Capítulo 1. Desigualdades

Transcripción

1 Capítulo 1 Desigualdades 1

2 Desigualdades Elordenenlosnúmerosreales Cuando discutimos sobre la belleza de dos artistas de cine, no siempre llegamos a un acuerdo, en gustos se rompen géneros ; en cambio, dados dos números reales, siempre podemos decidir cuál de ellos es mayor, por ejemplo, 7 Estoejemplifica la propiedad conocida como tricotomía Cuando comparamos a tres equipos de fútbol, tampoco podemos decir siempre cuál es el mejor Por ejemplo, en un torneo de todos contra todos, los Pumas le ganaron a las Aguilas, las Aguilas le ganaron a las Chivas y las Chivas le ganaron a los Pumas, así que no podemos decidir cuál es mejor En cambio, con los números no hay tal ambigüedad, por ejemplo, como sabemos que 7 y 7 9, sin pensarlo más sabemos que 9 Esdecir,elordenenlos números naturales es transitivo Si Cristina es mayor que su hermano Juan, entonces dentro de cinco años, Cristina seguirá siendo mayor que Juan, es decir, si a la edad de ambos le sumamos, el orden no se altera Si un refresco es más barato que una bolsa de papas y, debido a la inflación, el año próximo el precio de ambos se multiplica por, entonces el refresco seguirá siendo más barato que la bolsa de papas Para poder comparar los números, debemos establecer sin ambigüedad un orden entre ellos Para ello, hacemos lo siguiente: Definición Dados dos números reales y, decimosque es menor que si al colocarlos en la recta, quedaalaizquierdade, y escribimos,queselee es menor que o es mayor que a Figura 1-1 Otra manera de escribir es,encuyocasoleemos es mayor que Escribimos para indicar que,obien =, yleemos es menor o igual que Ejemplos 7 canicas son más que 3 canicas $10 es menor que $, (se tiene menos dinero cuando se debe 10 que cuando se debe ) 4 Cesmenorque C, ya que es más alta la temperatura a Cquea 4 C Podemos escribir las desigualdades anteriores así: b

3 Desigualdades 3 Propiedades de orden de los reales El orden en los reales satisface las siguientes propiedades: Tricotomía Dados y números reales, se cumple exactamente una de las siguientes afirmaciones,, = Decir que es positivo equivale a decir que 0; yque es negativo equivale a decir que 0 Transitividad Si y, entonces Es decir, si estáalaizquierdade y está a la izquierda de, entonces está a la izquierda de Relación con la suma Si y es cualquier entero, entonces + + Multiplicación por un número positivo Si y es cualquier entero positivo, entonces (No se altera el sentido de la desigualdad) Multiplicación por un número negativo Siy 0 entonces (Se invierte el sentido de la desigualdad) Ejemplos 1 Verificar la transitividad cuando = 8, =7y =1 Debemos verificar que: si y,entoncesenefecto 8 7 y 7 1 entonces 8 1 Multiplicar 3 por 4 Al multiplicar una desigualdad por un número positivo, el sentido de la desigualdad no se altera, así que 3 3(4) (4) 1 0

4 4 Desigualdades 3 Multiplicar 3 por 6 Puesto que vamos a multiplicar por un número negativo, debemos recordar que al hacerlo se debe intercambiar el signo por Entonces 3 ( ) ( 6) 3( 6) Mostrar que la desigualdad se puede obtener a partir de la desigualdad Puesto que 11 17, multiplicando por ( 1) a ambos lados de la desigualdad tenemos: oloqueeslomismo, ( 1) 17 ( 1) 11 17, Escribir 19 como la suma de un número entero y fracciones distintas que tengan el número 1 en el numerador Como 19 entonces escribimos el número como un número entero más una fracción: 19 =3+4 Los números racionales que tienen un uno en el numerador son: Comparamos 4 con 1 utilizando los productos cruzados 4() = 8 (1) = ycomo8, entonces 4 1

