Notas de geometría algebraica

Transcripción

1 Notas de geometría algebraica

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3 Notas de geometría algebraica Felipe Zaldívar

4 c Felipe Zaldívar

5 Índice general Introducción VII Capítulo 1. Variedades afines El espacio afín Ejercicios El teorema de los ceros de Hilbert Ejercicios Morfismos entre variedades afines Ejercicios Capítulo 2. Variedades proyectivas El espacio proyectivo Ejercicios Morfismos entre variedades proyectivas Ejercicios Ejemplos Ejercicios Capítulo 3. Dimensión Dimensión de variedades afines Ejercicios El teorema del ideal principal y la dimensión de Krull Ejercicios El lema de normalización de Noether Ejercicios Dimensión de variedades proyectivas Ejercicios Dimensión y morfismos Ejercicios Capítulo 4. Propiedades locales Espacios tangente, puntos lisos y puntos singulares Ejercicios El espacio tangente de Zariski Ejercicios La diferencial de una aplicación regular y morfismos étales Ejercicios Derivaciones y el anillo de números duales Ejercicios Expansión en serie de potencias V

6 VI ÍNDICE GENERAL Ejercicios Factorización única en el anillo local de un punto liso Ejercicios Variedades normales Ejercicios Ramificación Ejercicios Capítulo 5. Intersección Divisores Divisores en curvas El teorema de Bézout Multiplicidades de intersección Capítulo 6. Resolución de singularidades Dilataciones Ejercicios Dilataciones en general. Formulación algebraica Ejercicios Resolución de singularidades Ejercicios Bibliografía Índice alfabético

7 Introducción Desde un punto de vista clásico, la geometría algebraica es el estudio de los espacios de soluciones de sistemas de ecuaciones polinomiales en varias variables. Para garantizar, desde el inicio, que estos espacios de soluciones no sean vacíos, se comienza considerando polinomios con coeficientes en un campo algebraicamente cerrado, donde el favorito es el campo de los números complejos. Después de establecer la topología natural en estos espacios y las funciones naturales entre ellos, se procede a un estudio topológico más profundo de los mismos introduciendo, para empezar, la noción de dimensión en sus varias formulaciones. En este mismo sentido se introducen las nociones de puntos lisos, puntos singulares y espacios tangente. A lo largo de todo el texto se discuten ejemplos apropiados para ilustrar o motivar los conceptos y resultados principales. En el caso importante de variedades complejas, los temas bosquejados arriba se pueden estudiar con herramientas analíticas, pero la motivación para estudiarlos desde un punto de vista algebraico es explorar hasta qué punto la validez de estos resultados se mantiene al pasar a campos arbitrarios. Más aún, la teoría de números pide, de cierta forma, que también se considere el caso de variedades definidas sobre campos arbitrarios, no necesariamente algebraicamente cerrados. En este libro, de naturaleza elemental, seguiremos el enfoque clásico ( preclásico ) y estudiaremos variedades algebraicas, afines o proyectivas, sobre campos algebraicamente cerrados, definidas primero dentro del espacio afín o proyectivo, y después generalizadas al definirlas localmente isomorfas a espacios afines usando la gavilla de funciones natural para pegar en los traslapes. Los requisitos de álgebra (anillos conmutativos e ideales) son los mínimos, usualmente adquiridos en la licenciatura, y los resultados de álgebra que se considere que son no usuales y que son esenciales para el desarrollo de los temas geométricos, se introducirán conforme se vayan requiriendo, con demostraciones completas de los mismos y con las aplicaciones geométricas que los motivan. En algunos ejercicios se requiere aumentar el nivel de álgebra conmutativa, y usualmente son generalizaciones de resultados geométricos demostrados en el texto. Se sugiere así, de alguna manera, estudiar álgebra conmutativa en forma paralela y de manera motivada por las ideas geométricas que se van introduciendo, con demostraciones geométrico-algebraicas completas en el contexto del libro, pero que se algebrizan naturalmente. VII

8 Capítulo1 Variedades afines En este capítulo comenzamos el estudio de objetos definidos como ceros de polinomios, y el resultado principal es un diccionario que traduce propiedades geométricas de estos conjuntos a propiedades algebraicas de los ideales en el anillo de coordenadas correspondiente El espacio afín Sea K un campo (algebraicamente cerrado). El espacio afín de dimensión n sobre K es el conjunto A n = A n K = A n (K) := {(a 1,..., a n ) : a i K}. Si E es un subconjunto del anillo de polinomios K[x 1,..., x n ], al conjunto de ceros comunes, en A n K, de los polinomios en E: V(E) := {P = (a 1,..., a n ) A n K : f(p ) = 0 para todo f E} se le llama un conjunto algebraico afín, o simplemente un conjunto afín. Observamos que si I = E es el ideal de K[x 1,..., x n ] generado por E, entonces V(E) = V(I) (esto nos dice que al definir conjuntos algebraicos afines basta considerar ideales de K[x 1,..., x n ]). En efecto, como E E = I, si P V(I) entonces P es cero de todos los polinomios de I, en particular de los que están en E I, es decir, V(I) V(E) (vea también la parte 4 del lema 1.1). Por otra parte, si P V(E) y si f I = E, entonces f es combinación lineal de algunos f 1,..., f r E, es decir, f = g 1 f g r f r con los g i K[x 1,..., x n ]. Se sigue que f(p ) = g i (P )f i (P ) y como f i (P ) = 0, entonces f(p ) = 0, i.e., P V(I). Más aún, por el teorema de la base de Hilbert, el anillo K[x 1,..., x n ] es noetheriano y por lo tanto todos sus ideales son finitamente generados, es decir, existe un conjunto finito de polinomios {f 1,..., f r } E I tal que V(E) = V(I) = V({f 1,..., f r }) = V(f 1 ) V(f r ) es decir, todos los conjuntos afines son los ceros comunes de un conjunto finito de polinomios. Las primeras propiedades de los conjuntos algebraicos afines V(I) son: 1

