En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido anteriormente, el de σ-álgebra.

Transcripción

1 Capítulo 20 Conjuntos de Borel Hemos demostrado ya que la familia M de los conjuntos medibles contiene a todos los abiertos de R n y, por tanto, a todos los conjuntos que podamos formar a partir de los abiertos mediante las operaciones: paso a complementarios, uniones e intersecciones numerables, etc. Todos estos conjuntos constituirán la familia de conjuntos de Borel, que nos proponemos estudiar en este capítulo. Veremos que la relación entre estos conjuntos y los conjuntos medibles es mucho más estrecha que la de una simple relación de contenido. σ-álgebras En primer lugar, vamos a precisar un concepto al que ya nos hemos referido anteriormente, el de σ-álgebra. Definición 20.1 Sea X un conjunto. Una familia A de subconjuntos de X diremos que forman una σ-álgebra si satisface las condiciones siguientes: 1. Los conjuntos y X pertenecen a A. 2. A es cerrada por paso al complementario, es decir si B A entonces B c A. 3. A es cerrada respecto a uniones numerables, es decir si B k A, k = 1,... entonces B k A. Procediendo como para la σ-álgebra M, se deduce que si A es una σ-álgebra entonces A es cerrada también respecto a las intersecciones numerables y respecto a la diferencia de conjuntos. Por otra parte es inmediato comprobar 197

2 198 Conjuntos de Borel 20.1 que cualquier intersección de σ-álgebras es también una σ-álgebra. permite dar la siguiente definición. Esto Definición 20.2 Dada una familia F de subconjuntos de un conjunto X, llamaremos σ-álgebra generada por F, a la menor σ-álgebra que contiene a F. Denotaremos a veces a esta σ-álgebra por σ(f). Es claro que σ(f) está siempre bien definida. De hecho, σ(f) es la intersección de todas la σ-álgebras que contienen a F. (Nótese que al menos hay una σ-álgebra que contiene a F, la familia P(X) de todos los subconjuntos de X). La σ-álgebra de Borel Si X es un espacio topológico, a la σ-álgebra generada por los abiertos de X se le denomina σ-álgebra de Borel. Sabemos que en R n la σ-álgebra de Borel, B, está contenida en M (existen ejemplos que prueban que esta contención es estricta) y a ella pertenecen además de los abiertos, los cerrados, los conjuntos F σ y los G δ así como los semintervalos etc. Ha sido precisamente la familia de semintervalos la que se ha tomado como base para definir la medida de un conjunto y vamos a demostrar a continuación, que ésta también puede obtenerse a partir de otras familias de conjuntos Borel, como la de los abiertos, la de los G δ, compactos etc. Proposición 20.3 Para cada conjunto A R n se tiene: (a) m (A) = inf{m(u) : U abierto A}. (b) Existe un conjunto G δ, G, que contiene a A y tal que m(g) = m (A). Demostración. (a) Por la monotonía de la medida exterior, m (A) es menor o igual que la medida de cada abierto que contiene a A. Luego sólo hará falta ver que existen abiertos que contienen a A y de medida tan próxima a la de A como se desee. Sea ε > 0 y (I j ) una colección numerable de semintervalos tales que A I j, m(ij ) m (A) + ε. Consideremos entonces para cada j un semintervalo K j tal que o I j K j, m(k j ) m(i j ) + ε 2 j.

