OPTIMIZACION PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA 1. Jorge Amaya A.

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1 OPTIMIZACION PARA ESTUDIANTES DE INGENIERIA Jorge Amaya A. 9 de mayo de 3 Departamento de Ingeniería Matemática y Centro de Modelamiento Matemático Universidad de Chile Mayo de 3 Texto preliminar, destinado exclusivamente al uso de los estudiantes del curso MA37A Optimización, de la Escuela de Ingeniería de la Universidad de Chile, semestre Otoño 3. Los comentarios son bienvenidos: jamaya@dim.uchile.cl

2 Capítulo Introducción Un problema de optimización matemático, en términos generales, se escribe de la forma: (P) minimizar (o maximizar) f(x) x S donde x es el vector de variables de decisión, f : S IR es la función objetivo y S IR n es el conjunto factible. A menudo S = {x IR n /g i (x) i =,...m, x X IR n } y se dice que las expresiones g i (x) i =,..., m representan el conjunto de restricciones del problema (P). Si S = IR n, el problema se dirá irrestricto. Un vector x IR n que pertenezca al conjunto S se llamará solución factible de (P). Si además satisface que f(x) f(y) y S (cuando se trata de un problema de minimización), se dirá que x es solución óptima. Nos parece importante recordar aquí el teorema de Weierstrass, que da condiciones para la existencia de solución para un problema de minimización con características bien particulares. Teorema.. Si f es una función real, continua sobre un conjunto compacto (cerrado y acotado) K IR n, entonces el problema min (o max) f(x) x K

3 tiene una solución óptima x K. Dependiendo de las características particulares del problema, éste recibe nombres y tratamientos especiales para su resolución. Dos casos de interés, son el de la programación lineal (f y g i son funciones lineales afines i) y la programación lineal entera (en que además las variables sólo toman valores enteros). También trataremos la teoría y técnicas de solución de un problema con funciones no lineales. Un concepto esencial para entender cómo plantear y resolver un problema de optimización es el de convexidad. Mostrar algo de la teoría básica del análisis convexo y su vinculación con la teoría de optimización son los objetivos del siguiente capítulo. 3

4 Capítulo Convexidad. Conjuntos convexos Definición.. Sea S IR n, S /o. Se dice que S es convexo si y sólo si λx + ( λ)y S x, y S, λ [, ] Geométricamente, esta definición se puede interpretar como sigue: un conjunto no vacío es convexo si dados dos puntos del conjunto, el segmento de recta que los une está contenido en dicho conjunto (ver figura.). a) b) y x y x Figura.: El conjunto de la figura a) es convexo. El conjunto de la figura b) no es convexo, pues existe un segmento de recta, uniendo dos puntos del conjunto, que no está incluido en el conjunto. Por convención, el conjunto vacío será considerado convexo 4

5 Ejemplo.. Un espacio vectorial es un conjunto convexo. Demostración. Directo pues, por definición, un espacio vectorial es cerrado para la suma y la ponderación por escalar. En particular IR n es un convexo. Ejemplo.. S = {x IR 3 / x + x x 3 = } es un conjunto convexo. Demostración. Sean x e y S, λ [, ]. Por definición del conjunto S, esto significa que x + x x 3 = e y + y y 3 =. λx + ( λ)y Veamos que λx + ( λ)y = λx + ( λ)y pertenece a S,pues λx 3 + ( λ)y 3 λx + ( λ)y + {λx + ( λ)y } {λx 3 + ( λ)y 3 } = λ(x + x x 3 ) + ( λ)(y + y y 3 ) = λ + ( λ) = Definición.. Sean a IR n, α IR fijos. Se llama hiperplano al conjunto H = {x IR n /a t x = α} Un hiperplano H define dos semiespacios: H = {x IR n /a t x α} H + = {x IR n /a t x α} Por ejemplo, en el caso H = {x IR 3 /x + x x 3 = } se tiene a t = (,, ) y α =. Los dos semiespacios asociados son: H = {x IR 3 /x + x x 3 } H + = {x IR 3 /x + x x 3 }. Ejemplo..3 Un semiespacio S en IR n es un conjunto convexo. 5

6 x3 H - H x x H + - Figura.: Semiespacios generados por el hiperplano H Demostración. Consideremos a IR n y α IR, definiendo el semiespacio S = {x IR n /a t x α}. Sean x, y S, λ [, ], entonces a t (λx + ( λ)y) = λ(a t x) + ( λ)(a t y) λα + ( λ)α = α Luego λx + ( λ)y S y, por lo tanto, S es convexo. Proposición.. Sean S y S dos conjuntos convexos. Entonces S S es un conjunto convexo. Demostración. Sean x, y S S, λ [, ] x, y S λx + ( λ)y S, ya que S es convexo. x, y S λx + ( λ)y S, ya que S es convexo. luego λx + ( λ)y S S, es decir, S S es convexo. Observación.. Observemos que: 6

7 i) Esta propiedad se puede generalizar fácilmente a una intersección cualquiera de convexos. Esto es, si Γ es un conjunto arbitrario, incluso no numerable, y {S γ } γ Γ es una clase de conjuntos convexos, entonces γ Γ S γ es un conjunto convexo. ii) Aunque del ejemplo (..3) puede concluirse fácilmente que un hiperplano es un conjunto convexo (reemplazando las desigualdades por igualdades), podemos usar esta proposición para probar que un hiperplano es un conjunto convexo, dado que es intersección de dos semiespacios (convexos). Ejemplo..4 Sistema de desigualdades lineales: a x a n x n b. a m x a mn x n b m con a ij, b i, x j IR, i {,..., m}, j {,..., n} El sistema se anota Ax b ; con A = (a ij )...m;j=...n, b = b. b m El conjunto S = {x IR n /Ax b} es la intersección de n semiespacios de la forma S i = {x IR n /A i x b i } (donde A i denota la fila i-ésima de la matriz A) los cuales, según vimos en el ejemplo (..3), son conjuntos convexos. Luego, por la proposición (..), S es convexo. Definición..3 Sean x,..., x k IR n ; λ,..., λ k IR tales que λ i i, vector x = k λ i x i se dice combinación convexa de los k vectores. k λ i =. El Definición..4 Sea S IR n. Se define el conjunto co(s), envoltura convexa de S, de la manera siguiente: co(s) = {x = k λ i x i / k IN, {x i } k S, {λ i } k [, ], k λ i = }. Es decir, todo punto en co(s) es combinación convexa de puntos de S. 7

8 a) b) y x y x Figura.3: La envoltura convexa del conjunto de la figura a) coincide con él, por ser convexo. Para el conjunto de la figura b), la ĺınea sólida corresponde a su envoltura convexa. Observación.. Si S es convexo, entonces co(s) = S (ver figura.3). Ejemplo..5 La envoltura convexa de los números racionales es IR. Ejemplo..6 Sean v = 5, v = 6 7 3, v 3 = 3, v 4 = 3 4 vectores en IR 3. Su envoltura convexa queda determinada por el poliedro de la figura (.4), cuyos vértices están dados por el conjunto de vectores {v, v, v 3, v 4 }. Proposición.. co(s) es un conjunto convexo. Demostración. Sean x, y co(s), es decir, x = k ν i x i, y = m µ i y i donde {x i } k S, {y i } m S y {ν i } k, {µ i } m son ponderadores de la combinación convexa. Sea λ [, ] Llamando k m λx + ( λ)y = λ ν i x i + ( λ) µ i y i. x i = x i, λi = λν i i {,..., k} x k+i = y i, λk+i = ( λ)µ i i {,..., m}, 8