9 2 1. VARIEDADES AFINES LEMA 1.1. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces, (1) A n K y son conjuntos algebraicos afines. (2) Si V 1,..., V k son conjuntos afines, entonces V 1 V k también es afín. (3) Si {V i } es una familia arbitraria de conjuntos afines, entonces i V i también es afín. (4) Si I 1 I 2 son ideales de K[x 1,..., x n ], entonces V(I 1 ) V(I 2 ). (5) Si I K[x 1,..., x n ] es cualquier ideal, entonces V(I) = V( I). Recuerde que si A es cualquier anillo conmutativo e I A es un ideal, el radical del ideal I es el conjunto I = {a A : a n I, para algún n 0}. Es fácil probar (usando la expansión binomial) que I es un ideal de A. Claramente, I I. Un ideal I A se dice que es un ideal radical si I = I. Demostración. Para (1), claramente A n K = V(0) y = V(1). Para (2), basta probarlo para dos conjuntos afines, digamos V = V(I) y W = V(J). Entonces, V W = V(I) V(J) = V(I J). En efecto, si P V(I) V(J), entonces P pertenece a algunos de los conjuntos afines, digamos P V(I) por lo que para todo f I se tiene que f(p ) = 0, en particular para los f I J y así P V(I J). Recíprocamente, si P V(I J) y si sucediera que P V(I) V(J), entonces existirían f I y g J tales que f(p ) 0 y g(p ) 0 y por lo tanto f(p )g(p ) 0. Sin embargo, como fg I J y P V(I J), se debe tener que f(p )g(p ) = 0, una contradicción. Para (3) mostraremos que si V i = V(I i ), entonces V ( i I ) i = i V(I i). En efecto, si P V ( i I i), como cada Ii i I i, entonces P V(I i ) para todo i y por lo tanto P i V(I i). Recíprocamente, si P V(I i ) para todo i, entonces para todo f i I i, escribiendo f = j g jf j (suma finita) con los f j I j, se tiene que f(p ) = j g j(p )f j (P ) = 0 y así P V( i I i). La parte (4) se demostró esencialmente antes. Para (5), como I I, por la parte (4) se sigue que V( I) V(I). Recíprocamente, si P V(I), dado cualquier f I, como existe m tal que f m I, entonces f m (P ) = 0 y por lo tanto f(p ) = 0, i.e., P V( I). OBSERVACIÓN. Las partes 1, 2, 3 del lema anterior nos dicen que los conjuntos algebraicos afines satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en una topología, a la que se llama la topología de Zariski de A n K. Si X An K es un conjunto algebraico afín, la topología de Zariski en X es la topología inducida por la inclusión como subespacio. Nótese que en esta topología, W X es cerrado si y sólo si W = X V con V A n K un conjunto algebraico y por lo tanto, por 1.1(3), también W = X V es un conjunto algebraico. En otras palabras, los cerrados en la topología de Zariski de un conjunto algebraico, también son conjuntos algebraicos.

10 1.1. EL ESPACIO AFÍN 3 Lo que hemos hecho hasta ahora es asociar a cada ideal de polinomios de K[x 1,..., x n ] un conjunto afín en A n K. Se tiene la construcción recíproca: a cada subconjunto X de A n K le asociamos el ideal de K[x 1,..., x n ] dado por los polinomios que se anulan en X: I(X) := {f K[x 1,..., x n ] : f(p ) = 0 para todo P X}. Las propiedades básicas de esta construcción son: LEMA 1.2. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). Entonces, (1) I( ) = K[x 1,..., x n ]. (2) Si X 1 X 2 son subconjuntos de A n K, entonces I(X 1) I(X 2 ). (3) Si V, W A n K, entonces I(V W ) = I(V ) I(W ). (4) Si V A n K, entonces I(V ) = I(V ), i.e., el ideal I(V ) es un ideal radical. Demostración. La parte (1) es por vacuidad. Las partes (2) y (3) son directas, por ejemplo para (3), si f I(V W ), entonces para todo P V W se tiene que f(p ) = 0. En particular, si P V V W se tiene que f(p ) = 0, i.e., f I(V ). Similarmente, f I(W ). Recíprocamente, si f I(V ) I(W ), entonces f I(V ) y f I(W )y así, para todo P V, f(p ) = 0 y para todo Q W, f(q) = 0. Es decir, para todo P V W se tiene que f(p ) = 0, por lo que f I(V W ). Para (4), si f I(V ), entonces f r I(V ), para algún r y así, para todo P V se tiene que f r (P ) = 0, i.e., (f(p )) r = 0 y por lo tanto f(p ) = 0, i.e., f I(V ). La otra inclusión siempre es válida: I I. y Al componer las dos correspondencias V : {ideales de K[x 1,..., x n ]} {subconjuntos de A n K} I : {subconjuntos de A n K} {ideales de K[x 1,..., x n ]} que hemos definido arriba, si queremos que sean inversas una de la otra, observemos que en el lema 1.1 se tiene que: A n K = V(0) por lo que para que I sea inversa de V se requiere que I(A n K ) = (0). Es decir, se necesita probar que si un polinomio f K[x 1,..., x n ] se anula en todo A n K, entonces f = 0 es el polinomio cero. En general esto no es cierto, por ejemplo para un campo finito K = F q, el polinomio f(x) = x q x F q [x] se anula en todo A 1 F q = F q (por el teorema pequeño de Fermat) pero no es el polinomio cero. Sin embargo, si el campo K es infinito (en particular, si K es algebraicamente cerrado porque todos estos campos son infinitos) el resultado es cierto: LEMA 1.3. Sea K un campo infinito. Entonces, I(A n K ) = 0.

11 4 1. VARIEDADES AFINES Demostración. Inducción sobre n 1. El caso n = 1 es porque si f I(A 1 K ) K[x] no fuera cero, como el número de raíces de f es que su grado, esto contradice el que K es infinito. Supongamos ahora que el lema es válido para n 1 y sea f I(A n K ). Supongamos que f 0. Observe primero que An 1 K A n K identificando (α 1,..., α n 1 ) A n 1 K con (α 1,..., α n 1, 0) A n K. Factorizando las potencias x k en los monomios de f, escribamos ( ) f = a k (x 1,..., x n 1 )x k n + y note que no puede suceder que k = 0 (i.e., que no aparezca la variable x n en f) porque entonces f K[x 1,..., x n 1 ] se anula en todo A n K, en particular en A n 1 K y así f = 0, por hipótesis de inducción. Podemos entonces suponer que k 1 y que a k (x 1,..., x n 1 ) 0 (no es el polinomio cero). Entonces, por hipótesis de inducción se tiene que a k I(A n 1 K ) y por lo tanto existe un punto (α 1,..., α n 1 ) A n 1 K tal que a k(α 1,..., α n 1 ) 0. Substituyendo el punto (α 1,..., α n 1 ) en todos los coeficientes a i en ( ) se obtiene el polinomio en una variable: f = a k (α 1,..., α n 1 )x k n + K[x n ] donde el coeficiente a k (α 1,..., α n 1 ) 0 y por lo tanto f tiene gr( f) raíces, i.e., no se puede anular en todo A 1 K, i.e., existe α n K = A 1 K tal que 0 f(α n ) = f(α 1,..., α n 1, α n ), i.e., no se anula en todo A n K. El resultado principal es el siguiente, pero la parte medular requiere el teorema de los ceros de Hilbert 1.15 cuya demostración se hará en la sección siguiente: TEOREMA 1.4. Sea K un campo (algebraicamente cerrado). (1) Si V es un subconjunto arbitrario de A n K, entonces V V(I(V )), y la igualdad se tiene si y sólo si V es un subconjunto algebraico afín. (2) Si J es un ideal de K[x 1,..., x n ], entonces J I(V(J)). Más aún, IV(J) = J y por lo tanto la igualdad IV(J) = J se tiene si y sólo si J es un ideal radical. Demostración. Para (1), si P V, entonces para todo f I(V ) se tiene que f(p ) = 0 y por lo tanto f V(I(V )) y así V V(I(V )). Supongamos ahora que V = V(J) es algebraico afín. Entonces, J I(V ) y así, por el lema 1.2, se tiene que V = V(J) V(I(V )) y por lo tanto se tiene la igualdad V = V(I(V )). Recíprocamente, si V = V(I(V )), entonces V es algebraico, por definición. Para (2), si f J, entonces para todo P V(J) se tiene que f(p ) = 0 y por lo tanto J IV(J). La segunda afirmación de la parte (2) es (una parte de) el contenido del teorema de los ceros de Hilbert y su demostración se pospondrá hasta la sección sobre este teorema.