3 20.4 Conjuntos de Borel 199 Obviamente A está contenido en el abierto U = o K j y m(u) m(k j ) m(i j ) + ε m (A) + 2ε. (b) Si para cada natural k elegimos un abierto U k A tal que m(u k ) m (A) + 1/k, entonces la medida del conjunto G δ, G = U k A, coincide con la del conjunto A. (Es importante observar que esto no significa que el conjunto G \ A sea de medida nula. De hecho, esto último sólo va ser cierto cuando el conjunto A sea un conjuntos medible, como vamos a ver en el siguiente teorema). Teorema 20.4 Para un conjuto B de R n, las condiciones siguientes son equivalentes (i) B es medible. (ii) Para cada ε > 0 existe un abierto U B tal que m (U \ B) < ε. (iii) Para cada ε > 0 existe un cerrado F B tal que m (B \ F ) < ε. (iv) Existe un conjunto G δ, G B, tal que m (G \ B) = 0. (v) Existe un conjunto F σ, H B, tal que m (B \ H) = 0. Demostración. Si B es un conjunto medible de medida finita y U es un conjunto abierto que contiene a B con m(u) < m(b) + ε, entonces m(u \ B) = m(u) m(b) < ε. Si, por el contrario, m(b) =, sea {C k } una partición numerable de R n por conjuntos de medida finita (por ejemplo semicubos). Entonces, llamando B k = B C k y considerando un abierto U k B k con m(u k \ B k ) < ε/2 k, se tiene U = U k B y m(u \ B) m( (U k \ B k )) m(u k \ B k ) < ε. Esto demuestra que i) implica ii). ii) implica iv) Tomemos para cada natural p un abierto U p B tal que m (U p \ B) < ε/p. Entonces el conjunto G = U p satisface la condición iv), pues m (G \ B) m (U p \ B) < 1/p, p m (G \ B) = 0.

4 200 Conjuntos de Borel 20.4 iv) implica i) En efecto, escribamos B = G \ Z con Z = G \ B. Entonces, por la condición iv), Z es un conjunto de medida nula, luego medible. Resulta así que B se escribe como diferencia de dos conjuntos medibles y es, por tanto, también un conjunto medible. Para probar que la condición ii) es también equivalente a las ya vistas, procedemos así: B es medible si y sólo si B c es medible si y sólo si para cada ε > 0 existe un abierto U B c tal que m (U \ B c ) < ε. Como U \ B c = B \ U c, denotando por F al cerrado U c, se deduce de lo anterior que B es medible si y sólo si para cada ε > 0 existe un cerrado F B tal que m (B \ F ) < ε. De forma análoga se demuestra que la condición v) es también equivalente a las otras. Corolario 20.5 Un conjunto L es medible si y sólo si es de la forma L = B Z, donde B es un conjunto Borel y Z es un subconjunto de un Borel N de medida nula. Demostración. El teorema anterior establece que L es medible si y sólo si existen dos conjuntos H, G (F σ y G δ respectivamente), tales que H L G y m(g \ L) = m(l \ H) = 0. Entonces, el corolario resulta ya tomando B = H, Z = L \ H y N = B 2 \ B 1. Como vemos, los conjuntos medibles quedan perfectamente determinados a partir de los conjuntos de la σ-álgebra de Borel. Este hecho suele expresarse diciendo que la σ-álgebra M de los conjuntos Lebesgue-medibles es la compleción respecto a la medida de Lebesgue de la σ-álgebra B de los conjuntos Borel. Transformaciones de medibles En esta sección vamos a considerar un tipo particular de transformaciones de R n que mantiene el carácter medible de los conjuntos, dentro del que se encuentran las aplicaciones de clase C 1. Nosotros usaremos este hecho posteriormente en el Capítulo 27, dedicado al cambio de variables en la integral. Debemos señalar que el carácter medible no es una propiedad topológica, es decir no es invariante frente homeomorfismos (ver Ejercicio 20C).

