La constante de isotropía de politopos
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- Alejandra Correa Soler
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1 La constante de isotropía de politopos David Alonso Gutiérrez Universidad de Zaragoza Abril 2009
2 Contenidos Introducción
3 Contenidos Introducción Isotropía
4 Contenidos Introducción Isotropía Politopos aleatorios
5 Contenidos Introducción Isotropía Politopos aleatorios Proyecciones de B N 1
6 Contenidos Introducción Isotropía Politopos aleatorios Proyecciones de B N 1 Politopos aleatorios con vértices en la esfera.
7 Análisis funcional y convexidad En la primera mitad del siglo XX el análisis funcional había desarrollado técnicas para el estudio de los espacios de dimensión infinita.
8 Análisis funcional y convexidad En la primera mitad del siglo XX el análisis funcional había desarrollado técnicas para el estudio de los espacios de dimensión infinita. En los años 70 se intentaron estudiar los espacios de dimensión infinita a través del estudio de propiedades de espacios de dimensión n cuando n tiende a infinito (tipo, cotipo...) y se empezó a a utilizar la probabilidad para el estudio de los espacios de dimensión finita.
9 Análisis funcional y convexidad En la primera mitad del siglo XX el análisis funcional había desarrollado técnicas para el estudio de los espacios de dimensión infinita. En los años 70 se intentaron estudiar los espacios de dimensión infinita a través del estudio de propiedades de espacios de dimensión n cuando n tiende a infinito (tipo, cotipo...) y se empezó a a utilizar la probabilidad para el estudio de los espacios de dimensión finita. La teoría local de los espacios normados estudia las propiedades de la estructura de los espacios de Banach de dimensión finita y sus propiedades asintóticas cuando la dimensión tiende a infinito.
10 Teorema de Dvoretzky Teorema Dvoretzky l 2 es finitamente representable en todo espacio de Banach X.
11 Teorema de Dvoretzky Teorema Dvoretzky l 2 es finitamente representable en todo espacio de Banach X. Teorema Dvoretzky Sea (R N, ). Para todo ε (0, 1) existe un subespacio E con dime = n c(ε) log N tal que si x E (1 ε)r x x (1 + ε)r x
12 Teorema de Dvoretzky Teorema Dvoretzky l 2 es finitamente representable en todo espacio de Banach X. Teorema Dvoretzky Sea (R N, ). Para todo ε (0, 1) existe un subespacio E con dime = n c(ε) log N tal que si x E Teorema Dvoretzky (1 ε)r x x (1 + ε)r x Sea K la bola unidad de una norma en R N. Para todo ε (0, 1), la medida de probabilidad de los subespacios E de dimensión n que verifican (1 ε)r(b N 2 E) K E (1 + ɛ)r(b n 2 E) es mayor o igual que 1 c 1 N c 2 si n c(ε) log N.
13 Análisis funcional y convexidad Un subconjunto K R n es un cuerpo convexo si es convexo, compacto y tiene interior no vacío.
14 Análisis funcional y convexidad Un subconjunto K R n es un cuerpo convexo si es convexo, compacto y tiene interior no vacío. La teoría local y la convexidad están estrechamente relacionadas: La bola unidad de toda norma en R n es un cuerpo convexo simétrico. Todo cuerpo convexo simétrico es la bola unidad de la norma dada por x K = inf{λ > 0 : x λk}
15 Análisis funcional y convexidad Un subconjunto K R n es un cuerpo convexo si es convexo, compacto y tiene interior no vacío. La teoría local y la convexidad están estrechamente relacionadas: La bola unidad de toda norma en R n es un cuerpo convexo simétrico. Todo cuerpo convexo simétrico es la bola unidad de la norma dada por x K = inf{λ > 0 : x λk} La interacción entre los métodos utilizados en geometría convexa y la teoría local dio lugar a lo que se conoce como análisis geométrico asintótico.
16 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1
17 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1 Es decir, dado un cuerpo convexo K centrado en el origen, consideramos, para cada θ S n 1 la variable aleatoria real X θ con densidad f θ (t) = K θ + tθ.
18 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1 Es decir, dado un cuerpo convexo K centrado en el origen, consideramos, para cada θ S n 1 la variable aleatoria real X θ con densidad f θ (t) = K θ + tθ.
