Proyecciones ortogonales (métricas) en espacios de funciones continuas

Transcripción

1 Proyecciones ortogonales (métricas) en espacios de funciones continuas Rafa Espínola Universidad de Sevilla III Encuentro de Análisis Funcional Miraflores de la Sierra, Madrid Junio 21-23, 2007

2 1 Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of Mathematical Analisis and Applications, 251, , (E., W. A. Kirk, G. López) 2 On selections of the metric projetion and best proximity pairs in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, (E.) 3 Nonexpansive selection of metric projection in spaces of continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, , (Y. Benyamini, E., G. López)

3 Outline 1 Introducción La proyección ortogonal y sus propiedades Extensiones de la noción de proyección ortogonal Relación entre las proyecciones de norma 1 y la proyección métrica 2 Proyecciones métrica no expansivas Proyecciones métrica no expansivas. Espacios de Hilbert. Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos 3 Retractos proximinales en espacios de funciones continuas Planteamiento del problema Subespacios que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales Subconjuntos de l n que admiten proyecciones ortogonales 4 Cuestiones abiertas

4 Definición (Proyección ortogonal/proyección métrica) Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerrado y no vacío de H. Se llama proyección ortogonal de H en M a la aplicación P M : H M definida como P M (x) = {z M : x z = inf{ x y : y M}. Propiedades Algunas propiedades de la proyección ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces P M es lineal. En el caso anterior, P M tiene norma 1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que P M x P M y x y. Por definición, P M coincide con la proyección métrica.

5 Definición (Proyección ortogonal/proyección métrica) Sea H un espacio de Hilbert y M un subconjunto convexo, cerrado y no vacío de H. Se llama proyección ortogonal de H en M a la aplicación P M : H M definida como P M (x) = {z M : x z = inf{ x y : y M}. Propiedades Algunas propiedades de la proyección ortogonal son: Si M es un subespacio de H, entonces P M es lineal. En el caso anterior, P M tiene norma 1. Es decir, es no expansiva en el sentido de que P M x P M y x y. Por definición, P M coincide con la proyección métrica.

6 Extensiones de la noción de proyección ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noción 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noción 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noción 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyección métrica.

7 Extensiones de la noción de proyección ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noción 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noción 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noción 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyección métrica.

8 Extensiones de la noción de proyección ortogonal Hay muchas en la literatura, pero nos fijaremos en las tres siguientes: Noción 1 Atendiendo a su naturaleza lineal: proyecciones lineales de norma 1. Noción 2 Atendiendo a su naturaleza no lineal: proyecciones no necesariamente lineales pero que sean no expansivas. Noción 3 Atendiendo a su naturaleza proximinal: sencillamente definirla como proyección métrica.

9 Muchas propiedades se conservan Proposición Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X. Entonces, si T : M Z es una aplicación lineal y acotada, existe tildet : X Z extensión de T y tal que T = T. Prueba Basta definir T = T P, donde P es la proyección de norma 1 de X sobre M.

10 Muchas propiedades se conservan Proposición Sea M un subespacio 1-complementado del espacio normado X. Entonces, si T : M Z es una aplicación lineal y acotada, existe tildet : X Z extensión de T y tal que T = T. Prueba Basta definir T = T P, donde P es la proyección de norma 1 de X sobre M.

11 Sobre subespacios 1-complementados La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qué subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qué tipo de propiedades son heredadas por esta condición. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teoría, son muchas las preguntas que aún no se han podido resolver. Por ejemplo, sólo se conoce una caracterización completa de tales subespacios para los espacios L p.

12 Sobre subespacios 1-complementados La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qué subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qué tipo de propiedades son heredadas por esta condición. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teoría, son muchas las preguntas que aún no se han podido resolver. Por ejemplo, sólo se conoce una caracterización completa de tales subespacios para los espacios L p.

