y exámenes. Temas 3 y 4

Transcripción

1 U N I V E R S I D A D D E M U R C I A Ejercicios DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS CONJUNTOS Y NÚMEROS 2017/2018. de talleres y exámenes. Temas 3 y 4 Se recuerda que la resolución de algunos de estos ejercicios requiere del conocimiento de temas posteriores. 1. Sobre las siguientes afirmaciones se pide determinar si son verdaderas o falsas. Si verdaderas hay que demostrarlas, si falsas hay que dar un contraejemplo. a) Sea (A, ) un conjunto ordenado y B A un subconjunto. B tiene máximo si y solo si existe el supremo de B en A y dicho supremo pertenece a B. b) Todo subconjunto de Z acotado superiormente en R tiene máximo. c) Se A es un conjunto totalmente ordenado y tiene un mínimo, entonces es un conjunto bien ordenado. d) Sea (A, ) un conjunto ordenado infinito. Para cualesquiera a, b A, existe c A tal que c a y c b. e) Sea A un conjunto con dos relaciones de equivalencia, R y S, distintas. Entonces A/ R A/ S. f ) Sea (A, ) un conjunto infinito. Para cualesquiera a, b A, existe c A tal que c a y c b. g) En un conjunto no vacío, toda relación reflexiva, simétrica y antisimétrica es relación de equivalencia. h) Sea A cualquier conjunto ordenado y B un subconjunto de A. Si B tiene cotas superiores entonces tiene supremo. i) Sea A un conjunto y A = {A i } i I una familia de subconjuntos no vacíos. Si i I A i y i I A i = A entonces A es una partición para A. j ) Un conjunto bien ordenado es totalmente ordenado. k) Dado un número real r > 0, el conjunto A de los números enteros a tales que a 2 < r tiene supremo en Q y en R. l) Un conjunto finito no vacío totalmente ordenado es bien ordenado. 2. En todo el ejercicio (A, ) es un conjunto totalmente ordenado. Dados dos elementos a, a A tales que a < a, denotaremos por (a, a ) el subconjunto de A formado por los elementos x A tales que a < x < a. Diremos que un subconjunto B de A es denso cuando, para cualesquiera a, a A con a < a, se verifica que o bien (a, a ) = o bien (a, a ) B. 1

2 a) Probar que si B es un subconjunto denso de A y A no tiene máximo (resp. mínimo), entonces B no tiene máximo (resp. mínimo). b) Supongamos que A no tiene ni máximo ni mínimo y que C B A son subconjuntos. Probar que si C es denso en B y BN es denso en A entonces C es denso en A. c) Calcular todos los subconjuntos densos de Z. d) Demostrar que C = { m 2 m m Z, n N } es un subconjunto denso de R. 3. Sea Q >0 el conjunto de los números reales estrictamente positivos, que representamos siempre por fracciones a b, con a, b N. Se define en Q >0 la relación de orden: a b c d ad bc. a) Probar que la aplicación ι : Q >0 Q >0 dada por ι(x) = x 1 es una biyección que invierte el orden. b) Todo subconjunto de Q >0 acotado superiormente (resp. inferiormente) tiene supremo (resp. ínfimo) en Q >0. c) Dado B = { 14 21, , 4 3, 100 6, , 50 15, 28 6, 8 3, 1078 }, 3 calcular, si existen, los siguientes elementos significativos (del conjunto B): 1) Sus cotas superiores e inferiores en Q >0. 2) Su supremo e ínfimo en Q >0. 3) Sus elementos maximales y minimales. 4) Su máximo y su mínimo. 4. Sea (A, ) un conjunto ordenado y consideremos en A A la relación de orden lexicográfica : (a, b) (c, d) a < c o a = c ; b d Se considera ahora un subconjunto no vacío X A A y se toma el conjunto X 1 = {a A : (a, b) X, para algún b A} de las primeras componentes de elementos de X. a) Probar que un elemento (a, b) X es maximal en X si, y sólo si, a es maximal en X 1 y b es maximal en el conjunto X(a) := {b A : (a, b ) X}. b) Supongamos que X satisface que, para todo a X 1, el conjunto X(a) está acotado superiormente en A. Demostrar que X tiene supremo en A A si, y sólo si, se cumple una de las dos condiciones siguientes: 2