12 1.1. EL ESPACIO AFÍN 5 En general, se pueden tener inclusiones estrictas en las dos partes del teorema anterior, como veremos en los ejercicios 3 y 4. Note que en ninguna de las partes demostradas se usó el que el campo K sea algebraicamente cerrado. Esto se usará para demostrar la segunda parte del inciso (2), lo cual, como mencionamos antes pospondremos hasta la sección sobre el teorema de los ceros de Hilbert. OBSERVACIÓN. Aceptando por un momento que ya se ha demostrado el teorema anterior, notamos que este teorema y las partes (2) del lema 1.2 y (4) del lema 1.1 nos dicen que las correspondencias {subconjuntos algebraicos de A n K } I {ideales radicales de K[x 1,..., x n ]} V invierten inclusiones y son inversas una de la otra. Esto es una perfecta correspondencia que traduce la geometría de los conjuntos algebraicos afines a una situación algebraica. Hay una última observación que es el momento de hacer: si K es un campo arbitrario, los conjuntos V(I) pueden ser vacíos aún cuando el ideal I sea propio. Un ejemplo, trivial, donde esto sucede es para x 2 + y R[x, y] para el cual se tiene que V(x 2 + y 2 + 1) = en A 2 R. El teorema de los ceros de Hilbert garantiza, además de la correspondencia anterior (vea la parte 2 del teorema 1.4), que si I K[x 1,..., x n ] y K es algebraicamente cerrado, entonces V(I). Es clara entonces la importancia de este teorema de Hilbert y también la del sobrenombre del teorema (garantiza la existencia de ceros de un ideal propio). Ejemplo 1. Supongamos que K es algebraicamente cerrado. En la recta afín A 1 K, cuáles son sus conjuntos algebraicos? Para comenzar, como el anillo K[x] es un DIP, entonces todo conjunto algebraico V A 1 K es de la forma V = V(f) para un polinomio f K[x], y como K es algebraicamente cerrado entonces f(x) se factoriza como f(x) = c(x a 1 ) (x a k ) con c, a i K y por lo tanto V(f) = {a 1,..., a n }, es decir, los conjuntos algebraicos de A 1 K son los conjuntos finitos, el espacio total y el vacío. Lo anterior sirve para mostrar que la topología de Zariski en A 1 K es muy débil y bastante diferente de la topología usual en A 1 K = K, por ejemplo si K = C, ya que en A 1 C = C se tienen más cerrados en la topología métrica usual que en la topología de Zariski. Note también que los cerrados en la topología de Zariski son cerrados en la topología métrica ya que los polinomios son funciones continuas en la topología usual. Ejemplo 2. Si E K[x 1,..., x n ] es un conjunto finito de polinomios lineales, la variedad V(E) A n K se llama una K-variedad lineal que, esencialmente es estudiada por el álgebra lineal.

13 6 1. VARIEDADES AFINES Ejemplo 3. Si E K[x 1,..., x n ] consiste de un único polinomio no constante f K[x 1,..., x n ], a la variedad V(E) =: V(f) A n K se le llama una hipersuperficie. Si f es de grado 1, se dice que V(f) es un hiperplano afín en A n K. En el caso particular cuando n = 2, V(f) es una curva en A 2 K y es una recta si f es lineal. Ejemplo 4. Si K es un campo, dada a una matriz m n con entradas en K, desplegando sus renglones la podemos pensar como un elemento de A mn K. Entonces, si m = n, el grupo lineal especial SL n (K) AK n2 de matrices cuadradas n n con determinante 1, es un conjunto algebraico afín porque el determinante es un polinomio, es decir, para (x ij ) n n, su determinante det(x ij ) K[x 11, x 12,..., x nn ]. En forma similar se muestra que el grupo ortogonal O n (K) de matrices cuadradas A tales que A T A = id n es un conjunto algebraico afín. Irreducibilidad. Si X es un espacio topológico, un subespacio no vacío Z de X se dice que es irreducible si no se puede escribir como la unión de dos subconjuntos cerrados propios de Z. Una variedad afín es un subconjunto algebraico irreducible de algún A n (note que entonces este subconjunto es cerrado en A n ). Un abierto de una variedad algebraica afín se llama una variedad casi-afín. PROPOSICIÓN 1.5. Un conjunto algebraico V es irreducible si y sólo si su ideal asociado I(V ) es un ideal primo. Demostración. Si V es irreducible y si f, g K[x 1,..., x n ] son tales que fg I(V ), entonces poniendo W 1 = V(f), W 2 = V(g), se tiene que V = (V W 1 ) (V W 2 ), con los espacios de la derecha cerrados y por lo tanto, ya que V es irreducible, se sigue que V = V W 1 o V = V W 2, es decir, V W 1 o V W 2, por lo que f I(W 1 ) I(V ) o g I(W 2 ) I(V ), i.e., I(V ) es ideal primo. Recíprocamente, si I(V ) es un ideal primo, supongamos que existen cerrados (i.e., conjuntos algebraicos afines) W 1, W 2 tales que V = W 1 W 2 con W i V. Por 1.2 se tiene que I(V ) = I(W 1 ) I(W 2 ) y además, por la inyectividad de I, I(V ) I(W i ). Por lo tanto, existen polinomios f i I(W i ) I(V ) y como los I(W i ) son ideales, entonces f 1 f 2 I(W i ) y consecuentemente f 1 f 2 I(W 1 ) I(W 2 ) = I(V ), una contradicción con la hipótesis de que I(V ) es primo. Ejemplo 5. A n K es irreducible ya que, por 1.3, su ideal I(An K ) = 0, que es primo. Ejemplo 6. Si f K[x, y] es un polinomio irreducible, entonces p = f es un ideal primo y por lo tanto X = V(f) A 2 K es irreducible. Note que esta variedad algebraica es la curva afín definida por f(x, y) = 0. Las figuras siguientes son algunas curvas en A 2 R, todas ellas irreducibles excepto la última:

14 1.1. EL ESPACIO AFÍN 7 V y 2 x 3 V y 2 x 2 (x + 1) V x 2 + y 2 1 V (y x 2 )(y x) A continuación veremos que todo conjunto algebraico afín V se puede descomponer, en forma única, como unión de subconjuntos algebraicos irreducibles. Esto es importante porque muchas preguntas sobre conjuntos algebraicos se pueden responder más fácilmente cuando éstos son irreducibles. LEMA 1.6. Sea X un espacio topológico arbitrario. Son equivalentes: (1) X es irreducible. (2) Si U 1, U 2 son subconjuntos abiertos no vacíos de X, entonces U 1 U 2.

