Módulo de suavidad y estructura normal en espacios de Banach.

Transcripción

1 Módulo de suavidad y estructura normal en espacios de Banach. Introducción El contexto de los módulos de suavidad es el mismo que el de los módulos de convexidad y fue explicado con todo detalle en un artículo anterior. Así el análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto. Aunque el primer teorema métrico del punto fijo fue dado por Stefan Banach en 1922, podemos decir que la Teoría (métrica) del Punto Fijo se inicia en 1965 cuando Browder, Göhde y Kirk prueban la existencia de puntos fijos para aplicaciones no expansivas en espacios de Banach que verifican ciertas propiedades geométricas. En Análisis matemático, una aplicación es no expansiva, entre dos espacios métricos (X,d x ) y (Y,d y ) es una función o aplicación f de X en Y, para la cual existe un número real positivo k inferior a uno tal que, para cualesquiera elementos x 1 y x 2 de X, d y (f(x 1 ),f(x 2 )) d x (x 1,x 2 ). A partir de este momento muchos investigadores se preocupan por explotar esta conexión, esencialmente considerando otras propiedades geométricas de los espacios de Banach (convexidad uniforme, suavidad uniforme, condiciones de tipo Opial, casi convexidad uniforme, casi suavidad, etc.) que puedan ser aplicadas para probar la existencia de puntos fijos para distintos tipos de operadores no lineales. Asociados a dichas propiedades se definen unos módulos y coeficientes geométricos que las caracterizan y dan una idea cuantitativa de su verificación. Los módulos más conocidos son probablemente el módulo de Clarkson de convexidad uniforme y el módulo de suavidad uniforme, siendo este último expuesto en este artículo. En este artículo se introducirán los conceptos de la suavidad y suavidad uniforme como las nociones duales de la convexidad y convexidad uniforme en un espacio de Banach. Posteriormente se definirá el módulo de suavidad y el resultado que lo relaciona con la estructura normal en los espacios de Banach. 1

2 1.- Suavidad. La suavidad y suavidad uniforme son las nociones duales de la convexidad y convexidad uniforme en un espacio de Banach. Stefan Banach A lo largo de todo lo que resta de artículo supondremos que X es un espacio de Banach real, lo que simplificará algunos resultados. La generalización a los espacios * de Banach complejos se realizará de una forma. Denotaremos X al espacio dual de X. Definición 1.1 (espacio suave) Un espacio de Banach X se dice suave si para cada x perteneciente al espacio distinto de cero y de norma 1, existe una única función * f perteneciente a X con norma 1, tal que f ( x) = x. Este funcional se denotará f x. Nota: Lo que realmente aporta la definición es la unicidad ya que la existencia la conocemos en virtud del teorema de Hahn-Banach. Detengámonos un poco en este importante teorema del análisis funcional que aparece en la literatura en formas diversas, tanto analíticas como geométricas. Este teorema nos permite extender cualquier operador lineal acotado definido en un subespacio vectorial al espacio vectorial que lo contiene. 2

3 Debe su nombre al matemático austríaco Hans Hahn ( ) y el matemático polaco Stefan Banach ( ) quienes probaron este teorema independientemente en la década de Un funcional sublineal en un espacio vectorial V sobre un cuerpo es una función que verifica: Ejemplos de sublineales son cualquier norma vectorial y seminorma. Entonces la forma analítica del teorema de Hahn Banach establece que si p es un funcional sublineal, y f es un funcional lineal definido en un subespacio vectorial S de V que está acotado por p sobre S, es decir, entonces existe una extensión lineal De f a todo el espacio V i.e. existe un funcional lineal tal que y La extensión no es en general única y la demostración, que utiliza el lema de Zorn, no da ningún método para encontrar. 3

4 Hans Hahn El teorema tiene numerosas consecuencias, que a veces se llaman también "teorema de Hahn-Banach": Hahn-Banach para espacios normados. Cualquier funcional lineal continuo f definido en un subespacio de un espacio vectorial normado tiene una extensión continua norma. a todo el espacio tal que la funcional y su extensión tienen la misma Hahn-Banach (primera forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre, siendo al menos uno de los dos subconjuntos abiertos. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido amplio. Hahn-Banach (segunda forma geométrica). Sean A y B dos subconjuntos convexos, no vacíos y disjuntos de un espacio vectorial normado sobre, siendo al menos uno de los dos subconjuntos cerrado y el otro compacto. Entonces existe un hiperplano cerrado que separa A y B en sentido estricto. Definición 1.2 Diremos que la norma de X es Gateaux-diferenciable si para cualesquiera x e y pertenecientes al espacio, con x no nulo, existe el siguiente límite que denotaremos por. Aserto 1.1: El funcional Es lineal, de norma 1. 4