5 20.7 Conjuntos de Borel 201 Lema 20.6 Sea T : U R n R n una aplicación lipschitziana, de constante k respecto de la norma. Entonces, (a) Para todo cubo Q contenido en U se tiene que m (T (Q)) k n m(q). (b) T transforma conjuntos de medida nula en conjuntos de medida nula. Demostración. (a) Sea u 0 el centro de Q y l el lado. lipschitziana, T (u) T (u 0 ) k u u 0 k l/2, Puesto que T es u Q lo que nos indica que T (Q) está contenido en un cubo centrado en T (u 0 ) y de lado k l. Por tanto m (T (Q)) (k l) n = k n m(q) (b) Sea Z un conjunto de medida nula y V un conjunto abierto tal que Z V ; m(v ) < ε Escribamos V = C k, como unión numerable de semicubos disjuntos. Entonces m (T (Z)) m (T (V )) m (T (C k )) k n m(c k ) = k n m(v ) < k n ε. Del carácter arbitrario de ε se deduce ya que m (T (Z)) = 0. Proposición 20.7 Si T : U R n R n una aplicación localmente lipschitziana en el abierto U, entonces la imagen por T de cada conjunto medible es medible. Demostración. Sea B U un conjunto medible. Por tanto B = H Z donde H es un F σ y Z un conjunto de medida nula. Es fácil comprobar que H puede escribirse como unión numerable de conjuntos compactos y por tanto T (H) (debido a la continuidad de T ) es también un conjunto F σ. Para que T (B) sea medible sólo habrá que ver que T (Z) es un conjunto de medida cero. En efecto, consideremos para cada u del abierto U una bola abierta contenida en U, donde T sea una aplicación lipschitziana. Entonces, teniendo en cuenta que cada subconjunto de R n tiene la propiedad de Lindelöf, podemos escribir U = i=1 B(u i, r i ).

6 202 Conjuntos de Borel 20.7 Si denotamos entonces por Z i = Z B(u i, r i ), para que el conjunto T (Z) sea de medida nula bastará con que cada uno de los conjuntos T (Z i ) lo sea. Pero esto último es consecuencia directa del lema anterior, ya que T es lipschitziana sobre B(u i, r i ). Corolario 20.8 Toda transformación de R n que sea lineal o de clase C 1 lleva conjuntos medibles sobre conjuntos medibles. Demostración. Estas aplicaciones son localmente lipschitzianas. Otras propiedades de m Vamos a considerar en esta sección dos nuevas propiedades de la medida exterior de Lebesgue: su buen comportamiento de la misma respecto al paso al límite en sucesiones crecientes de conjuntos (no necesariamente medibles) y también respecto a la medida de un producto cartesiana de conjuntos. Ambas propiedades las usaremos en el capítulo siguiente para obtener el teorema caracterización de las funciones medibles. Proposición 20.9 Si A 1 A 2..., es una sucesión no decreciente de conjuntos entonces m ( A k ) = lim k m (A k ) Demostración. Sean G k, k = 1,..., conjuntos G δ tales que G k A k y m(g k ) = m (A k ). Si la sucesión {G k } fuese también creciente, se trataría de aplicar el resultado, ya probado, de idéntica formulación que el que buscamos, pero con conjuntos medibles. Como esto, en general, no sucede, vamos a construir la sucesión B 1 = j=1 G j, B 2 = j=2 G j,..., Los conjuntos {B k } son también medibles y constituyen una sucesión creciente. Además luego B k A k y m (A k ) m(b k ) m(g k ) = m (A k ), m ( A k ) m( B k ) = lim k m(b k) = lim k m (A k ) m ( A k ).

7 20.10 Conjuntos de Borel 203 Vamos a obtener ahora un caso particular de la fórmula m (A B) = m (A) m (B), concretamente aquél en que B es un intervalo. Ver [24] para una demostración en el caso general. Proposición Para todo conjunto A de R n y para todo semintervalo J de R p se tiene que m (A J) = m (A) m(j). Demostración. Vamos a considerar varias etapas: (1) Es inmediato que la fórmula se verifica si A es un semintervalo o un conjunto abierto. (2) Si A, B son dos conjuntos de medida finita, entonces m (A B) m (A) m (B). Para cada ε > 0, se pueden encontrar dos colecciones numerables de semintervalos {I k }, {J s } tales que A I k, B J s y m(i k ) m (A) + ε, m(j s ) m (B) + ε resulta entonces que A B I k J s k,s m(i k J s ) = k,s m(i k ) m(j s ) = k y m(i k )( s m(j s )) m(i k )(m (B) + ε) (m (A) + ε) (m (B) + ε) = k m (A) m (B) + εm (A) + εm (B) + ε 2. Puesto que ε es arbitrario y los conjuntos tienen medida finita, de lo anterior se deduce finalmente que m (A B) m (A) m (B). (3) Si m (A) = 0, entonces m (A B) = 0 cualquiera que sea el conjunto B. Por la desigualdad anterior, esto es evidentemente cierto si el conjunto B es de medida finita. En el caso de que m (B) =, descomponiendo el conjunto B como unión numerable de conjuntos B p de medida finita, se tendría A B = A B p es decir A B es una unión numerable de conjuntos de medida nula, luego él también es de medida nula.