9 Figura.4: La envoltura convexa del conjunto de puntos señalados queda determinada por un poliedro cuyos vértices están dados por el conjunto de vectores. se tiene que con λx + ( λ)y = k+m λ i x i { x i } k+m S, λ i [, ] i =,..., k + m y k+m λ i =. Luego por definición se tiene que, λx + ( λ)y co(s), por lo tanto co(s) es convexo. Proposición..3 co(s)es el convexo más pequeño (en el sentido de la inclusión) que contiene a S. Demostración. Basta probar que una caracterización equivalente es la siguiente: co(s) = {C/C convexo, S C} Sea B = {C/C convexo S C} 9

10 i) Sea x B, entonces para todo C convexo tal que S C se tiene que x C. Como co(s) es convexo y S co(s) entonces x co(s). Por lo tanto B co(s) ii) Sea ahora x co(s), demostremos que x B. cualquiera que contenga a S. Tomemos C, un conjunto convexo Como x co(s), entonces x = k λ i x i, con x i S, λ i, i =,..., k, y k λ i = En particular x i C, para todo i. Así, x también pertenece a C, cualquiera sea éste. Así co(s) B P6 P y P P8 P5 P7 x P3 P4 Figura.5: Teorema de Carathéodory. Mostraremos a continuación una interesante propiedad de la envoltura convexa, conocida como Teorema de Carathéodory. Tomemos el ejemplo de la figura (.5) en que S = {p, p, p 3, p 4, p 5, p 6, p 7, p 8 } La envoltura convexa de S es el conjunto delimitado por las líneas punteadas. Se observa que el punto x, que pertenece a co(s), pertenece también al triángulo definido por los puntos p 3, p 4 y p 5. El punto y, que pertenece a co(s), está también incluído en el triángulo determinado por lo puntos p, p y p 5 o bien en el triángulo definido por los puntos p, p 6 y p 4. En realidad, cualquier punto de co(s) está contenido en algún triángulo definido por puntos de S. Esto se expresa de la forma siguiente.

11 Teorema.. (Carathéodory) Sean S IR n y x co(s). Entonces existen x,..., x n+ S tales que x co{x,..., x n+ }. Demostración. Sea x co(s), luego existen {x i } k S, {λ i } k [, ] satisfaciendo k λ i =, tales que x = k λ i x i. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer λ i i ( si λ j = para algún j, x es combinación convexa de k vectores) Supongamos que k > n +. Los k vectores x x,..., x k x son linealmente dependientes (pues k > n, la dimensión del espacio). Es decir, existen µ,..., µ k IR, no todos nulos, tales que k µ i (x i x ) =. i= Sea µ = k µ i (*) i= k µ i (x i x ) = k µ i x i k µ i x = k µ i x i + µ x = k µ i x i =, con k µ i =. i= Entonces, α IR i= i= i= x = k λ i x i α = k λ i x i α k µ i x i = k (λ i αµ i )x i De (*) se deduce que µ i > para al menos un i, luego podemos escoger α = min i { λi µ i / µ i > } = λ I µ I. Notar que α > y que λ i αµ i i. (pues si µ i λ i αµ i > y si µ i > λ i αµ i = µ i ( λ i µ i α) ) En particular, λ I αµ I =. Así, x = k (λ i αµ i )x i, donde k (λ i αµ i ) = y λ i αµ i i. Es decir,x es combinación convexa de a lo más k vectores (pues el coeficiente I ésimo es nulo). Repitiendo el argumento k (n + ) veces, se obtiene que x es combinación convexa de n + puntos.

12 Ejercicio.. Sean S y S convexos, α IR. Se define la suma y ponderación de conjuntos como sigue: S + S = {x + y / x S, y S } αs = {αx / x S } Pruebe que S + S y αs son convexos... Poliedros Notación: Notaremos por M m n (IR) al conjunto de las matrices de m filas y n columnas, a coeficientes reales. Definición..5 Se llama poliedro a un conjunto de la forma P = {x IR n /Ax b} con A M m n (IR) y b IR m, es decir, un poliedro es una intersección finita de semiespacios. Proposición..4 P = {x IR n /Ax = b, x } es un poliedro. Demostración. Claramente, el conjunto P queda representado por el siguiente sistema de ecuaciones lineales : A A I x donde I la matriz identidad en dimensión n. A b Llamando A = A, b = b, se obtiene un sistema de la forma I b b P = {x IR n /A x b }, que es igual a P. Luego, P es un poliedro. Observación..3 Es obvio que P ={x IR n /Ax b} es un poliedro. En efecto: como x IR n es irrestricto, basta multiplicar el sistema de desigualdades por -, y definir A =-A, b =-b. x si y solamente si x i i =,..., n

13 Proposición..5 Todo poliedro es un conjunto convexo. Demostración. Ver ejemplo (..4) Se dirá que un poliedro P = {x IR n /Ax = b, x } está escrito en forma canónica. En lo sucesivo trabajaremos con esta representación. Proposición..6 Un poliedro es un conjunto cerrado. Demostración.Sea P el poliedro {x IR n /Ax = b, x } y consideremos x P (adherencia o cerradura de P). Mostraremos que x P. Como x P, existe una sucesión {x k } en P tal que lim k x k = x. Además, k, el punto x k verifica Ax k = b x k Tomando límite (y por continuidad de la función lineal x Ax) se tiene: A x = b x Luego x P y por lo tanto P P. Dado que se cumple siempre que P P, se obtiene P = P, luego P es cerrado. Demostración alternativa. Sea g : IR n + IR n ; g(x) = Ax b. A es una forma lineal, luego la función g es lineal afín y, por lo tanto, continua en IR n +. El conjunto {x IR n /Ax = b} es pre-imagen continua de un cerrado ({}), luego es cerrado y como P es igual a la intersección de este conjunto con el semiespacio cerrado {x }, se concluye que es cerrado. Ejemplo..7 C = {x IR / x + x ; x + x 4; x 4; x ; x }. Matricialmente esto puede escribirse de la siguiente manera: ( x x 3 ) 4 4.

14 y 4 (,4) (,3) C (4,) 4 x Figura.6: El conjunto C es un poliedro, convexo y cerrado, pero no acotado. El conjunto C es un poliedro, convexo y cerrado, pero no acotado. Definición..6 Sea S IR n un conjunto convexo, S /o.un vector x S se llama punto extremo de S si y sólo si no puede ser representado como combinación convexa de otros dos puntos distintos del convexo. Es decir, si x = λx + ( λ)x, con x, x S y λ ], [, entonces x = x = x. Ejemplo..8. a) Sea S=B(,), la bola unitaria en IR n. El conjunto de puntos extremos queda representado por {x IR n / x = }, que es la frontera de S b) El conjunto de puntos extremos del poliedro del ejemplo (..6) es E = 5, 6 7 3, 3, 3 4 c) El conjunto de puntos extremos de un semiespacio cerrado es vacío. Ejemplo..9 Sean U = {( ) (, ) (, 3 ) (, 4 ) (, )} y S = co{u} 4

15 y (-,4) * y>=-x y<=-x+ 3 3 (,) * (,3) * x<= * (,) * y>=x (,) x Figura.7: S es la envoltura convexa del conjunto U Naturalmente, el conjunto de puntos extremos de S es El sistema que representa a S es S = (x, x ) IR : 3 {( ) (, 3 ) (, 3 ) (, 4 En general, fácilmente se puede ver que x es punto extremo de un convexo S si y solamente si S\{x} es un conjunto convexo, de donde se sigue que si S es tal que co(s ) = S, entonces necesariamente S debe incluir al conjunto de puntos extremos de S. La definición de punto extremo es de suma importancia en la teoría de optimización pues, como veremos más adelante, está en relación directa con el conjunto de soluciones para un problema de programación lineal, donde el conjunto de restricciones determina precisamente un poliedro. De aquí se desprende que es necesario tener una caracterización simple para )}. 5