13 Sobre subespacios 1-complementados La existencia de proyecciones de norma uno se relaciona, por supuesto, con el estudio de los subespacios 1-complementados de los espacios normados. Caracterizar exactamente qué subespacios de un espacio normado dado son 1-complementados y qué tipo de propiedades son heredadas por esta condición. Aunque se han hecho inmensos avances en esta teoría, son muchas las preguntas que aún no se han podido resolver. Por ejemplo, sólo se conoce una caracterización completa de tales subespacios para los espacios L p.

14 Proyección métrica También conocida como best approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance. Definición Sea M un espacio métrico y A M, se llama proyección métrica de M sobre A a la aplicación dada por: P M (x) = {y A : d(x, y) = inf{d(x, z) : z A}}. Propiedades Sólo está bien definida si P M (x) para todo x M. En este caso se dice que A es proximinal. En general, es una aplicación multivaluada. En general, es una aplicación no lineal.

15 Proyección métrica También conocida como best approximation operator, nearest point map, Chebyshev map, proximity mapping, normal projection, projection of minimal distance. Definición Sea M un espacio métrico y A M, se llama proyección métrica de M sobre A a la aplicación dada por: P M (x) = {y A : d(x, y) = inf{d(x, z) : z A}}. Propiedades Sólo está bien definida si P M (x) para todo x M. En este caso se dice que A es proximinal. En general, es una aplicación multivaluada. En general, es una aplicación no lineal.

16 Proyecciones de norma 1 y la proyección métrica Proposición Sea X un espacio normado y sea P una proyección lineal definida en X. Se cumple que P = 1 si, y sólo si, I P es una selección de la de la proyección métrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x X e y KerP x (I P)x = Px = P(x y) x y. Por tanto, I P es una selección lineal de la proyección métrica sobre KerP. Si I P es una selección de la proyección métrica sobre KerP, entonces para cada x X se tiene Px = x (I P)x x 0 = x.

17 Proyecciones de norma 1 y la proyección métrica Proposición Sea X un espacio normado y sea P una proyección lineal definida en X. Se cumple que P = 1 si, y sólo si, I P es una selección de la de la proyección métrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x X e y KerP x (I P)x = Px = P(x y) x y. Por tanto, I P es una selección lineal de la proyección métrica sobre KerP. Si I P es una selección de la proyección métrica sobre KerP, entonces para cada x X se tiene Px = x (I P)x x 0 = x.

18 Proyecciones de norma 1 y la proyección métrica Proposición Sea X un espacio normado y sea P una proyección lineal definida en X. Se cumple que P = 1 si, y sólo si, I P es una selección de la de la proyección métrica sobre KerP. Prueba Sea P como en el enunciado. Para cada x X e y KerP x (I P)x = Px = P(x y) x y. Por tanto, I P es una selección lineal de la proyección métrica sobre KerP. Si I P es una selección de la proyección métrica sobre KerP, entonces para cada x X se tiene Px = x (I P)x x 0 = x.

19 Proyecciones métrica no expansivas Qué pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores? Definición Sea M un espacio métrico y A M no vacío. Una proyección P : M A se dirá proximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si P(x) P M (x) para todo x M. P es no expansiva. A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o, sencillamente, RPN.

20 Proyecciones métrica no expansivas Qué pasa si unimos las nociones 2 y 3 anteriores? Definición Sea M un espacio métrico y A M no vacío. Una proyección P : M A se dirá proximinal no expansiva (u ortogonal en sentido ampliado) si P(x) P M (x) para todo x M. P es no expansiva. A A le llamaremos retracto proximinal no expansivo o, sencillamente, RPN.

21 Dónde podemos encontrar los retractos proximinales no expansivos? De un modo muy natural aparecen en los siguientes espacios: En los espacios de Hilbert hay muchos: la proyección ortogonal sobre conjuntos convexos y cerrados es proximinal y no expansiva. En los espacios de curvatura acotada CAT(0) también hay muchos: Estos espacios son el equivalente métrico a espacios de Hilbert por el gran número de propiedades que comparten, en particular, el hecho de que la proyección métrica sobre subconjuntos convexos y cerrados es univaluada y no expansiva.