15 8 1. VARIEDADES AFINES (3) Todo subconjunto abierto no vacío de X es denso en X. Demostración. (1) (2): Si U 1 U 2 =, tomando complementos X = (X U 1 ) (X U 2 ) con X U i cerrados propios de X y así, por hipótesis, se debe tener que X = X U 1 o X = X U 2, i.e., U 1 = o U 2 =, una contradicción. (2) (1) es similar. (1) (3) es directo de la definición de densidad. COROLARIO 1.7. Sea Y X un subconjunto de un espacio topológico X. Si Y es irreducible entonces su cerradura Y es irreducible. Demostración. Un abierto U intersecta a Y si y sólo si intersecta a Y. Una componente irreducible de un espacio topológico X es un subconjunto irreducible máximo de X. Por el corolario anterior, las componentes irreducibles son cerradas y así, en el caso de conjuntos algebraicos, las componentes irreducibles son variedades algebraicas. PROPOSICIÓN 1.8. Sea X un espacio topológico. Entonces, (1) Cada subconjunto irreducible de X está contenido en una componente irreducible. (2) X es la unión de sus componentes irreducibles. Demostración. La parte (2) se sigue de (1) ya que para todo x X el conjunto {x} es irreducible y así, por (1), está contenido en una componente irreducible de X. Para probar (1) usaremos el lema de Zorn. Sea W X un subconjunto irreducible y sea F la familia de subconjuntos irreducibles de X que contienen a W. Como W F, entonces F, y si {X i } i Λ es una cadena en F, entonces su unión Y = i Λ X i también está en F ya que X Y y Y es irreducible porque si U 1, U 2 son abiertos de X tales que U i Y, entonces existen índices i 1, i 2 Λ tales que U i X ik para j = 1, 2, y como {X i } es una cadena podemos suponer que X i2 X i1 y por lo tanto U i X ik, pero como X ik son irreducibles por 1.6 se sigue que U 1 U 2 X ik y por lo tanto U 1 U 2 Y que por 1.6 implica que Y es irreducible, y por lo tanto Y F. Claramente Y es cota superior de esta cadena y así, por el lema de Zorn, F debe tener un elemento máximo, que es, por definición, una componente irreducible de X que contiene a W, como se quería. Un espacio topológico X se dice que es noetheriano si toda cadena descendente de subconjuntos cerrados de X: Y 1 Y 2 Y j se estaciona. Observe que si X es un conjunto algebraico afín, los cerrados de X también son conjuntos algebraicos. El ejemplo que nos interesa es una consecuencia del teorema de la base de Hilbert:

16 1.1. EL ESPACIO AFÍN 9 COROLARIO 1.9. Si X A n es una variedad afín, entonces X es un espacio noetheriano. Demostración. Por 1.2, a una cadena descendente de cerrados (i.e., subconjuntos algebraicos) de X Y 1 Y 2 Y j le corresponde la cadena ascendente de ideales de K[x 1,..., x n ]: I(Y 1 ) I(Y 2 ) I(Y j ) que se estaciona porque K[x 1,..., x n ] es un anillo noetheriano. OBSERVACIÓN. Un espacio topológico X es noetheriano si y sólo si toda cadena ascendente de abiertos se estaciona. (Esto se sigue tomando complementos). También, por el lema de Zorn, lo anterior es equivalente a que X satisface la condición máxima para conjuntos abiertos o la condición mínima para conjuntos cerrados. PROPOSICIÓN Un espacio topológico noetheriano X tiene sólo un número finito de componentes irreducibles y ninguna componente está contenida en la unión de otras. Demostración. Sea F la familia de cerrados de X que no se pueden escribir como unión finita de subconjuntos irreducibles de X. Probaremos que F es vacío. Supongamos que F ; por la observación previa a la proposición existe un elemento mínimo Y F; en particular Y no es irreducible y así existen cerrados Y 1, Y 2 Y tales que Y = Y 1 Y 2. Por la minimalidad de Y se tiene que Y i F y por lo tanto Y i es una unión finita de subconjuntos irreducibles de X y consecuentemente Y también lo es, lo cual es una contradicción. Se sigue que F = y por lo tanto todos los cerrados de X, en particular X mismo, se pueden representar como unión finita de subconjuntos irreducibles y así, por la proposición previa se sigue que ( ) X = X 1 X n con las X i componentes irreducibles de X y X i X j si i j. Ahora, si Y es cualquier componente irreducible de X, de la relación n ( ) Y = Y X = (X i Y ) se sigue que Y = X i Y para algún i (ya que X i Y Y y si sucediera que X i Y Y para todo i, como los X i Y son cerrados, entonces la relación ( ) contradice el hecho de que Y es irreducible). De la igualdad Y = X i Y para algún i se sigue que Y = X i, por lo que las X i, 1 i n, son todas las componentes irreducibles de X, i.e., éstas son un número finito. Finalmente, note que tampoco se puede tener que X i j i X j, ya que de lo contrario X i = X j, para algún j i, en contradicción con ( ). i=1

17 10 1. VARIEDADES AFINES COROLARIO Si V A n K es cualquier conjunto afín, entonces V tiene sólo un número finito de componentes irreducibles V 1,..., V n y en la representación es su des- V = V 1 V n ningún V i es superfluo, i.e., ningún V i está contenido en algún otro. Ejemplo 7. Sea f K[x 1,..., x n ] y supongamos que f = p e 1 1 per r composición en factores irreducibles, con los p i distintos. Entonces, con los p e i i f = p e 1 1 per r = i ideales distintos. Se sigue que f = i p e i i = i ya que claramente p e i i = p i. Por lo tanto, ( ) V(f) = i V(p i ) p e i i con cada V(p i ) irreducible porque los p i son ideales primos. Más aún, V(p i ) V(p j ), para i j. Así, ( ) es la descomposición de la hipersuperficie V(f) en sus componentes irreducibles. Anillos de coordenadas. Así como el anillo K[x 1,..., x n ] está naturalmente asociado al espacio afín A n K, a cada subvariedad algebraica V An K se le asocia, en forma natural, su anillo de coordenadas afín identificando los polinomios que definen la misma función en V, es decir, se define p i K[V ] := K[x 1,..., x n ]/I(V ). OBSERVACIÓN. Los elementos φ del anillo de coordenadas K[V ] de una K-variedad V A n K se pueden considerar como funciones φ : V K, ya que si φ = f + I K[V ], con f K[x 1,..., x n ], para P = (a 1,..., a n ) V se define φ(p ) := f(a 1,..., a n ), y notamos que este valor no depende del representante f de la clase lateral φ, ya que si g es otro tal representante, se tiene que f g I(V ) y así f(a 1,..., a n ) g(a 1,..., a n ) = 0, para todo (a 1,..., a n ) V. Ejemplo 8. Las coordenadas x i K[V ] = K[x 1,..., x n ]/I(V ) las podemos ver como funciones x i : V K que asignan a cada punto P = (a 1,..., a n ) V su i-ésima coordenada x i (P ) := a i.