5 Desigualdades Calculamos 4 1 4() (1) = 10 = 8 10 = 3 10 Así 19 = Ahora comparamos 3 10 con 1 3 3(3) = 9 10 (1) = 10 de manera que 9 10, entonces Como 3 10 es menor que 1 3, entonces comparamos 3 10 con 1 4 : así 1 10 Calculamos 3(4) = 1 10 (1) = (3) (1) = 0 = 6 0 = 1 0 Por tanto, 19 = Intervalos Para definir intervalos utilizamos la notación de conjuntos

6 6 Desigualdades Si,elconjunto ( ) ={ R } se llama intervalo abierto y lo representamos geométricamente como a ( ) b Figura 1- Si y están incluidos en el conjunto, es decir, [ ] ={ R } se llama intervalo cerrado y lo representamos geométricamente como [ ] a b Figura 1-3 Un intervalo es semiabierto si contiene sólo uno de los dos extremos, es decir, [ ) ={ R } y lo representamos como a [ ) b Figura 1-4 obien y lo representamos como ( ] ={ R } a ( ] b Figura 1- Utilizamos el símbolo para representar infinito ; no es un número real y no satisface lasreglasdelasumayelproductodelosnúmerosreales

7 Desigualdades 7 Si R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos por ( ) ={ R }, lo representamos geométricamente como a ( y lo llamamos el rayo que parte de Figura 1-6 Si R, el conjunto de números reales que satisfacen la desigualdad lo denotamos por ( )={ R } y lo representamos geométricamente como a ) Figura 1-7 Éste es también un rayo que llega a pero que se extiende en dirección contraria al del inciso anterior De la misma manera que antes, si queremos que el punto esté incluido, escribimos y lo representamos como [ ) ={ R } a [ Figura 1-8 o y lo representamos como ( ]={ R } Figura 1-9 a ]

8 8 Desigualdades Utilizando las operaciones de conjuntos podemos hablar de uniones e intersecciones de intervalos Ejemplos 1 Encontrar ( ) [1 7] ( ) [ ] ( [ ) ] Figura 1-10 Un número está en la intersección si está en ambos intervalos ( ) [1 7] = [1 ) Escribir usando notación de intervalos, { R } { R 1 } ( ) ( ( Figura 1-11 Un número está en la unión si está en alguno de los intervalos, es decir, si está en uno de los intervalos, en el otro o en ambos { R } { R 1 } = { R } = ( ) ( 1 ) = ( )

9 Desigualdades 9 Ejercicios Determinar la unión y la intersección de los siguientes intervalos 1 ( 0) y ( 4) (1 63) y (3 7) 3 ( ) y (13 7) 4 7 y Desigualdades Reinaldo obtuvo como calificaciones en los primeros cuatro exámenes: 71, 84, 8 y 93 Sólo falta efectuar un examen y para aprobar el curso sin presentar el examen final, es necesario que el promedio de los cinco exámenes sea mayor o igual que 8 Cuál es la menor calificación que debe obtener Reinaldo en el quinto examen para poder quedar exento? Llamamos alacalificaciónquefaltaelpromediodetodaslascalificaciones es: Dichopromediodebesermayor oigualque8, así que escribimos la desigualdad Para resolverla multiplicamos por ambosmiembrosyobtenemos: µ 38+ (8) Sumamos 338 aambosladosdeladesigualdad En el quinto examen, Reinaldo debe obtener por lo menos 7 de calificación Una desigualdad en la que aparecen variables también se conoce como inecuación Como en el caso de las igualdades, la expresión que aparece a la izquierda del símbolo de desigualdad se llama primer miembro y la que aparece a la derecha, segundo miembro

10 10 Desigualdades Resolver una desigualdad algebraica significa encontrar los valores numéricos que, cuando sustituyen a las variables, la hacen cierta Para manipular desigualdades algebraicas utilizamos las propiedades de la suma y el producto de los números reales, así como las de orden Ejemplos 1 Resolver la desigualdad 9 1 Sumamos 9, en ambos lados de la desigualdad: Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por 1 que por ser positivo no altera el sentido de la desigualdad: 3 1 () 1 ( 3) 3 Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que 3, es decir, µ 3 Resolver la desigualdad Sumamos 7 en ambos lados de la desigualdad: Ahora multiplicamos ambos miembros de la desigualdad resultante por 1, que por ser 4 negativo invierte el sentido de la desigualdad: ( 4) 1 4 (16) 4 Por tanto, la desigualdad se cumple para cualquier número real menor que 4, es decir, ( 4)