5 Aserto 1.2: El funcional Es convexo, continuo y derivable por la izquierda y la derecha en cada punto. Hablemos un poco más de este concepto. Esta derivada funcional es una generalización de la derivada usual que se presenta en el cálculo de variaciones. En una derivada funcional, en vez de diferenciar una función con respecto a una variable, uno diferencia una funcional con respecto a una función. La derivada de Gâuteaux generaliza el concepto de derivada direccional a espacios Banach de dimensión infinita. Para cualquier funcional F que mapea funciones de la variedad entonces, la derivada funcional en el sentido de Gâteaux es una distribución tal que para todas las funciones de prueba (test) f: El límite anterior no tiene por que existir, peor aún, aún cuando el límite existe puede depender de la función f escogida, por lo que la definición anterior debe entenderse más bien como una generalización de la derivada direccional, más que como una generalización del concepto de función diferenciable. También se puede definir la derivada funcional en términos de un límite que involucra la delta de Dirac, δ: Teorema 1.1 Un espacio de Banach X es suave si y sólo si su norma es Gateauxdiferenciable. La demostración de este teorema sobrepasa el objetivo del artículo pudiéndose encontrar en [1]. Al igual que con el módulo de convexidad, es posible clasificar los espacios de Banach con respecto a su suavidad introduciendo para ello la noción de módulo de suavidad. Definición 1.3 (modulo de suavidad) Sea X un espacio de Banach. Llamamos módulo de suavidad a la aplicación: definida por 5

6 Nota: Otra definición equivalente es la siguiente: 2.- Suavidad uniforme. Definición 2.1 (espacio uniformemente suave) Un espacio de Banach X se dice uniformemente suave si: Es más sencilla la condición: Teorema 2.1 Todo espacio de Banach X uniformemente suave es suave. Ya vimos que la suavidad puede ser caracterizada por una propiedad de diferenciabilidad de la norma. Veamos que sucede lo mismo con la suavidad uniforme. Para ello debemos introducir la diferenciabilidad de Frechet. Maurice René Fréchet, ( ) fue un matemático francés que introduce dos conceptos en estrecha relación con nuestro artículo: 1. Los espacios de Frechet 2. Derivada de Frechet 6

7 M. Fréchet, Un espacio de Fréchet es una estructura de espacio vectorial topológico que satisface ciertas propiedades de los espacios de Banach aun en ausencia de norma. Este concepto hace referencia a Maurice Fréchet, un matemático francés que contribuyó notablemente a fundar las bases de la topología y a estudiar sus aplicaciones en análisis funcional. Es en este último campo donde la estructura de los espacios de Fréchet revela su utilidad, en particular a la hora de proporcionar una topología natural a los espacios de funciones infinitamente derivables. Así, un espacio de Fréchet es un espacio vectorial topológico real, completo en el sentido de los espacios uniformes, y que satisface alguna de las dos siguientes condiciones equivalentes: El espacio es localmente convexo y metrizable por una distancia invariante por traslaciones; Existe una familia numerable y separada de continuas que engendra la topología del espacio. La equivalencia de estas dos condiciones se muestra a partir de la construcción de una familia numerable y separada de seminormas a partir de una distancia invariante arbitraria y recíprocamente. Sin embargo, no hay una biyección natural entre las distancias invariantes compatibles y las familias numerables y separadas de seminormas. Para un espacio de Fréchet dado, en general existen varias distancias invariantes que definen la topología y que inducen una estructura de espacio métrico completo. Del mismo modo, no hay una elección canónica de familia de seminormas. Dada una aplicación (no necesariamente lineal) f : V W entre dos espacios de Banach es posible definir la derivada de esta función generalizando el caso de. Intuitivamente, si x es un elemento de V, la derivada de f en el punto x es una forma lineal continua que aproxima f cerca de x. Formalmente, se dice que f es diferenciable de Frechet en x si existe una forma lineal continua A : V W tal que 7

8 El límite aquí se toma sobre todas las sucesiones de elementos no nulos de V que converjan al nulo de V. Si el límite existe, escribimos Df(x) = A y le llamamos la derivada de f en x. Esta noción de derivada es una generalización de la derivada ordinaria de funciones reales. Si f es diferenciable en todos los puntos x de V, entonces Df : V L(V, W) es otra función entre espacios de Banach (que no es, en general, lineal), que posiblemente, se puede diferenciar de nuevo, definiendo así derivadas más altas de f. La n-ésima derivada en un punto x se puede ver como una función multilineal V n W. La diferenciación es una operación lineal en el siguiente sentido: si f y g son dos funciones V W que son diferenciables en x, y r y s son escalares de K, entonces rf + sg es diferenciable en x con D(rf + sg)(x) = rd(f)(x) + sd(g)(x). La regla de la cadena es también válida en este contexto: si f : V W es diferenciable en x que pertenece a V, y g : W X es diferenciable en f(x), entonces la función compuesta g o f es diferenciable en x ya la derivada es la composición de las derivadas: Definición 2.2 Diremos que la norma de un espacio de Banach X es Frechetdiferenciable si es Gateaux-diferenciable, y para cada x no nulo del espacio X con norma menor o igual que uno, Así la convergencia es uniforme en y, pero depende del punto x. Si hacemos que no dependa del valor x diremos que es uniformemente Frechet-diferenciable. Teorema 2.2 Un espacio de Banach X es uniformemente suave si y sólo si su norma es uniformemente Frechet-diferenciable. La demostración de este teorema la podemos encontrar también en [1]. 3.- Módulo de suavidad y estructura normal en espacios de Banach. Concluyamos con el principal resultado de este artículo. Caracterizaremos la estructura normal utilizando el módulo de suavidad. 8

9 Teorema 3.1 Sea X un espacio de Banach cumpliendo Entonces X tiene estructura normal. La demostración la encontraremos en [1]. 9

10 Bibliografía Webs: Libros y artículos de consulta: [1] Rivera, Juan Antonio Estructura Normal en Espacios de Banach. Catálogo Fama de la Universidad de Sevilla. W.L. Bynum, A class of spaces lacking normal structure, Compositio Math. 25 (1972), Brezis, H.: Analyse Fonctionnelle, Dunod 10