18 1.1. EL ESPACIO AFÍN 11 OBSERVACIÓN. El anillo K[V ] es el menor anillo de funciones en V que contiene a las funciones coordenadas del ejemplo 8 y al campo K (sus elementos vistos como funciones constantes). Una consecuencia directa de 1.5 es: COROLARIO Un subconjunto algebraico afín V A n K es irreducible si y sólo si su anillo de coordenadas K[V ] es un dominio entero. Ejemplo 9. Si K es algebraicamente cerrado y m K[x 1,..., x n ] es un ideal máximo, entonces X = V(m) es una variedad irreducible que es un cerrado mínimo de A n K (por la correspondencia 1.4 y por lo tanto debe consistir de un sólo punto, digamos P = (a 1,..., a n ). Se sigue que todo ideal máximo de K[x 1,..., x n ] es de la forma m = x 1 a 1,..., x n a n. De hecho, se tiene algo más: PROPOSICIÓN Sea K un campo algebraicamente cerrado y sea V A n K algebraico. Existe una correspondencia biunívoca entre los puntos de V y los ideales máximos del anillo de coordenadas K[V ]. Demostración. Si m K[V ] = K[x 1,..., x n ]/I(V ) es un ideal máximo, entonces corresponde a un único ideal máximo m K[x 1,..., x n ] que contiene a I(V ) y por lo tanto V(m) V(I(V )) = V. Por el ejemplo 9 anterior V(m) consiste de un único punto y así este punto pertenece a V. Recíprocamente, si P V es un punto, entonces {P } V A n K y por 1.2 se sigue que I{P } I(V ). Por otra parte, si P = (a 1,..., a n ), entonces claramente I(P ) = x 1 a 1,..., x n a n y éste es un ideal máximo de K[x 1,..., x n ] que contiene a I(V ), i.e., corresponde a un único ideal máximo de K[V ]. Un anillo A es reducido si su nilradical 0 = 0, es decir, si A no tiene elementos nilpotentes. PROPOSICIÓN Si I K[x 1,..., x n ] y V coordenadas K[V ] es reducido. = V(I), entonces el anillo de Demostración. Por 1.4, I(V(I)) = I y así K[V ] = K[x 1,..., x n ]/ I por lo que el nilradical de K[V ] es I = I, i.e., es cero. Puntos racionales. Si k K es un subcampo, considerando puntos con coordenadas en k, el conjunto A n K(k) := {(a 1,..., a n ) A n K : a i k} se llamará el conjunto de puntos k-racionales de A n K. El grupo de Galois G k := Gal(K/k) actúa sobre A n K mediante σ(p ) = P σ = (σ(a 1 ),..., σ(a n )

19 12 1. VARIEDADES AFINES para σ G k y P = (a 1,..., a n ) A n K. Se sigue que el conjunto de puntos k- racionales A n K (k) se puede caracterizar por A n K(k) = subconjunto de A n K invariante bajo la acción de G k = {P A n K : P σ = P para todo σ G k }. Si V es una variedad afín y k K es un subcampo, diremos que V está definida sobre k si su ideal I(V ) puede ser generado por polinomios con coeficientes en k. Usaremos la notación V/k para indicar que V está definida sobre k. Nótese que aún cuando V esté definida sobre k, el conjunto de puntos de V está, en general, en A n K, i.e., los polinomios que definen a V pueden tener (y, en general, tienen) ceros en K fuera de k. En geometría diofantina uno de los problemas básicos es la descripción del conjunto de puntos k-racionales de la variedad V que se define por V (k) := V A n K(k). Nótese que si f k[x 1,..., x n ] K[x 1,..., x n ] y si P A n K, entonces para todo σ G k se tiene que f(p σ ) = f(p ) σ y por lo tanto, si V está definida sobre k la acción de G k en A n K induce una acción en V y se tiene que V (k) := puntos de V invariantes bajo la acción del grupo de Galois G k = {P V : P σ = P para todo σ G k }. Ejemplo 10. Sea V el conjunto algebraico en A 2 K dado por el polinomio x2 y 2 = 1. Observe que como los coeficientes de este polinomio son ±1, entonces V está definido sobre cualquier subcampo k de K. Ahora, si suponemos que car K 2, entonces se tiene la biyección ( t A 1 2 ) + 1 K(k) {0} V (k) dada por t, t2 1. 2t 2t Ejemplo 11. Recordemos que la conjetura de Fermat (ahora teorema por Wiles) asegura que, para n 3, las únicas soluciones enteras de x n +y n = z n son las triviales, i.e., aquellas con xyz = 0. Si ahora deshomogeneizamos esta ecuación dividiendo entre z 0 y ponemos X = x/z, Y = y/z, en la ecuación afín correspondiente X n + Y n = 1 se buscan ahora soluciones con coordenadas racionales, en Q, y si V es la variedad definida por este polinomio, la conjetura de Fermat asegura en este caso, que las únicas soluciones son, para n 3: { {(1, 0), (0, 1)} para n impar, V (Q) = {(±1, 0), (0, ±1)} para n par.

20 Ejercicios EJERCICIOS 13 EJERCICIO 1. Sea K un campo algebraicamente cerrado y suponga que f, g K[x, y] son dos polinomios coprimos. Demuestre que V{f, g} = V(f) V(g) es un conjunto finito. Sugerencia: Muestre primero que f, g son coprimos en el DIP K(x)[y] y luego exprese su máximo común divisor como combinación lineal de f y g; después eliminando denominadores muestre que existen h K[x] y a, b K[x, y] tales que h = af + bg. Concluya que hay sólo un número finito de valores posibles de la coordenada x de los puntos de V(f, g). EJERCICIO 2. Sea K un campo algebraicamente cerrado. Demuestre que los subconjuntos irreducibles del plano A 2 K son: A2 K,, puntos y curvas irreducibles V(f), donde f es un polinomio irreducible tal que V(f) es infinito. EJERCICIO 3. Si J K[x 1,..., x n ] es un ideal, la inclusión J I(V(J)) de 1.4 puede ser estricta, por ejemplo si el campo base K no es algebraicamente cerrado. Un ejemplo típico sería con K = R y f(x) = x R[x] tomando J = x R[x]. Muestre que I(V(J)) = R[x]. EJERCICIO 4. Aún cuando K sea algebraicamente cerrado, la inclusión J I(V(J)) de 1.4 puede ser estricta. Muestre que para el polinomio f(x) = x C[x] si J = f 2 = x 2 C[x] se tiene que J I(V(J)). EJERCICIO 5. Sea J = xy, xz, yz K[x, y, z]. Identifique V(J) A 3 K. Es irreducible? Cómo es la inclusión J I(V(J))? EJERCICIO 6. Sea J = xy, (x y)z. Identifique V(J). Calcule J. EJERCICIO 7. Sea K algebraicamente cerrado. Demuestre que toda K-álgebra finitamente generada es isomorfa a un cociente K[x 1,..., x n ]/I. EJERCICIO 8. Demuestre que un espacio topológico irreducible es conexo. Sin embargo, se puede tener un espacio conexo que no es irreducible. Por ejemplo en A 2 K el conjunto V(xy) es la unión de los ejes coordenados, que es conexo, pero no es irreducible. EJERCICIO 9. Si V A n K es algebraico afín, demuestre que es disconexo si y sólo si existen ideales I, J K[x 1,..., x n ] tales que I J = I(V ) e I + J = K[x 1,..., x n ].

