Sobre álgebras topológicas

Transcripción

1 Sobre álgebras topológicas Encuentro Nacional de Jóvenes investigadores en Matemáticas Reyna María Pérez-Tiscareño 2 de Diciembre, 2015 Universidad Autónoma Metropolitana Unidad Iztapalapa

2 1) Introducción 2) Diferentes tipos de álgebras topológicas 3) Sobre mi trabajo de investigación

3 1938- Se comienza el estudio de las álgebras topológicas.

4 Un álgebra E es un espacio vectorial sobre el campo K con una multiplicación, : E E E que satisface que para toda x, y, z E y λ K x(y + z) = xy + xz (y + z)x = yx + zx λ(xy) = x(λy) = (λx)y.

5 Definición Un álgebra topológica es un álgebra que es un espacio vectorial topológico y la multiplicación de anillo es separadamente continua, es decir, los operadores x xy para cada y fija en el álgebra y y xy para cada x fija en el álgebra son continuos.

6 Definición Un espacio vectorial normado E es un espacio vectorial sobre el campo K (K = R o K = C) con una función : E R a la que se le llama norma y que satisface las siguientes propiedades: 1) x 0 para toda x E y x = 0 solo si x = 0. 2) x + y x + y. 3) λx = λ x, con λ K. Un espacio de Banach es un espacio vectorial normado que es completo (toda sucesión de Cauchy (con respecto a la métrica d(x, y) = x y ) en E es convergente).

7 Definición Un álgebra de Banach es un álgebra asociativa E sobre el campo de los números reales o complejos que es un espacio de Banach y tal que para toda x, y E xy x y.

8

9 (A, ) (A, { α : α Λ})

10 (A, ) (A, { α : α Λ})

11 Definición Una seminorma en un espacio vectorial E sobre el campo K es una función p : E R que satisface las siguientes condiciones: 1) p(x) 0 para toda x E 2) p(x + y) p(x) + p(y), x, y E 3) p(λx) = λ p(x), λ K.

12 Definición Un álgebra localmente convexa A es un álgebra topológica que es un espacio localmente convexo; en este caso su topología es dada por una familia de seminormas { α : α Λ} que satisfacen que para toda α Λ existe β Λ, tal que para toda x, y A. xy α x β y β Para un álgebra localmente convexa metrizable A, existe una sucesión de seminormas ( n ) n=1 que definen su topología y satisfacen: xy n x n+1 y n+1 para toda x, y A.

13

14 Definición Un álgebra A multiplicativa convexa (m-convexa) es un álgebra localmente convexa cuya topología esta definida por una familia de seminormas { α : α Λ} tal que para toda x, y A y α Λ. xy α x α y α

15 Ejemplo Sea X un espacio topológico y denotamos por C(X), el algebra de funciones continuas de X en C (las operaciones son definidas puntualmente). A continuación se define para todo subconjunto compacto K de X una seminorma submultiplicativa sobre C(X), p K (f ) = sup f (x) donde f C(X) x K (C(X), {p K }) es un álgebra m-convexa.

16 (A, ) (A, { α : α Λ}) (A, {p α ( ) : α Λ})

17 (A, ) (A, { α : α Λ}) (A, {p α ( ) : α Λ})

18 Definición Un álgebra localmente seudoconvexa A es un álgebra topológica que es un espacio localmente seudoconvexo; en este caso A tiene una base U = {U λ : λ Λ} de vecindades de cero que consiste de conjuntos balanceados (µu λ U λ cuando µ 1) y conjuntos seudoconvexos (U λ + U λ µu λ para µ 2). La topología de un álgebra localmente seudoconvexa es dada por una familia de k λ seminormas homogeneas P = {p λ : λ Λ} (p λ (µa) = µ k λp λ (a)), donde k λ (0, 1] para cada λ Λ y a A.