11 Desigualdades 11 Consecuencias de las propiedades de orden Para despejar la variable de la desigualdad 8 13 seguimos los siguientes pasos: 8 13 Queremos despejar Sumamos el opuesto de 8, esdecir,8 1 Simplificamos En el primer renglón, el 8 está restando en el lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos sumando en el lado derecho En general, si un término está restando de un lado de una desigualdad,, al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene: Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad sumando Así: Si,entonces+ Similarmente, si un término está sumando de un lado de la desigualdad, +, al sumar su opuesto de ambos lados de la desigualdad se obtiene: + + Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad restando Así: Si +,entonces Para despejar la variable de la desigualdad 6 7 seguimos los siguientes pasos: µ µ Queremos despejar 1 7 Multiplicamos por 1, que es el recíproco de 6, y 6 6 como es positivo, la desigualdad no se altera Simplificamos En el primer renglón, el 6 está multiplicando del lado izquierdo y en el segundo renglón lo vemos dividiendo del lado derecho

12 1 Desigualdades En general, si un término positivo está multiplicando de un lado de una desigualdad, entonces al multiplicar por su recíproco de ambos lados de la desigualdad y simplificar: µ 1, µ 1 el término pasa al otro lado de la desigualdad dividiendo Por tanto, Si y 0, entonces De manera similar, si un término positivo está dividiendo en un lado de la desigualdad, al multiplicar por él, ambos lados de la desigualdad se obtiene: () () El término pasa al otro lado de la desigualdad multiplicando Por tanto, Si y 0, entonces Si tenemos la desigualdad, y 0, entonces al multiplicar por el recíproco, la desigualdad cambia de sentido, por lo que, Si y 0, entonces Es decir, el término pasa al otro lado de la desigualdad dividiendo y cambia el sentido de la desigualdad De la misma manera, Ejemplos Si y 0, entonces

13 Desigualdades 13 1 Resolver 7 9 Despejamos (El pasa sumando) (Simplificamos) µ 7 De donde 7 (3) (El 9 pasa multiplicando, y el 7 pasa dividiendo sin cambiar el sentido de la desigualdad) (Simplificamos) 0 ( 4 6 Figura 1-1 Resolver Despejamos : de donde µ Resolver Tenemos que resolver dos desigualdades: y

14 14 Desigualdades Es decir, µ 1 y ( 4] de donde µ 1 ( 4], ] ] 4 1 ] Figura 1-13 es decir, µ 1 4 Resolver Tenemos que resolver dos desigualdades: +67 y Es decir, ( 04) y [ 03 )

15 Desigualdades 1 de donde ( 04) y [ 03 ), 1 03 [ 1 03 [ 1 03 ) ) Figura 1-14 es decir, ( 04) [ 03 ) =[ 03 04) La suma de dos números enteros pares consecutivos y positivos es a lo más 4 Encuentra dichos números Llamamos y +a los enteros pares consecutivos Planteamos la desigualdad: Ahoralaresolvemos: +( +) 4 +( +) Así, =1,, 3, 4 o, y entonces los números que satisfacen la desigualdad son:

16 16 Desigualdades Ejercicios Resolver las siguientes las desigualdades Un cartero parte de la oficina postal llevando en su bolsa cierto número de sobres Al mediodía ha repartido 134 sobres y en su bolsa quedan menos de 38 sobres por repartir Cuál es el mayor número de sobres con los que pudo haber salido de la oficina? Desigualdades y las expresiones racionales El cociente, del menor entre el mayor, de dos enteros impares consecutivos es mayor oiguala Encontrar los números Llamamos a los enteros impares consecutivos +1 y +3 Formamos el cociente del mayor entre el menor: yéstedebesermayoroiguala, es decir, Para resolver esta desigualdad debemos considerar dos casos: Si +3 0, entonces 3,esdecir, µ 3 y +1 ( +3)