19 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1 Es decir, dado un cuerpo convexo K centrado en el origen, consideramos, para cada θ S n 1 la variable aleatoria real X θ con densidad f θ (t) = K θ + tθ. f θ1 (t) θ
20 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1 Es decir, dado un cuerpo convexo K centrado en el origen, consideramos, para cada θ S n 1 la variable aleatoria real X θ con densidad f θ (t) = K θ + tθ. θ 2 f θ2 (t)
21 Isotropía Un cuerpo convexo K R n es isotrópico si tiene volumen 1 y K xdx = 0 (centrado en el origen) K x, θ 2 dx = L 2 K θ S n 1 Es decir, dado un cuerpo convexo K centrado en el origen, consideramos, para cada θ S n 1 la variable aleatoria real X θ con densidad f θ (t) = K θ + tθ. θ 2 f θ2 (t) K es isotrópico si todas las X θ tienen la misma varianza.
22 Isotropía ( Si K es isotrópico, la constante L K = constante de isotropía de K. x, θ 2 dx K ) 1 2 se llama
23 Isotropía ( Si K es isotrópico, la constante L K = constante de isotropía de K. x, θ 2 dx K ) 1 2 se llama Si K es isotrópico y U O(n), UK es isotrópico con L UK = L K.
24 Isotropía ( Si K es isotrópico, la constante L K = constante de isotropía de K. x, θ 2 dx K ) 1 2 se llama Si K es isotrópico y U O(n), UK es isotrópico con L UK = L K. Si K es un cuerpo convexo simétrico, existe una transformación lineal T tal que TK es isotrópico. Si T 1 K y T 2 K son isotrópicos, entonces T 1 = UT 2 con U O(n).
25 Isotropía ( Si K es isotrópico, la constante L K = constante de isotropía de K. x, θ 2 dx K ) 1 2 se llama Si K es isotrópico y U O(n), UK es isotrópico con L UK = L K. Si K es un cuerpo convexo simétrico, existe una transformación lineal T tal que TK es isotrópico. Si T 1 K y T 2 K son isotrópicos, entonces T 1 = UT 2 con U O(n). Esto permite definir la constante de isotropía de un cuerpo convexo simétrico como L K = L TK con TK isotrópico.
26 Isotropía Si K es isotrópico nl 2 K = K x 2 dx.
27 Isotropía Si K es isotrópico nl 2 K = K x 2 dx. Si K 1 n K es isotrópico nl 2 K = 1 K 1+ 2 n K x 2 dx.
28 Isotropía Si K es isotrópico nl 2 K = K x 2 dx. Si K 1 n K es isotrópico nl 2 K = 1 K 1+ 2 n { nl 2 K = min 1 TK 1+ 2 n TK K x 2 dx. } x 2 dx : T GL(n).
29 Isotropía L K L B n 2 = 1 n + 2 B n 2 1 n c.
30 Isotropía L K L B n 2 = 1 n + 2 B n 2 1 n c. CONJETURA Existe una constante absoluta C tal que para todo cuerpo convexo K se tenga L K < C?
31 Isotropía L K L B n 2 = 1 n + 2 B n 2 1 n c. CONJETURA Existe una constante absoluta C tal que para todo cuerpo convexo K se tenga L K < C? Se sabe que es cierto para algunas clases de cuerpos convexos (incondicionales, duales de cuerpos con el volumen ratio acotado, 2 convexos,...)
32 Isotropía CONJETURA Existe una constante C tal que para todo cuerpo convexo de volumen 1 max K θ > C? θ S n 1
33 Isotropía CONJETURA Existe una constante C tal que para todo cuerpo convexo de volumen 1 max K θ > C? θ S n 1 Si K = 1 Existe θ S n 1 con K x, θ 2 dx L 2 K
34 Isotropía CONJETURA Existe una constante C tal que para todo cuerpo convexo de volumen 1 max K θ > C? θ S n 1 Si K = 1 Existe θ S n 1 con K x, θ 2 dx L 2 K θ S n 1, K x, θ 2 dx 1 K θ 2
35 Isotropía Del teorema de John se deduce que si K es un cuerpo convexo simétrico L K C n.
36 Isotropía Del teorema de John se deduce que si K es un cuerpo convexo simétrico L K C n. Bourgain probó en 1991 que si K es simétrico L K Cn 1 4 log n.
37 Isotropía Del teorema de John se deduce que si K es un cuerpo convexo simétrico L K C n. Bourgain probó en 1991 que si K es simétrico L K Cn 1 4 log n. En 2006 Klartag demostró que la constante de isotropía de cualquier K verifica L K Cn 1 4.
