0.1 Axioma del supremo

Transcripción

1 0.1 Axioma del supremo El conjunto de los números racionales cumple con la propiedades de cuerpo y de orden que se cumplen en, sin embargo en tal conjunto no podemos dar respuesta a la existencia de un número para el cual se cumpla x = es por eso que necesitamos dar otro axioma en, antes debemos introducir algunas definiciones. Sea S, definimos: Definición Se dice que un número real a es cota inferior de S si a s para todo s S. Si existe alguna cota inferior para S diremos S está acotado inferiormente. Definición 0.1. Se dice que un número real b es cota superior de S si b s para todo s S. Si existe alguna cota superior para S diremos S está acotado superiormente. Definición Si S es acotado superior e inferiormente diremos que es un conjunto acotado. Ejemplo Sea S = ] 1, 3[ [4, 5] entonces a = es cota inferior para S. En efecto, si s S entonces 1 < s < 3 4 s 5 se sigue s sea cual sea el s S. Similarmente a = 1.5, a = 3, a = 1 son cotas inferiores de S. a = 7/ no es cota inferior de S pues existe un elemento de S (por ejemplo s = 1) que es estrictamente menor que a. Al encontrar una cota inferior, de inmediato podemos decir que el conjunto es acotado inferiormente, note también que si a es una cota inferior de un conjunto S entonces todo j a también será cota inferior. Ejemplo Sea A = x : x = 1 n para algún n = 1, 1, 1 3,.... b = es una cota superior para A pues si n entonces n 1 de donde obtenemos 1 1/n para cada n, se sigue que cualquier elemento del conjunto es menor que 1 y así menor que. 1 también es cota superior. Ningún número menor que 1 es cota superior, ya que 1 A. Al encontrar una cota superior, de inmediato podemos decir que el conjunto es acotado superiormente, note también que si b es una cota superior de un conjunto S entonces todo b con b b también será cota superior. Definición Un número real m se dice mínimo de un conjunto S si m S y m s para todo s S. Se escribe entonces m = min(s). Matemática 1 (MAT01) 1 versión preliminar

2 Definición Un número real M se dice máximo de un conjunto S si M S y M s para todo s S. Se escribe entonces M = max(s). Ejemplo Sea A = [0, 1] entonces m = 0 es un mímino, pues 0 A y para cada x A se tiene 0 x. Note que a = 1 es cota inferior pero no es el mínimo porque no esta en el conjunto. En este mismo ejemplo M = 1 es máximo de A, 1 A y para cada x A se cumple x 1. Ejemplo Sea A = [ 1, 5[ entonces m = 1 es un mímino, pues 1 A y para cada x A se tiene 1 x. Este conjunto no tiene máximo, note que 5 A pero se cumple x < 5 para cada elemento en el conjunto, es decir 5 es cota superior pero no esta en el conjunto, ningún número mayor que 5 puede ser el maximo al no estar en el conjunto, si 1 < b < 5 entonces el elemento b+5 A y b < b+5 luego b no es máximo. Claramente si b 1 no puede ser el máximo basta tomar A para tener una contradicción. Si el máximo existe entonces es único: Si M 1 y M son dos máximos del conjunto S entonces se sumple que M 1 S y M S pero al ser M 1 un máximo en particular se cumple para cada s S, s M 1 en particular para s = M se tiene M M 1 similarmente, al ser M un máximo se cumple de ambos se obtiene M 1 = M. M 1 M Definición Un número real a se dice infimo de un conjunto S si es la mayor de las cotas inferiores de S. Es decir, si a s para todo s S y cada a > a no es cota inferior de S, verificándose que a > s para algún s S. En este caso se escribe a = inf(s). Definición Un número real b se dice Supremo de un conjunto S si es la menor de las cotas superiores de S. Es decir, si s b para todo s S y cada b < b no es cota superior de S, verificándose que b < s para algún s S. En este caso se escribe a = sups. Ejemplo Si A = ]1, [ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es ], 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior) se ve que la mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores de A es [, [ luego la menor de las cotas superiores es se sigue que = sup A. Matemática 1 (MAT01) versión preliminar

3 Ejemplo Si B = [ 1, 3[ entonces el conjunto de las cotas inferiores de A es ], 1] (cualquier elemento de este conjunto es una cota inferior, incluso el 1) se ve que la mayor de todas ellas es x = 1 luego 1 = inf A. El conjunto de las cotas superiores de A es [3, [ luego la menor de las cotas superiores es 3 se sigue que 3 = sup A. El supremo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no necesariamente es el máximo del conjunto. El ínfimo no necesariamente esta en el conjunto, es decir, no es necesariamente el mínimo del conjunto. Si existe un máximo el será el supremo del conjunto Si existe el mínimo el será el ínfimo del conjunto. Proposición Sea A un conjunto no vacío de entonces inf A sup A Demostración: Si a A entonces a sup A pues sup A es cota superior, además inf A a pues inf A es cota inferior. Proposición Si A B y A entonces inf B inf A sup A sup B Demostración: Note que si x A entonces x B se sigue que para cada x A inf B x sup B (inf B es cota inferior de B y sup B es cota superior), se sigue que inf B es cota inferior de A y sup B es cota superior de A. Como inf A es la mayor de las cotas inferiores de A se sigue inf B inf A y como sup A es la menor de las cotas superiores pero por la propiedad anterior sup A sup B juntando las desigualdades obtenemos inf A sup A inf B inf A sup A sup B Ya estamos en condiciones de dar el axioma que caracteriza a : Axioma del supremo: Todo subconjunto de no vacío y acotado superiormente tiene un supremo. (el supremo es un número real) Este axioma implica lo siguiente: Matemática 1 (MAT01) 3 versión preliminar

