector no nulo y ortogonal a, x y x simultáneamente formaría una base del espacio perdido. Sea px = a+bx+cx + dx 3 U, entonces: px = a+bx+cx + dx 3 dx = a+ 3 c = 0 px = a+bx+cx + dx 3 xdx = 3 b+ 5 d = 0 px = a+bx+cx + dx 3 x dx = 3 a+ 5 c = 0 obteniendo: px = α 35 x+x3, por lo que U = 35 x+x3 b Para calcular la proyección, recordemos que si qx = a+bx+cx = proy U x 3, entonces x 3 = a+bx+cx + hx, hx U multiplicando la igualdad escalarmente por, x y x obtenemos las constantes a, b y c: x 3 = a+bx+cx = a +bx +cx x 3 x = a+bx+cx x = a x+bx x+cx x x 3 x = a+bx+cx x = a x +bx x +cx x 0 = a+ 3 c 5 = 3 b 0 = 3 a+ 5 c a = 0, b = 3 5, c = 0 por lo que proy U x 3 = 3 5 x. Ejercicio 3.5 punto Se considera el operador T : R 3 R 3 cuya matriz asociada en la base canónica es: + + A = + + a Demostrar que se trata de un operador ortogonal y clasificarlo. Z. Fernández Muñiz //009 M. Serrano Ortega

4 b Calcular sus elementos principales SOLUCIÓN: a Como estamos en una base ortonormal, la matriz asociada al operador debe ser ortogonal, es decir, A t A = I + + t = por lo tanto el operador es ortogonal. Para clasificarlo vemos a calcular su determinante: det + + F +F + + C = det C = = det = Por lo que se trata de un operador ortogonal inverso, es decir, una simetría compuesto con un giro, pero como la matriz es simétrica, es diagonalizable, por lo que se trata de una simetría. b O MÉTODO. Para calcular los elementos principales, recordemos que si el operador es ortogonal inverso, es valor propio, vamos a calcular un vector propio asociado al valor propio, para ello debemos encontrar una solución del sistema A + IX = [0]. Para ello, vamos a calcular la escalonada reducida asociada a A + I: F +F + +6 F / F + F F 0 F F 3 +F / F 3 F Z. Fernández Muñiz //009 M. Serrano Ortega

5 por lo que un vector de S es, por ejemplo v = { plano S = + x + O MÉTODO: Calculamos sus valores propios + det + = det = = = [ +, y+z = [ +,, y se trata de una simetría respecto del 0 F+F = det + + C+C = det ] + = ] + = [ ] = [ ] = λ = Calculamos el subespacio propio asociado al valor propio, que es el plano de simetría pedido. Para ello calculamos un sistema equivalente a A IX = F+F Con lo que un sistema equivalente a A IX = 0 es + + x y+ + + z = 0 x y+ z = 0 x+y+ z = 0 x = y+ z + [ ] + y+ z y+ + z = 0 + z = 0 x = y+ z x = y+ z { z R x = y+ z El plano de simetría es x y+ + z = 0 Z. Fernández Muñiz //009 M. Serrano Ortega