1. Anillos de Fracciones

Transcripción

1 Álgebra II 6 de abril de 2018 En estos apuntes A denotará siempre un anillo, y k un cuerpo. 1. Anillos de Fracciones Definición: S A es un sistema multiplicativo si 1 S, y s, t S st S. Consideremos en A S la siguiente relación, (a, s) (b, t) existen u, v S tales que au = bv, su = tv, que es de equivalencia. Claramente es simétrica y reflexiva, y es transitiva: Si (a, s) (b, t) (c, r), existen u, v, u, v S tales que au = bv, su = tv, bu = cv, tu = rv. Luego auu = bvu = cvv, suu = tvu = rvv, donde uu, vv S porque S es un sistema multiplicativo; así que (a, s) (c, r). La localización A S de A por S, o anillo de fracciones con denominador en S, es el conjunto cociente (A S)/, con la estructura de anillo a s + b at + bs = t st, a s b t = ab st donde a s denota la clase de (a, s), de modo que a s = au su para todo u S. Para ver que estas operaciones no dependen de los representantes elegidos, basta comprobarlo cuando a au s se sustituye por su : au su + b (at + bs)u at + bs = = t stu st, au su b t = abu stu = ab st En A S, tenemos que 0 = 0 s, 1 = s s, y a s = a s. Además, a s = 0 si y sólo si ua = 0 para algún u S. Luego a s = b t si y sólo si u(at bs) = 0 para algún u S. El morfismo de anillos γ : A A S, γ(a) = a 1, es el morfismo de localización, y γ(s) es invertible en A S para todo s S, pues su inverso es 1 s. Teorema: Si A es íntegro, entonces S = A {0} es un sistema multiplicativo, el morfismo canónico γ : A A S es inyectivo, y el anillo A S es un cuerpo (llamado cuerpo de fracciones de A). 1

2 Demostración: S es un sistema multiplicativo porque 1 0, y el producto de elementos no nulos nunca es nulo, cuando A es íntegro. Además, si a 1 = 0, existe s 0 tal que sa = 0; luego a = 0. Es decir, γ es inyectivo, y A S 0. Si a s 0, entonces a 0. Luego a S, y s a A S es el inverso de a s en A S. Proposición: Si J es un ideal de A S, existe un ideal I de A tal que J = IA S = { a s ; a I}. Demostración: Claramente I = {a A: a 1 J} es un ideal de A, y { a s ; a I} IA S J. Ahora, si b t J, entonces b 1 = t b 1 t J; luego b I y b t { a s ; a I}. Propiedad Universal: Si f : A B es un morfismo de anillos y f(s) es invertible en B para todo s S, entonces existe un único morfismo de anillos ψ : A S B tal que ψ( a 1 ) = f(a), A γ f A S ψ B f = ψ γ Demostración: El único morfismo posible, ψ : A S B, ψ( a s ) = f(a)f(s) 1, no depende del representante a s elegido, ψ( au su ) = f(au)f(su) 1 = f(a)f(u)f(s) 1 f(u) 1 = f(a)f(s) 1. Ejemplos: El cuerpo de fracciones del anillo Z es Q. Si k es un cuerpo, el anillo de polinomios k[x 1,..., x n ] es íntegro y su cuerpo de fracciones k(x 1,..., x n ) se llama cuerpo de fracciones racionales en n indeterminadas con coeficientes en k. Definición: Un dominio de factorización única es un anillo íntegro en que todo elemento propio descompone, de modo único salvo el orden y factores invertibles, en producto de elementos irreducibles (Es decir, si a A no es nulo ni invertible, existen irreducibles p 1,..., p r A, r 1, tales que a = p 1 p r. Si a = q 1 q s es otra descomposición de a en producto de irreducibles, entonces r = s y, después de reordenar los factores si fuera preciso, q i = u i p i para ciertos invertibles u 1,..., u r A). Ejemplos: Los dominios de ideales principales (Z, k[x],...) son DFU. En los DFU vale el lema de Euclides (ca. 325 a. C.-ca. 265 a. C.): Si un elemento irreducible p divide a un producto de elementos, entonces divide a algún factor (es decir, pa es un ideal primo de A). En efecto, si bc = pa, al descomponer b y c en producto de irreducibles, algún factor debe coincidir, salvo un invertible, con p; luego b ó c es múltiplo de p. q.e.d. 2

3 Las demostraciones dadas en Z prueban las siguientes afirmaciones en cualquier anillo A que sea DFU (donde Σ denota su cuerpo de fracciones): Si d bc y no tiene factores irreducibles comunes con b, entonces d c. Si p(x) = c 0 x n +c 1 x n c n A[x] y α es una raíz de p(x) en Σ, entonces α = a/b donde a A divide a c n y b divide a c 0. Cualquier elemento de Σ que sea raíz de un polinomio unitario con coeficientes en A necesariamente está en A. Lema de Gauss ( ): Si un polinomio no constante en A[x] descompone en producto de polinomios con coeficientes en Σ, multiplicando los factores por constantes tenemos una descomposición en A[x]. En particular, si q(x) es irreducible en A[x], también lo es en Σ[x]. Corolario: Un polinomio no constante, con coeficientes en A y sin factores irreducibles comunes, es irreducible en A[x] si y sólo si es irreducible Σ[x]. Si el producto de dos polinomios unitarios con coeficientes en Σ tiene coeficientes en A, ambos polinomios tienen coeficientes en A. Criterio de Eisenstein ( ): Sea q(x) = c 0 x n +c 1 x n c n A[x] no constante. Si los coeficientes carecen de factores irreducibles comunes y existe un elemento irreducible p A que divide a c 1,..., c n y p 2 no divide a c n, entonces q(x) es irreducible en A[x], (y en Σ[x] por el lema de Gauss). Lema: Si un anillo A es íntegro, entonces A[x] es íntegro y A[x] = A. Demostración: (a n x n +...)(b m x m +...) = a n b m x n+m +..., así que gr (P Q) = gr P + gr Q. Luego A[x] es íntegro, y los invertibles son de grado 0. Teorema: Si A es un dominio de factorización única, A[x] también lo es. Demostración: La descomposición en factores irreducibles de P A[x] se prueba por inducción sobre el grado. Pongamos P = dq, donde los coeficientes de Q ya no tienen factores irreducibles comunes. Si Q es irreducible, P = dq es producto de irreducibles. Si Q no es irreducible, Q = Q 1 Q 2, donde Q 1 y Q 2 no pueden ser constantes; luego son de grado menor que Q, y son producto de irreducibles por inducción; luego P = dq 1 Q 2 también. Unicidad: Consideremos dos descomposiciones en factores irreducibles, p 1... p r P 1 (x)... P s (x) = q 1... q m Q 1 (x)... Q n (x), donde p i, q j A; gr P i, gr Q j 1. Sea Σ el cuerpo de fracciones de A. El anillo Σ[x] es euclídeo, y los factores P i, Q j son irreducibles en Σ[x] por el lema de Gauss. 3