21 14 1. VARIEDADES AFINES EJERCICIO 10. Demuestre que en un espacio topológico Hausdorff los puntos son los únicos subconjuntos irreducibles. EJERCICIO 11. Demuestre que un espacio topológico Hausdorff es noetheriano si y sólo si es finito. EJERCICIO 12. Sea ρ : K[x 1,..., x n ] K[V ] = K[x 1,..., x n ]/I(V ) el epimorfismo canónico. Muestre que, bajo la biyección inducida por ρ entre ideales de K[V ] e ideales de K[x 1,..., x n ] que contienen a I(V ), se tiene que ideales radicales corresponden a ideales radicales, e ideales máximos corresponden a ideales máximos. EJERCICIO 13. Sea V A n K un conjunto algebraico afín. Si f K[V ] se define D(f) := {a V : f(a) 0} = V V f. Demuestre: D(f) D(g) V(f) V(g) f g. D(fg) = D(f) D(g). D(f n ) = D(f). Los conjuntos D(f) forman una base de la topología de Zariski en V. De hecho, todo abierto de V es una unión finita de abiertos de la forma D(f). D(f) = si y sólo si f es nilpotente. D(f) es denso en V si y sólo si para todo g K[V ] no nilpotente se tiene que fg no es nilpotente. D(f) es denso en V si y sólo si f no es un divisor de cero en K[V ]. EJERCICIO 14. Demuestre que los subconjuntos cerrados de V están en correspondencia biunívoca con los ideales radicales de K[V ]. EJERCICIO 15. Si V A n K es una variedad afín, una subvariedad de V es subconjunto afín irreducible W A n K tal que W V. Demuestre que existe una correspondencia biunívoca entre la familia de subvariedades de V y el conjunto de ideales primos de K[V ]. EJERCICIO 16. Descomponga el conjunto afín V(x 2 yz, xz x) A 3 K en sus componentes irreducibles. EJERCICIO 17. Muestre que la cúbica alabeada {(t, t 2, t 3 ) A 3 K : t K} A3 K es un conjunto algebraico afín. Grafique este curva en A 3 R para visualizar por qué se dice que es alabeada (combada o torcida). EJERCICIO 18. Muestre que el conjunto {(r, θ) A 2 K coordenadas polares, es algebraico afín. EJERCICIO 19. Muestre que el conjunto {(x, y) A 2 K algebraico afín. : r = sen θ}, con (r, θ) : y = sen x} no es

22 1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT 15 EJERCICIO 20. Demuestre que toda variedad afín es compacta. (De hecho, casicompacta, porque no es Hausdorff). EJERCICIO 21. Muestre que la parábola C = V(y x 2 ) A 2 C es irreducible. EJERCICIO 22. Descomponga C = V(y 4 x 2, y 4 x 2 y 2 + xy 2 x 3 ) A 2 C en sus componentes irreducibles. EJERCICIO 23. Generalizando el ejercicio 17, muestre que el conjunto es una variedad afín. V = {(t, t 2,..., t n ) A n K : t K} A 3 K EJERCICIO 24. Muestre que V = V(x 2 y 3, y 2 z 3 ) A 3 K es irreducible El teorema de los ceros de Hilbert Después de definir subconjuntos algebraicos afines V(I) A n K, para un ideal propio I K[x 1,..., x n ], lo primero que teníamos que garantizar es que estos conjuntos no son vacíos. Como mencionamos oportunamente, ésto es parte del teorema de los ceros de Hilbert (la parte débil), y después, para probar la biyectividad de la correspondencia en 1.4 {subconjuntos algebraicos de A n } I V {ideales radicales de K[x 1,..., x n ]} se requería que IV(J) = J, lo cual también es parte del teorema de Hilbert que a continuación probaremos, aceptando por el momento un lema de Zariski sobre extensiones de campos, mismo que probaremos inmediatamente después, cuando ya se hayan introducido los preliminares correspondientes: TEOREMA 1.15 (Teorema de los ceros de Hilbert). Sea K un campo algebraicamente cerrado. Entonces, (1) Todo ideal máximo m del anillo de polinomios K[x 1,..., x n ] es de la forma m = x 1 a 1,..., x n a n, con los a j K. (2) Para todo ideal propio I K[x 1,..., x n ] se tiene que V(I). (3) Para todo ideal I K[x 1,..., x n ] se tiene que I(V(I)) = I. Demostración. (1) Para comenzar, los ideales x 1 a 1,..., x n a n son máximos ya que K[x 1,..., x n ]/ x 1 a 1,..., x n a n K porque mediante una traslación podemos suponer que los a i = 0 y entonces el morfismo evaluación f f(0,..., 0) es suprayectivo, manda un polinomio f a