16 estos puntos. Veamos el siguiente ejemplo de motivación P = {x IR /x + x, 8x + 3x 8, x, x } El gráfico se muestra en la figura (.8) X 8 /3 P X Figura.8: Ejemplo de motivación. Los puntos extremos son (en IR 4 ) { ( ) (, ) ( /5, 8/5 ) (, )}. Trabajaremos con el poliedro P = {x IR 4 /x + x + x 3 =, 8x + 3x + x 4 = 8, x, x, x 3, x 4 } ( ) x x que es equivalente a P en el sentido siguiente: P x x x 3 P x 4 x 3, x 4 Examinemos entonces el sistema x + x + x 3 = 8x + 3x + x 4 = 8 x, x, x 3, x 4 6 con

17 Asignando valor nulo a dos variables cualesquiera podemos entonces resolver el sistema de dos ecuaciones cada vez. Esto da las soluciones 8,, 8/3 /3, 8,, /5 8/5. Se observa que dos de ellas (la tercera y la cuarta) no satisfacen la condición de positividad, luego no pertenecen a P. Sin embargo las cuatro soluciones restantes determinan en sus dos primeras coordenadas, los puntos extremos de P, a saber { ( ) (, ) ( /5, 8/5 ) (, )}. Esto se expresa en forma general en el siguiente teorema Teorema.. Sea un poliedro P = {x IR n /Ax = b, x }, donde A M m n (IR) es de rango m y b IR m. Un punto x es extremo de P si y sólo si la matriz A se puede descomponer, eventualmente reordenando sus columnas, en la forma A = [B, N], donde B ( M m m (IR) ) es invertible, N M m (n m) (IR) corresponde a las columnas restantes y B x = b, con B b. Demostración.( ) Sea x = ( B Ax = [B, N] b ( B b ) = BB b + N = b. ). Se tiene que x P, pues Sean u, v P tales que x = λu + ( λ)v, λ [, ], es decir De donde: () λu + ( λ)v = B b () λu + ( λ)v = ( B b ) ( u = λ u ) ( v + ( λ) v Como u, v P necesariamente u, v. Luego de () se tiene que u = v =. 7 )

18 ( u Como u P satisface Au = b, esto es [B, N] u = x. ) = Bu = b u = B b. Por lo tanto, De la misma manera se prueba que v = x, con lo que se concluye que x es punto extremo. ( ) Supongamos que x P es un punto extremo, x puede escribirse x =, even- tualmente reordenando las columnas del sistema, con x i >, i =,..., k, k {,..., m} Notemos por A k el k-ésimo vector columna de A. Luego A = [A,..., A k, A k+,..., A n ] Ax = b k x i A i = b x. x k. Probaremos que A,..., A k son linealmente independientes. Supongamos que son linealmente dependientes, es decir, que existen µ,..., µ k no todos nulos, tales que k µ i A i =. Definamos µ = µ. µ k. y, para α >, construyamos los siguientes vectores y = x + αµ z = x αµ De allí: x = y + z. Es claro que y, z P, para α suficientemente pequeño y además x y, y z, z x. Por lo tanto x es combinación convexa de dos puntos distintos en P, luego no es extremo (contradicción). Así, A,..., A k son linealmente independientes, lo que implica, en particular, que k m Podemos agregar A k+,..., A m (eventualmente reordenando columnas) para obtener un conjunto maximal (A es de rango m) y definir B = [A,..., A m ], que es una matriz invertible, y N = [A m+,..., A n ]. Con esto, A tiene la forma A = [B, N]. 8

19 Luego, Ax = b n x i A i = b m x i A i + Notando x = ( xb x N n i=m+ x i A i = b ), con x B >, x N =, la ecuación anterior se escribe: Bx B + Nx N = Bx B = b de donde x B = B b Corolario.. El número de puntos extremos de un poliedro en la forma canónica es finito. ( ) n Demostración. Hay a lo sumo formas de elegir las m columnas independientes de m A, y cada matriz B está asociada a lo más a un punto extremo. Ejemplo.. Consideremos un poliedro en la forma canónica dado por las matrices [ ] [ ] A = y b = Calculemos sus puntos extremos. De acuerdo al corolario anterior, existen a lo sumo 6 puntos extremos dado que hay 6 formas posibles de elegir la matriz B. [ ] () B = no es invertible. [ ] [ ] () B = es invertible, pero B b = no es un vector positivo. [ ] [ 3 ] (3) B = es invertible y el vector B b = 4 tiene todas sus coodenadas positivas. [ ] [ ] (4) B = es invertible, pero B b = no es un vector positivo. 9

20 [ ] [ 3 ] (5) B = es invertible y el vector B b = tiene todas sus coodenadas positivas. [ ] [ ] 3 (6) B = es invertible, pero B b = no es un vector positivo. Los casos (3) y (5) nos entregan puntos extremos para el poliedro en estudio, sólo falta ubicar los valores resultantes en las posiciones correctas: La matriz del caso (3) toma las columnas primera y cuarta de la matriz A, luego el 3 4 vector punto extremo correspondiente a este caso será La matriz del caso (5) toma las columnas segunda y cuarta de la matriz A, luego el 3 vector punto extremo correspondiente a este caso será Definición..7 Se llama polítopo a la envoltura convexa de un conjunto finito de puntos. Definición..8 Sean x,..., x k IR n. El polítopo asociado a este conjunto de puntos es un simplex si y sólo si el conjunto {x x,..., x k x } es linealmente independiente. De acuerdo con estas definiciones, el conjunto S del ejemplo (..9) es un polítopo y puede concluirse fácilmente que todo polítopo es envoltura convexa de sus puntos extremos. Es obvio, además, que todo polítopo es un poliedro. Luego, parece natural preguntarse si todo poliedro puede escribirse como combinación convexa de sus puntos extremos. La respuesta es negativa, cuando el poliedro es no acotado. En el ejemplo (..7) ( ) observamos ( ) que cualquier punto que no esté en la superficie del triángulo de vértices, y ( ) 3 4 4, no puede ser expresado como combinación convexa de esos tres puntos extremos. Ejemplo.. S = {x IR /x x }

21 x x x x x ; x, por lo tanto o, en forma matricial S = {x IR /x x ; x x ; x } x d d Figura.9: El punto (,) es el único punto extremo del poliedro de la figura. d y d son sus únicas direcciones extremas. ( ) Como es posible ver en la figura (.9), es el único punto extremo y ningún punto del poliedro S puede expresarse como combinación convexa de puntos extremos. Luego, para poliedros no acotados se hace necesario definir un nuevo concepto: Definición..9 Un vector d IR n, d, se dice dirección de S si y sólo si x S se tiene que x + λd S λ. Consideremos el poliedro P = {x IR n /Ax = b, x }. Una dirección de P debe satisfacer que x P : A(x + λd) = b λ x + λd λ Luego, d es dirección de P si y solamente si satisface el sistema Ad =, d.