4 Luego s = n, y reordenando tendremos Q i = a i b i P i (donde a i, b i no tienen factores irreducibles comunes); b i Q i = a i P i, y los factores irreducibles de b i (resp. a i ) dividirían a P i (resp. Q i ), que es irreducible: a i y b i son invertibles, y p 1 p r = uq 1 q m, con u A invertible. Luego r = m y, reordenando los factores, p i = q i salvo invertibles. Corolario: Z[x 1,..., x n ] y k[x 1,..., x n ] son dominios de factorización única. Demostración: Por inducción sobre n, pues A[x 1,..., x n ] = A[x 1,..., x n 1 ][x n ]. 2. Anillos y Módulos Noetherianos Lema: Si M es un A-módulo, las siguientes condiciones son equivalentes: 1. Todo submódulo N de M es finito generado: N = Am Am n. 2. Toda sucesión creciente M 1 M 2... M n... de submódulos de M estabiliza: existe un índice r tal que M r = M r+i para todo i N (es decir, toda sucesión estrictamente creciente de submódulos de M es finita). Demostración: (1 2) Dada una sucesión creciente M 1 M 2... M n... de submódulos de M, veamos que N = n M n es un submódulo: 0 N porque 0 M 1, y si m, n N, entonces m M i, n M j para ciertos índices i, j. Tomando k i, j tendremos que m, n M k. Luego m + n M k N y am M k N para todo a A, porque M k es submódulo. Por hipótesis N = Am Am n para ciertos elementos m 1,..., m n N, y tomando un índice r suficientemente grande tendremos que m 1,..., m n M r, de modo que M r M r+i N = Am Am n M r, porque M r es un submódulo, y concluimos que M r = M r+i para todo i N. (2 1) Procedemos por reducción al absurdo. Supongamos que existe un submódulo N de M que no es finito generado. Tomamos m 1 N, y Am 1 N porque N no es finito generado. Luego existe m 2 N tal que m 2 / Am 1, de modo que Am 1 Am 1 +Am 2, y Am 1 +Am 2 N porque N no es finito generado. Luego existe m 3 N tal que m 3 / Am 1 +Am 2, de modo que Am 1 +Am 2 Am 1 +Am 2 +Am 3, y Am 1 +Am 2 +Am 3 N porque N no es finito generado... Obtenemos así una sucesión infinita estrictamente creciente de submódulos de M, en contra de la hipótesis de que no existen, Am 1 Am 1 + Am 2 Am 1 + Am 2 + Am 3... Definición: Un A-módulo es noetheriano si todos sus submódulos son finito generados, es decir, si toda sucesión creciente de submódulos de M estabiliza. Un anillo A es noetheriano si lo es como A-módulo; es decir, si todos sus ideales son finito generados. Ejemplos: Los dominios de ideales principales (Z, k[x],...) son noetherianos. 4

5 Lema: Sea 0 M i M p M 0 una sucesión exacta de A-módulos. El A-módulo M es noetheriano si y sólo si M y M lo son. Demostración: Si M es noetheriano, todos sus submódulos son noetherianos (luego M i(m ) es noetheriano) y todo submódulo N de M es finito generado, N = p(p 1 (N )) = p(an An s ) = Ap(n 1 ) Ap(n s ). Veamos el recíproco. Si N es un submódulo de M, la sucesión 0 M N i N p p(n) 0 es exacta. Por hipótesis los A-módulos M N y p(n) son finito generados, M N = Am Am n, p(n) = Ap(m 1 ) Ap(m r ), y terminamos al ver que i(m 1),..., i(m n), m 1,..., m r generan N: Si m M, entonces p(m) = i a ip(m i ), y p(m i a im i ) = 0. Luego m i a im i = i( j a j m j ) = j a j i(m j), y m = j a j i(m j ) + i a im i. Teorema: Si A es noetheriano, todo A-módulo finito generado es noetheriano. Demostración: Procediendo por inducción sobre n, las sucesiones exactas 0 A A n A n 1 0 prueban que A n es un A-módulo noetheriano; luego sus cocientes también. Teorema de la Base de Hilbert ( ): Si un anillo A es noetheriano, el anillo de polinomios A[x] también es noetheriano. Demostración: Llamaremos coeficiente director de un polinomio c n x n c 0 de grado n a c n, y convenimos que 0 es el coeficiente director del polinomio nulo. Dado un ideal I de A[x], los coeficientes directores de los polinomios de I forman un ideal a = a 1 A a r A de A (pruébese). Tomemos polinomios p i (x) = a i x n +... I que, después de multiplicar por ciertas potencias de x, podemos suponer todos de igual grado n. Si q(x) = ax m +... I, con m n, entonces tendremos a = i b ia i, y gr (q i b ix m n p i ) < m. Reiterando el proceso vemos que existen polinomios c 1 (x),..., c r (x) A[x] tales que gr (q(x) i c i(x)p i (x)) < n; es decir, I (p 1,..., p r ) + (I L), y L = A Ax... Ax n 1 es A-módulo noetheriano por el teorema anterior. Luego I L es un A-módulo finito generado, I L = Aq 1 (x) Aq s (x), y I (p 1,..., p r, q 1,..., q s ). Concluimos que I = (p 1,..., p r, q 1,..., q s ), porque la inclusión contraria es obvia al ser p 1,..., p r, q 1,..., q s I. Definición: Una A-álgebra B es finito generada o de tipo finito cuando existen ξ 1,..., ξ n B tales que B = A[ξ 1,..., ξ n ]; es decir, el morfismo de 5

6 A-álgebras A[x 1,..., x n ] B, p(x 1,..., x n ) p(ξ 1,..., ξ n ), es epiyectivo, de modo que B A[x 1,..., x n ]/I para algún ideal I. Corolario: Si A es noetheriano, toda A-álgebra finito generada es noetheriana. Demostración: El anillo A[x 1,..., x n ] = A[x 1,..., x n 1 ][x n ] es noetheriano, por inducción sobre n; luego también sus cocientes por ideales. 3. El Espectro de un Anillo Definición: El espectro de un anillo A es el conjunto Spec A de sus ideales primos. Los elementos f A son las funciones sobre Spec A, y el valor de f en un punto x Spec A, definido por un primo p, es f(x) := [f] A/p. Aunque el anillo de valores varíe con el punto, el cero está definido de modo absoluto, y el ideal primo p de un punto x Spec A está formado por las funciones que se anulan en tal punto, p = {f A: f(x) = 0} El hecho de que las funciones que se anulan en un punto dado forman un ideal primo significa que La función 0 se anula en todos los puntos. Si dos funciones se anulan en un punto, su suma también. Si una función se anula en un punto, sus múltiplos también. Las funciones invertibles no se anulan en ningún punto. Si un producto de funciones se anula en x, algún factor se anula en x. Como todo anillo no nulo tiene algún ideal maximal (y por tanto primo), todo anillo no nulo tiene espectro no vacío, y como todo elemento no invertible de un anillo está en algún ideal maximal, las funciones invertibles son las que no se anulan en ningún punto del espectro. Definición: Llamaremos ceros de una función f A al subconjunto (f) 0 de Spec A formado por los puntos donde se anula f (es decir, los ideales primos de A que contienen a f), y llamaremos ceros de un ideal I de A al subconjunto de Spec A formado por los puntos donde se anulen todas las funciones de I: (I) 0 = f I(f) [ ] Ideales primos de A 0 = {x Spec A: f(x) = 0, f I} = que contienen a I En particular (f) 0 = (fa) 0. Los ceros de los ideales son los cerrados de una topología en Spec A, llamada topología de Zariski ( ), porque (0) 0 = Spec A (A) 0 = ( j I j) 0 = j (I j) 0 (I J) 0 = (I) 0 (J) 0, 6