4 Proposición Todo subconjunto de no vacío y acotado inferiormente tiene un ínfimo. (el ínfimo es un número real) Demostración: Sea A un conjunto no vacío y acotado inferiormente, definamos A = { a : a A} entonces A es no vacío y acotado superiormente (note que si l era cota inferior de A entonces l a para cada a A eso implica l a para cada a A, se sigue l es cota superior de A). Por el axioma del supremo existeel supremo de A y denotemoslo por sup( A), este número cumple con ser la menor de las cotas superiores de A se sigue que para cada a A se cumple a sup( A) entonces, para cada a A se tiene mostremos que en realidad a sup( A) inf A = sup( A) ya sabemos que sup( A) es cota inferior, si j > sup( A) entonces j < sup( A), de la definición de supremo se sigue que debe existir un elmento a A tal que j < a < sup( A) se sigue que j > a > sup( A) luego cualquier número mayor que sup( A) no es cota inferior de A, se sigue que sup( A) es la mayor cota inferior, es decir el ínfimo, de donde obtenemos inf A = sup( A) Como es de esperar, este axioma tiene importantes concecuencias entre las cuales podemos nombrar las siguientes: Teorema El conjunto de los naturales no es acotado superiormente en. Demostración. Supongamos que esta acotado superiormente en, como es no vacío, por el axioma del supremo existiría un real K = sup ahora bien, K 1 no es cota superior pues K es la menor de las cotas inferiores, se sigue que existe un n tal que K 1 < n se sigue sumando a ambos lados de la igualdad que K < n + 1 pero n + 1 es un natural, entonces K no puede ser el supremo, esto es una contradicción que viene de suponer acotado, se sigue que no puede ser acotado en. Matemática 1 (MAT01) 4 versión preliminar

5 Teorema Para cada x > 0 existe un n tal que 0 < 1/n < x. Demostración. Suponga que existiera un x > 0 tal que para cada n entonces se cumpliría x 1 n n x 1 para todos los naturales, es decir, estaría acotado en lo que sabemos no puede ser. Teorema Para cada x existe un k tal que k x < k + 1 (este entero es llamado la parte entera de x y generalmente se denota por [x]) Teorema Si x,y son dos reales con x < y entonces existe un racional P = n/m tal que x < p < y (esta propiedad es llamada densidad de los racionales en, nos dice en todo intervalo no degenerado de la recta real existen racionales) El axioma del supremo puede ser utilizado para garantizar la existencia de raíces de reales. Sea b + entonces n b = sup{x : 0 x x n b} Ejercicios propuestos 1. Determinar supremo e infimo de los siguientes conjuntos (si es que existen) (a) x : x < 3 (b) x : x x + 1 > (c) {0.3, 0.33, 0.333,...} (d) { 1/n : n }. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A B = {ab : a A b B} demostrar que en general sup(a B) sup A sup B pero que si A y B contienen solo reales positivos entonces si se cumple la igualdad. Muestre también que si sup A < 0 y sup B < 0 entonces inf(a B) = sup A sup B Matemática 1 (MAT01) 5 versión preliminar

6 3. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados superiormente. Defina el conjunto A + B = {a + b : a A b B} demostrar que Qué pasa con los ínfimos? sup(a + B) = sup A + sup B 4. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. Decidir cuales de las siguientes propiedades son verdaderas y demostrarlas y encontrar contraejemplos para las falsas. (a) sup(a B) inf sup A, sup B (b) sup(a B) = inf sup A, sup B (c) sup(a B) sup sup A, sup B (d) sup(a B) = sup sup A, sup B 5. Sean A, B subconjuntos de no vacíos y acotados. Es verdad que sup A = sup B y inf A = inf B implican A = B? 6. Utilizando el último teorema y la irracionalidad de muestre que si x, y y x < y entonces existe un irracional ξ tal que x < ξ < y Ind.: Con el teorema insertar un racional r entre x y y, mostrar que r es irracional. 7. S es un conjunto acotado si y solo si existe un número real J > 0 tal que S [ J, J ]. 8. Muestre que si el mínimo existe es único. Matemática 1 (MAT01) 6 versión preliminar