22 Definición.. Dos direcciones d y d se dirán iguales si y sólo si d = αd para algún α >. Observación..4 Se escribirá d = d, si no hay posible confusión. Definición.. Sea S un convexo cerrado y d IR n una dirección de S. Se dice que d es dirección extrema si dadas d y d, direcciones de S, tales que d = αd + βd para algún α, β >, necesariamente se tiene que d = d = d. Es decir, d no puede expresarse como combinación lineal positiva de otras dos direcciones distintas. Ejemplo.. En la figura (.9), d y d son direcciones extremas y toda otra dirección se escribe como combinación lineal positiva de ellas. Con lo que hemos hecho hasta aquí, una pregunta interesante es: Existirá alguna caracterización de las direcciones extremas, equivalente a la obtenida para puntos extremos? Escribamos la matriz A que representa el poliedro escrito en la forma canónica ( tal) como B en el caso de puntos extremos, es decir, A = [B, N] y consideremos d = a j con B a j, donde ( a j es columna ) de N. Verifiquemos que d es dirección: en efecto, d B y Ad = [B, N] a j = BB a j + Ne j = a j + a j =. e j Supongamos que no es extrema, es decir, que existen d y d direcciones de P distintas, tales que d es combinación lineal positiva de ellas: d = λ d +λ d, para λ, λ >. Entonces d y d tendrán la forma: para algún η, η. Como d [ d [B, N] e j [ d [B, N] e j d = [ d η e j ] [ d, d = η e j ] y d son direcciones de P entonces Ad = Ad =. Luego ] = Bd + η Ne j = Bd + η a j = d = η B a j ] = Bd + η Ne j = Bd + η a j = d = η B a j e j

23 por lo tanto d = d = d (en el sentido de la igualdad de direcciones), lo que muestra que d es dirección extrema. Lo explicado anteriormente nos permite formular el siguiente teorema de caracterización de direcciones extremas. Teorema..3 Sea un poliedro P = {x IR n /Ax = b; x }, donde A M m n (IR) es de rango m y b IR m. Una dirección d IR n es dirección extrema de P si y sólo si la matriz A se puede descomponer, eventualmente reordenando sus columnas, en la forma ( A = [B, ) N], B donde B M m m (IR) es invertible y d es un múltiplo positivo de d = a j con B a j, donde a j N (vector columna de N) y e j es el j-ésimo vector de la base canónica de IR n m. Corolario.. El número de direcciones extremas de un poliedro en la forma canónica es finito. ( ) n Demostración. Hay a lo más formas de elegir B m y como hay n m columnas en ( ) n N, entonces (n m) es el número máximo de direcciones extremas. m e j Ejemplo..3 Volvamos al ejemplo (..). De acuerdo al corolario anterior, existen posibles direcciones extremas, por lo tanto, no desarrrollaremos el cálculo completo, sólo consideraremos el siguiente caso: Tomemos la matriz B formada por la segunda y cuarta columnas de A. [ ] [ ] B = luego N = [ ] B N = El producto de B con la primera columna de N no es negativo, por lo tanto, no nos permite calcular una dirección extrema. Sin embargo, el producto con la segunda columna de N es 3

24 negativo. Tal como en el caso de puntos extremos, sólo basta ordenar la información para decir que d = es dirección extrema del poliedro. Para concluir esta sección, enunciaremos, sin demostrar, un teorema de caracterización que liga todo lo que hemos desarrollado hasta ahora. Teorema..4 Sea P = {x IR n /Ax = b, x }, donde A M m n (IR) es de rango m y b IR n. Sean x,..., x k los puntos extremos y d,..., d l las direcciones extremas de P. Entonces, x P si y sólo si puede ser escrito como la suma de una combinación convexa de los puntos extremos y una combinación lineal positiva de las direcciones extremas, es decir, x = k l λ i x i + µ j d j j= donde λ i [, ] i =,..., k, k λ i = ; µ j, j =,..., l. Teorema..5 P = {x IR n /Ax = b; x } = /o tiene al menos una dirección extrema si y sólo si P es no acotado. Demostración.( ) Si P tiene una dirección extrema, claramente es no acotado, pues x + λd P x P, λ y lim λ x + λd =. ( ) Supongamos que P es no acotado y que no posee direcciones extremas. Luego, por el teorema anterior, todo punto x P puede escribirse de la forma x = k λ i x i, con λ i [, ], i =,..., k, k λ i =. Por la desigualdad de Cauchy-Schwartz k x = λ i x i k λ i x i k x i < x P lo que contradice el supuesto de que P es no acotado. 4

25 Ejercicio.. Sea S un convexo. S\{x} es convexo. Demuestre que x S es punto extremo si y sólo si Ejercicio..3 Probar que todo polítopo es un poliedro... Teoremas de Proyección Teorema..6 Sea S un conjunto convexo, cerrado, no vacío en IR n, y IR n, y / S. Entonces, existe un único x S tal que minimiza la función ϕ y : S x IR ϕ y (x) = y x Demostración. Existencia: Sea γ = inf{ϕ y (x) / x S}. Existe una sucesión minimizante {x n } n ℵ S tal que ϕ y (x n ) γ, n. Usemos la propiedad conocida como ley del paralelógramo ( a + b + a b = a + b ) x n x m = x n y + y x m = x n y + y x m x n + x m y = x n y + y x m 4 x n+x m y Notar que x n+x m = x n + x m S (convexo), luego x n+x m y γ, por lo tanto, x n x m x n y + y x m 4γ (*) Si n, m, se tiene que x n y γ y x m y γ, luego x n x m, es decir, {x n } n ℵ es una sucesión de Cauchy en IR n y, por lo tanto, converge a x = lim x n S (cerrado). Por continuidad de la norma, ϕ y (x) = γ. Unicidad: Sea x S, x x tal que ϕ y (x) = γ. Por (*) se tiene que x x x y + y x 4γ =, luego x = x. Definición.. Sea S un convexo cerrado no vacío. i) Para y IR n, se define la distancia de y a S, por d(y, S) = min{ϕ y (x) / x S}. ii) Dado y IR n, se define la proyección de y sobre S, por P S (y) = arg min{ϕ y (x)/x S}. 5

26 y * d(y,s) P (y) S x _ S Figura.: Distancia y proyección del punto y al conjunto S Observación..5 Claramente, si y S, P S (y) = y. Teorema..7 Sea S un convexo cerrado no vacío, y / S. Se tiene que si y solamente si x minimiza ϕ y (x). y x, x x, x S Demostración. Supongamos primero que para cierto x IR n se tiene y x, x x x S. Calculemos: y x = y x (x x) = y x + x x y x, x x y x + x x y x Lo que implica que: y x y x x S Es decir ϕ y (x) ϕ y (x) x S. Inversamente, tenemos que, si x minimiza ϕ y en S, entonces x S: De donde, y x = y x + x x = y x + x x + y x, x x y x, x x x x x S 6

27 Como S es un conjunto convexo y x S podemos cambiar x por λx + ( λ)x, con lo que queda: Que es lo mismo que λx + ( λ)x x, y x λx + ( λ)x x Tomando λ +, se tiene el resultado x x, y x λ x x Geométricamente, el teorema anterior quiere decir que la proyección de y sobre S se alcanza en un punto x tal que el trazo y x es ortogonal al conjunto. S _ x y Figura.: La proyección de y sobre S se alcanza en un punto x tal que el trazo y x es ortogonal al conjunto. Teorema..8 Sea S un convexo cerrado no vacío, entonces P S (x) P S (y) x y x, y. Observación..6 Esto es equivalente a decir que si S un convexo cerrado no vacío, la función de proyección P S (x) es Lipschitz continua. Ejercicio..4 Demuestre el teorema (..8)...3 Teoremas de Separación Teorema..9 (Hahn-Banach) Sea S un convexo cerrado no vacío, y / S. Existe p, α IR tal que p t y > α y p t x α x S. 7