7 y sólo la última igualdad requiere demostración. Si f 1 I, f 2 J no se anulan en un punto x, entonces f 1 f 2 no se anula en x, y f 1 f 2 I J. Los cerrados de la topología de Zariski son las intersecciones arbitrarias de ceros de funciones, de modo que los ceros de funciones forman una base de cerrados de la topología de Spec A; es decir, las funciones de A separan puntos de cerrados en Spec A: dado un cerrado C y un punto x / C, existe f A que se anula en C y no se anula en x. Por tanto, si I C es el ideal de formado por todas las funciones que se anulen en el cerrado C, tenemos que C = (I C ) 0. Luego una base de abiertos de la topología de Zariski de Spec A está formada por los abiertos básicos U f := Spec A (f) 0 = {x Spec A: f(x) 0} Como todo ideal I A está contenido en un ideal maximal de A, tenemos que (I) 0 = si y sólo si I = A, de modo que el Teorema chino de los restos admite la siguiente reformulación: Teorema Chino del Resto: Si dos ideales I, J de A no tienen ceros comunes, (I) 0 (J) 0 =, entonces I J = IJ y tenemos un isomorfismo de anillos A/IJ = (A/I) (A/J). Proposición: Si p es el ideal primo de un punto x Spec A, entonces x = (p) 0, y diremos que x es el punto genérico de su cierre x. Por tanto Spec A es T 0 y sus puntos cerrados se corresponden con los ideales maximales de A. Demostración: Un cerrado (I) 0 pasa por el punto x cuando I p, en cuyo caso (p) 0 (I) 0. Luego (p) 0 es el menor cerrado que contiene a x. Teorema: El espectro de cualquier anillo es un espacio topológico compacto. Demostración: Dados cerrados con intersección vacía, = j (I j) 0 = ( j I j) 0, tenemos que j I j = A. Luego 1 = f f n para ciertos f 1 I j1,..., f n I jn, y una subfamilia finita ya tiene intersección vacía, (I j1 ) 0... (I jn ) 0 = (I j I jn ) 0 = (A) 0 =. Definición: Un espacio topológico no vacío es irreducible cuando no pueda descomponerse como unión de dos cerrados estrictamente menores. Llamaremos componentes irreducibles de un espacio topológico X a los subespacios irreducibles maximales de X, es decir, que no estén contenidos estrictamente en otro subespacio irreducible. El cierre de un subespacio irreducible también es irreducible y, en particular, el cierre de cualquier punto es un cerrado irreducible. Luego las componentes irreducibles de un espacio siempre son cerradas. Todo espacio irreducible es conexo, así que cada componente irreducible de un espacio X está contenida en 7

8 una componente conexa de X; pero un punto de X puede pertenecer a varias componentes irreducibles. Teorema: Cada cerrado irreducible de Spec A es el cierre de un único punto. Por tanto, al asociar a cada ideal primo de A sus ceros, tenemos una correspondencia biyectiva [ Ideales primos del anillo A ] = [ ] Cerrados irreducibles de Spec A que invierte el orden. En particular, las componentes irreducibles de Spec A se corresponden con los ideales primos minimales de A (ideales primos que no contienen estrictamente a otro ideal primo). Demostración: Sea Y un cerrado irreducible de Spec A. Si un producto de dos funciones de A se anula en Y, algún factor se anula en Y, porque Y es irreducible; así que el ideal I Y formado por las funciones de A que se anulan en Y es un ideal primo p, y sabemos que Y = (I Y ) 0. Luego Y es el cierre del punto de Spec A definido por el ideal primo I Y. La unicidad de tal punto se debe a que Spec A es T 0. Definición: Sean x, y Spec A. Cuando y x, decimos que x es una generalización de y, o que y es una especialización de x, y ponemos y x. La dimensión de Krull ( ) de un anillo A es el supremo de las longitudes de las cadenas p 0 p 1... p n de ideales primos de A, y sólo depende del espacio topológico Spec A, pues es el supremo de las longitudes de las cadenas de especializaciones x 0 > x 1 >... > x n, o bien de las cadenas de cerrados irreducibles Y 0 Y 1... Y n. Definición: Un espacio topológico X es noetheriano si toda sucesión estrictamente decreciente de cerrados de X es finita; es decir, si toda sucesión decreciente de cerrados estabiliza. Proposición: Si A es un anillo noetheriano, entonces Spec A es un espacio topológico noetheriano. Demostración: Si Y 1 Y 2... es una sucesión estrictamente decreciente de cerrados de Spec A, y ponemos I i = I Yi, tenemos una sucesión creciente de ideales I 1 I 2..., que es estrictamente creciente porque (I i ) 0 = Y i. Luego ha de ser finita cuando el anillo A es noetheriano. Teorema: Todo espacio noetheriano X descompone en unión de un número finito de componentes irreducibles. Demostración: Veamos primero que X es unión finita de cerrados irreducibles. En caso contrario X no es irreducible, así que es unión de dos cerrados más pequeños, alguno de los cuales tampoco será unión finita de cerrados irreducibles. 8

9 Reiterando el argumento con él obtenemos una sucesión infinita estrictamente decreciente de cerrados de X, en contra de la noetherianidad de X. Consideramos ahora una descomposición X = Y 1... Y r en unión de cerrados irreducibles tales que no se den inclusiones Y i Y j cuando i j. Para todo cerrado irreducible Y tenemos que Y = (Y 1 Y )... (Y r Y ); luego Y = Y i Y, y por tanto Y Y i, para algún índice i. Es decir, Y 1,..., Y r son las componentes irreducibles de X. Corolario: Todo anillo noetheriano A tiene un número finito de ideales primos minimales y cada ideal primo de A contiene algún ideal primo minimal. Corolario: Todo anillo noetheriano de dimensión 0 tiene un número finito de ideales primos, y todos son maximales. Demostración: En dimensión 0, todo ideal primo es minimal y maximal. Definición: Llamaremos variedad algebraica (afín) sobre un cuerpo k a toda pareja (X, A) formada por una k-álgebra de tipo finito A y su espectro X = Spec A. Diremos que la variedad es íntegra, reducida, de dimensión n, etc., si lo es A, y que es conexa, irreducible, etc., si lo es el espacio topológico X. Corolario: Todo anillo noetheriano de dimensión 0 tiene un número finito de ideales maximales. 4. Espectro de la Localización Cada morfismo de anillos j : A B induce en los espectros una aplicación ϕ: Spec B Spec A, ϕ(q) = q A := j 1 (q) = {f A: j(f) q}. Si y Spec B, por definición una función f A se anula en ϕ(y) cuando j(f) se anula en y; es decir, ϕ 1 (f) 0 = (fb) 0, de modo que ϕ es continua: ϕ 1 (I) 0 = ϕ 1 ( (f) 0 ) = ϕ 1 (f) 0 = (fb) 0 = (IB) 0. f I f I Teorema: Sea I un ideal de A. La aplicación continua i: Spec (A/I) Spec A inducida por la proyección canónica π : A A/I establece un homeomorfismo de Spec (A/I) con su imagen, que son los ceros del ideal I, [ ] Ideales primos de A Spec (A/I) = (I) 0 = que contienen a I donde cada primo p de A/I se corresponde con π 1 ( p) = {a A: ā p}, y cada primo p de A que contiene a I se corresponde con π(p) = {ā; a p}. f I 9

