Optimización lineal. Diego A. Patino. 2 de septiembre de Pontificia Universidad Javeriana 1/ 29

Transcripción

1 Optimización lineal Diego A. Patino Pontificia Universidad Javeriana 2 de septiembre de / 29

2 Introducción Formulación del problema Herramientes del análisis convexo Formas de las restricciones 2/ 29

3 La optimización lineal nace en Es creada por economistas con el objetivo de desarrollar métodos para la distribución apropiada de recursos. Durante la segunda guerra mundial, la fuerza aerea de Estados Unidos buscó procedimientos para la distribución de recursos, llegando a la programación lineal. En 1947 George B. Dantzig con el patrocinio de la fuerza aerea formulo el problema general de programación lineal y el método de solución denominado simplex. La teoría de la dualidad fue desarrollada por Kuhn y Tucker. Algunas aplicaciones industriales por Charnes y Cooper. 3/ 29

4 Ejemplo motivacional Ver archivo demanda.pdf 4/ 29

5 Varios ejemplos simples de programas lineales: Problema de Transporte, flujo en la red, etc. El problema de optimización lineal en general es: mín(máx) Z = f(x) = s.t. n a ij x j = b i, j=1 n c ij x j d i j=1 q,m Z +, 1 q m n c j x j j=1 i = 1,2,...,q 1 i = q,...,m Se caracteriza en que todas las funciones que intervienen son lineales. La formulación permite que el problema solo tenga restricciones de igualdad o desigualdad. 5/ 29

6 Características Región factible acotada el problema siempre tiene solución. Optimo de un problema de programación lineal Es un óptimo global. Si x y y son soluciones óptimas de un problema de programación lineal, cualquier combinación lineal también es solución óptima. Un problema de optimización lineal puede tener: solución única, múltiples soluciones, soluciones no acotadas, soluciones infactibles. 6/ 29

7 Características Considere el problema máx Z = 3x 1 +x 2 s.t. x 1 +x 2 2 x 1 +x 2 6 x 1 3 2x 1 x 2 4 x 2 0 x 1 x 2 1 x 1 0 7/ 29

8 7 x 1 +x 2 2 x 1 +x x 2 x 2 4 x 1 x x 1 3 x x / 29

9 7 x 1 +x 2 2 x 1 +x x 2 x 2 4 x 1 x x 1 3 x x / 29

10 7 x +x x 1 +x x x x 1 x x 1 3 x x Curvas de nivel Incremento de Z 10/ 29

11 7 x +x x 1 +x x x x 1 x x 1 3 x x Curvas de nivel Incremento de Z El punto óptimo está entonces en (3,3). LA SOLUCION ES UNICA. 10/ 29

12 Sea las mismas restricciones pero la función objetivo Z = x 1 +x x +x x 1 +x 2 6 2x x x 1 x 2 1 x 1 3 x 0 1 x / 29

13 Sea las mismas restricciones pero la función objetivo Z = x 1 +x x +x x 1 +x 2 6 2x x x 1 x 2 1 x 1 3 x 0 1 x El punto óptimo está sobre la recta x 1 +x 2 = 6. LA SOLUCION ES MULTIPLE. 11/ 29

14 Repetir el mismo procedimiento con, máx Z = 3x 1 +x 2 s.t. x 1 +x 2 2 x 2 0 x 1 x 2 1 x / 29

15 Repetir el mismo procedimiento con, máx Z = 3x 1 +x 2 s.t. x 1 +x 2 2 x 2 0 x 1 x 2 1 x 1 0 Observese que la solución cuando el problema está acotado siempre está en uno de los vértices de los poligonos (politopos). Estos son también los puntos extremos del problema. 12/ 29

16 Forma estándar de un programa lineal Dada la múltiples formas que puede tomar un programa lineal, se estandariza de la siguiente manera: mín Z = c 1 x 1 +c 2 x c n x n s.t. a 11 x 1 +a 12 x a 1n x n = b 1. a m1 x 1 +a m2 x a mn x n = b m x 1 0,x 2 0,...,x n 0 Donde c j, b j y a ij, i = 1,...,m, j = 1,...,n son constantes. De forma matricial: mín Z = c T X s.t. AX = b X 0 13/ 29