28 y S t α Figura.: H es el hiperplano separador entre S e y. Este p define lo que se conoce como hiperplano separador, H = {z IR n /p t z = α} (ver figura.) Demostración. De acuerdo a lo desarrollado en la subsección anterior, existe un único x S tal que y x, x x, x S. Sea p = y x, p, x x, x S p, x p, x, x S (*) p, x x = p, x y + y x = p, x y + p, y x = p, x y + p, x S p, x + p p, y, x S. Como p =, se tiene que p, x < p, y, x S (**) Sea α = p, x. Por (*) p, x α x S y por (**) α < p, y lo que concluye la demostración. Definición..3 Sea S un convexo cerrado no vacío. Un hiperplano soportante de S es un hiperpalno H tal que H S /o y {S H + S H } (ver figura.3). a) b) S ω S ω H H H 3 Figura.3: Para la figura a), H y H son hiperplanos soportantes en el punto señalado. 8

29 Cuando definimos los poliedros, los caracterizamos como una intersección finita de semiespacios. El siguiente teorema nos permitirá deducir una caracterización similar para un conjunto convexo no vacío cualquiera. Teorema.. Sea S IR n un conjunto convexo y sea x un punto en la frontera de S. Entonces S tiene un hiperplano soportante en x. Corolario..3 Sea S un convexo cerrado no vacío. Entonces S = {W semiespacio/s W } Observación..7 Note que la intersección anterior no es necesariamente finita. Demostración. Basta tomar los semiespacios generados por todos los hiperplanos soportantes del convexo, que contengan a S. Teorema.. (Farkas) Sea A M m n (IR), c IR n. Uno y sólo uno de los siguientes sistemas tiene solución: () Ax, c t x >, algún x IR n. () A t y = c, y, algún y IR n. Demostración. Supongamos que () tiene solución, es decir, que existe y tal que A t y = c. Si () tuviese solución, existiría x IR n tal que Ax, c t x >. Premultiplicando la primera desigualdad por y, se tiene que y t Ax = (A t y) t x = c t x, lo cual es una contradicción. Por lo tanto () no tiene solución. Supongamos ahora que () no tiene solución. Sea S = {ω IR n /ω = A t y, y }, que es un convexo cerrado, no vacío. Como () no tiene solución, c / S. Luego existe p, α IR tal que Como ω = S, α. Así p, c >. (*) p, c > α y p, ϖ α, ϖ S. De p, ω α, ω S, se tiene que p, A t y = Ap, y α, y. 9

30 Supongamos que Ap tiene una coordenada estrictamente positiva, digamos (Ap), y consideremos y = λ., λ > λ(ap) α λ >, lo que es una contradicción, pues se puede elegir λ suficientemente grande de modo de violar la desigualdad, dado que (Ap) >. Luego, Ap no tiene coordenadas positivas, es decir, Ap (**) Por (*) y (**), () tiene solución para x = p. Ejemplo..4 Sea A M m n (IR), c IR n. Uno y sólo uno de los siguientes sistemas tiene solución: () Ax, x, c t x >, algún x IR n. () A t y = c, y, algún y IR n. Basta considerar la matriz à = [ A I ] y aplicar Farkas. Teorema.. Sean S y S, conjuntos convexos no vacíos en IR n, tales que S S = /o. Existe un hiperplano que separa S y S, es decir, existe p IR n no nulo tal que p t x p t x x S, x S. (Ver figura.4) Demostración. Consideremos el conjunto S = {x/x = x x, x S, x S } = S S. Se deduce del ejercicio (..) que S es un convexo. Además, es claro que / S (en efecto, S implicaría que S S /o). Luego, usando el teorema (..9), existe p = tal que de donde se concluye que x S : p t x x S, x S : p t (x x ) 3

31 S S Figura.4: En el caso de la figura, el hiperplano separador de los dos conjuntos convexos es soportante para la clausura de ambos. H lo que prueba el teorema. Teorema..3 (Gordan) Sea A M m n (IR). Entonces uno y sólo uno de los siguientes sistemas tiene solución: () Ax <, algún x IR n. () A t p =, p, p, algún p IR n. Demostración. Supongamos que () tiene solución, es decir, que Ax < para algún x IR n. Si () tuviese solución, existiría p IR n, p, p tal que A t p =. Entonces, premultiplicando () por p t se tiene que p t Ax < (A t p) t x = <, lo que es una contradicción. Supongamos ahora que () no tiene solución. Definamos S = {z IR m /z = Ax, x IR n } y S = {z IR m /z < } Si () no tuviese solución, entonces S S = /o S /o, S /o S y S convexos Luego, por el teorema anterior, existe un hiperplano separador, es decir 3

32 Luego, p t Ax p t z x IR n z S. p tal que p t z p t z z S z S Como z < puede elegirse arbitrariamente negativo. Probaremos que p. Si p tuviese alguna coordenada negativa se tendría que p t Ax sup{p t z } = + p t Ax = z < + x IR n, lo que es una contradicción. Así, p. Luego, tomando límite cuando z, se tiene que p t Ax x IR n. Tomando x = A t p, se tiene que A t p = A t p = (contradicción con el hecho de que () no tiene solución). Por lo tanto, () tiene solución. Ejercicio..5 Demuestre, usando el teorema de Farkas, que si para todo y tal que A t y se tiene que b t y, entonces existe x tal que Ax b. Indicación: Note que el sistema Ax b puede reemplazarse por Ax + s = b, con s IR m +. Ejercicio..6 Sean A M p n (IR) y B M q n (IR). Demuestre que uno y sólo uno de los sistemas siguientes tiene solución: (I) Ax < Bx = (II) A t u + B t v = u =, u. Funciones convexas Definición.. Sea f : S IR n IR, con S = Dom(f) convexo. x S f(x) Se dice que f es convexa si y sólo si f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y), x, y S, λ. Esta definición se puede interpretar geométricamente, diciendo que la imagen por f del segmento [x,y] queda por debajo de la recta que une (x,f(x)), (y,f(y)). (ver figura.5) Por inducción es posible probar un resultado equivalente para la combinación convexa de k puntos en IR n. 3

33 f(y) f(x) x y Figura.5: La imagen por f del segmento [x,y] queda por debajo de la recta que une (x,f(x)), (y,f(y)). Teorema.. (Desigualdad de Jensen) Sea f : S IR n IR, S = Dom(f) convexo. Entonces, f es convexa si y sólo si {x i } k S y λ i, i =,..., k tal que k λ i =, se tiene f(λ x λ k x k ) λ f(x ) λ k f(x k ). Definición.. Una función f, definida como antes, se dice estrictamente convexa si y sólo si para todo x y, < λ <, se tiene f(λx + ( λ)y) < λf(x) + ( λ)f(y) Definición..3 Sea f : S IR n IR, con S = Dom(f) convexo. Se dice que f es cóncava si y sólo si f es convexa o, equivalentemente, si f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)f(y), x, y S, λ. Del mismo modo, f es estrictamente cóncava si y sólo si f es estrictamente convexa. Ejemplo... i) Una función f : IR n IR tal que f(x) = α t x + β (lineal afín) es cóncava y convexa. 33

34 x x (, ] ii) La función f definida por f(x) = { x (, ) x x [, ) convexa, pero no estrictamente convexa. (lineal por pedazos) es iii) La función f(x) = x es estrictamente cóncava. iv) La función f(x) = { x x (, ] 4 x (, ) no es cóncava ni convexa. i) ii) iii) iv) Figura.6: Gráfico de las funciones del ejemplo.. Definición..4 Sea f : S IR n IR, con S = Dom(f) /o un conjunto cualquiera. Para α IR se definen los siguientes conjuntos (ver figura.7) N α (f) = {x IR n / f(x) α}, el conjunto de nivel α. C α (f) = {x IR n / f(x) = α}, curva de nivel α. epi(f) = {(x, α) S IR / f(x) α}, el epígrafo de f. Teorema.. Sea una función f : S IR n IR, con S = Dom(f) convexo. Se tiene que 34