19 Ejemplo El álgebra A de funciones reales continuas, cuya familia de seminormas es dada por: f n = sup (f (x)) 1 n n x n es un álgebra localmente seudoconvexa.

20

21 Cuando inf{k λ : λ Λ} = k > 0, se dice que E es un álgebra localmente k-convexa.

22 Definición Un álgebra topológica A se dice que es un álgebra topológica completa si como espacio vectorial topológico es completo. Un álgebra de Fréchet es un álgebra topológica metrizable y completa.

23

24 Álgebras normadas (N) Álgebras de Banach(B) Álgebras localmente convexas (LC) Álgebras localmente acotadas (LB) Álgebras localmente seudoconvexas (LP) Álgebras de Gelfand-Mazur (GM) Álgebras de Fréchet (F)

25 Límites inductivos de álgebras Sea I un conjunto dirigido (no vacío) con el orden parcial. Entonces, para toda α, β I existe γ I tal que α γ y β γ. Sea (E α ) α I una familia de álgebras y para toda α, β I con α β sea f βα : E α E β un homomorfismo que satisface las siguientes propiedades: 1) f αα = id Eα para toda α I. 2) f γα = f γβ f βα para toda α, β, γ I tal que α β γ. La familia (E α ) α I con los mapeos f βα definidos anteriormente es llamada un sistema inductivo de álgebras y es denotado por (E α, f βα ).

26 Límites inductivos de álgebras Sea E 0 = α E α (una unión ajena) y sean x, y E 0 (entonces x E α y y E β ) son equivalentes (x y) si existe γ I tal que α γ, β γ y f γα (x) = f γβ (y). El conjunto cociente (E 0 / ) es llamado el límite inductivo (o límite directo) del sistema inductivo (E α, f βα ) y será denotado por lim E α.

27 Límites inductivos de álgebras Para toda α I sea i α : E α E 0 la inclusión y π : E 0 E 0 / el mapeo cociente. Entonces, Se prueba que f α = π i α : E α E = lim E α E = α If α (E α ). para toda α I Además, f β f βα = f α cuando α β y f α (E α ) f β (E β ) para toda α, β I con α β.

28 Límites inductivos de álgebras Las operaciones algebraicas en lim E α son definidas como sigue: para toda x, y E (entonces x f α (E α ) y y f β (E β ) para alguna α, β I) existe γ I tal que x = f γ (x γ ) y y = f γ (y γ ) para alguna x γ, y γ E γ. x+y = f γ (x γ +y γ ), λx = f γ (λx γ ) para cada λ K y xy = f γ (x γ y γ ). Con respecto a estas operaciones algebraicas el límite inductivo lim E α es un álgebra.

29 Límites inductivos de álgebras topológicas Si se consideran límites inductivos de álgebras topológicas (E α, τ α ), se asume que los homomorfismos f βα : E α E β (α, β I, α β) son continuos y se le da al límite inductivo E = lim E α la topología final τ lim E α inducida por los homomorfismos f α.

30 Límites inductivos de álgebras localmente seudoconvexas E α Como la topología τ lim E α sobre E no necesariamente es localmente seudoconvexa, se define sobre E la topología final localmente seudoconvexa como la topología τ dada por una base de vecindades de x E L x = {x + U : U es absolutamente seudoconvexo en E y f 1 α (U) N τα } donde, N τα denota el conjunto de vecindades de cero en E α. (E, τ) es un álgebra localmente seudoconvexa. Además τ es la topología localmente seudoconvexa más fina sobre E tal que f α es continua para toda α I.

