Álgebra. Curso

Transcripción

1 Álgebra. Curso de julio de 2013 Resolución

2 Primera parte Ejercicio. 1. (A) Dado F C[X] tal que (F, F ) = 1, prueba que C[X]/(F ) es un anillo reducido, esto es, sin elementos nilpotentes no nulos. (B) Sea A un anillo. Prueba que son equivalentes: (a) A es un cuerpo. (b) A[X] es un DIP. (A). Por ser C algebraicamente cerrado, F tiene una factorización en irreducibles del tipo F = t i=1 (X a i) e i, y por ser (F, F ) = 1, se tiene que cada exponente e i es igual a uno. Por tanto F = t i=1 (X a i). El teorema chino del resto prueba que C[X]/(F ) = t i=1 C[X] (X a i ) = C t, que es un anillo reducido. (B). (b) (a). Si A[X] es un DIP entonces A es un dominio y cada ideal primo es maximal; como (X) es un ideal primo, entonces es maximal y por tanto A = A[X] (X) es un cuerpo. Ejercicio. 2. Ordena, de mayor a menor, los monomios de grado 4 en K[X, Y, Z] (1) Para el orden graduado lexicográfico. (2) Para el orden graduado lexicográfico inverso. Los monomios de grado cuatro son: X 4, X 3 Y, X 3 Z, X 2 Y 2, X 2 Y Z, X 2 Z 2, XY 3, XY 2 Z, XY Z 2, XZ 3, Y 4, Y 3 Z, Y 2 Z 2, Y Z 3, Z 4. Esta es la ordenación para el orden graduado lexicográfico. Para el orden graduado lexicográfico inverso la ordenación es: X 4, X 3 Y, X 2 Y 2, XY 3, Y 4, X 3 Z, X 2 Y Z, XY 2 Z, Y 3 Z, X 2 Z 2, XY Z 2, Y 2 Z 2, XZ 3, Y Z 3, Z 4. Observa que las dos listas son distintas. 2

3 Ejercicio. 3. Sea A un anillo noetheriano y a un ideal propio de A. Prueba que existen ideales primos p 1,..., p t tales que a p i para cada i = 1,..., t y p 1 p t a. Llamamos Γ = {a A a no contiene un producto finito de ideales primos que contienen a a}. Si Γ, al ser A un anillo noetheriano existe q Γ maximal. Vamos a ver que q es un ideal primo. Sean bc q, podemos suponer que q b, c. Si b, c q entonces b, c / Γ, y existen ideales primos p 1,..., p s, p s+1,..., p r tales que p 1 p s b, p i b, i = 1,..., s y p s+1... p r c, p j c, j = s + 1,..., r. Entonces p 1 p s p s+1... p r bc q y p i q, i = 1,..., r, lo que es una contradicción. Por tanto q es primo. Pero en este caso q / Γ, lo que es una contradicción. En consecuencia Γ = y por tanto cada ideal a contiene un producto finito de ideales primos que contienen a a. Ejercicio. 4. Sea K un cuerpo. (1) Demuestra que cualquier subanillo de K[X] que contenga a K es noetheriano. (2) Prueba que este resultado no es cierto para el anillo K[X, Y ]. (3) Da un ejemplo en el que se muestre que no todos los subanillos de (1) son DFU. (1). Si S = K, entonces S es noetheriano. Si S K, sea 0 F = n i=0 a ix i S (mónico), y consideramos K[F ] que verifica K K[F ] S K[X]. Tenemos que K[F ] es isomorfo a un anillo de polinomios, y por tanto es noetheriano. El elemento X es entero sobre K[F ], ya que es raíz de Y n +a n 1 Y n 1 + +a 1 Y (F a 0 ) K[F ][Y ]. En consecuencia K[X] es un K[F ] módulo finitamente generado, y también lo es S. Entonces S es un K[F ] módulo noetheriano, y un anillo noetheriano. (2). Consideramos el subanillo K[Y, XY, X 2 Y,...] K[X, Y ], que no es noetheriano, ya que tenemos una cadena estrictamente ascendente (Y ) (Y, XY ) (Y, XY, X 2 Y ) (3). Consideramos el subanillo K[X 2, X 3 ] K[X], que no es un DFU, ya que tenemos X 2 X 2 X 2 = X 6 = X 3 X 3. 3

