EL AXIOMA DEL SUPREMO. Cotas, supremos e ínfimos

Transcripción

1 EL AXIOMA DEL SUPREMO Cotas, supremos e ínfimos La gran diferencia entre el conjunto Q de los racionales y R, el conjunto de los números reales, es que este último es un modelo para el continuo de puntos en una recta, mientras que el primero deja espacios en ella. En efecto, si a cada punto del recta le asociamos una distancia (la del punto en cuestión al origen), hay distancias que no pueden representarse mediante números racionales, como la diagonal de un cuadrado de lado 1. Si esta longitud es representada por un número x, éste debe ser positivo y, por el teorema de Pitágoras, debe satisfacer x 2 = 2. Supogamos que el racional positivo m/n (el cual ha sido despojado de todo factor común que m y n pudiesen haber tenido ) cumpliera con lo anterior. Entonces tendríamos que m 2 = 2n 2, de lo cual se deduce que m 2 es par. Pero ello implica que el propio m es par y podemos escribir m = 2k. Reemplazando esto nos llevaría a que 4k 2 = 2n 2 o, equivalentemente, que n 2 = 2k 2. Así, n 2 es par y por tanto también lo es n. Pero entonces m y n sí tendrían un factor común (el número 2), contradiciendo lo que habíamos supuesto al principio. Por tanto, si pensamos en el conjunto de axiomas que gobiernan el sistema de los múmeros reales, necesitamos alguno que dé cuenta de tal diferencia. Los axiomas de campo y de orden, que regulan la operatoria de los números reales y la forma en que ésta interactúa con el orden natural entre ellos, no dan cuenta de ella pues tales axiomas son igualmente satisfechos por los racionales. El Axioma del Supremo es una forma de establecer tal diferencia. También cumplirá otro propósito: mostrarnos que, si bien los racionales no llenan la recta, son lo suficientemente densos como para permitirnos acercarnos a un punto de ella con tanta cercanía como deseemos, mediante números racionales. Esto es lo que hacemos cuando escribimos la representación decimal de un número real. Por ejemplo, el número 1/3 puede ser aproximado con tanta precisión como deseemos por la sucesión 0.3, 0.33, 0.333,... de números racionales. Para entender bien este axioma necesitamos algunos conceptos previos: Un real a es cota superior de un conjunto A de números reales si a x, x A. Un real a es cota inferior de un conjunto A de números reales si a x, x A. Un elemento a de un conjunto A de números reales se llama máximo de A si es cota superior de él. Un elemento a de un conjunto A de números reales se llama mínimo de A si es cota inferior de él. La diferencia entre cota superior y máximo de un conjunto es que el último es único y debe pertenecer al conjunto. Esto no se pide de una cota superior y, además, de haber cotas superiores, hay infintas de ellas (si a es cota superior del conjunto A entonces cualquier número b > a también lo es) De existir un elemento máximo (mínimo) es inmediato que existen cotas superiores (inferiores) pero no a la inversa. Ejemplo 1 : Si A = ]0, 1] entonces 2, π, 1 son todas cotas superiores de A, mientras que 2, 0 son cotas inferiores.

2 A posee un elemento máximo (el 1) pero no tiene elementos mínimos. Ejemplo 2 : Si A = [0, [ entonces A, posee un elemento mínimo (el 0) y por tanto, cotas inferiores (cualquier número menor o igual que 0). No posee ni cotas superiores ni elemento máximo. El conjunto A R se dice acotado superiormente (inferiormente) si posee cotas superiores (inferiores). Si es ambos, se dice acotado (a secas). Si el conjunto A posee una cota superior mínima, ésta se llama supremo de A y se denota por sup A. Si el conjunto A posee una cota inferior máxima, ésta se llama ínfimo de A y se denota por inf A. Así pues, a = sup A x A se tiene que a x y > 0 existe y A tal que y > a. Análogamente, a = inf A x A se tiene que a x y > 0 existe y A tal que y < a +. La primera parte simplemente repite el hecho de que a es cota superior. La segunda establece que ningún número menor que a puede ser cota superior, y así a es la menor de todas las cotas superiores (el supremo). El Axioma del Supremo y algunas de sus consecuencias. Axioma del Supremo: Todo conjunto no vacío de números reales que es acotado superiormente posee un supremo. Una primera consecuencia sería la contraparte del axioma del supremo: El Axioma del ínfimo, el cual establece que todo conjunto no vacío de números reales que es acotado superiormente posee un ínfimo. Ejercicio 1 : Deducir el axioma del ínfimo a partir del axioma del supremo. Solución : Sea A un conjunto acotado inferiormente. Entonces A = { x : x A} es acotado superiormente y viceversa (obviamente que A tampoco es vacío). En efecto, a es cota inferior de A (la cual existe, por hipótesis) si y sólo si a x, x A, si y sólo si a x, x A lo cual equivale a que a y, y A. Como estamos asumiendo el axioma del supremo, existe α = sup( A). Afirmamos que entonces α = inf(a) (y de este modo establecemos la existencia del ínfimo para el conjunto A ). En efecto, como α = sup( A), en particular se tiene que α es cota superior de A. Por lo recién visto, α será entonces cota inferior de A. Nos falta probar que es la mayor cota inferior. Esto es, que si es cualquier número positivo, existirá algún y A tal que y < α +.