10 Demostración: Del curso anterior se sabe que la aplicación es biyectiva, y acabamos de ver que es continua. Es un homeomorfismo porque para cada cerrado ( π(i) ) 0 de Spec (A/I) tenemos que i 1 (I) 0 = ( π(i) ) 0. Corolario: Spec (A B) = (Spec A) (Spec B) Demostración: Consideremos en el anillo A B los ideales a = A 0, b = 0 B. Como a + b = A B y a b = 0, tenemos que (a) 0 (b) 0 = y (a) 0 (b) 0 = Spec (A B); es decir, Spec (A B) = (a) 0 (b)0. Además (a) 0 = Spec (A B)/a = Spec B y (b) 0 = Spec (A B)/b = Spec A. Nótese que cada ideal primo p de A se corresponde con el ideal primo p B de A B, y cada ideal primo q de B con el ideal primo A q de A B. Teorema: Sea S un sistema multiplicativo de un anillo A. La aplicación continua i: Spec A S Spec A inducida por el morfismo canónico γ : A A S establece un homeomorfismo de Spec A S con su imagen, formada por los ideales primos de A que no cortan al sistema multiplicativo S, [ ] Ideales primos de A Spec A S = que no cortan a S donde cada primo q de A S se corresponde con q A = {a A: a 1 q}, y cada primo p de A que no corte a S se corresponde con pa S = { a s ; a p, s S}. Demostración: Si q es un primo de A S, entonces p = A q = {a A: a 1 q} no corta a S y q = pa S (pruébese); luego i: Spec A S Spec A es inyectiva. Además, si un primo p de A no corta a S, entonces A (pa S ) = p: a 1 = b, b p au = bv p, u S a p s Además pa S es un ideal primo de A S, (a 1 /s 1 )(a 2 /s 2 ) pa S a 1 a 2 A pa S = p a i p a i /s i pa S y concluimos que i: Spec A S Spec A establece una biyección entre los ideales primos de A S y los ideales primos de A que no cortan a S. Esta biyección es continua, y es un homeomorfismo porque para cualquier cerrado (IA S ) 0 de Spec A S tenemos que i 1 (I) 0 = (IA S ) 0. Notación: Si p es el ideal primo de un punto x Spec A, la localización de A por S = A p = {f A: f(x) 0} se denota A p = A x. Si f A, la localización de A por S = {1, f, f 2,..., f n,...} se denota A f. Corolario: El anillo A p tiene un único ideal maximal, que es pa p. Corolario: Spec A f = U f = Spec A (f) 0. 10

11 Demostración: (f) 0 = (f n ) 0. Definición: Si I es un ideal de un anillo A, diremos que rad I = {f A : f n I para algún n N} es el radical de I. Por abuso del lenguaje, el radical del ideal 0, formado por los elementos nilpotentes (con alguna potencia nula), se denomina radical del anillo A. Un anillo es reducido si su radical es nulo, es decir, si carece de elementos nilpotentes no nulos. Teorema: Las funciones nilpotentes son las que se anulan en todo el espectro. Es decir, el radical de un anillo es la intersección de sus ideales primos. Demostración: Es claro que los elementos nilpotentes de un anillo A pertenecen a todos sus ideales primos. Recíprocamente, si f A se anula en todos los puntos del espectro de A, entonces Spec A f = U f =. Luego A f = 0, y 1 1 = 0, de modo que existe una potencia f n tal que 0 = f n 1 = f n. Corolario: El radical de un ideal I coincide con la intersección de los ideales primos que lo contienen, de modo que rad I es el mayor ideal cuyos ceros coinciden con los ceros de I. Demostración: Es claro que el radical de I está contenido en cualquier ideal primo que contenga a I. Recíprocamente, si una función f A pertenece a todos los ideales primos que contienen a I, entonces f se anula en Spec A/I. Luego alguna potencia f n es nula, y concluimos que f n I. Es decir, f rad I. Definición: Sea ϕ: Spec B Spec A la aplicación continua inducida por un morfismo de anillos j : A B, y sea p el ideal primo de un punto x Spec A. Diremos que ϕ 1 (x) = {y Spec B : ϕ(y) = x} es la fibra de ϕ sobre el punto x, y denotaremos B x a la localización de B por la imagen del sistema multiplicativo A p. Lema: ϕ 1 (x) = Spec B/pB, cuando el punto x es cerrado. Demostración: Como x es cerrado, x = x = (p) 0, y terminamos, ϕ 1 (x) = ϕ 1 ((p) 0 ) = (pb) 0 = Spec B/pB. Fórmula de la Fibra: ϕ 1 (x) = Spec ( B x /pb x ). Demostración: Sea q el ideal primo de un punto y de Spec B. La condición ϕ(y) = x significa que p = A q, lo que implica que q no corta a la imagen de A p en B. Luego la fibra ϕ 1 (x) está contenida en Spec B x, y por tanto 11

12 coincide con la fibra de Spec B x Spec A x sobre el único punto cerrado de Spec A x, definido por el ideal maximal pa x. Terminamos por el lema anterior, Cálculos: ϕ 1 (x) = Spec B/(pA x B x ) = Spec (B x /pb x ). 1. El espectro de un cuerpo k tiene un único punto, y el espectro de cualquier k-álgebra finita es un espacio topológico finito y discreto. 2. El espectro de Z tiene un punto cerrado por cada número primo y un punto genérico definido por el ideal 0. Es irreducible y de dimensión El espectro de Z/nZ, n 2, tiene un punto cerrado por cada número primo que divide a n. Su dimensión es El espectro de C[x]. Cada número complejo a define un punto cerrado, definido por el ideal maximal (x a). Además tiene un punto genérico p g definido por el ideal 0. Es irreducible y de dimensión El espectro de k[x] tiene un punto cerrado por cada polinomio irreducible y unitario p(x) con coeficientes en k, definido por el ideal maximal ( p(x) ), y un punto genérico definido por el ideal primo 0. Es irreducible y de dimensión El espectro de k[x]/ ( p(x) ), donde p(x) es un polinomio no constante con coeficientes en el cuerpo k, tiene un punto cerrado por cada factor irreducible y unitario de p(x) en k[x]. Su dimensión es El espectro de C [x, y]. Vamos a calcular las fibras de la aplicación ϕ : Spec C [x, y] Spec C [x] que define la inclusión C [x] C [x, y]. La fibra de un punto x = a es el espectro de C [x, y]/(x a) C [y], donde el isomorfismo transforma x en a, así que sus puntos están definidos por el ideal primo (x a) y los ideales maximales (x a, y b), donde b C. La fibra del punto x = a está formada por los puntos cerrados x = a, y = b junto con el punto genérico de la recta x = a. La fibra del punto genérico de Spec C [x] es el espectro de la localización C(x)[y] de C[x, y] por los polinomios en x no nulos. Por el lema de Gauss, los ideales primos no nulos de C(x)[y] son los ideales generados por los polinomios irreducibles en C [x, y] que sean de grado mayor o igual que 1 en y. Los puntos de esta fibra están definidos por el ideal 0 y los ideales primos ( p(x, y) ), donde p(x, y) es un polinomio irreducible de grado 1 en y. Es decir, la fibra del punto genérico está formada por el punto genérico del plano y los puntos genéricos de las curvas irreducibles p(x, y) = 0, de grado 1 en y. 12