35 f α epi(f) N f(x) =[x,x ] α x * * x C α f(x)={x,x } Figura.7: Conjunto de nivel, curva de nivel y epígrafo de una función real f. (i) f es convexa si y sólo si epi(f) es un conjunto convexo. (ii) si f es convexa, entonces N α (f) es convexo. Demostración. (i) ( )Sean (x, α), (y, β) epi(f), λ [, ]. λ(x, α) + ( λ)(y, β) = (λx + ( λ)y, λα + ( λ)β) S IR (convexo) Como f es convexa, f(λx + ( λ)y) λf(x) + ( λ)y λα + ( λ)β (pues f(x) α, f(y) β) Luego, λ(x, α) + ( λ)(y, β) epi(f). ( ) Como epi(f) es convexo, (x, α), (y, β) epi(f), λ [, ], se tiene que λ(x, α) + ( λ)(y, β) epi(f), es decir, f(λx + ( λ)y) λα + ( λ)β. Claramente, (x, f(x)), (y, f(y)) epi(f). Reemplazando α por f(x) y β por f(y) en la expresión anterior, se concluye que f es convexa. (ii) Directo de (i). (Ver la primera implicancia) Veamos que la implicancia inversa en (ii) no es cierta. Para la función (iv) del ejemplo (..), N α (f) es convexo α IR, sin embargo, la función no es convexa. 35

36 Teorema..3 Sea f : S IR convexa. Entonces, f es continua en int(s). Demostración. Sea x int(s). Para probar la continuidad de f en x necesitamos mostrar que, dado ε >, existe δ > tal que x x δ f (x) f (x) ε. Sea ε >. Dado que x int(s) existe η > tal que B(x, η) S. Claramente x ± ηe i S, con e i vector de la base canónica, luego x = (x + ηe i) + (x ηe i) (f es convexa) f(x) f(x + ηe i) + f(x ηe i) i =,..., n {f(x + ηe i) f(x)} + {f(x ηe i) f(x)}. De aquí se desprende que i, f(x + ηe i ) f(x) y f(x ηe i ) f(x) no pueden ser simultáneamente negativos. Sea K = max{f(x ± ηe i ) f(x), i =,..., n}, Sean α i i =,..., n, tales que x x = n α i d i, con d i = { Luego, x x = n n α i d i = n j= K <, y definamos δ = min{ η n, εη nk }. ηe i si x i x i ηe i si x i x i < n α i α j d i d j = n αi d i = η n αi δ. Así, α i δ η = min{ n, ε n K }, lo que implica en particular que α i min{ n, ε nk } i.( ) Entonces, f(x) = f(x x + x) = f( n α i d i + x) = f( n = n n f[( nα i )x + nα i (x + d i )] n = f(x) + n α i [f(x + d i ) f(x)] Luego, (nα n id i + x)) n f(nα n id i + x) n [( nα i )f(x) + nα i f(x + d i )] f (x) f(x) n α i [f(x + d i ) f (x)] K n α i < K ε = ε K (de la definición de K y por ( )) 36

37 Para terminar, falta probar que f (x) f(x) < ε. Sea y = x x. Notemos que y x = x x δ, luego, por lo anterior, f(y) f(x) ε. Pero f(x) = f( y + x) f(y) + f(x) [f (x) f(x)] [f(y) f(x)] ε. Luego, f (x) f(x) ε y se tiene el resultado. Una función convexa podría no ser continua en todas partes. Sin embargo, del teorema anterior se puede deducir que los puntos de discontinuidad se encuentran en la frontera del dominio, como muestra el siguiente ejemplo. Ejemplo.. Sea S = {x/ x } y f : S IR, definida por f (x) = { x x < x =. La función f es convexa, continua en int (S) y los puntos de discontinuidad son {, } (la fontera de S.) Definición..5 Sea S IR n, no vacío, f : S IR, x S, y d tal que x + λd S λ [, η[, algún η >. Se define la derivada direccional de f en el punto x y en la dirección d, por el siguiente límite (cuando existe) f f(x+λd) f(x) (x, d) = lim λ + λ IR donde IR = IR {, + } y las operaciones se extienden como sigue: a + = = + a para < a a = = + a para a < a = = a, a ( ) = = ( ) a para < a a = = a, a ( ) = = ( ) a para < a = = = ( ) = ( ) 37

38 ( ) = y la suma de con no está definida. Definición..6 Sea S IR n, no vacío. Una función f : S IR se dice diferenciable en x int (S) si y sólo si existe f(x) IR n tal que donde o(x x) es tal que lim x x f(x) = f(x) + f(x) t (x x) + o (x x) x S o(x x) x x =. Teorema..4 Si f es diferenciable en int (S), entonces f (x, d) = f(x) t d. Demostración. Sea x int (S), como f es diferenciable se tiene que f (x) = f (x) + f(x) t (x x) + o(x x) x S. Sea x = x + λd S (para λ > suficientemente pequeño), luego f (x + λd) = f (x) + f(x) t (λd) + o(λd) f(x+λd) f(x) λ = f(x) t d + o(λd) d λ d λ d λ d Tomando límite cuando λ +, se obtiene f (x, d) = f(x) t d. Proposición.. Sea f : S IR, convexa. Sea x S, y d tal que x + λd S, para todo λ [, η[, para algún η >. Entonces f (x, d) existe. Demostración. Sean < λ < λ < λ f(x + λ d) = f( λ λ (x + λ d) + ( λ λ )x) λ λ f(x + λ d) + ( λ λ )f(x) f(x+λ d) f(x) λ f(x+λ d) f(x) λ 38

39 Así, ϕ(λ) = f(x+λd) f(x) λ inf ϕ(λ) existe. λ> es una función no decreciente de λ. Luego f (x, d) = lim λ + ϕ(λ) = Teorema..5 Sea f : S IR una función diferenciable en S IR n, convexo. Entonces f es convexa si y sólo si f(x) f(x) + f(x) t (x x), x, x S. Demostración. ( ) Sea f convexa. Dados x, x S se tiene que f(λx + ( λ)x) λf(x) + ( λ)f(x) λ [, ] Reordenando, f(x + λ(x x)) f(x) λf(x) λf(x) f(x+λ(x x)) f(x) λ Tomando lim : λ + f(x) f(x). f (x, d) = f(x) t (x x) f(x) f(x) f(x) f(x) + f(x) t (x x), x, x S. ( ) Sean x, x S, f(x) f(λx + ( λ)x) + f(λx + ( λ)x), ( λ)(x x) λ [, ] f(x) f(λx + ( λ)x) + f(λx + ( λ)x), λ(x x) λ [, ] Multilplicando la primera desigualdad por λ, la segunda por ( λ) y sumando, se tiene λf(x) + ( λ)f(x) f(λx + ( λ)x) λ [, ] Es decir, f es convexa. Observación.. Es directo probar que f, satisfaciendo las hipótesis del teorema anterior, es estrictamente convexa si y solo si f(x) > f(x) + f(x) t (x x), x, x S. Corolario.. Sea f : S IR una función diferenciable en S IR n, convexo. Entonces f es convexa si y sólo si f(x ) f(x ), x x, x, x S. 39