4 Segunda parte Ejercicio. 5. Sea A B una extensión entera de anillos. (1) Si a A es invertible en B, demuestra que a es invertible en A. (2) Si todo ideal primo no nulo de A es maximal, demuestra que todo ideal primo no nulo de B es maximal. (3) Demuestra que J(A) = J(B) c. (1). Supongamos que a A no es invertible, entonces existe un ideal primo p tal que a p. Por el Lema (??) existe un ideal primo q B tal que q A = p. Como a q, entonces a no es invertible en B. otra prueba con elementos: Si existe b B tal que ab = 1, sea b n + a n 1 b n a 1 b + a 0 = 0, multiplicando por a n 1 tenemos b + a n 1 b n 1 a n a 1 ba n 1 + a 0 a n 1 = 0, y por tanto b A. (2). Sea 0 q B primo, entonces q A es maximal, y por el Corolario (??) q es maximal. (3). Tenemos J(A) = {m m es maximal} y J(B) = {n n es un ideal maximal}. Dado m A maximal existe un ideal primo q B, tal que q A = m, por el Corolario (??) es un ideal maximal,entonces J(A) J(B) c. Por otro lado, dado un ideal maximal n B el ideal n A es un ideal primo, que es maximal por el Corolario (??), entonces J(A) J(B) c. Ejercicio. 6. Sea K un cuerpo y f : A B un homomorfismo entre dos K álgebras finitamente generadas. Prueba que para cada ideal maximal n B se tiene que n c = f 1 (n) A es un ideal maximal. Para un ideal maximal n B consideramos la siguiente situación: n c = f 1 (n) n A A/n c f B B/n 4

5 Entonces A/n B/n es una aplicación inyectiva de K álgebras. Por la hipótesis B/n es un cuerpo. Por el teorema de los ceros de Hilbert (Teorema (??)), resulta B/m que es una extensión finita de K, y por consiguiente B/n es un A/n c módulo finitamente generado. Tenemos entonces que la extensión A/n c B/n es entera, y como B/n es un cuerpo, también A/n c es un cuerpo. Ejercicio. 7. Prueba que si A es un anillo (conmutativo) artiniano entonces para cada subconjunto multiplicativo Σ A el anillo Σ 1 A es artiniano. Da un ejemplo de que el recíproco no es cierto en general. Tenemos que un anillo A es artiniano si, y sólo si, es noetheriano y cada cada ideal primo es maximal. Probamos que cada ideal primo de Σ 1 A es maximal por la correspondencia biyectiva entre ideales primos Σ 1 A e ideales primos de A que no cortan a Σ. Falta ver que Σ 1 A es un anillo noetheriano; podemos también probarlo por medio de ideales primos: A es noetheriano si, y sólo si, cada ideal primo es finitamente generado, utilizando la correspondencia antes mencionada. Un modo alternativo es probar directamente que cada cadena descendente de ideales de Σ 1 A es estacionaria; para esto basta comprobar que todo ideal b de Σ 1 A es de la forma b = aσ 1 A, con a A un ideal. Ejercicio. 8. Sea A un dominio de integridad noetheriano local con ideal maximal m 0. Prueba que son equivalentes: (a) A es un anillo de valoración discreta; (b) los únicos ideales primarios (no nulos) de A son las potencias de m. Es claro que si A es un dominio de de valoración discreta, entonces los ideales primarios son las potencias de m. Si los únicos ideales primarios (no nulos) son las potencias de m, entonces el único ideal primo no nulo de A es el propio m. Como A es un dominio noetheriano, cada ideal tiene una descomposición primaria; como los ideales primarios son potencias de m, resulta que cada ideal no trivial es una potencia de m, y por tanto A es un dominio de valoración discreta. Todos los ejercicios tienen el mismo valor. Examen completo: Tres ejercicios de cada parte. 5