13 Spec C [x, y] tiene dimensión 2 y (como los polinomios irreducibles de grado 0 en y son, salvo factores constantes, los polinomios x a) sus puntos son:. Los puntos cerrados x = a, y = b donde a, b C.. Los puntos genéricos de las curvas irreducibles p(x, y) = 0.. El punto genérico del plano afín. Si q(x, y) C[x, y] no es constante y q(x, y) = p 1 (x, y) m1 p r (x, y) mr es su descomposición en factores irreducibles, entonces (q) 0 = (p 1 ) 0... (p r ) 0. Luego los cerrados de Spec C [x, y] son las intersecciones arbitrarias de uniones finitas de curvas irreducibles. Ahora bien, dos curvas irreducibles distintas p 1 (x, y) = 0, p 2 (x, y) = 0 se cortan en un número finito de puntos cerrados, porque todos los ideales primos del anillo noetheriano C[x, y]/(p 1, p 2 ) son maximales (luego minimales, y por tanto un número finito), así que los cerrados de Spec C[x, y] (además del vacío y el total) son las uniones finitas de puntos cerrados y curvas irreducibles. 8. El espectro de C [x, y]/ ( q(x, y) ), donde q(x, y) no es constante. Si q(x, y) = cp 1 (x, y) m1 p r (x, y) m r es la descomposición en factores irreducibles, Spec C [x, y]/(q) = (q) 0 tiene dimensión 1 y sus puntos son:. Los puntos cerrados (a, b) donde q(a, b) = 0.. Los puntos genéricos de las curvas irreducibles p i (x, y) = El espectro de C [x, y]/ ( p(x, y), q(x, y) ), donde p(x, y) y q(x, y) no son constantes y carecen de factores irreducibles comunes. El espectro coincide con los ceros de p(x, y) en Spec C [x, y]/ ( q(x, y) ) ; luego todos sus puntos son cerrados, porque p(x, y) no es múltiplo de ningún factor irreducible p i (x, y) de q(x, y). Por tanto C [x, y]/ ( p(x, y), q(x, y) ) tiene dimensión 0 y obtenemos la finitud del número de soluciones complejas del sistema de ecuaciones algebraicas p(x, y) = 0 q(x, y) = El espectro de Z[x]. La inclusión Z Z[x] induce una aplicación } ϕ: Spec Z[x] Spec Z. La fibra de cada número primo p es el espectro de Z[x]/pZ[x] F p [x], donde [q(x)] se corresponde con la reducción de q(x) módulo p. Los puntos de la fibra de p están definidos por el ideal primo pz[x] y los ideales maximales (p, q(x)), donde q(x) es un polinomio cuya reducción módulo p sea irreducible en F p [x]. 13

14 La fibra del punto genérico de Spec Z es Spec Q[x]. Por el lema de Gauss, los primos no nulos de Q[x] están generados por los polinomios irreducibles en Z[x] no constantes. Luego los primos de Z[x] son el ideal 0 y los ideales (p(x)), donde p(x) es un polinomio no constante irreducible en Z[x]. Luego dim Z[x] = 2 y (como los polinomios irreducibles constantes son, salvo el signo, los números primos) los ideales primos de Z[x] son:. Los ideales maximales (p, q(x)), donde p es un número primo y q(x) es un polinomio cuya reducción módulo p es irreducible.. Los ideales primos (p(x)) generados por un polinomio p(x) irreducible en Z[x] (lo que incluye los números primos).. El ideal primo Localización de Módulos Definición: La localización M S de un A-módulo M por un sistema multiplicativo S de A es el conjunto cociente de M S por la relación de equivalencia (m, s) (n, t) existen u, v S tales que mu = nv, su = tv, dotado de la estructura de A S -módulo que definen las siguientes operaciones: m s + n t = tm + sn st, a s m t = am st donde m s denota la clase de (m, s). De nuevo m s = 0 si y sólo si um = 0 para algún u S; así que m s = n t si y sólo si u(tm sn) = 0 para algún u S. El morfismo de localización M M S, m m 1, es morfismo de A-módulos. Si f A, entonces M f denotará la localización de M por S = {1, f,..., f n,...}. Si p es el ideal primo de un punto x Spec A, entonces M p = M x denotará la localización de M por S = A p. Propiedad Universal: Sea N un A S -módulo. Si f : M N es un morfismo de A-módulos, existe un único morfismo de A S -módulos ϕ: M S N tal que ϕ( m 1 ) = f(m). Hom AS (M S, N) = Hom A (M, N). Demostración: El único morfismo posible, ϕ( m s ) = ϕ(s 1 m 1 ) = s 1 ϕ( m 1 ) = s 1 f(m), está bien definido porque ϕ( um us ) = (us) 1 f(um) = s 1 u 1 uf(m) = s 1 f(m), y es inmediato comprobar que es morfismo de A S -módulos. Teorema: Hay un isomorfismo de A S -módulos M S = M A A S, m s = m 1 s. 14

15 Demostración: Por la propiedad universal de la localización, el morfismo de A- módulos M M A A S, m m 1, induce un morfismo de A S -módulos M S M A A S, m/s s 1 (m 1) = m (1/s). Recíprocamente, la aplicación M A S M S, (m, a s ) am s es A-bilineal, así que define un morfismo de A-módulos M A A S M S, m (a/s) am/s, y es sencillo comprobar que ambos morfismos son mutuamente inversos. Definición: Sea f : M N un morfismo de A-módulos. Por la propiedad universal, el morfismo de A-módulos M N S, m f(m) 1, induce un morfismo de A S -módulos f S : M S N S, f S ( m s ) = f(m) s, llamado localización de f en S. Teorema: Si M f M g M es una sucesión exacta de A-módulos, entonces también es exacta la sucesión M S f S g S MS M S. Demostración: Im f S Ker g S porque g S f S = (g f) S = 0 S = 0. m Ahora, si s Ker g S, entonces g(m) s = 0, y 0 = tg(m) = g(tm) para algún t S. Luego tm = f(m ) para algún m M, porque Ker g = Im f, y m s = tm ts = f(m ) ( ts = f m ) S ts Im fs. q.e.d. Si N es un submódulo de M, entonces N S es un submódulo de M S. 1. (N + N ) S = N S + N S. 2. (M M ) S = M S M S, (m,m ) s = ( m s, m s ). 3. (N N ) S = N S N S. 4. (M/N) S = M S /N S, m s = [ m s ]. 5. (Ker f ) S = Ker f S. 6. (Im f ) S = Im f S. Demostración: Todas las igualdades se siguen de la definición, salvo la 4 y 5, que se obtienen localizando las sucesiones exactas 5.1. Propiedades Locales 0 N M M/N 0 0 Ker f M N Definición: La localización de un A-módulo M en x Spec A se denota M x, y si m M, ponemos m x = m 1 M x. El soporte de un elemento m M es sop (m) := {x Spec A: m x 0}, 15