22 Dónde más? En espacios de funcione continuas también hay retractos proximinales no expansivos: Proposición Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C([0, 1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C([0, 1]). Prueba Dada f C([0, 1]) sea 1, f (x) > 1 (Rf )(x) = f (x), f (x) 1 1, f (x) < 1. La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea intersección de bolas cerradas.

23 Dónde más? En espacios de funcione continuas también hay retractos proximinales no expansivos: Proposición Sea B la bola unidad cerrada en el espacio C([0, 1]), entonces B es un retracto proximinal no expansivo de C([0, 1]). Prueba Dada f C([0, 1]) sea 1, f (x) > 1 (Rf )(x) = f (x), f (x) 1 1, f (x) < 1. La misma idea se aplica a cualquier conjunto que sea intersección de bolas cerradas.

24 Dónde más? En los espacios métricos hiperconvexos (también llamados P 1 -espacios o espacios inyectivos.) Definición Un espacio métrico M se dice hiperconvexo si siempre que M X existe una proyección no expansiva de X en M, es decir, si son inyectivos. Ejemplo: espacio L y algunos espacios de funciones continuas, las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y algún que otro más. Definición Un subconjunto A de un espacio métrico M se dice admisible si es intersección de bolas cerradas.

25 Dónde más? En los espacios métricos hiperconvexos (también llamados P 1 -espacios o espacios inyectivos.) Definición Un espacio métrico M se dice hiperconvexo si siempre que M X existe una proyección no expansiva de X en M, es decir, si son inyectivos. Ejemplo: espacio L y algunos espacios de funciones continuas, las bolas cerradas de tales espacios, sus conjuntos admisibles, R-trees y algún que otro más. Definición Un subconjunto A de un espacio métrico M se dice admisible si es intersección de bolas cerradas.

26 Teorema (R. Sine 89) Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo. Ejemplo El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinal no expansivo en l 2 pero no es admisible. Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geométrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

27 Teorema (R. Sine 89) Si A es un subconjunto admisible de un espacio hiperconvexo entonces es un retracto proximinal no expansivo. Ejemplo El segmento de extremos (0, 0) y (1, 1) es un retracto proximinal no expansivo en l 2 pero no es admisible. Se pueden caracterizar mediante alguna propiedad geométrica los retractos proximinales no expansivos de los espacios hiperconvexos y de los espacios de funciones continuas?

28 Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos (Un subconjunto de un espacio métrico se dice débilmente externamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad de intersección de bolas.) Teorema (E., Kirk, López 00) Dado A un subconjunto no vacío de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es débilmente externamente hiperconvexo si, y sólo si, es un casi retracto proximinal no expansivo. Teorema (E 05) El casi del teorema anterior se puede quitar.

29 Retractos proximinales no expansivos en espacios hiperconvexos (Un subconjunto de un espacio métrico se dice débilmente externamente hiperconvexo si verifica una cierta propiedad de intersección de bolas.) Teorema (E., Kirk, López 00) Dado A un subconjunto no vacío de un espacio hiperconvexo M se tiene que A es débilmente externamente hiperconvexo si, y sólo si, es un casi retracto proximinal no expansivo. Teorema (E 05) El casi del teorema anterior se puede quitar.

30 NPR en espacios de funciones continuas Problema 1 Cuáles son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, es posible caracterizarlos? Problema 2 Cuáles son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, es posible caracterizarlos?

31 NPR en espacios de funciones continuas Problema 1 Cuáles son los subespacios de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, es posible caracterizarlos? Problema 2 Cuáles son los subconjuntos de los espacios de funciones continuas que admiten una proyección ortogonal (métrica)?, es posible caracterizarlos?

32 Subespacios canónicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C(K) que llamaremos canónicos y que sí son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z K clopen, E 0 Z = {f C(K) : f Z 0}. Tipo II: Dado S K clopen, E S = {f C(K) : f S es constante}. Tipo III: Dados S 1, S 2 dos clopen disjuntos, E S 1,S 2 = {f C(K) : f S i es constante y f S 1 = f S 2}.