38 Isotropía Se empezó a estudiar la constante de isotropía de politopos aleatorios
39 Isotropía Se empezó a estudiar la constante de isotropía de politopos aleatorios Teorema [Klartag-Kozma] Sean G 0,..., G N vectores aleatorios N (0, 1) independientes en R n, N n. Si K = conv{±g 0,..., ±G N } con probabilidad mayor que 1 Ce cn L K < C. volver
40 Probabilidad en G N,n En G N,n = {E R N : E subespacio n-dimensional} existe una única medidad de probabilidad, µ N,n (medida de Haar) invariante por transformaciones ortogonales.
41 Probabilidad en G N,n En G N,n = {E R N : E subespacio n-dimensional} existe una única medidad de probabilidad, µ N,n (medida de Haar) invariante por transformaciones ortogonales. Si G M(N n) es una matriz aleatoria cuyas entradas g ij son variables aleatorias independientes N (0, 1) µ N,n (A) = P{Im G A} para cualquier A Boreliano en G N,n
42 Proyecciones de B N 1 Si G M(N n) y E = Im G G N,n se tiene que donde G i son las filas de G. G t E P E B N 1 = conv{±g 1,..., ±G N }
43 Proyecciones de B N 1 Si G M(N n) y E = Im G G N,n se tiene que donde G i son las filas de G. G t E P E B N 1 = conv{±g 1,..., ±G N } El resultado de Klartag y Kozma KK se puede leer como µ N,n {E G N,n : L PE B N 1 < C} > 1 Ce cn
44 Proyecciones de B N 1 Si G M(N n) y E = Im G G N,n se tiene que donde G i son las filas de G. G t E P E B N 1 = conv{±g 1,..., ±G N } El resultado de Klartag y Kozma KK se puede leer como µ N,n {E G N,n : L PE B N 1 < C} > 1 Ce cn Si n < c log N el teorema de Dvoretzky DV nos dice que c 1 W (B N 1 )B n 2 P E B N 1 c 2 W (B N 1 )B n 2 con probabilidad mayor que 1 c 1 N c 2
45 Preguntas Esto plantea las siguientes preguntas
46 Preguntas Esto plantea las siguientes preguntas Casi todas las proyecciones de B1 N tienen la constante de isotropía acotada, pero se puede decir algo determinista?
47 Preguntas Esto plantea las siguientes preguntas Casi todas las proyecciones de B1 N tienen la constante de isotropía acotada, pero se puede decir algo determinista? Si considero politopos aleatorios con los vertices con otra distribución de probabilidad, cómo es su constante de isotropía?
48 Proyecciones de B N 1 Todo espacio de Banach separable es isométrico a un cociente de l 1 (Banach-Mazur).
49 Proyecciones de B N 1 Todo cuerpo convexo simétrico K R n verifica que ε > 0 existe N n y E G N,n tal que (1 ε)p E B N 1 K (1 + ε)p E B N 1
50 Proyecciones de B N 1 Todo cuerpo convexo simétrico K R n verifica que ε > 0 existe N n y E G N,n tal que (1 ε)p E B N 1 K (1 + ε)p E B N 1 Si existiese C > 0 tal que n N, E G N,n L PE B N 1 < C
51 Proyecciones de B N 1 Todo cuerpo convexo simétrico K R n verifica que ε > 0 existe N n y E G N,n tal que (1 ε)p E B N 1 K (1 + ε)p E B N 1 Si existiese C > 0 tal que n N, E G N,n L PE B N 1 < C para cualquier K R n simétrico ε > 0 L 2 K C 2 (1 + ε)n (1 ε) n+2
52 Proyecciones de B N 1 Teorema (Alonso, Bastero, Bernués, Wolff Existe una constante C tal que para todo E G N,n L PE B N 1 < C N n
53 Proyecciones de B N 1 Teorema (Alonso, Bastero, Bernués, Wolff Existe una constante C tal que para todo E G N,n L PE B N 1 < C N n Demostración: nl 2 P E B N 1 1 P E B N 1 2 n 1 P E B1 N P E B1 N x 2 dx
54 Proyecciones de B N 1 1 N B N 2 BN 1 1 N P E B N 2 P E B N 1 P E B N 1 1 n c Nn
55 Proyecciones de B N 1 1 N B N 2 BN 1 1 N P E B N 2 P E B N 1 P E B N 1 1 n c Nn Proposición Sea K R N Un politopo convexo, E G N,n. Existe un subconjunto F de F n (K) tal que para cualquier función integrable f : E R, P E K f (x)dx = F F P E F F F f (P E y)dy.