17 Características Observese que: La función objetivo es del tipo de minimización. Todas las restricciones son de igualdad. Las variables de decisión son no negativas. Ejemplo 1: Lleve a la forma estándar el problema: mín Z = 4x 1 8x 2 +10x 3 s.t. x 1 +3x 2 2 3x 1 +4x 2 x 3 3 x 1,x 2 0 Ejemplo 2: Lleve a la forma estándar el problema: máx Z = 4x 1 8x 2 +10x 3 s.t. x 1 +3x 2 = 2 3x 1 +4x 2 x 3 3 x 1 +x 3 1 x / 29

18 Antes de resolver un problema de optimización lineal o no lineal, se debe analizar correctamente el conjunto factible (campo de soluciones que verifican las restricciones). Se debe responder a preguntas como: En que casos la solución existe?, La solución es única?, etc. Los diferentes tipos de restricciones dan lugar a conjuntos de soluciones factibles diferentes. El espacio de restricciones puede ser del tipo espacio vectorial, espacio afin, cónica, politópica, poliédrica. 15/ 29

19 Tipos de restricciones Las estructuras de las restricciones son entonces: Espacio vectorial: Hx = 0, siendo x = i ρ iv i, ρ i R. Espacio afin: Hx = a, x = q + i ρ iv i, ρ i R. Cono poliédrico: Hx 0, x = j π jw j, π j 0. Politopo: Hx a, x = k λ kq k, λ k 0, k λ k = 1. Poliedro: Hx a, x = i ρ iv i + j π jw j + k λ kq k, ρ i R, π j 0, λ k 0, k λ k = 1. Donde v i, w j y q k son las bases de cada uno de los espacio. 16/ 29

20 Las restricciones definen un espacio factible. Cuándo un problema de optimización tiene un óptimo global sin importar si el problema es lineal o no? (x 5) x sin(2 π x) x x 17/ 29

21 Las restricciones definen un espacio factible. Cuándo un problema de optimización tiene un óptimo global sin importar si el problema es lineal o no? (x 5) x sin(2 π x) x x Uno de los requisitos para que un problema de optimización tenga un óptimo global es que las funciones sean CONVEXAS. Esta es una de las condiciones suficientes para obtener un óptimo global. 17/ 29

22 Conjuntos convexos Un conjunto es convexo si cualquier únion de un par de puntos mediante una ĺınea recta está dentro del conjunto y y x x 18/ 29

23 Conjuntos convexos Un conjunto es convexo si cualquier únion de un par de puntos mediante una ĺınea recta está dentro del conjunto y y x x Un conjunto S R n es convexo si y solo si: λx +(1 λy) S para todo λ [0,1] y x,y S 18/ 29

24 Conjuntos convexos Un conjunto C R n se dice un cono si para todo x C, λx C para todo escalar λ R tal que λ 0. Un cono que también es convexo se denomina un cono convexo. Un hiperplano es un conjunto convexo? Un semiespacio es un conjunto convexo? La intersección de convexos es otro convexo? La suma de dos conjuntos convexos es otro conjunto convexo? En general la combinación lineal de convexos es otro convexo? 19/ 29

25 Conjuntos convexos Un conjunto C R n se dice un cono si para todo x C, λx C para todo escalar λ R tal que λ 0. Un cono que también es convexo se denomina un cono convexo. Un hiperplano es un conjunto convexo? Un semiespacio es un conjunto convexo? La intersección de convexos es otro convexo? La suma de dos conjuntos convexos es otro conjunto convexo? En general la combinación lineal de convexos es otro convexo? La respuesta a todos los puntos anteriores es afirmativa. Probar. 19/ 29

26 Conjuntos convexos Un conjunto C R n se dice un cono si para todo x C, λx C para todo escalar λ R tal que λ 0. Un cono que también es convexo se denomina un cono convexo. Un hiperplano es un conjunto convexo? Un semiespacio es un conjunto convexo? La intersección de convexos es otro convexo? La suma de dos conjuntos convexos es otro conjunto convexo? En general la combinación lineal de convexos es otro convexo? La respuesta a todos los puntos anteriores es afirmativa. Probar. Pregunta: Las restricciones de un programa ĺıneal estándar que forma tienen? 19/ 29