16 y su anulador es Ann(m) := {a A: am = 0}. El soporte de un A-módulo M es sop (M) := {x Spec A: M x 0} = m M sop (m), y su anulador es Ann M := {a A: am = 0} = m M Ann(m). Lema: sop (m) = (Ann (m)) 0. Luego m = 0 si y sólo si m x = 0, x Spec A. Demostración: La condición m x = 0 afirma que fm = 0 para algún f A que no se anula en x; es decir, que x no está en los ceros del ideal Ann(m). Ahora, si = sop (m) = (Ann(m)) 0, entonces Ann(m) = A, y m = 0. Corolario: M = 0 si y sólo si M x = 0 en todo punto x Spec A. Teorema: Una sucesión de A-módulos M f M g M es exacta si y sólo si lo es su localización M x f x g x Mx M x en todo punto x Spec A. Demostración: Si la sucesión es exacta en todo punto, entonces (Im gf) x = Im (gf) x = Im (g x f x ) = 0. Luego Im gf = 0, y Im f Ker g. Localizando ahora Ker g/im f vemos que es nulo, (Ker g/im f) x = (Ker g) x /(Im f) x = (Ker g x )/(Im f x ) = 0. Definición: Un anillo es local si tiene un único ideal maximal (como A x ). Lema de Nakayama: Sea O un anillo local y m su único ideal maximal. Si M es un O-módulo finito generado y mm = M, entonces M = 0. Demostración: Por reducción al absurdo. Si M 0, consideramos un sistema mínimo de generadores m 1,..., m n. Como M = mm = m(om Om n ) = mm mm n tendremos m 1 = f 1 m 1 +f 2 m f n m n para ciertas funciones f 1,..., f n m. Luego 1 f 1 es invertible (no está en el único maximal m) y (1 f 1 )m 1 = f 2 m f n m n. Vemos que m 1 Om Om n, y m 2,..., m n generan M. Absurdo. Corolario: Sea O un anillo local y k = O/m el cuerpo residual de su único ideal maximal m. Si M es un O-módulo finito generado, entonces 1. M = 0 si y sólo si M O k = La condición necesaria y suficiente para que m 1,..., m n M generen el O-módulo M es que sus clases m 1,..., m n generen el k-espacio vectorial M/mM = M O k. Demostración: (1) Si 0 = M O k = M/mM, entonces mm = M, y M = 0. (2) Pongamos N = Om Om n. Si m 1,..., m n generan el k-espacio vectorial M/mM entonces M = N +mm. Pasando al cociente por N obtenemos que M/N = m(m/n), y el lema de Nakayama permite concluir que M/N = 0. Es decir, N = M y m 1,..., m n generan el O-módulo M. 16

17 6. Morfismos Finitos Definición: Sea A B un morfismo de anillos. Diremos que un elemento b B es entero sobre A si verifica alguna relación de dependencia entera b n + a 1 b n a n 1 b + a n = 0, a 1,..., a n A, y decimos que el morfismo A B es finito (o que B es una A-álgebra finita) cuando B es un A-módulo finito generado, B = Ab Ab n. En tal caso, si B C es otro morfismo finito, C = Bc Bc m, entonces la composición A C también es un morfismo finito: C = (Ab Ab n )c (Ab Ab n )c m = Ab 1 c Ab n c m. Lema: Sea A B un morfismo de anillos y b B. Las siguientes condiciones son equivalentes: 1. b es entero sobre A. 2. El morfismo A A[b] es finito. 3. b pertenece a una subálgebra C B que es un A-módulo finito generado. Demostración: (1 2) Si b es entero sobre A, una potencia de b es combinación lineal de las anteriores, b n = a 1 b n 1... a n 1 b a n, con a 1,..., a n A, de modo que las sucesivas potencias b n+i también son combinaciones lineales de 1, b,..., b n 1, y concluimos que A[ b ] = A + Ab Ab n 1. (2 3) Es evidente, pues A[b] es una subálgebra de B y b A[b]. (3 1) Si C = Ac Ac n es una subálgebra de B y b C, entonces para ciertos elementos a ij A tendremos bc i = j a ij c j, b a a 1n a n1... b a nn c 1.. c n = 0., 0 Multiplicando por la izquierda por la matriz adjunta de (δ ij b a ij ) se sigue que el determinante δ ij b a ij anula a cada c i ; luego anula a C, y es nulo porque 1 C. Desarrollando el determinante obtenemos una relación de dependencia entera b n + a 1 b n a n = 0 sobre A. Corolario: El morfismo A A[b 1,..., b n ] es finito cuando b 1,..., b n B son enteros sobre A. Demostración: Por inducción sobre n, y es parte del lema anterior cuando n = 1. 17

18 Si n > 1, por inducción A A[b 1,..., b n 1 ] es finito. Como b n es entero sobre A, también lo es sobre A[b 1,..., b n 1 ]; luego A[b 1,..., b n 1 ] A[b 1,..., b n ] es finito y concluimos que también lo es A A[b 1,..., b n ]. Corolario: Sea B una A-álgebra. Los elementos de B enteros sobre A forman una subálgebra, llamada cierre entero de A en B. Demostración: Si b 1, b 2 B son enteros sobre A, entonces A[b 1, b 2 ] es un A- módulo finito generado, y por el lema todos sus elementos son enteros sobre A. En particular b 1 + b 2 y b 1 b 2 son enteros sobre A. Ejemplos: (1) Sea L una extensión de un cuerpo k. Los elementos de L enteros sobre k son precisamente los elementos algebraicos sobre k, y el cierre entero de k en L es el cierre algebraico de k en L. Si la extensión k L es finita, entonces el morfismo k[x 1,..., x n ] L[x 1,..., x n ] también es finito. (2) Los números complejos enteros sobre Z se llaman enteros algebraicos y, por definición, son las raíces complejas de los polinomios unitarios con coeficientes en Z. Cada número algebraico α C es raíz de un único polinomio irreducible unitario p α (x) con coeficientes racionales, y por el lema de Gauss, α es entero sobre Z si y sólo si p α (x) tiene coeficientes en Z. (3) Sea C la curva plana y 2 = x 3. La parametrización x = t 2, y = t 3, define un morfismo finito A 1 C, porque t satisface la relación de dependencia entera t 2 x = 0 sobre A = k[x, y]/(y 2 x 3 ). (4) Sea C la curva plana y 2 = x 2 + x 3. La parametrización x = t 2 1, y = t 3 t, define un morfismo finito A 1 C, porque t satisface la relación de dependencia entera t 2 (1 + x) = 0 sobre A = k[x, y]/(y 2 x 2 x 3 ). (5) Un anillo íntegro es normal si coincide su cierre entero en su cuerpo de fracciones. Los dominios de factorización única son normales. Teorema: Sea A B un morfismo finito. Las fibras de la aplicación inducida π : Spec B Spec A son finitas y discretas, y no vacías cuando A B es inyectivo. Demostración: Sea p el ideal primo de un punto x Spec A. Como A B es finito, también lo son los morfismos A x B x y k := A x /pa x B x /pb x. Como B x /pb x es una k-álgebra finita, Spec (B x /pb x ) = π 1 (x) es finito y discreto. Además, si 0 A B es exacta, entonces 0 A x B x es exacta y B x 0. Luego B x /p x B x 0 por Nakayama, y su espectro no es vacío. Corolario: Si A B es finito, entonces dim B dim A. Demostración: En ninguna cadena de especializaciones y 0 >... > y n en Spec B se dan coincidencias π(y i 1 ) = π(y i ), porque la fibra de π(y i ) no sería discreta. 18