17 Desigualdades 17 de donde µ Es decir, µ 3 µ = Si +3 0, entonces 3 µ, es decir, 3 y +1 ( +3) de donde Es decir, µ 3 = 3 De donde, 3 = 3 =[ 1) pero como es un entero entonces = Portanto,elcocientees: ( ) + 1 =3 ( ) + 3 Ejemplos 1 1 Resolver + 4 Para resolver esta desigualdad debemos quitar el denominador de la expresión de la derecha Como no sabemos si +es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos + 0 es decir Así ( ) Como + es positivo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido 1 4( +)

18 18 Desigualdades µ de donde 9 ( ) = 4 En este caso la desigualdad no tiene solución Supongamos + 0 es decir Así ( ) Como + es negativo, entonces al pasar multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido 1 4( +) de donde es decir Por tanto, la desigualdad ( ) µ 94 = µ 94 se satisface para 9 4 es decir µ 94 =( ) Y X Figura Resolver 3

19 Desigualdades 19 Para resolver esta desigualdad debemos quitar los denominadores Sabemos que 3 es positivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si es positivo o negativo, entonces debemos de considerar los dos casos Supongamos 0, o sea, entoncesalpasarlaexpresión multiplicando al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido + 3 3( +) ( ) Por tanto, debemos tener: y 8, 8 ) ( 1 0 Figura 1-16 Pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones Esto significa que ningún número es solución de la desigualdad original Supongamos 0, esdecir,, entonces al pasar multiplicando esa expresión al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido + 3 3( +) ( )

20 0 Desigualdades De donde, Podemos escribir esto como: y 8, 8 ( ) 0 8 Figura 1-17 Por tanto, + 3 si 8 3 Resolver Primer método: Para resolver esta desigualdad debemos quitar denominadores Sabemos que 3 es positivo, por lo que no hay problema ahí, pero no sabemos si +es positivo o negativo, por esto es necesario considerar dos casos Si + 0, entonces al pasar multiplicando +al otro lado de la desigualdad, ésta no cambia de sentido: y como estamos suponiendo que: ( 3) , entonces: y 11

21 Desigualdades 1 Podemos escribir esto como: 11 ( ) 0 Figura Si + 0, entonces al pasar multiplicando +al otro lado de la desigualdad, ésta cambia de sentido Entonces como: ( 3) , debemos tener: y 11, ) ( 0 Figura pero no hay ningún número real que cumpla con estas dos condiciones Por tanto, si 11 3 Segundo método: Resolvemos primero la ecuación: 3 + = 1 3

22 Desigualdades En primer lugar, nos damos cuenta que la expresión de la izquierda no está definida para = La solución de la ecuación es: 3 + = 1 3 3( 3) = + = 11 Los puntos donde no está definida la ecuación y donde se satisface la igualdad dividen a la recta en tres intervalos, como lo muestra la figura Figura 1-0 En cada uno de estos intervalos todos los puntos satisfacen la desigualdad original o ninguno la satisface La razón de esto es que si en alguno de estos intervalos un punto 1 satisface la desigualdad y otro la desigualdad contraria, habría un punto 3 intermedio y, por tanto, dentro del mismo intervalo en donde se satisface la igualdad, lo cual no es cierto, ya que el único punto donde se satisface la igualdad es 11 La justificación formal de este argumento, conocida como el teorema del valor intermedio, está fuera del alcance de este libro, pues requiere del concepto de continuidad, que es un tema que se ve en el curso de cálculo diferencial e integral Sin embargo, creemos que intuitivamente es bastante claro para poder utilizarlo aquí Elegimos un punto en cada intervalo, por ejemplo, 3 ( ), y evaluamos la expresión en ellos: En = 3 tenemos: 0 µ 11 ( 3) 3 ( 3) + =9,, 3 µ 11 que no satisface la desigualdad, así que en ningún punto de ( ) se satisface En =0tenemos: (0) 3 (0) + = 3, se satisface la de- quesíesmenorque 1 µ 3, así que en todo el intervalo 11 sigualdad

23 Desigualdades 3 En =3tenemos: (3) 3 (3) + = 3, que no es menor que 1 µ 11 3,asíqueenningúnpuntodelintervalo la desigualdad Por tanto, la solución a la desigualdad es el intervalo se satisface µ 11,esdecir, 11 Ejercicios