56 Proyecciones de B N 1 1 N B N 2 BN 1 1 N P E B N 2 P E B N 1 P E B N 1 1 n c Nn Proposición Sea K R N Un politopo convexo, E G N,n. Existe un subconjunto F de F n (K) tal que para cualquier función integrable f : E R, P E K f (x)dx = F F P E F F F f (P E y)dy.
57 Proyecciones de B N 1 P E B N 1 = F F P E F
58 Proyecciones de B N 1 P E B N 1 = F F P E F 1 P E B1 N max F F 1 F P E B N 1 F y 2 dy x 2 dx = F F P E F 1 P E B1 N P E y 2 dy F F
59 Proyecciones de B N 1 P E B N 1 = F F P E F 1 P E B1 N max F F 1 F P E B N 1 F y 2 dy x 2 dx = F F 1 y 2 dy = 2 F F n + 2 P E F 1 P E B1 N P E y 2 dy F F
60 Proyecciones de B N 1. L 2 P E B N 1 C N n
61 Proyecciones de B N 1. L 2 P E B N 1 C N n Corolario Sea K un politopo simétrico n-dimensional de 2N vértices. Entonces N L K C n
62 Politopos aleatorios Teorema Sea K = conv{±p 1,..., ±P N } R n donde P i son puntos aleatorios independientes distribuidos uniformemente sobre S n 1. Entonces L K < C con probabilidad mayor que 1 c 1 e c 2n.
63 Politopos aleatorios Teorema Sea K = conv{±p 1,..., ±P N } R n donde P i son puntos aleatorios independientes distribuidos uniformemente sobre S n 1. Entonces L K < C con probabilidad mayor que 1 c 1 e c 2n. Demostración: nl 2 K 1 K 2 n 1 x 2 dx K K
64 Politopos aleatorios Lemma Existe una constante C tal que si Cn < N < ne n con probabilidad mayor que 1 e n. log N n n Bn 2 K
65 Politopos aleatorios Lemma Existe una constante C tal que si Cn < N < ne n con probabilidad mayor que 1 e n. log N n n Bn 2 K Demostración: Con probabilidad 1 las caras de K son conv{ε 1 P i1,..., ε n P in } con ε i = ±1.
66 Politopos aleatorios Si αb n 2 K entonces existe vector θ S n 1 ortogonal a una cara tal que P i, θ α para todo i. θ
67 Politopos aleatorios Si αb n 2 K entonces existe vector θ S n 1 ortogonal a una cara tal que P i, θ α para todo i. θ P{αB n 2 K} ( 2N n ) P{P S n 1 : P, θ α} N n e n si α = 1 2 log N n 2 n
68 Politopos aleatorios Lema Existen constante c, C 1, C 2 tal que si cn < N 1 x 2 log N n dx C 1 K K n con probabilidad mayor que 1 2e C 2n.
69 Politopos aleatorios Lema Existen constante c, C 1, C 2 tal que si cn < N 1 x 2 log N n dx C 1 K K n con probabilidad mayor que 1 2e C 2n. n K = l d(0, F i ) F i i=1
70 Politopos aleatorios Lema Existen constante c, C 1, C 2 tal que si cn < N 1 x 2 log N n dx C 1 K K n con probabilidad mayor que 1 2e C 2n. n K = l d(0, F i ) F i i=1 1 x 2 = 1 K K K l i=1 d(0, F i ) n + 2 F i y 2 dy
71 Politopos aleatorios Lema Existen constante c, C 1, C 2 tal que si cn < N 1 x 2 log N n dx C 1 K K n con probabilidad mayor que 1 2e C 2n. n K = l d(0, F i ) F i i=1 1 x 2 = 1 K K K 1 x 2 K K l i=1 d(0, F i ) n + 2 n n + 2 max i=1,...,l F i y 2 dy 1 F i F i y 2 dy
72 Politopos aleatorios Si cn < N < ne n 2 K x 2 dx C log N n n 1 K K 1 n C N n n y en consecuencia L K < C con probabilidad mayor que 1 c 1 e c 2n.
73 Politopos aleatorios Si cn < N < ne n 2 K x 2 dx C log N n n 1 K K 1 n C N n n y en consecuencia L K < C con probabilidad mayor que 1 c 1 e c 2n. Si N cn L K < C
74 Politopos aleatorios Si cn < N < ne n 2 K x 2 dx C log N n n 1 K K 1 n C N n n y en consecuencia L K < C con probabilidad mayor que 1 c 1 e c 2n. Si N cn L K < C Si N > ne n 2 cb n 2 K B n 2 con probabilidad mayor que 1 e n para n suficientemente grande.
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