19 Teorema del Ascenso: Los morfismos finitos son cerrados. Demostración: Sea π : Spec B Spec A la aplicación inducida por un morfismo finito A B. Si J es un ideal de B y ponemos I = J A, entonces el morfismo natural A/I B/J es finito e inyectivo (pruébese), y el siguiente cuadrado conmutativo muestra que π(j) 0 = (I) 0, Spec B π Spec A Spec B/J Spec A/I Corolario: Sea A B un morfismo finito, y p p ideales primos de A. Si q es un ideal primo de B y p = q A, entonces existe en B un ideal primo q q tal que p = q A. Demostración: Sean x, x, y los puntos definidos por los primos p, p, q. El cierre de x = π(y) está contenido en π(y), porque π es cerrada; luego x π(y), y existe y y tal que x = π(y ). Corolario: Si A B es finito e inyectivo, entonces dim A = dim B. Demostración: Sea p 0... p n una cadena de ideales primos en A. Existe un primo q 0 en B tal que p 0 = q 0 A, porque las fibras no son vacías, y por el corolario anterior existe una cadena de primos q 0... q n tales que q 1 A = p i ; luego dim B dim A Teorema de los Ceros Definición: Sea A una k-álgebra. Diremos que a 1,..., a n A son algebraicamente dependientes sobre el cuerpo k si p(a 1,..., a n ) = 0 para algún polinomio no nulo p(x 1,..., x n ) k[x 1,..., x n ], y en caso contrario (es decir, cuando el morfismo de k-álgebras k[x 1,..., x n ] A, x i a i, es inyectivo) decimos que son algebraicamente independientes sobre k. Lema de Normalización: Si A = k[ξ 1,..., ξ n ] es una k-álgebra de tipo finito, existe un morfismo de k-álgebras finito e inyectivo k[x 1,..., x d ] A, donde d n y d < n cuando ξ 1,..., ξ n son algebraicamente dependientes sobre k. Demostración: Por inducción sobre n, y es cierto cuando n = 0 porque en tal caso A = k. Cuando n 1, si ξ 1,..., ξ n son algebraicamente independientes, entonces k[x 1,..., x n ] = A, y el enunciado es cierto. Si ξ 1,..., ξ n son algebraicamente dependientes, verifican alguna relación (de la que escribimos el monomio con mayor grado en ξ 1, y en caso de coincidencia el de mayor grado en ξ 2,..., y podemos suponer que el coeficiente es 1) ξ r 1 1 ξr 2 2 ξr n n +... = 0. 19

20 Pongamos ξ i = ξ i ξ d i n, con d 1 d 2... d n 1. Ahora A = k[ξ 1,... ξ n 1, ξ n ], donde ξ 1,..., ξ n 1, ξ n satisfacen una relación en la que el término de mayor grado en ξ n es ξ d 1r d n 1 r n 1 +r n n +... = 0, de modo que el morfismo k[ξ 1,..., ξ n 1] A es finito. Por inducción, existe un morfismo finito k[x 1,..., x d ] k[ξ 1,..., ξ n 1], con d n 1, y terminamos. Teorema de los Ceros de Hilbert ( ): Si m es un ideal maximal de una k-álgebra de tipo finito A, entonces la extensión k A/m es finita. Demostración: Tomemos un morfismo finito e inyectivo k[x 1,..., x d ] A/m. Como la aplicación inducida Spec(A/m) Spec k[x 1,..., x d ] es epiyectiva, vemos que k[x 1,..., x d ] tiene un único punto. Luego d = 0. Definición: Diremos que el punto cerrado de Spec A que define un ideal maximal m de una k-álgebra A es racional si el morfismo natural k A/m es un isomorfismo. Cuando el cuerpo k es algebraicamente cerrado, por el Teorema de los Ceros los puntos cerrados de las variedades algebraicas sobre k son racionales. Corolario: Si m es un ideal maximal de k[x 1,..., x n ] y k es algebraicamente cerrado, entonces existen a 1,..., a n k tales que m = (x 1 a 1,..., x n a n ). Demostración: Como la extensión k k[x 1,..., x n ]/m es finita, es trivial; así que existen a i k tales que x i a i m. Luego (x 1 a 1,..., x n a n ) m, y coinciden porque el ideal (x 1 a 1,..., x n a n ) es maximal. Lema: Sea A B un morfismo de k-álgebras entre dos k-álgebras de tipo finito. Si m es un ideal maximal de B, entonces m A es un ideal maximal de A. Demostración: El morfismo natural A/(m A) B/m es inyectivo, y como B/m es una extensión finita de k, se sigue que A/(m A) es un cuerpo. Teorema de los Ceros (forma fuerte): El radical de cualquier k-álgebra de tipo finito A es la intersección de sus ideales maximales. Demostración: Si f A se anula en todos los puntos cerrados de Spec A, entonces la variedad algebraica U f = Spec A[ 1 f ] carece de puntos cerrados por el corolario anterior; luego es vacía, y f se anula en Spec A. Corolario: En las variedades algebraicas sobre un cuerpo algebraicamente cerrado, las funciones nilpotentes son las que se anulan en los puntos racionales. 20