40 Demostración. De acuerdo al teorema anterior, f(x ) f(x ) + f(x ), x x f(x ) f(x ) + f(x ), x x x, x S x, x S Sumando las desigualdades anteriores, se tiene que f(x ), x x + f(x ), x x = f(x ) + f(x ), x x es decir, f(x ) f(x ), x x, x, x S. Hasta aquí hemos desarrollado caracterizaciones de convexidad que nos serán de mucha utilidad, pero sólo para funciones diferenciables. Existe una forma sencilla de extender estas caracterizaciones a funciones no diferenciables, mediante el concepto de subgradiente, que se define a continuación. Definición..7 Sea f : S IR, convexa. Un vector ξ IR n se llama subgradiente de f en x si y solo si f(x) f(x) + ξ t (x x) x S El conjunto de subgradientes de f en x se denota por f(x) y se llama subdiferencial de f en x. Proposición.. Si f es convexa y diferenciable en x int (S), entonces f(x) = { f(x)} Demostración. Notemos primero que f(x) f(x), pues f es convexa (Teorema..5). Sea ξ f(x). Por definición f(x) f(x) + ξ t (x x) x S. Sea x = x + λd S (para λ > suficientemente pequeño), se tiene que f(x + λd) f(x) + λξ t d f(x+λd) f(x) λ ξ t d Tomando límite cuando λ +, f(x) t d ξ t d, luego (ξ f(x)) t d. Escogiendo d = ξ f(x) y reemplazando en la ecuación anterior, obtenemos ξ f(x), lo que implica que ξ = f(x). 4

41 Proposición..3 Sea S IR n un convexo no vacío y f : S IR. Si x int (S) ξ f (x), entonces f es convexa en int (S). Demostración. Sean x, x int (S), λ [, ] S es convexo int (S) es convexo, luego x = λx + ( λ) x int (S) ξ f (x), es decir, f(x) f(x) + ξ t (x x) x S. En particular, f(x ) f(x) + ξ t (x x) f(x ) f(x) + ξ t (x x) Pero x x = ( λ) (x x ) y x x = λ (x x ). Luego, multiplicando la primera desigualdad por λ, la segunda por ( λ) y sumando, se tiene que es decir, f es convexa. λf(x ) + ( λ)f(x ) f(λx + ( λ)x ) λ [, ], Definición..8 Sea S IR n, no vacío. Una función f : S IR se dice dos veces diferenciable en x si y sólo si existe f(x) IR n y H(x) IR n n tal que f(x) = f(x) + f(x) t (x x) + (x x)t H (x) (x x) + o (x x) x S H (x) se llama matriz hessiana de f en x, f(x) x H (x) =. f(x) f(x) x x n x x... f(x) x i x j. f(x) x n x f(x) x n Teorema..6 Sea S IR n un abierto, convexo, no vacío, y sea f : S IR dos veces diferenciable en S. Entonces f es convexa si y solo si H (x) es semi-definida positiva x S. 4

42 Demostración. ( ) Sea x S. Queremos probar que x IR n, x t H (x) x. Como S es abierto, x IR n, (..5) se tiene que Además, x + λx S, para λ suficientemente pequeño. Del teorema f (x + λx) f(x) + λ f(x) t x x IR n f(x + λx) = f(x) + λ f(x) t x + λ xt H (x) x + o (λx) x IR n Restando las dos ecuaciones, se tiene que λ xt H (x) x o (λx) x IR n x t H (x) x + λ o (λx) x IR n Para x (el caso x = es directo), dividamos por x y tomemos límite cuando λ + para obtener que x t H (x) x x IR n, es decir, que H (x) es semi-definida positiva. ( ) Sean x, x S. Por teorema del valor medio f(x) = f(x) + f(x) t (x x) + (x x)t H( x) (x x) con x = λx + ( λ)x S, para algún λ (, ). Como H( x) es semi-definida positiva, (x x) t H( x) (x x), luego f(x) f(x) + f(x) t (x x) x, x S Por el teorema (..5), f es convexa. Ejemplo..3 Sea f(x, x ) = x 5x + x x + x x. Deseamos verificar si f es convexa, cóncava o ninguna de ellas. Podemos escribir f de una manera más conveniente como sigue: f(x, x ) = ( ) ( ) x + ( ) [ ] ( ) x x x x 5 x 4

43 = ( ) ( ) x Luego, H(x) = x + [ Calculemos sus valores propios: [ λ det( λ λ =.579 y λ =.47 ( ) [ ] ( ) x x x x ] (constante para todo x). ] ) = ( + λ) ( + λ) 4 = λ + λ + = Como ambos valores son negativos, H(x) es definida negativa. Luego, por el teorema anterior, f es cóncava. Más aún, como lo demuestra el siguiente resultado, f es estrictamente cóncava. Corolario.. Sea S IR n un abierto, convexo, no vacío, y sea f : S IR dos veces diferenciable en S. Se tiene que, (i) si H(x) es definida positiva en cada punto de S, entonces f es estrictamente convexa. (ii) si f es estrictamente convexa, entonces H(x) es semi-definida positiva en todo punto de S. Demostración. (i) Directo de la segunda implicancia del teorema anterior. Basta ver H(x) definida positiva implica que f(x) > f(x) + f(x) t (x x) x, x S, lo que por la observación (..) es equivalente a decir que f es estrictamente convexa. { } x (ii) Notar que lim t H (x) x + o (λx) > x t H (x) x x IR n, es decir, λ x x λ x H (x) es semi-definida positiva. Ejemplo..4. (i) Consideremos la función f(x) = ln(x). La matriz hessiana, H (x) = f () (x) = > x S = {x IR n : x > }, es definida x positiva y por el corolario anterior, f es estrictamente convexa. 43

44 (ii) La función f(x) = x 4 es estrictamente convexa en todo IR n. Sin embargo, H (x) = f () (x) = x x IR n es semi-definida positiva (notar que H() = )..3 Definición del problema de optimización Sea una función f : S IR definida sobre un conjunto cerrado S, y consideremos el problema de encontrar x S tal que f (x) f (x) x S. Este es un problema de optimización y se escribe de la siguiente manera: (P ) min x S f(x) Definición.3. Un elemento x S se llama solución factible de (P ). Si x resuelve (P ) se dice que es mínimo, solución óptima o solución global del problema. Si existe ε > tal que f (x) f (x) x V ε (x), donde V ε (x) = {x S/ x x ε}, se dice que x es solución local o mínimo local del problema. Teorema.3. Sea f : S IR, con S convexo no vacío, y sea x solución local del problema (P ). Entonces, (i) si f es convexa, x es mínimo global. (ii) si f es estrictamente convexa, x es el único mínimo global. Demostración. (i) Sea ε >, f(x) f(x) x V ε (x). Supongamos que x no es óptimo global, es decir, y S tal que f(y) < f (x). f(λy + ( λ)x) λf(y) + ( λ) f(x) < λf(x) + ( λ) f(x) = f(x) Luego, Pero para λ suficientemente pequeño, λy + ( λ)x V ε (x), lo cual es una contradicción pues x es mínimo local. (ii) f estrictamente convexa f convexa. Luego, por (i), x es mínimo global. Supongamos que no es único, esto es, que existe y S 44 (y x), tal que f(y) = f(x).

