MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS

Transcripción

1 MÁS REFLEXIONES SOBRE CONJUNTOS ESTRELLADOS: LA FÁBRICA DE CONTRAEJEMPLOS Comunicación efectuada por el Dr. Guillermo Hansen en la Academia Nacional de Ciencias de Buenos Aires en la sesión privada extraordinaria del 13 de noviembre de 2007

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3 Notaciones Nuestra exposición se referirá a subconjuntos del espacio euclidiano R d. Utilizaremos en general la notación de la escuela de Liège. Esto significa en particular que [x :y]simboliza el segmento cerrado de extremos x e y, [x :y)simboliza la semirrecta de origen x que pasa por y y (x :y)la recta que pasa por x e y, cambiando [ por ] (o viceversa) cuando excluyamos un extremo. Denotaremos con a una semirrecta genérica a partir del origen, y si queremos indicar que tiene una determinada dirección llamaremos u a un vector unitario en esa dirección y escribiremos u para indicar la semirrecta que nace en el origen en la dirección de u. Diremos también que un vector unitario u define o es una dirección, si tal expresión no provoca confusiones. Si A y B son convexos y p A, indicaremos con [A :B]al join de A y B, y con [p :A)a la cápsula cónica de A a partir de p. Teorema 1 Si F ={C} es una familia de conjuntos convexos con intersección no vacía entonces es estrellado y. Demostración: Si x S entonces existe C F tal que x C. Si entonces. Es inmediato que mir S puede incluir propiamente a. Ejemplo 423

4 Basándose en este teorema es posible construir fácilmente conjuntos estrellados que tengan como mirador un conjunto convexo predeterminado. Llamo a esta idea la fábrica de contraejemplos. Basta considerar al espacio que contiene al convexo dado inmerso en un espacio de dimensión mayor y formar el estrellado uniendo la cápsula afín en ese espacio del convexo dado con otro convexo en ese espacio de dimensión mayor, y cuya intersección con el convexo dado sea ese mismo convexo. Un ejemplo sencillo: si entonces es estrellado y mir S = C. Está claro que esta idea puede modificarse para obtener estrellados con determinadas características en su mirador, como por ejemplo que tenga interior no vacío, o en el estrellado, considerando por ejemplo no toda la cápsula afín de C sino sólo parte de ella, etc. Está claro también que, utilizando el teorema de Helly es posible encontrar versiones más generales del teorema. Veamos algunos ejemplos de aplicación de estas ideas. Una primera modificación del ejemplo anterior, restringiendo en S 2 las dos primeras variables en la forma y agregando un tercer conjunto 424

5 obtenemos un estrellado cuyo mirador ha cambiado completamente, que además es acotado en el plano horizontal. En lo que al mirador se refiere el rol del conjunto S 1 a pasado a ser bastante irrelevante, y podría ser reemplazado por muchos otros conjuntos convexos, o uniones de convexos, sin alterar la estelaridad del conjunto. Por ejemplo, reemplazamos S 1 por la unión de dos conjuntos planos S 4 y S 5 : 425

6 Las características del conjunto S han cambiado totalmente. Por ejemplo ahora int S =, lo que no ocurría antes. Pasemos ahora a la estructura asintótica de los conjuntos estrellados. Precisaré ahora algunos resultados parcialmente expuestos en mi anterior comunicación a esta Academia. Una de las cuestiones que me propuse estudiar fue la estructura asintótica de los conjuntos estrellados. El resultado básico en esta dirección, ya expuesto en mi conferencia anterior, es: Teorema 2 Sea S estrellado cerrado y no-acotado. Entonces existe una semirrecta tal que mir S + S Si mir S es no acotado, es decir si existen m mir S y una semirrecta tales que m + mir S, entonces S + = S. Demostración: Sea m mirs. Como S es no-acotado, para cada n N existe x n S tal que x n m n. Obviamente [m : x n ] S para todo n N. Sea S m ={x R d : x m = 1} y sea, para cada n N, s n S m [m :x n ). Está claro que estas intersecciones se reducen a esos puntos. Como S m es compacto la sucesión (s n ) tiene una subsucesión convergente a un elemento s S m S. Cambiando eventualmente la notación podemos suponer que (s n ) s, y está claro que para los correspondientes x n se verifica x n m npor ser subsucesión de la original. Sea =[m : s) m. Por ser S cerrado [m :s)= m + S. Entonces [mir S :[m :s)]= conv (mir S [m :s))es un (cilindro) convexo contenido en S, y por ser S cerrado su clausura mir S + S. Sean m mir S y tales que m + mir S, y sea x S. Entonces cualquiera sea y m + se verifica [x :y] S. Entonces x + S por ser S cerrado, de donde S + S. La otra inclusión es obvia. Si mir S no es acotado, siendo convexo tiene un cono de recesión no trivial rcs, y por la segunda conclusión del teorema anterior resulta S + rcs = S, es decir que rcs actúa como cono de recesión de todo el conjunto S, y no sólo de su mirador. Esto motiva la siguiente 426