3 Pero, como α = sup( A) entonces α ya no es cota superior y por tanto existe un elemento x A tal que x > α. Multiplicando por 1 y haciendo y = x (nótese que entonces y A ) obtenemos el resultado deseado. Otras consecuencias del axioma del supremo : Las siguientes propiedades, todas las cuales pueden deducirse del axioma del supremo, mostrarán que podemos acercarnos a un número real cualquiera mediante racionales. Algunos de los resultados podrán parecer demasiado obvios para requerir de una prueba. De lo que se trata es de mostrar que los axiomas elegidos efectivamente dan cuenta de nuestra intuición sobre la recta numérica. Si pensamos geométricamente, lo primero que hacemos es encerrar el número dado en un intervalo del tipo [n, n + 1[, donde n Z. i) Dado cualquier real x > 0 existe algún natural (en particular un entero) n tal que n > x. Demostración : Supongamos que no. Entonces el conjunto N sería cotado superiormente (el número x del enunciado sería una cota superior). Por el axioma del supremo existe entonces a = sup(n). Entonces a 1 ya no es cota superior y, por lo tanto, existe n N tal que a 1 < n. Si sumamos 1 a ambos lados obtenemos a < n + 1, pero n + 1 también pertenece a N y entonces a no sería cota superior. Esto contradice la hipótesis, y por tanto la afirmación debe ser cierta. Esta propiedad se conoce como la propiedad arquimediana y establece que después de cualquier punto en la recta siempre hallamos algún natural. O sea, que hay números naturales tan grandes como se desee. Tomando negativos obtenemos que podemos hallar siempre un entero menor que cualquier número real dado: ii) Dado cualquier real x, existe algún entero m tal que m < x. Demostración : Si x 0 el entero 1 satisface lo pedido. Si x > 0 entonces, por la parte i) existe un natural n tal que n > x. Multiplicando por 1 y llamando m = n obtenemos el resultado. Así pues, podemos cazar cualquier número real entre dos enteros. Ahora es simple ver que podemos adelgazar el intervalo a uno de largo 1: iii) Dado cualquier real x > 0, existe un único entero p tal que p x < p + 1. Demostración : Por las dos partes anteriores tenemos que, dado cualquier x R, existen enteros m, n tales que m < x < n. Esto es, x pertenece a un conjunto de la forma ]m, m + 1 [ [m + 1, m + 2 [ [n 1, n [. Como tales intervalos no se traslapan, x sólo puede pertenecer a uno sólo de ellos, el cual es de la forma deseada. (Si x pertenece al primero de ellos, entonces, con mayor razón pertenece al intervalo [m, m + 1 [ ya que este último contiene al primero). Hemos probado la existencia de un entero p con la propiedad requerida. La unicidad de dicho entero se prueba fácilmente pues, si existiese otro entero r tal que r x < r + 1 y si r < p, se tendría que r + 1 p.