33 Subespacios canónicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C(K) que llamaremos canónicos y que sí son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z K clopen, E 0 Z = {f C(K) : f Z 0}. Tipo II: Dado S K clopen, E S = {f C(K) : f S es constante}. Tipo III: Dados S 1, S 2 dos clopen disjuntos, E S 1,S 2 = {f C(K) : f S i es constante y f S 1 = f S 2}.

34 Subespacios canónicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C(K) que llamaremos canónicos y que sí son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z K clopen, E 0 Z = {f C(K) : f Z 0}. Tipo II: Dado S K clopen, E S = {f C(K) : f S es constante}. Tipo III: Dados S 1, S 2 dos clopen disjuntos, E S 1,S 2 = {f C(K) : f S i es constante y f S 1 = f S 2}.

35 Subespacios canónicos Para resolver el Problema 2, consideramos los siguientes subespacios de C(K) que llamaremos canónicos y que sí son retractos proximinales no expansivos. Tipo I: Dado Z K clopen, E 0 Z = {f C(K) : f Z 0}. Tipo II: Dado S K clopen, E S = {f C(K) : f S es constante}. Tipo III: Dados S 1, S 2 dos clopen disjuntos, E S 1,S 2 = {f C(K) : f S i es constante y f S 1 = f S 2}.

36 Algunos hechos fáciles de probar: Todos los subespacios canónicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos. Si un subespacios de codimensión 1 es RPN, también lo son los semiespacios que determina. Si Z, {S i } n i=1 y {S j 1, S j 2}n j=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio es un RPN. Definición E = E 0 Z ( E S i ) ( E S 1 j,s 2 j ) (1) Un subespacio E de C(K) se dirá estándar si es de la forma (1), es decir, si es intersección de hiperplanos canónicos.

37 Algunos hechos fáciles de probar: Todos los subespacios canónicos y sus trasladados son retractos proximinales no expansivos. Si un subespacios de codimensión 1 es RPN, también lo son los semiespacios que determina. Si Z, {S i } n i=1 y {S j 1, S j 2}n j=1 son clopen y disjuntos, entonces el subespacio es un RPN. Definición E = E 0 Z ( E S i ) ( E S 1 j,s 2 j ) (1) Un subespacio E de C(K) se dirá estándar si es de la forma (1), es decir, si es intersección de hiperplanos canónicos.

38 Teorema (Benyamini, E., López 05) Si E es un subespacio RPN de codimensión finita de C(K), entonces estándar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estándar. Conjetura Todo subespacio RPN de C(K) es estándar.

39 Teorema (Benyamini, E., López 05) Si E es un subespacio RPN de codimensión finita de C(K), entonces estándar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estándar. Conjetura Todo subespacio RPN de C(K) es estándar.

40 Teorema (Benyamini, E., López 05) Si E es un subespacio RPN de codimensión finita de C(K), entonces estándar. Si E es un subespacio RPN finito dimensional entonces es estándar. Conjetura Todo subespacio RPN de C(K) es estándar.

41 Otros hechos: Una intersección infinita de hiperplanos RPN no tiene por qué ser RPN. Si K es conexo, entonces C(K) no admite ningún subespacio RPN de codimensión finita ni de dimensión finita, excepto los de dimensión 1 de tipo II.

42 Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales Algunos ejemplos fáciles de obtener: Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Sin embargo, No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersección de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad de C([0, 1]). No toda intersección de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

43 Subconjuntos que admiten proyecciones ortogonales Algunos ejemplos fáciles de obtener: Semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Intersecciones finitas de semiespacios definidos por hiperplanos RPN. Sin embargo, No todos los subconjuntos RPN se pueden expresar como intersección de semiespacios que, a su vez, sean RPN. Por ejemplo, la bola unidad de C([0, 1]). No toda intersección de semiespacios RPN define un conjunto RPN.

44 RPN y convexidad Se puede garantizar, al menos, que los subconjuntos RPN de un espacio de funciones continuas debe ser convexo? En general, no lo sabemos. En particular, sí para los espacios l n. El plano dotado con bolas hexagonales regulares admite RPN que no son convexos.