8 204 Conjuntos de Borel Nota. Para que la desigualdad m (A B) m (A) m (B) tenga validez en todo caso, sólo habría que convenir en tomar en este contexto 0 = 0 y α = si α 0. Lema Si A K U, donde K es un compacto y U un abierto, entonces existe un abierto O tal que A K O K U. (4) Para cada conjunto A y cada semintervalo J, se verifica la siguiente fórmula m (A J) = m (A) m(j). Sea U un abierto tal que A J U, y m(u) m (A J) + ε y sea O un abierto tal que A J O J U. Entonces m (A) m(j) m(o) m(j) = m(o) m(j) = m(o J) m(o J) m(u) m (A J) + ε. Por el carácter arbitrario de ε, se deduce que m (A) m(j) m (A J) y, por tanto, también se da la igualdad ya que la desigualdad contraria la hemos demostrado antes. Que también, m (A J) = m (A) m(j), se obtiene del hecho de que Z = J \ J es un conjunto de medida nula, se tiene que (20.1) m (A J) m (A) m(j) = m (A) m(j) = m (A J) m (A J) + m (A Z) = m (A J). Observemos que para la demostración de 20.1 sólo se ha necesitado que el conjunto Z sea de medida nula, por lo tanto la fórmula es válida para J un intervalo de cualquier tipo. Corolario Si L 1 R n y L 2 R p son conjuntos medibles entonces el conjunto L 1 L 2 es medible. Demostración. Escribiendo L i = B i Z i, i = 1, 2, con B i Borel y Z i de medida nula, podemos descomponer L 1 L 2 como unión de medibles de la siguiente forma (ver Ejercicio 20A) L 1 L 2 = B 1 B 2 B 1 Z 2 Z 1 B 2 Z 1 Z 2.

9 20G Conjuntos de Borel 205 Ejercicios 20A Demostrar que la σ-álgebra de Borel en R n está generada por las siguientes familias de conjuntos: Los semintervalos, los conjuntos compactos, los conjuntos del tipo {(x 1,..., x n ): x 1 b 1,..., x n b n }. 20B Sean X, Y espacios topológicos (a) Probar que si h es una aplicación continua de X en Y entonces la contraimagen por h de un conjunto de Borel en Y es un conjunto de Borel de Y. (b) Utilizar que las proyecciones en un producto topológico son continuas para probar que el producto cartesiano de un conjunto de Borel de X y un conjunto de Borel de Y es un conjunto de Borel en X Y. 20C Sea B un abierto denso de [0, 1] tal que m(b) < 1 (por tanto m([0, 1]\B) > 0). (a) Demostrar que la aplicación ϕ(x) = m(b [0, x]) m(b) es un homeomorfismo de [0, 1] en [0, 1] (ver ejercicio (19C). (b) Probar que m(ϕ(b)) = 1. (c) Sea V un conjunto no medible contenido en [0, 1] \ B. Probar que ϕ(v ) es un conjunto medible que no es un conjunto de Borel. (d) Observar que ϕ no mantiene el carácter medible de los conjuntos, a pesar de ser un homeomorfismo. 20D Demostrar que si B es un conjunto medible, entonces m(b) = sup{m(k) : K compacto B}. Recíprocamente, si la fórmula anterior es cierta y B es de medida finita, entonces B es medible. 20E Probar que todo subespacio vectorial propio de R n es un conjunto de medida nula de R n. 20F Probar que la gráfica de toda función continua f : U R n R p, donde U es un conjunto abierto, es un conjunto de medida nula. En particular, probar que toda variedad diferenciable de R k de dimensión n < k es un conjunto de medida nula de R k. 20G Probar que para un conjunto B R n son equivalentes: (a) B es medible. (b) B R p es medible. (c) Si J es un semintervalo, B J es medible.

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