23 16 1. VARIEDADES AFINES su término constante y por lo tanto su núcleo lo forman los polinomios sin término constante, i.e., los polinomios divisibles por algún x i, i.e., el núcleo es x 1,..., x n y así por el primer teorema de isomorfismo de Noether se tiene el isomorfismo deseado. Supongamos ahora que m K[x 1,..., x n ] es un ideal máximo. Considere entonces la composición de morfismos ϕ : K K[x 1,..., x n ] K[x 1,..., x n ]/m =: A donde A es un campo porque m es máximo. Más aún, la K-álgebra A es finitamente generada (por las clases residuales x i + m) y como es un campo, por el lema de Zariski se sigue que A es algebraico sobre K, y como K es algebraicamente cerrado entonces se tiene que ϕ : K A. Para cada x i +m A se tiene así un único a i K tal que ϕ(a i ) = x i +m. Es decir, x i a i m y por lo tanto x 1 a 1,..., x n a n m. Pero como como x 1 a 1,..., x n a n es máximo, entonces se tiene la igualdad x 1 a 1,..., x n a n = m, como se quería. Note ahora que (2) se sigue de (1) porque como I es propio, entonces está contenido en un ideal máximo, que por (1) es de la forma x 1 a 1,..., x n a n, es decir, I x 1 a 1,..., x n a n. Entonces, por 1.1 se sigue que V x 1 a 1,..., x n a n V(I). Pero es claro que V x 1 a 1,..., x n a n = {(a 1,..., a n )} y por lo tanto V(I) contiene al punto (a 1,..., a n ). Mostraremos ahora que (3) se sigue de (2). Para comenzar, I I(V(I)) porque si f I, entonces f m I para algún m, y por lo tanto para todo P V(I) se tiene que f m (P ) = 0 y consecuentemente f(p ) = 0, i.e., f IV(I). Para la inclusión recíproca, sea f IV(I) y escribamos I = h 1,..., h r. Queremos mostrar que f m I para algún m. Para hacer ésto, considere el anillo A f := K[x 1,..., x n ] f obtenido al invertir f en el anillo A := K[x 1,..., x n ] y el morfismo de localización A A f. Mostraremos que el ideal IA f generado por la imagen de I en el anillo A f es todo A f, i.e, mostraremos que 1 A f. Una vez probado lo anterior, note que podemos escribir 1 = i g i h i /f m (escogiendo un denominador común) y consecuentemente f m = i g ih i I = h 1,..., h r, como se quería. Basta entonces probar que IA f = A f. Ahora, por el truco de Rabinowitsch, vea 1.26: y por lo tanto A f A[t]/ ft 1 = K[x 1,..., x n, t]/ ft 1, IA f IK[x 1,..., x n, t]/ ft 1 = I, ft 1 / ft 1 y así debemos mostrar que el 1 A f está en el ideal I f := I, ft 1 = h 1,..., h r, ft 1 K[x 1,..., x n, t],

24 1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT 17 y usando la parte (2) basta mostrar que V(I f ) = en A n+1 K, y para esto último observe que (a 1,..., a n, b) V(I f ) si y sólo si los generadores h i de I se anulan en el punto P = (a 1,..., a n ) (ya que los h i no contienen la variable t), es decir, P V(I), y como f IV(I), entonces f se anula en P. Ahora, como ft 1 se anula en el punto (P, b), i.e., 0 = (ft 1)(P, b) = f(p )b 1, entonces bf(p ) = 1. Pero esta última igualdad dice que f(p ) 0, en contradicción con el hecho de que f se anula en P. Se sigue que V(I f ) = y por la parte (2) esto implica que I f = 1, como se quería. En la demostración del teorema de los ceros de Hilbert usamos un lema de Zariski que a continuación probaremos, después de unos preliminares algebraicos, y también demostramos el lema de Rabinowitsh Algebras finitas y de tipo finito. Integridad. Sean A B anillos de tal forma que B es una A-álgebra. Diremos que B es una A-álgebra finita si B es finitamente generado como A-módulo, i.e., si existen α 1,..., α n B tales que todo b B es una combinación lineal de los α i con coeficientes en A: b = a 1 α a n α n con los a i A. Diremos que B es de tipo finito sobre A si existen α 1,..., α n B tales que todo elemento b B es un polinomio en los α i con coeficientes en A, i.e., existe un polinomio f A[x 1,..., x n ] tal que b = f(α 1,..., α n ). Si b B, diremos que b es entero sobre A si existe un polinomio mónico φ(x) = x m + a m1 x m a 1 x + a 0 A[x] tal que φ(b) = 0. Diremos que B es entero sobre A si todo elemento de B es entero sobre A. Claramente toda A-álgebra finita es de tipo finito, el polinomio correspondiente es de primer grado f = a 1 x a n x n. También, B es una A-álgebra de tipo finito si y sólo si existe un epimorfismo de A-álgebras sencillamente definiendo α i = ϕ(x i ). ϕ : A[x 1,..., x n ] B Ejemplo 12. Si A B son anillos, todo elemento α de A es entero sobre A ya que es raíz del polinomio mónico x α A[x]. Ejemplo 13. Para Z Q, los racionales r/s Q que son enteros son los elementos de Z. En efecto, si a/b Q es un racional, podemos suponer que a y b son coprimos

25 18 1. VARIEDADES AFINES y como se tiene una igualdad de la forma b n + r n 1 b n r a 1 b + r 0 = 0 multiplicando por b n queda a n a n 1 con r i Z a n + r n 1 a n 1 b + + r 1 ab n 1 + r 0 b n = 0 de donde se sigue que b divide a a n y como mcd(a, b) = 1 entonces b a pero siendo coprimos ésto sólo es posible si b = ±1 y por lo tanto a/b Z, como se quería. LEMA Sean A B anillos y α B. Son equivalentes: (1) α es entero sobre A. (2) El subanillo A[α] B es finitamente generado como A-módulo. (3) Existe un subanillo C con A C B tal que α C y C es finitamente generado como A-módulo. Demostración. (1) (2): Como α es entero sobre A se tiene que y por lo tanto α n = (a n 1 α n a 1 α + a 0 ) 1, α,..., α n 1 α n+1 = a n 1 α n (a n 2 α n a 1 α 2 + a 0 α) 1, α,..., α n 1 y por inducción, para todo k 0: α n+k = (a n 1 α n+k a 1 α k+1 + a 0 α k ) 1, α,..., α n 1 de donde se sigue que todas las potencias α t con t 0 están el el A-módulo 1, α,..., α n 1 y como estas potencias generan A[α], entonces éste es un A-módulo finitamente generado. (2) (3): Sea C = A[α]. (3) (1): Sea y 1,..., y n un conjunto de generadores de C como A-módulo, i.e., C = Ay Ay n. Como α C, los y i C y C es un anillo entonces αy i C y escribiendo estos elementos en términos de los generadores y i de C: αy i = a i1 y a in y n con los a ij A y la igualdad anterior se puede escribir como n ( ) δij α a ij yj = 0 con 1 i n y δ ij una delta de Kronecker j=1 el cual es un sistema de n ecuaciones lineales homogéneas en y 1,..., y n. Por la regla de Cramer se tiene que det(δ ij α a ij ) y i = 0 para todo i, y como C está generado por los y i se sigue que det(δ ij α a ij ) C = 0 y así para el 1 C se tiene