45 Lema Si A l n es un RPN de l n, entonces A es convexo. Prueba (Detalles de la prueba) 1 Se observa que si v = (v 1,, v n )l n alcanza su norma en todas sus coordenadas, entonces existe un único segmento métrico uniendo v y v que coincide con el segmento lineal. 2 Si el conjunto de puntos y de A tales que y A y y A es no vacío, entonces existe x en A con la misma propiedad y tal que alcanza su norma en todas sus coordenadas. 3 Dados x, y A, por traslación, se puede forzar a que sean de la forma v y v. Utilizando lo anterior, 0 (punto medio entre v y v) está en el trasladado de A y, por tanto, el punto medio de x e y está en A.

46 Subconjuntos de l n que admiten proyecciones ortogonales Teorema (Benyamini, E., López 05) Un subconjunto A l n es un RPN si, y sólo si, es intersección de semiespacios RPN.

47 Cuestiones abiertas Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuáles son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las más destacadas son las siguientes: 1 Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersección de subespacios canónicos? 2 Bajo qué condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C, también se tiene que A lo es de B? 3 Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas? 4 Cuál es la situación en los espacio L 1?

48 Cuestiones abiertas Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuáles son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las más destacadas son las siguientes: 1 Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersección de subespacios canónicos? 2 Bajo qué condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C, también se tiene que A lo es de B? 3 Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas? 4 Cuál es la situación en los espacio L 1?

49 Cuestiones abiertas Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuáles son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las más destacadas son las siguientes: 1 Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersección de subespacios canónicos? 2 Bajo qué condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C, también se tiene que A lo es de B? 3 Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas? 4 Cuál es la situación en los espacio L 1?

50 Cuestiones abiertas Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuáles son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las más destacadas son las siguientes: 1 Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersección de subespacios canónicos? 2 Bajo qué condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C, también se tiene que A lo es de B? 3 Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas? 4 Cuál es la situación en los espacio L 1?

51 Cuestiones abiertas Son muchas las preguntas que quedan por resolver sobre cuáles son exactamente los RPN de los espacios de funciones continuas y sus propiedades. Algunas de las más destacadas son las siguientes: 1 Son todos los subespacios RPN de un espacio de funciones continuas intersección de subespacios canónicos? 2 Bajo qué condiciones se tiene que si A es RPN de B y B lo es de C, también se tiene que A lo es de B? 3 Son convexos los subconjuntos RPN de los espacios de funciones continuas? 4 Cuál es la situación en los espacio L 1?

52 Nuestra mayor frustración Otra de las muy buenas propiedades de la proyección ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny. Definición Sea X un espacio normado y A X. Una proyección P : X A se dice sunny si para todo λ 0. P(P(x) + λ(x P(x))) = P(x) Si A es un RPN de l n, se puede garantizar que existe una proyección sobre A que sea selección no expansiva de la proyección métrica y, además, sunny?

53 Nuestra mayor frustración Otra de las muy buenas propiedades de la proyección ortogonal en los espacios de Hilbert es que es sunny. Definición Sea X un espacio normado y A X. Una proyección P : X A se dice sunny si para todo λ 0. P(P(x) + λ(x P(x))) = P(x) Si A es un RPN de l n, se puede garantizar que existe una proyección sobre A que sea selección no expansiva de la proyección métrica y, además, sunny?

54 Referencias 1 Nonexpansive retractions in hyperconvex spaces, Journal of Mathematical Analisis and Applications, 251, , (E., W. A. Kirk, G. López) 2 Norm one projections in Banach spaces, Taiwaneese J. Math. 5 (2001), pp (B. Randrianantoanina) 3 On selections of the metric projetion and best proximity pairs in hyperconvex spaces, Annales Universitatis Mariae Curie-Sklodowska, LIX, 9-17, (E.) 4 Nonexpansive selection of metric projection in spaces of continuous functions, Journal of Approximation Theory, 137, , (Y. Benyamini, E., G. López)