45 f( y + x) < f(y) + f(x) = f(x) z = y + x x tal que f(z) < f(x), lo que contradice el hecho de x es mínimo global. Cuando la función f es lineal, es decir, f(x) es de la forma c t x, y el conjunto de restricciones S es un poliedro cerrado, S = {Ax = b, x }, el problema (P ) se conoce como problema de programación lineal, y su estudio es el objetivo del próximo capítulo. Ejercicio.3. Considere las funciones f i : IR n + IR, i =,..., k, convexas y diferenciables y sea f(x) = max{f (x),..., f k (x)}. Considere además el problema (P ) min f(x) x Demuestre que todo mínimo local de (P ) es un mínimo global..4 Ejercicios Resueltos Ejercicio.4. Una función f se dice homogénea de primer grado si satisface la siguiente igualdad: f(λx) = λf(x) x IR n, λ. Además, una función homogenea se dice subaditiva si satisface la siguiente desigualdad: f(x + y) f(x) + f(y) x, y IR n. Pruebe que una una función homogenea es convexa si y sólo si es subaditiva. Ejercicio.4. Sean f i : IR n IR m funciones convexas i =,..., m. Sean además λ i i =,..., m escalares no negativos. Pruebe que: es convexa. g(x) = k λ i f i (x), 45

46 Solución. Sean x, y IR n. Sea además λ (, ). De la definición de g se tiene que g(λx + ( λ)y) = m λ i f i (λx + ( λ)y) como cada f i es convexa, obtenemos además que f i (λx + ( λ)y) λf i (x) + ( λ)f i (y) i por lo tanto: g(λx + ( λ)y) = m λ i f i (λx + ( λ)y) m λ i [λf i (x) + ( λ)f i (y)] = λ m λ i f i (x) + ( λ) m λ i f i (y) = λg(x) + ( λ)g(y) De la definición, g es convexa. Ejercicio.4.3 Considere f i : IR n (, ] con i I. I un conjunto arbitrario. Considere además g : IR n (, ], dada por: g(x) = sup f i (x) i I Si f i es convexa i I. Muestre que g es convexa. Solución Usaremos el hecho de que g es convexa ssi epi(g) es convexo. Así, un par (x, α) epi(g) ssi g(x) α. Lo que es equivalente a f i (x) α i I. Por lo tanto, (x, α) i I epi(f i ) i.e, epi(g) = i I epi(f i ). Así, como f i es convexa i I, y además la intersección arbitraria de convexos es convexa (Observación..), entonces epi(g) es convexo g es convexa Ejercicio.4.4 Muestre que la función f : IR n IR es lineal afín ssi es cóncava y convexa. 46

47 Solución. Una función lineal afín es aquella que se escribe como: f(x) = c t x + α. ( ) Evidentemente f es cóncava y convexa. ( ) Sea f cóncava y convexa, i.e f(λx + ( λ)y) = λf(x) + ( λ)f(y) Sea L(x) = f(x) f(). Demostremos que L es lineal. Sea λ f(λx) = f(λx + ( λ)) = λf(x) + ( λ)f() De donde L(λx) = f(λx) f() = λf(x)+( λ)f() f() = λf(x) λf() = λl(x) Por otro lado, L(x + y) = f(x + y) f() = f( x + y) f() = f(x) + f(y) f() = f( x) f() + f(y) f() f() = L(x) + L(y) Ahora, L() = f() f() =. Con lo cual, = L(x x) = L(x) + L( x). Asi obtenemos, L( x) = L(x) Como todo α IR se puede escribir como sgn(α)(n + λ),con n IN y λ (, ), deducimos que L es lineal, y L + f() es lineal afín, con lo cual f es lineal afín. Ejercicio.4.5 Sea S un conjunto convexo cerrado no vacío en IR n y sea f : IR n IR definida por: Demuestre que f es convexa. f(y) = inf x y x S Solución. Supongamos que no es convexa, i.e z, x y λ tales que: inf x S λ z + ( λ )y x > λ inf x S x z + ( λ ) inf x S x y 47

48 Sea x S tal que x z = inf x S x z De esta menera: λ f(z ) + ( λ )f(y ) = inf λ (x z ) + ( λ )(x y ) x S inf λ (z x ) + ( λ )(y x) inf λ z + ( λ o )y [λ x + ( λ )x] x S x S De lo cual obtenemos que inf x S λ z +( λ )y x > inf x S λ z +( λ )y [λ x +( λ x] Para λ tenemos que λ x + ( λ )x S, por ser convexo. Así definamos L = {l S/l = λ x +( λ )x}, es claro que L S. Con esto podemos reescribir la última desigualdad como: o de otra forma, Lo cual es una contradicción inf x S λ z + ( λ )y x > inf l L λ z + ( λ )y l inf η x > inf η x x S x L Ejercicio.4.6 Sea A M m n (IR), B M l n (IR), c IR n. Uno y sólo uno de los siguientes sistemas tiene solución: () Ax, Bx =, c t x >, algún x IR n. () A t y + B t z = c, y, algún y IR n, z IR n. Solución Consideremos la matriz à = A B B. Notemos que () es equivalente a Ãx, c t x >, algún x IR n. y Sea u = z, con z, z tales que z = z + z. De este modo, u. z à t u = [ A t B t B ] y t z = A t y + B t z B t z = A t y + B t z = c, define un sistema z equivalente a (). 48

49 Se concluye usando Farkas. Ejercicio.4.7 Dados x, b, c IR n, con x y M m n (IR) se definen: Z(b) = max Ax b ct x V (c) = max Ax b ct x Demuestre que Z es convexa y V es cóncava; asumiendo que b y c están en dominios convexos en que los dos problemas son factibles y acotados. Comente que sucede si levantamos estas suposiciones. Solución Sea λ [, ]. Debemos probar que b, b lados derechos, se tiene que: y que c, c vectores de costo, se tiene que: Z(λb + ( λ)b ) λz(b ) + ( λ)z(b ) V (λc + ( λ)c ) λv (c ) + ( λ)v (c ). Probemos que Z(b) es convexa: Sean Z(b ) = c t x con x Ax = b Z(b ) = c t x con x Ax = b (x, x son soluciones al problema (P) con lado derecho b, b, respectivamente) Tomando x = λx + ( λ)x, se tiene que Ax = A(λx + ( λ)x ) = λb + ( λ)b. () Claramente x. () De () y () se tiene que x es solución del problema (P) con lado derecho λb + ( λ)b. El valor óptimo de este problema es Z(λb + ( λ)b ) c t (λx + ( λ)x ) = λz(b ) + ( λ)z(b ), luego Z(b) es convexa. Probemos ahora que V (c) es cóncava: Sea x solución óptima del problema 49

50 (P c ) max c t x Ax = b x con c = λc + ( λ)c. Claramente x es factible para (P c ) y (P c ), luego V (c ) c t x y V (c ) c t x. Así, λv (c ) + ( λ)v (c ) λc t x + ( λ)c t x = c t x = V (λc + ( λ)c ) Luego, V (c) es cóncava. 5

51 Capítulo 3 Programación Lineal 3. Introducción a la programación lineal Un problema de programación lineal se escribe de manera explícita como: (P L) min z = c x + c x c n x n + c n x n a, x + a, x a,n x n + a,n x n = b a, x + a, x a,n x n + a,n x n = b O en forma compacta como:.... a m, x + a m, x a m,n x n + a m,n x n = b m x i i (P L) min z = c t x sa. Ax = b x con x, c IR n, b IR m, A M m n (IR), con m n. En la función objetivo o criterio c t x, la variable x se conoce como variable de decisión o nivel de actividad y c como vector de costos. El conjunto de restricciones S = {Ax = b, x } es un poliedro cerrado y se llama conjunto factible. La matriz A se conoce como la matriz de coeficientes tecnológicos y b como vector de recursos o,simplemente, lado derecho. Otras definiciones preliminares: 5