26 1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT 19 que det(δ ij α a ij ) 1 = 0, i.e., det(δ ij α a ij ) = 0. Finalmente, desarrollando el determinante det(δ ij x a ij ) (poniendo la indeterminada x en lugar de α) se obtiene un polinomio con coeficientes en A que se anula en α y este polinomio es mónico porque el término de grado x n proviene del producto de los elementos de la diagonal principal (x a 11 ) (x a nn ). Se sigue que α es entero sobre A. COROLARIO Si A B son anillos y α 1,, α n B son enteros sobre A, entonces A[α 1,..., α n ] es un A-módulo finitamente generado. Demostración. Inducción sobre n. COROLARIO Si A B son anillos y α, β B son enteros sobre A, entonces α ± β y αβ son enteros sobre A. Demostración. Por el corolario anterior A[α, β] es finitamente generado sobre A y como α ± β y αβ están en A[α, β], por la parte (3) del lema anterior se sigue que son enteros sobre A. COROLARIO Si A B son anillos y A := {α B : α es entero sobre A}, entonces A es un anillo y A A B. Demostración. Directo del corolario anterior. El anillo A se llama la cerradura entera de A en B. Si A = A, se dice que A es integralmente cerrado en B. Si A es un dominio entero y K es su campo de fracciones, A se llama la cerradura entera de A y si A es integralmente cerrado en su campo de fracciones, se dice que A es integralmente cerrado. Ejemplo 14. Todo dominio de factorización única (DFU) es integralmente cerrado. Note que ésto generaliza el ejemplo 13 y la demostración es similar: si A es un DFU con campo de fracciones K y si a/b K es entero sobre A, si suponemos que a/b A, entonces existe un elemento irreducible p A tal que p b pero p a. Por otra parte, como a/b es entero sobre A se tiene una ecuación polinomial (a/b) n + c n 1 (a/b) n c 1 (a/b) + c 0 con c i A. Multiplicando por b n se obtiene la ecuación a n + c n 1 a n 1 b + + c 1 ab n 1 + c 0 b n = 0 donde p divide a cada término de la izquierda excepto a lo más a a n y así debe dividir a a n y como es irreducible debe dividir a a, lo cual es una contradicción. COROLARIO Si A B son anillos, son equivalentes: (1) B es una A-álgebra finita. (2) B es una A-álgebra de tipo finito y es entero sobre A.

27 20 1. VARIEDADES AFINES Demostración. (1) (2): Toda A-álgebra finita es de tipo finito. Más aún, como B es finitamente generado como A-módulo, por la parte (3) del lema anterior B es entera sobre A. (2) (1): Por hipótesis existen α 1,..., α n B tales que B = A[α 1,..., α n ], y como los α i son enteros sobre A, entonces por el lema anterior (de hecho, por el corolario 1.17) B = A[α 1,..., α n ] es un A-módulo finitamente generado. PROPOSICIÓN Sean A un dominio entero con campo de fracciones K y L es un campo que contiene a K. Si α L es algebraico sobre K, entonces existe un d A tal que dα es entero sobre A. Demostración. Como es algebraico α satisface una ecuación polinomial α m + a m 1 α m a 1 α + a 0 = 0 con los a i K. Sea d el común denominador de los a i de tal forma que da i A y multipliquemos la igualdad anterior por d m para obtener que se puede reescribir como d m α m + a m 1 d m α m a 1 d m α + a 0 d m = 0 (dα) m + a m 1 d(dα) m a 1 d m 1 (dα) + a 0 d m = 0 donde los coeficientes a m 1 d,..., a 1 d m 1, a 0 d m A y así la igualdad anterior muestra que dα es raíz de un polinomio mónico con coeficientes en A, i.e., dα es entero sobre A. COROLARIO 1.22 (Zariski). Si K L son campos con L de tipo finito, entonces L/K es una extensión algebraica y por lo tanto L/K es una extensión finita. Demostración. Por hipótesis existen α 1,..., α n L tales que L = K[α 1,..., α n ] y los elementos de L son polinomios en los α i con coeficientes en K. Entonces, basta mostrar que todos los α i son algebraicos sobre K. Supongamos que ésto no es así y que algunos de los α i son trascendentes sobre K. Sin perder generalidad, supongamos que α 1 es trascendente sobre K y que el resultado es válido para extensiones de tipo finito con < n generadores. Ahora, como α 1 es trascendente sobre K, K[α 1 ] es un anillo polinomial sobre K y su campo de fracciones K(α 1 ) L. Claramente L es de tipo finito sobre K(α 1 ) y está generado por los α 2,..., α n y así, por hipótesis de inducción la extensión L/K(α 1 ) es algebraica; en particular, para 2 i n todos los α i son algebraicos sobre K(α 1 ). Por 1.21, existe un d K[α 1 ] tal que dα i es entero sobre K[α 1 ], para todo i 2. Entonces, para cualquier f L = K[α 1,..., α n ] existe un N suficientemente grande tal que d N f K[α 1, dα 2,..., dα n ] y así, por 1.16 ó 1.18, se sigue que d N f es entero sobre K[α 1 ]. En particular, aplicando este último resultado a un f K(α 1 ) L

28 1.2. EL TEOREMA DE LOS CEROS DE HILBERT 21 arbitrario, se tiene que d N f es entero sobre K[α 1 ] y este último es un dominio entero y así, por el ejemplo 14 es integralmente cerrado, es decir, d N f K[α 1 ]. Se sigue que K(α 1 ) = d N K[α 1 ] N lo cual es absurdo porque K[α 1 ] K[x] es un anillo de polinomios sobre un campo y por lo tanto tiene un número infinito de mónicos irreducibles (por el argumento de Euclides) que pueden ocurrir como denominadores de los elementos de K(α 1 ). Se sigue que n = 0, como se quería. Localización. Una técnica usual al estudiar objetos geométricos es la de concentrarse cerca de un punto o en una vecindad del punto y muchas propiedades geométricas se pueden deducir de este proceso localizado. Similarmente, en teoría de números al estudiar congruencias, por ejemplo, módulo un entero n, factorizando el entero n como producto de potencias de primos, en muchas ocasiones basta estudiar estas congruencias módulo un primo p o potencias p r de este primo. Este proceso de localización tiene gran importancia, no sólo en geometría y teoría de números, sino en el álgebra en general y en otras ramas de la matemática. En esta sección se algebriza el proceso de localización generalizando la construcción del campo de los números racionales a partir del dominio entero Z. Anillos de fracciones. Si A es un anillo y S A es un subconjunto multiplicativo, i.e., 1 S y a, b S implica que ab S, se define la relación (que resulta de equivalencia, como se verificará en el ejercicio 25) en A S mediante (a, s) (b, t) existe u S tal que u(at bs) = 0. En el conjunto cociente S 1 A := A S/ denotamos a la clase de equivalencia de (a, s) como [a, s] o como a/s y se definen las operaciones de suma y producto como si fueran fracciones o elementos de Q: a s + b t := at + bs st y a b ab := s t st y resulta que, para comenzar, están bien definidas, y hacen de S 1 A un anillo conmutativo con uno, donde el cero o neutro aditivo es 0/s, para cualquier s S y el uno es s/s, para cualquier s S. Más aún, se tiene un morfismo de anillos ϕ : A S 1 A dado por ϕ(a) := a/1, al que se llama el morfismo canónico, que en general no es inyectivo. Al anillo S 1 A se le conoce como el anillo de fracciones de A con respecto a S. Ejemplo 15. La construcción anterior generaliza la construcción del campo de números racionales Q a partir del dominio entero Z, donde S = Z {0}. De hecho, en general, si A es un dominio entero y S = A {0}, entonces S es un subconjunto multiplicativo y S 1 A =: K(A) resulta un campo al que se le llama el campo de fracciones de A. En este caso, el morfismo ϕ : A K(A) es inyectivo.