3 i) X 1 tiene supremo en A, pero no máximo, y el conjunto A tiene mínimo ii) X 1 tiene máximo, denotado m := max(x 1 ), y el conjunto X(m) = {b A : (max(x 1 ), b) X} tiene supremo en A En el primer caso, se tiene Sup A A (X) = (Sup A (X 1 ), min(a)), mientras que en segundo caso se tiene Sup A A (X) = (max(x 1 ), Sup A (X(m)). c) En el caso particular en que A = N = N \ {0} y es la relación divide a, considerando el orden lexicográfico asociado en A A, calcular los elementos maximales y el supremo en A A, si existen, de X = {(1, 2), (1, 8), (2, 4), (3, 4), (6, 4), (21, 2), (28, 2), (28, 8)}. 5. Sea (A, ) un conjunto totalmente ordenado. Demuestre que si dos subconjuntos de A tienen sendos supremos, entonces su unión tiene un supremo. Es cierto en general el resultado para conjuntos parcialmente ordenados? 6. En el conjunto A formado por los divisores de 30 en N se considera el orden dado por la relación de divisibilidad, y se pide: a) Muestra un subconjunto de A con 6 elementos que tenga exactamente 2 elementos maximales. b) Demuestra que ningún subconjunto de A con 7 elementos tiene exactamente 2 elementos minimales. 7. Se define la relación R en R 2, dada por (x, y) (a, b) x 2 a 2 = b 2 y 2. a) Probar que es una relación de equivalencia. b) Determinar todas las clases de equivalencia. 8. Sea A = R 2 \ {(0, 0)}, conjunto al que vemos como subconjunto del plano euclídeo (en el que hay fijado un sistema de coordenadas). Definimos en A la relación dada por la regla (a, b) (c, d) ad = bc. a) Probar que es una relación de equivalencia en A e identificar las clases de equivalencia con respecto a la misma. b) Si S 1 = { (x, y) A x 2 + y 2 = 1 } denota la circunferencia de radio 1, estudiar la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de la composición de aplicaciones S 1 A p A/, donde la primera flecha es la inclusión y la segunda la proyección canónica sobre el conjunto cociente. 3

4 9. Se define en R R la relación (a, b) (x, y) si y sólo si 3a b = 3x y. a) Probar que es relación de equivalencia. b) Identificar las clases de equivalencia, dando una interpretación geométrica de las mismas. c) Dar un juego completo de representantes de las clases de equivalencia. 10. Sea A un conjunto y f : A A una aplicación. Se define la relación R en A, dada por arb si y solo si b = f(a) Se pide probar las siguientes afirmaciones: a) R es reflexiva si y solo si f = 1 A, la identidad. b) R es simétrica si y solo si f 2 = 1 A, donde f 2 = f f, la composición. c) R es transitiva si y solo si f 2 = f. 11. Sea f : A B una aplicación, donde A y B son conjuntos no-vacíos tales que B > 2. Se define en B la relación de equivalencia R f dada por: br f b f 1 ({b}) = f 1 ({b }). Demostrar: a) f es una aplicación constante si, y solo si, B/R f = 2, donde B/R f es el conjunto cociente; b) La relación R f es la igualdad (es decir, br f b b = b ) si, y solo si, B \ Im(f) Sea A = {z C : z 1} y definamos en dicho conjunto la relación zrw E( z ) = E( w ), donde E(r) denota la parte entera de r, para cualquier número real r. a) Demuestra que R es una relación de equivalencia en A y calcula las clases de equivalencia con respecto a la misma. b) Prueba que la relación en A/R dada por [z] [w] E( z ) divide a E( w ) en N está bien definida y es una relación de orden. c) Para el subconjunto X = {[1+2i], [10+12i], [13+16i], [2+3i], [4+4i], [43+43i]} de A/R, calcula, si existen: i) Sus cotas superiores e inferiores en A/R. ii) Su extremo superior e inferior en A/R. iii) Sus elementos maximales y minimales. 4