27 Otras definiciones Sea S un conjunto convexo no vacío en R n. Un vector x S se denomina punto extremo de S si x = λx 1 +(1 λ)x 2 con x 1,x 2 S y λ (0,1) implica que x = x 1 = x 2. Ejemplo: Obtener los puntos extremos de los conjuntos circulo, cuadrado y triángulo. 20/ 29

28 Teorema (teorema de representación de conjuntos convexos finitos) Si un conjunto convexo está acotado y cerrado, cualquiera de sus puntos puede escribirse como una combinación convexa de sus puntos extremos. Ejemplo: C = {x R 2 x 1 x 2,x 1 0,x 2 0} x x 1 Observese que C no es acotado, se puede expresar todos los puntos del conjunto como una combinación convexa del punto extremo? 21/ 29

29 Teorema (teorema de representación de conjuntos convexos finitos) Si un conjunto convexo está acotado y cerrado, cualquiera de sus puntos puede escribirse como una combinación convexa de sus puntos extremos. Ejemplo: C = {x R 2 x 1 x 2,x 1 0,x 2 0} x x 1 Observese que C no es acotado, se puede expresar todos los puntos del conjunto como una combinación convexa del punto extremo? NO. Que hace falta para que esto sea posible? 21/ 29

30 Conjuntos no acotados Sea S un conjunto convexo, cerrado y no vacio en R n. Se dice que un vector unidad d es una dirección de S, si para cada x S, x +πd S, para todo π 0. Una dirección d se denomina extrema si no puede expresarse como una combinación ĺıneal positiva de dos direcciones distintas, i.e., d = π 1 d 1 +πd 2 para π 1,π 2 > 0, entonces d = d 1 = d 2. 22/ 29

31 Espacios vectoriales 23/ 29

32 Espacios vectoriales Considérese una matriz A y el conjunto de vectores columnas A = {a 1,...,a n } Un vector x se dice que es una combinación lineal de los vectores columna de A si puede expresarse como: donde α i R, i. El conjunto: x = α 1 a α k a n {x R n x = α 1 a α n a n,α i R,i = 1,...n} es el espacio vectorial generado por A. Si los vectores de A son linealmente independientes A es una base generadora del espacio vectorial. Hx = 0 es un subespacio vectorial? 23/ 29

33 Espacios vectoriales Sea S un subconjunto de R n. El conjunto S es un subespacio vectorial de R n si y solo si existe una matriz H de dimension m n tal que S = {x R n Hx = 0} Ejemplo 1: La solución general del sistema de ecuaciones x 1 x 2 +2x 3 = 0 x 2 +2x 3 = 0 es un subespacio vectorial x 1 4 x 2 = α 2,α R x / 29

34 Espacios vectoriales Ejemplo 2: La solución general del sistema de ecuaciones x 1 x 2 x 4 = 0 x 1 x 3 +x 4 = 0 x 2 x 3 +2x 4 = 0 es un subespacio vectorial x x 2 x 3 = α α α 1,α 2 R x / 29

35 Conos poliédricos convexo Se dice que x es una combinación lineal no negativa de los vectores A = {a 1,...,a n } sii x = π 1 a π n a n π i R +, i. Sea A = {a 1,...,a n } el conjunto de C = {x R n x = π 1 a π n a n,π j 0,j = 1,...,n} se denomina cono poliédrico convexo. Un cono es un subespacio vectorial? 26/ 29

36 Conos poliédricos convexo Ejemplo: La solución general del sistema de ecuaciones x 1 x 2 x 4 0 x 1 x 3 +x 4 0 x 2 x 3 +2x 4 0 es un cono x x 2 x 3 = α π π x α 1,α 2 R,π 1,π 2 R + 27/ 29

37 Politopos Se dice que x es una combinación lineal convexa de los vectores A = {a 1,...,a n } sii x = λ 1 a λ n a n donde λ i R + y n i=1 λ i = 1. El conjunto { Γ = x R n x = λ 1 a λ n a n ; } n λ i = 1 se denomina politopo o envoltura convexa generada por {a 1,...,a n }. Si el conjunto de vectores es el mínimo posible, se trata de los puntos extremos de Γ. i=1 28/ 29

38 Politopos Ejemplo: La solución general del sistema de ecuaciones x 1 x 2 0 x 1 x 2 1 x 1 +x 2 0 x 1 +x 2 1 Es un politopo?, entonces encontrar su representación como politopo. 29/ 29