7 Definición Sea S estrellado, cerrado y con mirador no acotado. Llamaremos cono de recesión de S al cono de recesión de mir S, es decir rcs = rc mir S. Teorema 3 Sea S estrellado cerrado y no-acotado. Entonces el conjunto (S) unión de todas las semirrectas tales que m + S para algún m mir S, es un cono tal que mir S + (S) S. Demostración: Por el teorema anterior (S) y, si (S)entonces mir S + es convexo y mirs mirs + S. Si C es una componente convexa de S que lo incluye entonces C es un convexo no-acotado y cerrado, y su cono de recesión rcc verifica C + rcc C, de donde mir S + rc C C + rc C C S. Es obvio que (S)es la unión de los conos de recesión rcc de todas las componentes convexas C de S. Definición Llamaremos cono de direcciones en S al cono del teorema anterior. Teorema 4 Sea S R d S estrellado (y cerrado). Entonces toda componente convexa de S es no acotada. Demostración: Sea C S una componente convexa de S. Si p C y m mir S entonces [m : p)\[m : p] S, porque si existiera x [m :p)\[m :p] S entonces p estaría en S por ser éste estrellado. Si q C es arbitrario entonces q +([m : p) m) S, ya que en caso contrario existiría x [p : q] S, contradiciendo que C es un convexo contenido en S. Entonces C C +([m :p) m) S, y como C +([m :p) m) es convexo coincide con C por definición de componente convexa. Es obvio que C +([m :p) m)es no acotado. Definición Llamaremos cono de direcciones fuera de S a la unión de todas las semirrectas tales que alguna trasladada de está incluida en alguna componente convexa de S. Definición Diremos que una dirección u es internal a un conjunto X si existen x X y ε > 0 tales que x+ v X para todo v tal que u v >1 ε. Indicaremos con U ε al cono convexo abierto formado por las semirrectas 427

8 . También diremos que la semirrecta es internal a X y que X contiene una semirrecta internal u. Teorema 5 Sea S estrellado y cerrado. Entonces: (a) Si u es una dirección internal a S entonces (x + u ) S cualquiera sea x S (b) Si U es una dirección internal a S entonces (x + u ) S cualquiera sea x S. Demostración: (a) Si m mir S entonces m + U ε S, y cualquiera sea x S se verifica (x + u ) (m + U ε ). (b) Si p S verifica p + U ε S entonces cualquiera sea x S se verifica (x + u ) (p + U ε ). Teorema 6 Sea S R d estrellado y cerrado tal que intmirs. Entonces toda componente convexa C de S contiene una semirrecta internal. Demostración: Sean C una componente convexa de S, p C S, y m int mir S. Sea U mir S una bola abierta con centro en m. Entonces el cono [p :2p U)está incluido en S, porque si existiera algún punto x de S en el mismo entonces, por definición de [p :2p U)existiría n U tal que x [p :2p n), de donde resultaría p S por ser S estrellado. Probaremos que [p :2p U) C. Sea q C, q p, sea n U un pinto genérico de U y llamemos (n) a la semirrecta [0: p n), es decir la semirrecta a partir del origen paralela a la semirrecta [p :2p n)= p + (n). Veamos que q + (n) S. Esta conclusión es obvia si q está en la semirrecta [n :p). Supongamos entonces que no es ése el caso. Entonces q y esa semirrecta [n :p)determinan un plano, en el cual está incluida la semirrecta q + (n). 428

9 Si existe x [q + (n)] S entonces [n :x] S corta a [p :q]en un punto r [n : x] S, lo que contradice la convexidad de C S. En consecuencia q + (n) S. Como q C y n U son arbitrarios esto significa que C C + (U) S, donde (U)es la unión de todas las semirrectas (n), y como C + (U)es convexo y obviamente incluye a C, resulta C = C + (U)por ser C maximal. De aquí resulta que p + (m)es una semirrecta internal de C. Puede quitarse la condición int mir S del teorema anterior? La respuesta es negativa, como muestra el siguiente contraejemplo. Sea, en R 2, S = {(ξ,ν): 1 ξ 1, 1 ν ξ } S es estrellado y mir S ={( ξ,ν):ξ =0, 1 ν 0}, y C ={(ξ,ν):ξ =0, ν >0} es una componente convexa de S que no contiene ninguna semirrecta internal. Es natural preguntarse, en este momento, si vale alguna forma de recíproca de este teorema, es decir si, poniendo a algún conjunto S que verifique algunas hipótesis pero no la de ser estrellado, la condición de que toda componente convexa de su complemento contenga semirrectas internales, se puede asegurar que S sea estrellado. Esto daría una caracterización desde afuera de los estrellados, parecida a la de los convexos dada por ejemplo por el teorema de Motzkin (1935) relativo a los conjuntos de Chebyshev. Un conjunto C es de Chebishev si cada punto del espacio tiene un único pie en C. El teorema de Motzkin dice que todo conjunto de Chebyshev es no vacío, cerrado y convexo. 429

10 La respuesta desgraciadamente es negativa, y confirma la idea expuesta al inicio de esta comunicación sobre el grado de dificultad mucho mayor que tiene el estudio de los estrellados en comparación con el de los convexos. Aparentemente no es posible poner condiciones desde afuera y no hay alternativa a ponerla desde adentro, que en definitiva sería afirmar la existencia de un mirador no vacío. Veamos un contraejemplo muy sencillo: Otra conjetura fallida Sea S estrellado y cerrado. Si pertenece al cono de direcciones en S y también al cono de direcciones fuera de S entonces existe m S tal que m + es una semirrecta extremal o una semirrecta asintótica de S. Esta afirmación es falsa, como muestra el siguiente contraejemplo: sea S = A B C, donde A = {(ξ,υ) R 2 :ξ 0, υ ξ 2 } B = {(ξ,υ) R 2 :0 ξ 1,υ 0} C = {(ξ,υ) R 2 :1 ξ 2,υ = k ξ, k N} 430

11 Este conjunto es estrellado y cerrado, siendo mir S = {(0,0)}, y si es el semieje vertical positivo, es una dirección en S y también fuera de S, pero para ningún m S resulta ser m + una semirrecta extremal o asintótica de S. No parece haber relación entre la falsedad de la conjetura y el hecho de que el mirador se reduzca a un punto. El conjunto C podría ser modificado fácilmente reemplazando los segmentos por pequeñas bandas sin alterar el resultado. Universidad Nacional de Luján Correo electrónico: ghmath@gmail.com 431