31 Γ k (U) = { n = µ ν u ν : n N, u 1,, u n U y µ 1,, µ n K con ν=1 para todo subconjunto U de E y k (0, 1]. Al conjunto Γ k (U) se le llama la cerradura absolutamente k-convexa de U en E. Un subconjunto U E es llamado absolutamente seudoconvexo si U = Γ k (U) para alguna k (0, 1]. n µ ν k 1 ν=1

32 LFpg-álgebras, LFp-álgebras, k-lfg-álgebras, k-lf-álgebras Límite inductivo localmente seudoconvexo de álgebras localmente seudoconvexas... de sucesiones de álgebras localmente pseudoconvexas Q-LFpg-álgebras, Q-LFp-álgebras

33 Cuando el límite inductivo E = lim E α satisface 1. E = E α y 2. Para toda α, β I existe γ I tal que E α E γ y E β E γ. Usaremos la notación lime α en lugar de E α.

34 Definición Una LF-álgebra (LFg-álgebra) es un álgebra topológica (E, τ) tal que a E = (E α, τ α ) y toda (E α, τ α ) es una F-álgebra. Además, una álgebra topológica (E, τ) es un LF-álgebra si E es un límite inductivo de una sucesión creciente de F-álgebras (E n, τ n ) tal que E = n N E n, τ coincide con la topología de límite inductivo mas fina sobre E que hace continuos a los mapeos canónicos y la topología de E n+1 restringida a E n coincide con τ n para toda n N. a La topología τ en E coincide con la topología de límite inductivo más fina definida por los mapeos canónicos f α de E α a E para toda α I.

35 Proposición Sea (E, τ) un álgebra localmente seudoconvexa para la cual E es un límite inductivo de F-álgebras localmente seudoconvexas (E α, τ α ). Entonces, (E, τ) es un LFpg-álgebra.

36 Propiedades de las LFpg-álgebras y LFp-álgebras 1) Sea (E, τ) un LFpg-álgebra y J un ideal bilateral cerrado en E. Entonces, el álgebra cociente E/J con la topología cociente τ es un LFpg-álgebra. 2) Sean (E α, τ α ) y (E β, τ β ) k-lf-álgebras (completas) para alguna k (0, 1], entonces (E α E β, τ) donde τ denota la topología producto es una k-lf-álgebra (completa) 3) Para toda k-lf-álgebra completa (E, τ), k (0, 1], la unitarización E K de E en la topología producto es un k-lf-álgebra completa.

37 Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjunto de elementos invertibles de A es abierto. Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebra si el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.

38 Si A es un álgebra de Banach con unidad, entonces el conjunto de elementos invertibles de A es abierto. Un álgebra topológica con unidad, A se dice que es Q-álgebra si el conjunto de elementos invertibles de A es abierto.

39 Límite inductivo de Q-álgebras Definición Un álgebra topológica (E, τ) es una Q-álgebra si el conjunto QinvE de elementos casi-invertibles a (cuando E es un álgebra unitaria, entonces el conjunto InvE de elementos invertibles) de E es abierto en la topología τ. a Un elemento a de un álgebra A es casi-invertible, si existe un elemento b A tal que a + b = ab.

40 Definición Sea E un álgebra sobre C y a E. El espectro de a, sp E (a), es definido por sp E (a) = {λ C \ {0} : a } λ QinvA {0} y el radio espectral de a, ρ E (a), por ρ E (a) = sup{ λ : λ sp E (a)}.

41 Límite inductivo localmente seudoconvexo de Q-álgebras localmente seudoconvexas Sea (E, τ) un álgebra localmente seudoconvexa sobre C tal que E = E α, (E α, τ α ) son Q-álgebras localmente seudoconvexas y τ es la topología de límite inductivo localmente seudoconvexa. Si alguno de los siguientes propiedades se cumplen: (1) QinvE α τ para cada α I; (2) El radio espectral de E α, ρ Eα, es una seminorma sobre E α para cada α I; (3) I tiene un elemento mínimo α 0 y f βα0 es un mapeo abierto para cada β I, entonces (E, τ) es Q-álgebra.

42 Se tiene que el límite inductivo localmente convexo de una familia numerable de álgebras normadas es un álgebra localmente m-convexa. Se prueba un resultado análogo en el caso de límite inductivo k-convexo de álgebras k n -normadas.

43 Gracias!