4 Como también se cumple que p x, se seguiría que r + 1 x. Pero también x < r + 1. Luego se tendría que r + 1 < r + 1, lo cual es imposible. Al mismo tipo de contradicción se llega si suponemos que p < r. Por tanto, r = p, lo cual establece la unicidad. Ahora bien, una vez que hemos encerrado el punto (número real) x entre dos enteros consecutivos, seguimos acercándonos a él usando fracciones de la unidad. Es intuitivamente evidente que, dada cualquiera tal fracción 1 n, podemos encerrar a x entre dos múltiplos consecutivos de ella. Como la distancia entre éstos es, precisamente 1 n, tendremos que x está a distancia menor que 1 n, de un racional. Es también intuitivamente obvio que 1 n, puede hacerse tan pequeño como queramos si n es lo bastante grande. Eso establecería que podemos hallar racionales tan cerca como deseemos del real x. Pero esto que es intuitivamente evidente... puede concluírse de los axiomas que estamos usando? Recuérdese que todo este negocio se orienta a probar que los axiomas (en particular el axioma del supremo, que es el que nos interesa ahora) permiten establecer tales obviedades. Así pues, estableceremos otra obviedad más: iv) Dado cualquier real > 0 (por chico que sea) existe algún natural n tal que 1 n <. Demostración : Por la parte i) existe algún n N tal que n > 1. Aplicando recíprocos obtenemos lo deseado. Ahora podemos establecer el resultado principal: que, dado cualquier número real, x, y cualquier grado de proximidad que deseemos,, podemos hallar algún racional, q, que esté a menor distancia que de x. (O sea, tal que x q <. ) v) Dado cualquier real x y cualquier > 0 (por chico que sea) existe un número racional, q, tal que x q <. Demostración : Por la parte anterior, existe un natural n tal que 1 n <. Consideremos ahora el número real nx. Por la parte iii) existe un (único) entero m tal que m nx < m + 1. Dividiendo por n tenemos que m n x < m+1 Si llamamos q = m n n. tenemos que x q = x m n < m + 1 n m n = 1 n <. Los reales sí llenan la recta. Hasta ahora el axioma del supremo nos ha permitido establecer que los racionales están por todas partes en el eje numérico. En lenguaje más técnico, que son densos en R. Pese de lo anterior y como lo habíamos mencionado al principio, los racionales dejan espacios en la recta. De acuerdo al mismo ejemplo que habíamos mencionado entonces, no existe un racional x tal que x 2 = 2.

5 Veremos ahora que un tal número síexiste en R, apoyándonos en el axioma del supremo. Lo haremos de manera indirecta: Ejercicio 1 : Mostraremos que si x R es positivo y verifica x 2 < 2, entonces existe un racional q > 0 tal que (x + q) 2 < 2. En efecto, para que (x + q) 2 < 2 debe suceder que 2qx + q 2 < 2 x 2. Si escribimos = 2 x 2 (el cual es positivo, pues estamos suponiendo que x 2 < 2 ) tenemos que debería ocurrir que q(2x + q) <. Podríamos resolver esta inecuación en la variable q pero en la soulción parecería envuelto el número 2, cuya existencia es justamente lo que deseamos establecer. Para superar este impasse, notemos que si un racional q nos sirve, también nos servirá cualquier otro que sea menor que él (pues, si (x + q) 2 < 2 y si 0 < q 1 < q, entonces también (x + q 1 ) 2 < 2 ). Así pues, podemos partir suponiendo que q < 1. En tal evento, q(2x + q) < q(2x + 1) y, por lo tanto, buscaremos un racional q que satisfaga q(2x + 1) < o, lo que es lo mismo, q < 2x+1. (Nótese que la fracción de la derecha es positiva). En el evento que dicha fracción fuese mayor que uno (por ej., si es muy grande), elegimos cualquier q < 1. En otras palabras, q < min{1, 2x+1 }. Por lo tanto, q < 2x+1 y también q < 1. La propiedad v) que vimos antes nos asegura que un tal racional siempre existe. Entonces, (x + q) 2 = x 2 + q(2x + q) < x 2 + q(2x + 1) ( pues q < 1) < x 2 + ( pues q < y, como = 2 x 2 concluímos que (x + q) 2 < 2. De manera análoga se puede probar que 2x + 1 ) Ejercicio 2 : Si x R es positivo y verifica x 2 > 2, entonces existe un racional q > 0 tal que (x q) 2 > 2. Ahora estamos en condiciones de enunciar el resultado principal: Existe un real positivo, a, tal que a 2 = 2. Para verlo, consideremos el conjunto A = {x R : x > 0 y x 2 < 2}. Tenemos que: A. ( 1 A ). A es acotado superiormente ( 2 es cota superior)

6 Por el axioma del supremo, existe a = sup(a). Ahora bien, no puede ocurrir que a 2 > 2 ya que, por el ejercicio 1, en tal caso existe un real positivo q (de hecho, un racional) tal que (a q) 2 > 2. Luego, a q < q es también cota superior y por tanto a no sería la menor cota superior. De modo análogo. y usando el ejercicio 2, concluímos que tampoco es posible que a 2 < 2. Por descarte tenemos que a 2 = 2. De este modo hemos probado que el axioma del supremo llena uno de los espacios que dejaba Q. Se puede probar, de manera más o menos parecida, que existe un número real asociado a cualquier punto de la recta (en tanto podamos caracterizarlo mediante alguna propiedad que éste satisfaga).