5 iv) Su máximo y su mínimo. 13. Sea f : X Y una aplicación entre dos conjuntos no vacíos. Consideramos a P(Y ) como un conjunto ordenado con la relación de inclusión y se define en él la relación de equivalencia dada de la siguiente forma, para cualesquiera A, B Y : A B f 1 (A) = f 1 (B). a) Probar que si B Y entonces B (Y \ Im(f)) es el máximo de la clase de equivalencia [B]. b) Probar que la asignación [B] B (Y \ Im(f)) da una aplicación bien definida ϕ : P(Y ) P(Y ). c) Estudiar la inyectividad, suprayectividad y biyectividad de ϕ. 14. Se considera el conjunto N = N \ {0} con la relación de orden: a b a divide a b. Probar que (N, ) es un retículo, es decir, un conjunto ordenado en el que todo subconjunto finito tiene ínfimo y supremo. En todo lo que sigue, el ínfimo Inf N ( ) y el supremo Sup N ( ) es considerado con respecto a esta relación de orden en N. Consideramos a continuación: 1. En el conjunto P f (N ) de las partes finitas de N, la relación de equivalencia X Y Inf N (X) = Inf N (Y ) y Sup N (X) = Sup N (Y ) 2. En el conjunto N N la relación de orden (a, b) (c, d) a < b o a = b y c d a divide estrictamente a b o a = b y c divide a d a) Demostrar que la asignación [X] (Inf N (X), Sup N (X)) define una aplicación f : f (N ) P N N. Calcular su imagen y discutir si f es inyectiva, suprayectiva o/y biyectiva. b) Demostrar que todo subconjunto finito de N N tiene supremo con respecto a la relación c) Para B = {(2, 5), (2, 15), (3, 3), (7, 2), (7, 5)), (18, 125), (42, 625), (63, 6)} calcular, si los hay, los siguientes elementos significativos: i) Las cotas superiores e inferiores de B en N N ii) El supremo y el ínfimo de B en N N iii) Los elementos maximales y minimales de B iv) El máximo y el mínimo de B. 5

6 15. Nota: Antes de hacer este ejercicio se recomienda leer el anexo abajo. Se considera A = N N \ {(n, n) n N} = {(m, n) N N m n} y se define en él la relación Se pìde: (a, b) (c, d) x, y N tales que c = ax + by y d = ay + bx. a) Demostrar que es un preoden en A e identificar la relación de equivalencia R asociada. b) Probar que la asignación [(a, b)] a b (el valor absoluto de a b) da una aplicación f : A/R N, bien definida, que es biyectiva. c) Probar que si es la relación de orden en A/R mencionada en el anexo, más abajo con la definición de preorden, entonces se tiene [(a, b)] [(c, d)] f ([(a, b)]) divide a f ([(c, d)]) en N. d) Dado el subconjunto X = {[(1, 2)], [(2, 16)], [(8, 2)], [(2, 0)], [(5, 2)], [(0, 30)], [(1, 6)]} de A/R, calcular, cuando los haya, los siguientes elementos significativos: i) Supremo e ínfimo de X en A/R. ii) Elementos maximales y minimales de X. iii) Máximos y mínimos de X. Anexo. Preórdenes Una relación en un conjunto A se dice que es un preorden cuando satisface las propiedades reflexiva y transitiva. En tal caso es sabido que la relación R en A, definida por a R b a b y b a es una realción de equivalencia. Más aún, si se define en el conjunto cociente A/R la relación [a] [b] a b, entonces está bien definida y es una relación de orden en A/R. 6