21 7. Teoría de la Dimensión Teorema: dim k[x 1,..., x n ] = n. Demostración: Por inducción sobre n, y sabemos que es cierto cuando n = 0, 1. Si 0 p 1... p m es una cadena de ideales primos en k[x 1,..., x n ], tomamos p(x 1,..., x n ) p 1 no nulo, de modo que la dimensión de Krull de A = k[x 1,..., x n ]/(p) = k[ξ 1,..., ξ n ] es m 1. Como p(ξ 1,..., ξ n ) = 0, por el lema de normalización hay un morfismo finito e inyectivo k[y 1,..., y d ] A, con d < n. Luego dim A = dim k[y 1,... y d ]. Por inducción dim k[y 1,..., y d ] = d; así que m 1 d < n. Es decir, m n y dim k[x 1,..., x n ] n. Al ser 0 (x 1 ) (x 1, x 2 )... (x 1,..., x n ) una cadena de ideales primos de k[x 1,..., x n ], tenemos que dim k[x 1,..., x n ] n, y terminamos. Corolario: Toda variedad algebraica sobre un cuerpo tiene dimensión finita. Demostración: Si A = k[ξ 1,..., ξ n ] es una k-álgebra de tipo finito, por el lema de normalización existe un morfismo finito e inyectivo k[x 1,..., x d ] A, con d n; luego d = dim k[x 1,..., x d ] = dim A. Teorema: La dimensión de cualquier k-álgebra de tipo finito íntegra A coincide con el grado de trascendencia sobre k de su cuerpo de fracciones Σ. Demostración: Por el lema de normalización tenemos un morfismo finito inyectivo k[x 1,..., x d ] A, donde d = dim k[x 1,..., x d ] = dim A. Consideremos el sistema multiplicativo S = {p k[x 1,..., x d ]: p 0}. El morfismo natural k(x 1,..., x d ) A S es finito (pruébese) y A S es íntegra; luego es cuerpo y coincide con el cuerpo de fracciones Σ de A. Luego Σ es una extensión finita de k(x 1,..., x d ), y su grado de trascendencia sobre k es d. Corolario: Sea X = Spec A una variedad algebraica íntegra. Si una función f A no es nula, entonces dim U f = dim X. Demostración: A y A f = A[ 1 f ] tienen el mismo cuerpo de fracciones. Corolario: Si un polinomio p k[x 1,..., x n ] es irreducible, entonces dim k[x 1,..., x n ]/(p) = n 1. Demostración: Pongamos A = k[ξ 1,..., ξ n ] = k[x 1,..., x n ]/(p), que es íntegra, y sea Σ su cuerpo de fracciones. Podemos suponer que el grado de p(x 1,..., x n ) en la indeterminada x n no es nulo. Entonces ξ 1,..., ξ n 1 son algebraicamente independientes, pues ningún polinomio en x 1,..., x n 1 es múltiplo de p, y la extensión k(ξ 1,..., ξ n 1 ) k(ξ 1,..., ξ n ) es finita porque p(ξ 1,..., ξ n ) = 0. Luego el grado de trascendencia de Σ = k(ξ 1,..., ξ n ) es n 1. 21

22 Corolario: Si un polinomio f k[x 1,..., x n ] no es constante, entonces dim k[x 1,..., x n ]/(f) = n 1. Demostración: Si p 1,..., p r son los factores irreducibles de f, entonces Spec k[x 1,..., x n ]/(f) = (f) 0 = (p 1 ) 0... (p r ) 0, donde todos los cerrados (p i ) 0 son de dimensión n 1. Teorema del Ideal Principal de Krull ( ): Sea X = Spec A una variedad algebraica íntegra de dimensión n. Si f A no es nulo ni invertible, entonces todas las componentes irreducibles de (f) 0 = Spec A/fA son de dimensión n 1. Demostración: Sea (f) 0 = Y 1... Y r la descomposición de (f) 0 en componentes irreducibles, y tomemos h A que se anule en Y 2... Y r pero no en Y 1. Ahora U h = Spec A h es una variedad algebraica íntegra de dimensión n en la que los ceros de f son irreducibles; luego podemos suponer que (f) 0 es irreducible. Por el lema de normalización de Noether, tenemos un morfismo finito e inyectivo k[x 1,..., x n ] A, con n = dim A. Ahora la inclusión k[x 1,..., x n, f] A es un morfismo finito e inyectivo, y la aplicación continua inducida ϕ: Spec A Spec k[x 1,..., x n, f] cumple que ϕ 1( ) (f) 0 = (f)0, así que por el teorema del ascenso ambos cerrados tienen igual dimensión, y podemos suponer que A = k[x 1,..., x n, f]. Sea p el núcleo del epimorfismo k[x 1,..., x n, x n+1 ] k[x 1,..., x n, f] = A, de modo existe una cadena de primos p p 1... p n, y tomemos un polinomio irreducible p(x 1,..., x n+1 ) p. Si la inclusión (p) p fuera estricta, en k[x 1,..., x n+1 ] tendríamos una cadena de primos 0 (p) p p 1... p n de longitud n + 2, lo que es absurdo. Luego p = (p) y A = k[x 1,..., x n+1 ]/(p). Ahora A/fA = k[x 1,..., x n+1 ]/(p, x n+1 ) = k[x 1,..., x n ]/ ( p(x 1,..., x n, 0) ) tiene dimensión n 1, porque p(x 1,..., x n, 0) no es constante (ya que f no es nulo ni invertible). Corolario: Sea A una k-álgebra de tipo finito íntegra de dimensión n. Todas las cadenas irrefinables de ideales primos de A tienen longitud n. Demostración: Por inducción sobre n, y es obvio cuando n = 0. Si n 1, sea 0 p 1... p m una cadena irrefinable de primos de A y tomemos 0 f p 1. Al ser irrefinable, p 1 define un primo minimal de A/fA, y (p 1 ) 0 es una componente irreducible de (f) 0. Por el teorema anterior, dim A/p 1 = dim (p 1 ) 0 = n 1, y concluimos que m = n, ya que p 1... p m define una cadena irrefinable de primos en A/p 1. Definición: Un anillo A es catenario si todas las cadenas irrefinables de primos p = p 0 p 1... p n = q con extremos prefijados p, q tienen igual longitud. 22

23 Teorema: Toda k-álgebra de tipo finito A es catenaria. Demostración: Sustituyendo A por A/p podemos suponer que A es íntegra y p = 0. En tal caso, si 0 p 1... p n = q y 0 p 1... p m = q son dos cadenas irrefinables, consideramos una cadena irrefinable q q 1... q r. Ahora 0 p 1... p n q 1... q r y 0 p 1... p m q 1... q r son dos cadenas irrefinables de ideales primos de A. Luego n + r = m + r por el corolario anterior, y concluimos que n = m. 23

24 8. Apéndice Definición: Sea k L una extensión. Un elemento α L es algebraico sobre k si es raíz de algún polinomio no nulo p(x) k[x]. En caso contrario diremos que α es trascendente sobre k. Diremos que L es una extensión algebraica de k cuando lo sean todos sus elementos. Por ejemplo, todas las extensiones finitas son algebraicas. Definición: Sea k L una extensión. Unos elementos x 1,..., x n L algebraicamente independientes sobre k forman una base de trascendencia de L sobre k si no existe x L tal que x 1,..., x n, x sean algebraicamente independientes sobre k; es decir, si la extensión k(x 1,..., x n ) L es algebraica. Proposición: Todas las bases de trascendencia de L sobre k tienen igual número de elementos, llamado grado de trascendencia de L sobre k. Demostración: Si existieran dos bases de trascendencia x 1,..., x n e y 1,..., y m con n < m, procediendo por inducción sobre i vamos a ver que L es extensión algebraica de k(y 1,..., y i, x i+1,..., x n ), lo que es absurdo cuando i = n porque y 1,..., y n, y n+1 son algebraicamente independientes. Cuando i = 0 es cierto porque la extensión k(x 1,..., x n ) L es algebraica. Cuando i 1, el elemento y i es algebraico sobre k(y 1,..., y i 1, x i,..., x n ) por hipótesis de inducción, p r (y 1,..., y i 1, x i,..., x n )y r i p 0 (y 1,..., y i 1, x i,..., x n ) = 0. Quitando denominadores podemos suponer que los coeficientes son polinomios y (reordenando x i,..., x n si fuera preciso) en alguno ha de aparecer x i porque y 1,..., y i son algebraicamente independientes. Luego x i es algebraico sobre k(y 1,..., y i, x i+1,..., x n ), y son algebraicas las extensiones k(y 1,..., y i, x i+1,..., x n ) k(y 1,..., y i, x i, x i+1,..., x n ) L. 24